文档内容
第 17 讲 万有引力定律及其应用
目录
01 模拟基础练
【题型一】行星运动定律的理解与应用
【题型二】万有引力定律的理解与应用
【题型三】中心天体质量密度的计算
02 重难创新练
【题型一】行星运动定律的理解与应用
1.2024年1月5日，我国“快舟一号”运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，以“一箭四星”方式。将“天目
一号”掩星探测星座 星送入预定轨道（轨道近似为圆轨道，高度在 之间）。我国的第
一颗卫星“东方红一号”于1970年4月24日在酒泉卫星发射中心由长征一号运载火箭送入工作轨道（近地
点距地球表面的距离441km、远地点距地球表面的距离2368km）。已知地球的半径为6400km，下列说法
正确的是（ ）
A．“东方红一号”卫星运动的周期小于“天目一号”卫星运动的周期
B．“东方红一号”卫星的加速度大小可能等于“天目一号”卫星的加速度大小
C．“东方红一号”卫星的运行速度可能大于7.9km/s
D．“天目一号”卫星从发射到进入预定轨道的整个过程均处于失重状态
【答案】B
【详解】A．“东方红一号”卫星半长轴为
“天目一号”卫星的半径为
所以“天目一号”卫星的半径小于“东方红一号”卫星半长轴 ，根据开普勒第三定律可知，“东方红一号”卫星运动的周期大于“天目一号”卫星运动的周期，故A项错误；
B．由于
解得
“东方红一号”卫星到地心的距离有可能等于“天目一号”卫星到地心的距离，则两者加速度大小可能相等，
故B项正确；
C．7.9km/s是人造地球卫星的最大运行速度，则“东方红一号”卫星的运行速度一定小于7.9km/s，故C项
错误；
D．“天目一号”卫星在加速升空阶段加速度的方向向上，所以加速升空阶段处于超重状态，卫星进入预定
轨道后围绕地球做匀速圆周运动，卫星的加速度等于重力加速度，处于失重状态，故D项错误。
故选B。
2.北京时间2024年1月5日19时20分，我国在酒泉卫星发射中心用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一
号气象星座15-18星（以下简称天目星）发射升空，天目星顺利进入预定轨道，至此天目一号气象星座阶
段组网完毕。天目星的发射变轨过程可简化为如图所示，先将天目星发射到距地面高度为h1 的圆形轨道I
上，在天目星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道II，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将天目星
送入距地面高度为h2 的圆形轨道III上，设地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则天目星沿椭圆轨
道从A点运动到B点的时间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据万有引力与重力的关系
在圆形轨道I上，根据万有引力提供向心力
椭圆轨道II的半长轴为根据开普勒第三定律
解得天目星沿椭圆轨道II的周期为
天目星沿椭圆轨道从A点运动到B点的时间为
故选B。
3.中国古代将火星称之为“荧惑”。已知火星距太阳约1.5天文单位，为地球到太阳距离的1.5倍。火星质量
为 ，约为地球质量的10%。太阳质量 。火星自转周期为24小时37分，与地球
自转相似。地球公转周期约为365天。则火星公转周期是（ ）
A． s B． s C．671d D．970d
【答案】C
【详解】火星与地球都绕着太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律可得
已知地球公转周期
解得
故选C。
【题型二】万有引力定律的理解与应用
4.北京时间2024年4月15日12时12分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将四
维
高景三号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星主要为数字农业、城
市信息模型、实景三维等新兴市场，以及国土测绘、防灾减灾、海事监测等传统领域提供商业遥感数据服
务。若卫星入轨后做半径为r的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则
卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星绕地球运行的周期为T，有
设地面上一质量为 的物体，重力近似等于万有引力
得
综合解得
故选C。
5．在地球表面，被轻质细线悬挂而处于静止状态的质量为m的小球，所受地球的万有引力作用效果分解
示意图如图所示，已知小球所处的纬度为θ（ ），重力为F1 ，万有引力为F，地球的半径为
R，自转周期为T，下列说法正确的是（ ）
A．细线的拉力FT 与F是一对平衡力 B．地球的第一宇宙速度为
C．小球所需的向心力为 D．地球赤道处的重力加速度为
【答案】C
【详解】A．细线的拉力FT 与F合力提供了小球做圆周运动的向心力，故细线的拉力FT 与F不是一对平
衡力，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力
可得地球的第一宇宙速度为
故B错误；
C．小球做圆周运动的半径为小球所需的向心力为
故C正确；
D．小球所处的纬度重力 大于赤道处的重力，根据牛顿第二定律，地球赤道处的重力加速度小于 ，
故D错误。
故选C。
6.中国计划在2030年前登上月球，假设宇宙飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为ω的匀速圆周运
动。宇航员登上月球后，做了一次斜上抛运动的实验，如图所示，在月面上，小球从A点斜向上抛出，经
过最高点B运动到C点，已知小球在A、C两点的速度与水平方向的夹角分别为37°、53°，小球在B点的
速度大小为v，小球从A点到C点的运动时间为t，引力常量为G，sin37°=0.6，cos37°=0.8，月球可视为
均匀球体，忽略月球的自转，下列说法正确的是（ ）
A．月球的密度为 B．月球表面的重力加速度大小为
C．月球的第一宇宙速度大小为 D．月球的半径为
【答案】C
【详解】A．飞船落到月面前绕月球表面附近做角速度为ω的匀速圆周运动，则有
又
联立解得月球的密度为
故A错误；
B．在A点时的竖直分速度大小为
在C点时的竖直分速度大小为
向上为正，从A到C由运动学公式得解得
故B错误；
CD．根据
可得月球的半径为
月球的第一宇宙速度大小等于卫星在月球表面轨道绕月球做匀速圆周运动的线速度，则有
故C正确，D错误。
故选C。
7.（多选）如图所示，探测卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，绕行方向与该
星球自转方向相反，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通信，已知该星球半径为R、自转
周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。下列说法正确的是（ ）
A．该星球的第一宇宙速度为
B．该星球的“同步”卫星轨道半径为
C．每 卫星a经过P正上方一次
D．该星球赤道上的重力加速度大小为
【答案】AC
【详解】A．根据开普勒第三定律
可得近地卫星的周期为
该星球的第一宇宙速度为故A正确；
B．根据开普勒第三定律
解得
故B错误；
C．设经过时间 星a经过P正上方一次，则有
解得
故C正确；
D．在赤道上有
对探测卫星有
联立解得
故D错误。
故选AC。
【题型三】中心天体质量密度的计算
8．2024年2月29日中国在西昌卫星发射中心成功发射了高轨卫星01星，标志着中国互联网的效率与质
量将进一步提升。已知高轨卫星01星与地球中心的连线在时间t内转过的弧度为 ，扫过的面积为S，地
球的半径为R，引力常量为G，则（ ）
A．高轨卫星01星可以静止在咸宁的正上方B．地球的质量为
C．地球表面的重力加速度为 D．地球的第一宇宙速度为
【答案】B
【详解】A．高轨卫星01星绕地心做匀速圆周运动，轨道平面必过地心，在赤道正上方，因此不可能静
止在咸宁的正上方。，故A错误；
B．由题意可知，高轨卫星01星万有引力提供向心力又
综合解得
故B正确；
C．在地表处
得地球表面的重力加速度
故C错误；
D．贴近地球表面，由万有引力提供向心力，可得
得地球的第一宇宙速度为
故D错误。
故选B。
9.（多选）北斗卫星导航系统中的MEO卫星为中圆轨道卫星，利用引力常量G和下列数据，能计算出地
球质量的是（ ）
A．MEO卫星绕地球的轨道半径和线速度
B．MEO卫星绕地球的轨道半径和运行周期
C．地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的线速度
D．地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的轨道半径
【答案】AB
【详解】AB．根据万有引力提供向心力有
所以
，
由此可知，若已知卫星绕地球的轨道半径和线速度或者已知轨道半径和运行周期均可以计算出地球的质量，故AB正确；
CD．根据万有引力与重力的关系
可得
由此可知，地球表面重力加速度和MEO卫星绕地球的线速度或者已知地球表面重力加速度和MEO卫星
绕地球的轨道半径均不能计算出地球的质量，故CD错误。
故选AB。
10．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，自此开
启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为
的初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为 。物体从刚被抛
出到刚落回月球表面的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设月球表面的重力加速度为 ，则有
解得
根据竖直上抛运动的规律可知，落回月球表面的时间
C正确。
故选C。
11．在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒
438b”。其运行的周期为地球运行周期的p倍，轨道半径为日地距离的q倍。假设该行星绕星的运动与地
球绕太阳的运动均可看做匀速圆周运动，则橙矮星与太阳的质量之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由
解得则橙矮星与太阳的质量之比为
故选B。
12.2024年4月26日凌晨，神舟十八号载人飞船成功对接空间站，题中的照片拍摄于航天员叶光富、李
聪、李广苏进入天和核心舱的瞬间，我们可以看到：一个大质量的包裹悬浮在核心舱中，针对这一情景，
下列同学的观点中正确的是（ ）
A．悬浮的包裹受到地球的吸引力相对于地表可以忽略
B．若推动包裹，航天员所需的推力几乎为零
C．天宫号空间站的加速度比北斗系列同步卫星的加速度小
D．只记录空间站的运行周期可估算地球的密度
【答案】B
【详解】A．依题意，空间站的高度与地球半径相比，相差较大，根据
，
可知悬浮的包裹受到地球的吸引力相对于地表不可以忽略。故A错误；
B．包裹随空间站做匀速圆周运动，所受万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可知，若推动包裹，使
包裹具有加速度，航天员所需的推力几乎为零。故B正确；
C．根据
解得
天宫号空间站的轨道半径比北斗系列同步卫星的小，所以加速度较大。故C错误；
D．根据
又
联立，解得可知只记录空间站的运行周期不能估算地球的密度。故D错误。
故选B。
13.我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、
连续的月球探测和相关技术试验验证。若航天员在月球表面附近高h处以初速度 水平抛出一个小球，测
出小球运动的水平位移大小为L。若月球可视为均匀的天体球，已知月球半径为R，引力常量为G，则下
列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量
C．月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度
【答案】D
【详解】A．由平抛运动特点可得
由以上两式得月球表面的重力加速度
故A错误；
B．由万有引力等于重力得
将 代入上式得月球的质量
故B错误；
C．由牛顿第二定律得
将 代入上式得月球的第一宇宙速度
故C错误；
D．月球的平均密度故D正确。
故选D。
1．天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆时针运行，图表是空间站现阶段
的运行参数。已知 、 是椭圆轨道短轴的两个端点，月球的公转周期为27天。下列说法正确的是（
）
国籍 中国 轨道参数
长度55m 近心点 高度 350km
加压空间体
远心点高度 450km
积
空载质量 110吨 轨道倾角 42°
载人上限 6 轨道周期 90min
A．空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等
B．空间站从 点运行到 点的最短时间小于45分钟
C．月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18倍
D．空间站在远心点的速度一定大于7.9km/s
【答案】B
【详解】A．空间站和月球不是同一物体，运行轨道不同，则空间站与地心连线和月球与地心连线在相等
时间内扫过的面积不相等，故A错误；
B．根据开普勒第二定律，空间站距离地球越近，速度越大，所以空间站从 点运行到 点的时间小于
半个周期，即小于45分钟，故B正确；
C．根据
得故C错误；
D．7.9km/s是第一宇宙速度，是贴着地球表面做匀速圆周运动的速度，根据
轨道半径越大，线速度越小，空间站在远心点的速度一定小于7.9km/s，故D错误。
故选B。
2．P、Q是太阳系中的两个行星，P的半径是Q的2倍。在登陆两行星后，分别在行星表面以速度v竖直
上抛小球，小球返回到抛出点的时间为t；改变抛出时的初速度，画出v与t的函数图像如图所示。将两行
星视为均匀球体，忽略大气阻力和行星自转，下列判断正确的是（ ）
A．行星P和Q表面的重力加速度之比为4：1
B．行星P和Q的第一宇宙速度之比为4：1
C．行星P的质量是Q质量的4倍
D．行星P的密度与Q的密度相等
【答案】D
【详解】A．根据
则v-t图像的斜率 行星P和Q表面的重力加速度之比为
选项A错误；
BD．根据
可得
，
可得行星P和Q的第一宇宙速度之比为2：1，行星P的质量是Q质量的8倍，选项BC错误；
D．行星的密度可得行星P的密度与Q的密度相等，选项D正确。
故选D。
3．我国科研人员利用“探测卫星”获取了某一星球的探测数据，对该星球有了一定的认识。“探测卫星”在
发射过程中，先绕地球做圆周运动，后变轨运动至该星球轨道，绕星球做圆周运动。“探测卫星”在两次圆
周运动中的周期二次方 与轨道半径三次方 的关系图像如图所示，其中P实线部分表示“探测卫星”绕
该星球运动的关系图像，Q实线部分表示“探测卫星”绕地球运动的关系图像，“探测卫星”在该星球近表面
和地球近表面运动时均满足 ，图中c、m、n已知，则（ ）
A．该星球和地球的质量之比
B．该星球和地球的第一宇宙速度之比
C．该星球和地球的密度之比为
D．该星球和地球表面的重力加速度大小之比为
【答案】B
【详解】A．根据万有引力提供向心力可得
联立可得
图像的斜率为
该星球和地球的质量之比
故A错误；
B．“探测卫星”在该星球近表面和地球近表面运动时均满足 ，则
则根据万有引力提供向心力可得
可得
该星球和地球的第一宇宙速度之比
故B正确；
C．体积为
密度为
该星球和地球的密度之比为
故C错误；
D．根据万有引力与重力的关系
该星球和地球表面的重力加速度大小之比为
故D错误。
故选B。
4．有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时
间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已
知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】每隔时间t会发生一次“相冲”现象，得
根据万有引力提供向心力联立解得地球质量为
故选D。
5．某颗人造航天器在地球赤道上方做匀速圆周运动的绕行方向与地球自转方向相同（人造航天器周期小
于地球的自转周期），经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与地球的
中心连线扫过的角度为 ，引力常量为G，地球的同步卫星的周期为T，下列说法正确的是（ ）
A．地球的半径为
B．地球的质量为
C．地球的第一宇宙速度为
D．航天器相邻两次距离南海最近的时间间隔为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，航天器的线速度和角速度分别为
，
根据
可得航天器的轨道半径为
则地球半径满足
故A错误；
B．航天器绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得地球的质量为
故B错误；
C．地球的第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，则地球的
第一宇宙速度大于航天器的线速度，则有故C错误；
D．航天器的周期为
设航天器相邻两次距离南海最近的时间间隔为 ，则有
解得
故D正确。
故选D。
6．如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相
切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为 ，卫星1和卫星2的环绕周期之
比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为 。则星球的平均密度为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为
，
由开普勒第三定律得
整理得星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得
星球质量的表达式为
联立得
故选A。
18．宇宙世界含有大量的未知星体，判断星体的物质组成需要估算该星体的平均密度，现在发射航天器在
该星体表面绕球心飞行，假定该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为 ，则要估算该星体的平均密
度，只需测量出（ ）
A．航天器的质量 B．航天器的体积
C．未知星体的质量 D．航天器飞行一周的时间
【答案】D
【详解】设该行星的质量为M，半径为R，航天飞船的质量为m，绕行周期为T，根据公式
联立解得
因此只需测出航天器飞行一周的时间就可以估算出星体的平均密度，D正确。
故选D。
8．（多选）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，早在《淮
南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，如图所示为北
半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据下图，下列说
法正确的是（ ）A．芒种时地球公转速度比小满时小
B．芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C．立春时地球公转的加速度与立秋时大小相等
D．春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
【答案】AB
【详解】A．从图中我们可以着到，冬至时地球位于近日点附近，公转速度最快。随着地球向远日点移
动，公转速度逐渐减慢。因此，芒种 （位于远日点附近）时的公转速度应该比小满 （位于近日点和远日
点之间）时慢，故A正确；
B．地球公转轨道是椭圆形的，但轨道上的速度并不是均匀分布的。由于公转速度的变化，芒种到小暑的
时间间隔与大雪到小寒的时间间隔并不相等。从图中可以看出，芒种到小暑的时间间隔要大于大雪到小寒
的时间间隔。故B正确；
C．地球公转的加速度与地球到太阳的距离有关。立春时和立秋时，地球到太阳的距离并不相等（立春时
离
太阳较近，立秋时离太阳较远），因此公转加速度也不相等，故C错误；
D．春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始，但它们并不刚好将一
年的时间分为四等份。实际上，由于地球公转轨道是椭圆形的，各季节的长度并不相等，故D错误。
故选AB。
9．（多选）近年来我国在航天、天文领域已取得突出成就。2023年7月10日，经国际天文学联合会小行
星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗
星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为
3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心距离为4.86天文单位。若只考虑太阳对行星
的引力，下列说法正确的是（ ）
A．“樊锦诗星”与地球的自转周期比约为
B．由于“樊锦诗星”与地球分别绕太阳运动的轨道不在同一平面内，所以他们之间不适用“开普勒第三
定律”C．“樊锦诗星”在近日点的加速度与地球的加速度大小之比为
D．“樊锦诗星”在远日点的线速度小于地球的公转线速度
【答案】CD
【详解】AB．“樊锦诗星”与地球都绕太阳运动，适用于开普勒第三定律，则有
解得“樊锦诗星”与地球的公转周期比约为 ，故AB错误；
CD．根据万有引力提供向心力有
解得
，
“樊锦诗星”在近日点到太阳中心的距离满足
解得
天文单位
则 “樊锦诗星”在近日点的加速度与地球的加速度大小之比为 ；“樊锦诗星”在远日点变轨到更大的
圆周轨道时，需加速，根据 可知更大圆周轨道的线速度小于地球的公转线速度，所以“樊锦诗
星”在远日点的线速度小于地球的公转线速度，故CD正确；
故选CD。
10．（多选）某国产手机新品上市，持有该手机者即使在没有地面信号的情况下，也可以拨打、接听卫星
电话。为用户提供语音、数据等卫星通信服务的“幕后功臣”正是中国自主研制的“天通一号”卫星系统，该
系统由“天通一号”01星、02星、03星三颗地球同步卫星组成。已知地球的自转周期为T，地球的半径为
R，该系统中的卫星距离地面的高度为h，电磁波在真空中的传播速度为c，引力常量为G。下列说法正确
的是（ ）
A．可求出地球的质量为
B．“天通一号”01星的向心加速度大于静止在赤道上的物体的向心加速度
C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，运行轨道会逐渐降低，速度会变大
D．该手机向此卫星系统发射信号后，至少需要经过时间 才接收到信号
【答案】BC【详解】A．根据万有引力提供向心力，有
可知地球的质量为
故A错误；
B．根据
，
可知“天通一号”01星的向心加速度
静止在赤道上的物体的向心加速度
则
故B正确；
C．“天通一号”01星若受到阻力的影响，运行轨道会逐渐降低，即轨道半径会逐渐减小，根据
有
可知r变小，v变大。故C正确；
D．该手机信号从发射到返回至该手机，路程至少为2h，所需时间至少为
故D错误。
故选BC。
11．（多选）中国科学院高能物理研究所公布：在某高海拔观测站，成功捕获了来自天鹅座万年前发出的
信号。若在天鹅座处有一质量均匀分布的球形“类地球”行星，其密度为ρ，半径为R，自转周期为T0 ，公
转周期为T，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．该“类地球”行星表面两极的重力加速度大小为
B．该“类地球”行星的同步卫星运行速率为C．该“类地球”行星的同步卫星轨道半径为
D．在该“类地球”行星表面附近做匀速圆周运动的卫星的运行速率为
【答案】AD
【详解】A．设行星表面物体质量为 ，该“类地球”行星表面两极的重力加速度大小为
其中
解得
A正确；
B．设该“类地球”行星的同步卫星运动轨道半径为 ，则运行速率为
B错误；
C．设行星的同步卫星质量为 ，由万有引力提供向心力，可得
该“类地球”行星的同步卫星轨道半径为
C错误；
D．在该“类地球”行星表面附近做匀速圆周运动的卫星，设其质量为 ，由万有引力提供向心力，可得
解得
D正确。
故选AD。
