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第 57 讲 带电粒子在电场中的曲线运动
a
（多选）1．（2022•浙江）如图为某一径向电场示意图，电场强度大小可表示为 E= ，a为常量。
r
比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
一.知识回顾
1．电粒子在电场中的偏转问题
(1)条件分析：带电粒子的初速度方向跟电场方向垂直。
(2)运动性质：类平抛运动。
(3)处理方法：利用运动的合成与分解。
①沿初速度方向：做匀速直线运动，运动时间t＝。
②沿电场方向：做初速度为零的匀加速直线运动。
③运动过程，如图所示：
④基本关系式：
加速度：a＝＝＝。
在电场中的运动时间：t＝。
速度
v＝，tanθ＝＝。
位移（y通常称为偏转量）偏转角θ的正切值：tan θ＝＝＝.
（4）两个推论
①不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度和偏移
量y总是相同的。
证明：由qU＝mv及tanθ＝，得tanθ＝。由qU＝mv及y＝，得y＝。
0 0
②粒子经电场偏转射出后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中
点，即O到极板边缘的水平距离为。
2.示波管
（1）构造
示波管的构造如图所示，它主要由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。
（2）工作原理
(1)如果在偏转电极XX′之间和偏转电极YY′之间都没有加电压，电子束从电子枪射出后沿直
线运动，打在荧光屏中心，在那里产生一个亮斑。
(2)示波管的YY′偏转电极上加的是待测的信号电压，XX′偏转电极通常接入仪器自身产生的
锯齿形电压，叫作扫描电压。如果信号电压是周期性的，并且扫描电压与信号电压的周期相同，就
可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图像。
（3）相关计算
在示波管模型中，带电粒子经加速电场U加速，再经偏转电场U偏转后，需要经历一段匀速直
1 2
线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P，如图所示。
①确定最终偏移距离
思路一：
思路二：
→――→
②确定偏转后的动能(或速度)
思路一：思路二：
3. 带电粒子在匀强电场中偏转问题的两种求解思路
(1)运动学与动力学观点
运动学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：
①带电粒子初速度方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动。
②带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲线运动(类平抛运动)。
当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采取类似平抛运动的解决方法。
(2)功能观点：首先对带电体受力分析，再分析运动形式，然后根据具体情况选用公式计算。
①若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末
状态及运动过程中动能的增量。
②若选用能量守恒定律，则要分清带电体在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加
的，哪些能量是减少的。
二.例题精析
题型一：偏转
例1．先后让一束电子和一束氢核通过同一对平行板形成的偏转电场．在下列两种情况下，分别求
出电子偏角的正切与氢核偏角的正切之比．
（1）电子与氢核的初速度相同．
（2）电子与氢核的初动能相同．
题型二：加速后偏转（示波管模型）
例2．如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场
加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板 M、N形成的偏转电场中
（偏转电场可视为匀强电场），电子进入 M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电
场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U ，M、N两板间的电压为U ，两板间的距离为
1 2
d，板长为L，偏转电场的右端距离荧光屏的距离为l，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子
重力。（1）求电子穿过A板时的速度大小v ；
0
（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y；
（3）求OP的距离Y；
（4）电子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U 的比叫做示波器的灵敏度，分析说明可采
2
用哪些方法提高示波器的灵敏度。
三.举一反三，巩固练习
1. （多选）如图所示的xOy坐标系中，x轴上固定一个点电荷Q，y轴上固定一根光滑
绝缘细杆（细杆的下端刚好在坐标原点O处），将一个套在杆上重力不计的带电圆环（视为质
点）从杆上P处由静止释放，圆环从O处离开细杆后恰好绕点电荷Q做圆周运动。下列说法正
确的是（ ）
A．圆环沿细杆从P运动到O的过程中，速度可能先增大后减小
B．圆环沿细杆从P运动到O的过程中，加速度可能先增大后减小
C．增大圆环所带的电荷量，其他条件不变，圆环离开细杆后仍然能绕点电荷做圆周运动
D．将圆环从杆上P的上方由静止释放，其他条件不变，圆环离开细杆后仍然能绕点电荷做圆周
运动
2. 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中 M点以相同速度垂直于电场线
方向飞出a、b两个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示．则（ ）A．a一定带正电，b一定带负电
B．a的速度将减小，b的速度将增加
C．a的加速度将减小，b的加速度将增加
D．两个粒子的动能，一个增加一个减小
3. 如图所示，A、B是真空中的两个等量异种点电荷，M、N、O是AB连线的垂线上的
点，且AO＞OB，一带负电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线所示，M、N为
轨迹和垂线的交点，设M、N两点的场强大小分别为E 、E ，电势分别为 、 ，下列说法
M N M N
中正确的是（ ） φ φ
A．E 小于E
M N
B．点电荷A一定带正电
C． 大于
M N
D．φ此试探电φ荷在M处的电势能小于N处的电势能
4. （多选）如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线 1、2、3，已
知MN＝NQ，带电量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在
电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（ ）
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度减小，b加速度增大C．MN两点电势差|U |等于NQ两点电势差|U |
MN NQ
D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
5. （多选）如图所示，空间有竖直向下的匀强电场E，从倾角30°的斜 面上A点平抛一
带电小球，落到斜面上的B点，空气阻力不计，下列说法中正确的是（ ）
A．若将平抛初速度减小一半，则小球将落在AB两点的中点
B．平抛初速度不同，小球落到斜面上时的速度方向与斜面间的夹角不同
C．平抛初速度不同，小球落到斜面上时的速度方向与斜面间夹角正切值一定相同，等于
2tan30°
D．若平抛小球的初动能为6J，则落到斜面上时的动能为14J
6. （多选）倾角为 的斜面上部存在竖直向下的匀强电场．两带电量分别为 q q 质量分
1 2
别为m 、m 的粒子以速度θv 、v 垂直电场射入，并在斜面上某点以速度 v ′、v ′射出，在
1 2 1 2 1 2
电场中的时间分别为t 、t ．入射速度为v 的粒子射的更远，如图所示，不计粒子重力．下列
1 2 2
说法正确的是（ ）
A．若v ＜v ，则t ＜t
1 2 1 2
B．若v ＝v ，则q q
1 2 1＞ 2
m m
1 2
C．若v ＞v ，则v ′＜v ′
1 2 1 2
D．若v ＝v ，则v ′＝v ′
1 2 1 2
7. （多选）空间某区域存在着电场，电场线在竖直面上的分布如图所示。一个质量为
m、电量为q的小球在该电场中运动，经过A点时的速度大小为v ，方向水平向右；经过B点
1
时的速度大小为v ，方向与水平方向之间夹角为 。A、B两点之间的高度差和水平距离均为
2
H，则以下说法正确的是（ ） αA．A、B两点的电场强度的大小关系为E ＞E
A B
1 1
B．小球从A运动到B的过程静电力做功为 mv 2- mv 2﹣mgH
2 1
2 2
C．小球运动到B点时，其重力的瞬时功率为P＝mgv sin
2
m α
D．若小球带正电，则A、B两点间的电势差为 （v 2﹣v 2+2gH）
2 1
2q
8. （多选）一带电粒子在正电荷形成的电场中，运动轨迹如图所示的 abcd曲线，下列
判断正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．粒子通过a点时的速度比通过b点时大
C．粒子在a点受到的电场力比b点小
D．粒子在a点时的电势能比b点大
9. 如图所示，质量m＝5×10﹣8kg的带电粒子，以初速v ＝2m/s的速度从水平放置的平
0
行金属板A、B的中央，水平飞入电场，已知金属板长 0.1m，板间距离d＝2×10﹣2m，当U
AB
＝1000V时，带电粒子恰好沿直线穿过电场，若两极板间的电势差可调，要使粒子能从两板间
飞出，U 的变化范围是多少？（g取10m/s2）
AB10. 如图所示，质量为m、电荷量为e的粒子从A点以v 的速度沿垂直电场线方向的直线
0
AO方向射入匀强电场，由B点飞出电场时速度方向与AO方向成45°，已知AO的水平距离为
d。（不计重力）求：
（1）从A点到B点用的时间；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）AB两点间电势差。
