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第22课 二倍角公式（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦的和差公式对原式进行展开，平方后再利用 ， ，去进
行整理可得 .
【详解】因为 ，所以 ，平方后可得
，整理得 ，所以 .
故选：D.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．3．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得 ，结合 ，
利用二倍角公式可求出 .
【详解】 ，
，
得 ，
得 ，
可得 ，
， ， ，
又 ，
得 ，
解得 .
故选：A
4．（2022秋·江苏南京·高二南京师大附中校考开学考试）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 可得 ，再代入 ，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】令 可得 ，故 ，则
故选：C
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】选项A：由 ， ，可知 为锐角，
且 ，解得 ， 且 ，
所以 ，故A错误；
选项B：因为 ， ，因此 ，故B正确；
选项C：因为 且 ．
所以 ，所以C正确；
选项D：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以D正确．
故选：BCD
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，则关于 的性质说法正确的有（ ）
A．偶函数 B．最小正周期为
C．既有最大值也有最小值 D．有无数个零点
【答案】CD
【分析】根据二倍角的余弦公式，结合正弦函数的单调性、周期的定义、偶函数的定义、零点的定义逐一
判断即可.
【详解】A：因为 ，所以该函数不是偶函数，因此本选项
说法不正确；
B：因为 ，所以该函数最小正周期不是 ，因此本
选项说法不正确；
C：因为 ，当 时，该函数有最大值，当
时，该函数有最小值，因此本选项说法正确；
D： ，则有 ，解得 ，或 ，
即 ，或 ，或 ，因此本选项说法正确，
故选：CD
7．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知函数 ，则
（ ）
A． 的最大值为3 B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减【答案】BC
【分析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简 ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选
项的正误即可求解.
【详解】
所以 的最大值为 ，故选项A不正确；
的最小正周期为 ，故选项B正确；
因为 ，解得： ，所以直线 是 的图象的对称轴，故选项C正确；
令 ，解得： ，
所以 在区间 和 单调递减，在 上单调递增，故选项D不正确，
故选：BC.
三、填空题
8．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先求得 ，再去求 的值即可解决.
【详解】由 ，
可得
则 ，
故答案为：9．（2023春·江苏·高一期中）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式，二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】因 ，所以
故答案为：
四、解答题
10．（2023春·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数 ，且 ．
(1)求 的值和 的最小正周期；
(2)求 在 上的单调递增区间．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）根据 代入求出 ，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以
，即 ，所以 的最小正周期 ；
（2）由 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，
当 时 的单调递增区间为 ，
当 时 的单调递增区间为 ，
所以 在 上的单调递增区间为 ， .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2019·全国·高考真题）已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】 ， ．
，又 ， ，又 ， ，
故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，
运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很
关键，切记不能凭感觉．二、多选题
2．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）下列四个等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据两角和的正切可判断A的正误，根据同角的三角函数基本关系式及诱导公式可判断B的正误，
根据倍角公式可判断C的正误，根据辅助角公式可判断D的正误.
【详解】∵ ，
∴ ，所以A正确；
∵设 ，
则 ，
而 ，故 即 ，故B错误.
，所以C错误，
，所以D正确，
故选：AD．三、填空题
3．（2023·四川·校联考模拟预测）若 ， ，则
【答案】
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】 ，
， ，
， ，
，
所以 .
故答案为：
四、解答题
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四边形 中，
(1)求角 的值；
(2)若 ， ，求四边形 的面积【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得 ，再判断得 ，结合
，即可求解得 ；（2）由余弦定理求解得 ，再由正弦定理以及 ，可
得 ，从而解得 ，然后计算 和 面积的和即可.
【详解】（1）
，
因为 ，得 ，
或 ，
解得 或 ，因为 ，得 ，
（2）在 中， ，
在 中， ，
，
， ，得 ，，所以四边形 的面积为
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线 是函数 的一条对称轴
D．方程 有且仅有一个实数根
【答案】ABD
【分析】利用函数 的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性
定理分析判断D作答.
【详解】显然， ，即函数 是偶函数，
又 ，函数 是周期函数， 是它的一个周期，B
正确；
当 时， ， 的最小值为 ，最大值为 ，
即当 时， 的取值集合是 ，因 是偶函数，则当 时， 的取值集合是
，
因此，当 时， 的取值集合是 ，而 是 的周期，所以 ， 的值域为
，A正确；因 ， ，即函数 图象上的点 关于直线 的对称点 不在此函数图
象上，C不正确；
因当 时，恒有 成立，而 的值域为 ，方程 在 上无零点，
又当 或 时， 的值与 的值异号，即方程 在 、 上都无零点，
令 ， ，显然 在 单调递减，
而 ， ，于是得存在唯一 ，使得 ，
因此，方程 在 上有唯一实根，则方程 在 上有唯一实根，又 定义
域为 ，
所以方程 有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，存在常数a使得
，则函数 图象关于直线 对称.
二、填空题
2．（2022·高二单元测试）若函数 在 内单调递增，则实数 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】求出函数 的导数，由给定条件可得 恒成立，再分类讨论作答.
【详解】因函数 在 内单调递增，则 ， ，
即 ，整理得 ，当 时，则 成立， ，
当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则有 ，
当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则有 ，
综上得，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
