25周洋鑫强化数一线代概统_考研_数学_05.周洋鑫_25周洋鑫《线代概率强化》做题本_数一

周洋鑫强化 · 目录 第一章行列式 ......................................................................................................................................................... 3 专题1.行列式定义、性质与计算 .......................................................................................................... 3 第二章矩阵 ........................................................................................................................................................... 12 专题2 矩阵的运算 ................................................................................................................................... 12 专题3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 ................................................................................................. 16 第三章向量与方程组 ........................................................................................................................................ 23 专题4 线性相关性 ................................................................................................................................... 23 专题5-向量空间 ....................................................................................................................................... 27 专题6.线性方程组 ................................................................................................................................... 28 专题7．矩阵方程 .................................................................................................................................... 34 专题8.线性方程组的同解与公共解 .................................................................................................. 37 第四章特征值 ...................................................................................................................................................... 40 专题9 特征值与特征向量..................................................................................................................... 40 专题10 矩阵相似与相似对角化 ........................................................................................................ 42 第五章二次型 ...................................................................................................................................................... 48 专题11 二次型 .......................................................................................................................................... 48 第一章随机事件及其概率 ............................................................................................................................... 53 专题12 随机时间求概率 ....................................................................................................................... 53 第二章一维随机变量及其分布 ..................................................................................................................... 61 专题13 一维随机变量 ........................................................................................................................... 61 专题14 一维随机变量函数的分布 .................................................................................................... 68 第三章二维随机变量及其分布 ..................................................................................................................... 70 专题15 二维随机变量 ........................................................................................................................... 70 专题16 二维随机变量函数的分布 .................................................................................................... 73 第四章随机变量的数字特征 .......................................................................................................................... 77 专题17 二维随机变量 ........................................................................................................................... 77 第 1 页，共93页周洋鑫强化 · 目录 第五章大数定律与中心极限定理 ................................................................................................................ 83 专题18 数理统计预备知识 .................................................................................................................. 83 第六章数理统计 .................................................................................................................................................. 86 专题19 数理统计的基本概念 ............................................................................................................. 86 专题20 参数估计、假设检验 ............................................................................................................. 90 第 2 页，共93页周洋鑫强化 · 1.行列式 第一章 行列式 专题 1.行列式定义、性质与计算 题型1代数余子式相关考题 p6强化1已知四阶行列式 第 3 页，共93页 D 4 = 1 0 3 − 1 2 2 − 3 1 − 1 t 2 2 1 1 2 1 ,且 A ij 为元素 a ij 的代数余子式.若 A 3 1 − A 3 2 + 2 A 3 3 − A 3 4 = 0 ,则 t = _________. 【刻意练习】设已知四阶行列式 D 4 = 1 − − − 1 1 1 − 1 − − 1 1 1 − − 1 − 1 1 1 − − − 1 1 1 1 ,且 A ij 为元素 a ij 的代数余子式,则 4 i= 1 4 j= 1 A ij = ________.周洋鑫强化 · 1.行列式 1 2 3 4 5 2 2 2 1 1 【刻意练习】已知5阶行列式D = 3 1 2 4 5 =27,且A 为元素a 的代数余子式,则 5 ij ij 1 1 1 2 2 4 3 1 5 0 第 4 页，共93页 A 4 1 + A 4 2 + A 4 3 = _________, A 4 4 + A 4 5 = __________. p8强化2设 n 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 阶行列式为 A = 0 0 1 1 1 ,则 0 0 0 0 1 A 中所有元素的代数余子式之和 n i= 1 n j= 1 A ij = _________.周洋鑫强化 · 1.行列式 p8强化3设四阶行列式为 第 5 页，共93页 D 4 = 0 0 0 1 5 1 2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 4 0 ,则 D 4 中所有元素的代数余子式之和为_________. p9强化4(2021年)设 A = ( a ij ) 为3阶矩阵,A 为元素a 的代数余子式.若 ij ij A 的每行元素之和均为2,且 A = 3 ,则 A 1 1 + A 2 1 + A 3 1 = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 1.行列式 题型2数值型行列式的计算 p10强化5(基础题)计算 第 6 页，共93页 D n = x a a a a x a a a a x a a a a x a b 0 0 0 0 a b 0 0 p10强化6(基础题)计算D = =__________. a 0 0 0 a b b 0 0 0 a 0 a b 0 a 0 0 b p11强化7.(基础题)行列式 . 0 c d 0 c 0 0 d周洋鑫强化 · 1.行列式 p11强化8若 第 7 页，共93页 a i  0 , i = 1 , 2 , 3 , 4 ,行列式 1 + 1 1 1 a 1 1 + 1 1 1 a 2 1 + 1 1 1 a 3 1 + 1 1 1 a 4 = _________. p11强化9行列式 x 1 1 1 + 1 x − − − 1 1 − 1 1 x 1 + 1 1 1 x − − − − 1 1 1 1 = __________. p12强化10(基础题) n 2 0 0 2 −1 2 0 2 阶行列式 =________. 0 0 2 2 0 0 −1 2周洋鑫强化 · 1.行列式 a+b ab 1 a+b ab p12强化11若ab,n阶行列式D = 1 a+b =________. n ab 1 a+b p13强化12设A= ( a ) ,其中a =maxi, j,求行列式 ij ij 66 第 8 页，共93页 A = _________. 题型3抽象型行列式的计算 p14强化13设A为3阶矩阵, A * 0 1 2   为A的伴随矩阵,若A= 0 3 4 ,则行列式    5 0 0   1 3 A *  − 1 − ( 2 A − 1 ) * = __________.周洋鑫强化 · 1.行列式 p14强化14设矩阵 第 9 页，共93页 A =  2 1 0 1 2 0 0 0 1  ,矩阵 B 满足 A B A * = 2 B A * + E ,其中 E 为3阶单位矩阵,则 B = __________. p14强化15设A是一个 n 阶方阵,且行列式为 A = 1 , a 是一个 n A a 维列向量.若 =0,则 aT  A a T a  = __________. p15强化16已知A是3阶矩阵 1 , 2 , 3  是3维线性无关的列向量.若A =−, A = −, 1 1 2 2 2 3 A 3 3 1    = + ,则行列式 A =________.周洋鑫强化 · 1.行列式 p15强化17设,,是3维列向量,记矩阵 1 2 3 第 10 页，共93页 A ( 1 , 2 , 3 )    = .且行列式为 A =1,若 B ( 1 2 3 , 1 2 2 4 3 , 1 3 2 9 3 )          = + + + + + + ,则 B = ___________. p15强化18(2010年)设 A , B 均为3阶矩阵,且行列式 A = 3 , B = 2 , A − 1 + B = 2 ,则行列式 A + B − 1 = ________. p16强化19设 A , B 均为 n 阶正交矩阵,且 A = − B ,则行列式 A + B = ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 1.行列式 p16强化20设A是n阶正交矩阵,且行列式 第 11 页，共93页 A  0 ,则行列式 A + E = ________. p16强化21设A= ( a )是3阶非零矩阵, ij A 为 A 的行列式, A ij 为 a ij 的代数余子式.若 a ij + A ij = 0 ( i , j = 1 , 2 , 3 ) ,则 A = ________. 1 0 −1   p17强化22设矩阵A= 0 0 0 ,    2 0 −2  n 为正整数,a为常数,则行列式 a E − A n = _________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 第二章 矩阵 专题2 矩阵的运算 题型1方阵的 第 12 页，共93页 n 次幂问题 p23强化23已知 A =  1 2 3 2 4 6 − − − 1 2 3  ,则 A n = ________.  1 0   p23强化24设矩阵A= 0  1 ,则An =________.    0 0   3 1 0 0   0 3 0 0 p24强化25设A= ,则 0 0 1 0   0 0 0 1 A n = _________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p24强化26设矩阵 第 13 页，共93页 A =  1 0 1 0 2 0 1 0 1  ,而 n  2 且为正整数,则 A n − 2 A n − 1 = _________. 题型2逆矩阵的运算及矩阵方程的求解 p26强化27设矩阵 A =  3 1 0 0 4 0 0 0 3  ,则 ( A − 2 E ) − 1 = _________. p26强化28设矩阵 A =  1 2 0 0 3 0 0 0 5  ,则 ( 2 A − 1 − E ) − 1 A * = ________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p27强化29已知矩阵 第 14 页，共93页 A =  1 1 0 0 2 3 0 0 0 0 0 − 1 0 0 2 0  ,且   1 2 A  *  − 1 B A − 1 = 2 A B + 1 2 E ,其中 A * 是 A 的伴随矩阵,则 矩阵 B = _________. p27强化30设为n维单位列向量,E为 n 阶单位矩阵,则( ). A. E T  − 不可逆. B. E + α α T 不可逆. C.E+2T不可逆. D.E−2ααT不可逆.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p28强化31设A为n阶非奇异矩阵,为 第 15 页，共93页 n 维列向量, b 为常数,记分块矩阵 P E T A * O A ,  Q A T b =  −    =   ,其中 A * 是矩阵 A 的伴随矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ; (2)证明:矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 α T A − 1 α  b . p28强化32设 A , B 为 n 阶可逆矩阵, E 为 n 阶单位矩阵, M * 为矩阵 M 的伴随矩阵,则  A O E B  * = ( ) .  A B* −B*A* A. . B.  0 B A*     A O B * − A B * A B * *  . C.  B O A * − B A * A B * *  . D.  B O A * − A A * B B * *  .周洋鑫强化 · 2.矩阵 专题3 矩阵的初等变换与矩阵的秩 题型1涉及初等变换的考题 p32强化33 第 16 页，共93页 A 为3阶矩阵,将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ,再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵, 1 0 0 1 0 0     记P = 1 1 0 ,P = 0 0 1 ,则A=( ). 1   2       0 0 1 0 1 0 A.PP B.P−1P C.PP D.PP−1 1 2 1 2 2 1 2 1 p32强化34设A为 n ( n  2 ) 阶可逆矩阵,交换 A 的第1行与第2行得矩阵B,A*、B*分别为 A 、 B 的伴 随矩阵,则( ). A.交换A*的第1列与第2列得 B * . B.交换 A − 1 的第1行与第2行得 B − 1 . C.交换A 的第1列与第2列得 − B * . D.交换 A − 1 的第1行与第2行得−B−1. 1 0 0 a+2c 0 c     p33强化35设A为三阶矩阵,P= 0 1 0 ,若PTAP2 = 0 b 0 ,则A=( )         1 0 1  2c 0 c c 0 0 b 0 0 a 0 0 c 0 0         A. 0 a 0 B. 0 c 0 C. 0 b 0 D. 0 b 0                 0 0 b 0 0 a 0 0 c 0 0 a周洋鑫强化 · 2.矩阵 p33强化6设 第 17 页，共93页 A 为3阶可逆矩阵,且 A = − 2 ,若将 A 第1列的2倍加到第3列上,得到矩阵B,则 A + B = _________. p33强化37设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且 P − 1 A P =  1 0 0 0 1 0 0 0 2  ,若 P ( 1 , 2 , 3 ) , Q ( 1 2 , 2 , 3 )        = = + ,则 Q − 1 A Q = _______. 题型2求矩阵的秩 p34强化38设矩阵A 的秩 mn r ( A ) = m ,则下述结论正确的是( ). A.A的任意 m 个列向量必线性无关 B.A的任意一个 m 阶子式不等于零 C.若矩阵 B 满足 B A = 0 ,则 B = 0 D. A 通过初等行变换,必可以化为E 0的形式 m周洋鑫强化 · 2.矩阵 a b b b   b a b b   p35强化39设n阶矩阵A=b b a b,求      b b b a  第 18 页，共93页 r ( A ) . p35强化40设 A =  a a a 1 2 n b b b 1 1 1 a a a 1 2 n b b b 2 2 2 a a a 1 2 n b b b n n n  ,其中 a i  0 , b i  0 ( i = 1 , 2 n ) .则矩阵 A 的秩 r ( A ) = ________.周洋鑫强化 · 2.矩阵 p36强化41设 第 19 页，共93页 , 是3维列向量,矩阵 A T T   = + ,其中 T , T   分别是,的转置.证明: (1) r ( A )  2 ; (2)若,线性相关,则 r ( A )  2 . p36强化42设B是rr矩阵,C是 r  s 矩阵,且r(C)=r.证明: (1)若 B C = O ,则 B = O ; (2)若BC=C,则 B = E .周洋鑫强化 · 2.矩阵 p37【刻意练习】设 第 20 页，共93页 A , B 分别是 3  2 和 2  3 矩阵,且 A B =  − 8 2 2 2 5 4 − 2 4 5  . (1)求证: r ( A ) = r ( B ) = 2 ; (2)求证: B A =  9 0 0 9  . p37强化43设A是5阶矩阵,满足A2 −A=2E,其中 E 是5阶单位矩阵,则秩 r ( A + E ) + r ( A − 2 E ) = ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 2.矩阵 p37强化44 第 21 页，共93页 A 为4阶矩阵,若 A ( A − A * ) = 0 ,且 A  A * ,则r(A)可能为( ). A.0或1 B.1或3 C.2或3 D.1或2 p38强化45(2018年)设 A , B 为 n 阶矩阵,记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩, ( X Y ) 表示分块矩阵,则( ). A.r(A AB)=r(A). B. r ( A B A ) = r ( A ) . C.r(A B)=max  r(A),r(B). D. r ( A B ) = r ( A T B T ) . P38强化46(2021年)设 A , B 为 n 阶实矩阵.下列结论不成立的是( ). A O  A.r =2r(A). B. O ATA r  A 0 A A B T  = 2 r ( A ) . A BA   A O  C.r =2r(A). D.r =2r(A). O AAT  BA AT 周洋鑫强化 · 2.矩阵 P38强化47(2023年)已知 第 22 页，共93页 n 阶矩阵A,B,C满足 A B C = O , E 为 n 阶单位矩阵.记矩阵  O B C A E  ,  A O B C E  ,  A E B A O B  的秩分别为 r1 , r 2 , r3 ,则( ). A.r r r . B. 1 2 3 r1  r3  r2 . C. r3  r1  r 2 . D. r2  r1  r3 .周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 第三章 向量与方程组 专题4 线性相关性 题型1线性相关性的判定 p42强化48(基础题)设 第 23 页，共93页 1 ( 1 , 0 , 5 , 2 ) , 2 ( 3 , 2 , 3 , 4 ) , 3 ( 1 ,1 , t , 3 )    = = − − = − 线性相关,则 t 满足__________. p43强化49设向量组 1 , 2 , 3  线性无关,则以下向量组中线性相关的是( ). A.+, +, + B.2+,2 +,2 +, 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 C.+2, +2, +2 D. 1 2 2 3 3 1 1 2 , 2 3 , 1 3       − − − p43强化50设,,均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组+k, +l线性无关是向量组 1 2 3 1 3 2 3 ,,线性无关的( ). 1 2 3 A.必要非充分条件. B.充分非必要条件. C.充分必要条件. D.既非充分也非必要条件.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p44强化51设 第 24 页，共93页 1 , 2 , , s  均为 n 维列向量, A 是 m  n 矩阵,下列选项正确的是( ). A.若 1 , 2 , , s  线性相关,则A,A, ,A线性相关 1 2 s B.若 1 , 2 , , s  线性相关,则A,A, ,A线性无关 1 2 s C.若 1 , 2 , , s  线性无关,则A,A, ,A线性相关 1 2 s D.若,, ,线性无关,则A,A, ,A线性无关 1 2 s 1 2 s p44强化52设A是 n  m 矩阵, B 是 m  n 矩阵,且 m  n .若 A B = E ,则必有( ). A.矩阵 A 与 B 的行向量组都线性无关. B.矩阵 A 与 B 的列向量组都线性无关. C.矩阵 A 的行向量组线性无关, B 的列向量组线性无关. D.矩阵 A 的列向量组线性无关, B 的行向量组线性无关. p45强化53下列向量组中,线性无关的是( ). A.(1,2,3,4)T ,(2,3,4,5)T ,(0,0,0,0)T B.(1,2,−1)T ,(3,5,6)T ,(0,7,9)T ,(1,0,2)T C. ( a ,1 , 2 , 3 ) T , ( b ,1 , 2 , 3 ) T , ( c , 3 , 4 , 5 ) T , (1 , 0 , 0 , 0 ) T D. ( a ,1 , b , 0 , 0 ) T , ( c , 0 , d , 6 , 0 ) T , ( a , 0 , c , 5 , 6 ) T周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p45强化54已知向量: =(1,1,1,1,1), =(1,−1,1,−1,1), =(1,1,1,−1,−1), =(−1,1,−1,1,−1), 1 2 3 4 第 25 页，共93页 5 ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) ,  = − − − − 6 ( 1 ,1 , 1 , 1 , 1 )  = − − − .若,, , 线性无关,,, , , 线性相关,则 1 2 k−1 1 2 k−1 k k 的 最小值为_________. p46强化55设A是n阶矩阵,是 n 维列向量,若 A m 1 O , A m 0   −  = ,试证明向量组 , A , A 2 , , A m 1     − 线性无关. p46强化56设,, ,是Ax=O的基础解系,是非齐次线性方程组Ax=b,试证明向量组 1 2 t 1 , 2 , , t ,      + + + 线性无关.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p46强化57设A为3阶矩阵, 第 26 页，共93页 1 , 2  为 A 的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量 满足 3 A 3 2 3    = + .证明 a 1 , a 2 , a 3 线性无关; 题型2极大无关组的求解 p47强化58设向量组 α 1 = 1 , 0 ,1 , − 1  , α 2 = 1 , − 2 ,1 ,1  , α 3 =  0 , 2 , 0 , − 2  , α 4 =  0 , 2 ,1 , 3  , α 5 =  2 , − 6 , 0 , − 6  ,则下列不是该向量 组极大无关组的是( ). A. B. C. D. 1 2 4 1 2 3 2 3 4 1 2 5周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题 5-向量空间 题型1向量空间、基底、维数及过渡矩阵 p49强化 第 27 页，共93页 5 9 从 R 2 的基 α 1 = ( 1 , 0 ) T , α 2 = ( 1 , − 1 ) T 到基 β 1 = ( 1 ,1 ) T , β 2 = ( 1 , 2 ) T 的过渡矩阵为_________. p49强化60设向量组 1 , 2 , 3  为 R 3 的一个基, 1 2 1 2 k 3 ,    = +  =2, 2 2 3 1 ( k 1 ) 3    = + + . (1)证明向量组 β 1 , β 2 , β 3 为 R 3 的一个基; (2)当 k 为何值时,存在非零向量在基 1 , 2 , 3  与基,,下的坐标相同,并求所有的. 1 2 3周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题 6.线性方程组 题型1齐次线性方程组 p51强化61(基础题)设有齐次线性方程组 第 28 页，共93页  ( 1 2 x 3 x 4 x + 1 1 1 a + + + )( 3 4 x 1 2 + x 2 x 2 + a + + x 2) x ( 3 4 x + 2 + 3 x + a + 3 2 )( + x 4 x + 3 x + 3 4 + a = 0 2 x 4 3 x 4 ) x 4 = = = 0 0 0 ,试问a取何值时,该方程组有 非零解,并求出其通解. p52强化62设3阶矩阵A的第一行是 ( a , b , c ) ,且 a , b , c 不全为零,矩阵 B =  1 2 3 2 4 6 3 6 k  ( k 为常数),且 A B = O ,求线性方程组 A x = O 的通解.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p52强化63设n阶矩阵 第 29 页，共93页 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n − 1 ,则线性方程组 A x = O 的通解为 __________. p53强化64设A=(,,, )是4阶矩阵, 1 2 3 4 A * 为 A 的伴随矩阵.若 ( 1 , 0 ,1 , 0 ) T 是方程组 A x = O 的一个 基础解系,则 A * x = O 的基础解系 ( ) . A. 1 , 3   B. 1 , 2  C. a 1 , a 2 , a 3 D. 2 , 3 , 4    p53强化65设4阶矩阵A= ( a )不可逆, ij a 1 2 的代数余子式 A 1 2 0 , 1 , 2 , 3 , 4     为矩阵A的列向量组, A * 为A的伴随矩阵,则方程组 A * x = 0 的通解为( ). A. x k 1 1 k 2 2 k 3 3    = + + ,其中 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. B.x=k+k +k,其中k ,k ,k 为任意常数. 1 1 2 2 3 4 1 2 3 C.x=k+k +k ,其中 1 1 2 3 3 4 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. D.x=k +k +k,其中k ,k ,k 为任意常数. 1 2 2 3 3 4 1 2 3周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 题型2非齐次线性方程组  1 1 1−a  0      p55强化66设矩阵A= 1 0 a ,β= 1 ,且方程组         a+1 1 a+1 2a−2 第 30 页，共93页 A x = β 无解. (1)求 a 的值; (2)求方程组 A T A x = A T β 的通解. p56强化67设 A =  1 1 a 0  , B =  0 1 1 b  .当 a , b 为何值时,存在矩阵C使得 A C − C A = B ,并求所有矩阵C.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p56强化68设,,是4元非齐次线性方程组 1 2 3 第 31 页，共93页 A x = b 的3个解向量,且 A 的秩 1 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T r ( A ) = 3 ,  = , 2 3 ( 0 ,1 , 2 , 3 ) T , c   + = 表示任意常数,则线性方程组 A x = b 的通解 x = ( ) . 1 1     2 1 A. +c  B. 3 1     4 1  1 2 3 4  + c  0 1 2 3  C.  1 2 3 4  + c  2 3 4 5  D.  1 2 3 4  + c  3 4 5 6  P57强化69设A为43矩阵,,,是非齐次线性方程组 1 2 3 A x  = 的3个线性无关的解,k ,k 为任意 1 2 常数,则 A x  = 的通解为 ( ) .  + A. 2 3 +k ( −) B. 2 1 2 1 2 2 3 k 1 ( 2 1 )     − + −  + C. 2 3 +k ( −)+k ( −) D. 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 k 1 ( 2 1 ) k 2 ( 3 1 )       − + − + −周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 P57强化70已知4阶方阵 第 32 页，共93页 A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , 1 , 2 , 3 , 4         = 均为4维列向量,其中 2 , 3 , 4   线性无关, 1 2 2 3 1 2 2 3      = − = − .如果 1 2 3 4      = + + + ,求非齐次线性方程组 A x  = 的通解. P58强化71设n阶方阵 A ( 1 , 2 , , n )    = 的前 n − 1 个列向量线性相关,后n−1个列向量线性无关, 1 2 n .     = + + + (1)证明:方程组 A x  = 必有无穷多解; (2)求方程组 A x  = 的通解.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 P58强化72设,,,,均为4维列向量,记矩阵 1 2 3 4 第 33 页，共93页 A ( 1 , 2 , 3 , 4 )     = .已知线性方程组 A x  = 的通 解为 x = k 1 ( 1 , 2 , 0 ,1 ) T + k 2 ( − 1 ,1 ,1 , 0 ) T + (1 , − 1 , 2 ,1 ) T , (1)求向量组 1 , 2 , 3 , 4    的一个极大无关组,并把 β 用此极大无关组线性表示; (2)令矩阵 B = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ,证明:方程组 B x = β 有无穷多解,并求通解. 题型3非齐次线性方程组与线性表出 P59强化73已知向量 1 1 0 2 3 , 2 1 1 3 5 , 3 a 1 1 1 2 , 4 a 1 2 4 8 , b 1 1 5 3 .      =   =   =  − +  =  +  =  +  (1) a , b 为何值时,不能表示成 1 , 2 , 3 , 4    的线性组合? (2) a , b 为何值时,可由向量组 1 , 2 , 3 , 4    线性表示?并写出线性表示式,周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题 7．矩阵方程 题型1矩阵方程 p61强化74已知 第 34 页，共93页 a 1 2 a   1 a 2     是常数.且矩阵A= 1 3 0 可经初等列变换化为矩阵B= 0 1 1 .         2 7 −a −1 1 1 (1)求 a ; (2)求满足 A P = B 的可逆矩阵P. 题型2矩阵方程与向量组的表出 p63强化75证明:若向量组a,a , ,a 能由向量组 1 2 m b 1 , b 2 , , b n 线性表出,则向量组的秩有 r ( a 1 , a 2 , , a m )  r ( b 1 , b 2 , , b n ) .周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p63强化76确定常数 第 35 页，共93页 a ,使向量组 1 ( 1 ,1 , a ) T , 2 ( 1 , a ,1 ) T , 3 ( a ,1 ,1 ) T    = = = 可由向量组 β 1 = ( 1 ,1 , a ) T , β 2 = ( − 2 , a , 4 ) T , β 3 = ( − 2 , a , a ) T 线性表示,但向量组 β 1 , β 2 , β 3 不能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. 题型3矩阵等价与向量组等价 p65强化77设A、B、C均为 n 阶矩阵.若 A B = C ,且 B 可逆,则 ( ) A.矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B.矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C.矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D.矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p65强化78设A =(,, , ),B =(,, , ),其中 nm 1 2 m nm 1 2 m 第 36 页，共93页 1 , 2 , , m   线性无关,则 1 , 2 , , m    线性无关的充分必要条件是( ). A.向量组 1 , 2 , , m   可由向量组 β 1 , β 2 , , β m 线性表示 B.向量组 β 1 , β 2 , , β m 可由向量组 α 1 , α 2 , , α m 线性表示 C.向量组 1 , 2 , , m   与向量组 β 1 , β 2 , , β m 等价 D.矩阵A与矩阵B等价 p66强化79已知向量组l: =(1,1,4)T , =(1,0,4)T , = ( 1,2,a2 +3 )T 1 2 3 β 2 = ( 0 , 2 ,1 − a ) T , β 3 = ( 1 , 3 , a 2 + 3 ) T I I :β 1 = ( 1 ,1 , a + 3 ) T , 若向量组 I 与 I I 等价、求 a 的取值,并将 β 3 用 1 , 2 , 3  线性表示.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 专题 8.线性方程组的同解与公共解 题型1线性方程组的同解问题 p67强化80设齐次线性方程组 第 37 页，共93页 A x = O 和 B x = O ,其中 A , B 均为 m  n 矩阵,有4个命题 (1)若Ax=O的解均是Bx=O的解,则秩r(A)r(B) (2)若秩 r ( A )  r ( B ) ,则 A x = O 的解均是 B x = O 的解 (3)若 A x = O 与 B x = O 同解,则秩 r ( A ) = r ( B ) (4)若r(A)=r(B),则 A x = O 与 B x = O 同解 以上命题中正确的个数为__________. p68强化81设A为n阶实矩阵,AT 为 A 转置,则对于线性方程组( I ) A x = O 和( ( I I ) A T A x = O ,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解. B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解. C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(I)的解. D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 p68强化82设A是 第 38 页，共93页 s  n 实矩阵.证明: (1) r ( A T A ) = r ( A ) . (2)对任意 s 维列向量 b ,线性方程组 A T A x = A T b 总有解. p69强化83已知线性方程组(I):  x 2 x 1 x 1 + 1 + 2 + x x 3 2 2 x + + 3 + 2 a x x 5 3 3 x = = = 3 0 0 0 与(II):  x 2 1 x + 1 b + x b 2 2 + x 2 c x + 3 ( = c 0 + 1 ) x 3 = 0 同解.求 a , b , c 的 值.周洋鑫强化 · 3.向量与方程组 题型2线性方程组的公共解问题 x +x +x =0 1 2 3  p70强化84设线性方程组(I):x +2x +ax =0 与方程(II): 1 2 3  x 1 +4x 2 +a2x 3 =0 第 39 页，共93页 x 1 + 2 x 2 + x 3 = a − 1 有公共解,求a的值 及所有公共解. p70强化85已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 =(−1,2,1,0)T , =(4,2,0,1)T,方程(II)为 1 2  3 2 x x x 1 1 2 − + − x a 5 2 x 2 x 3 + + + 2 x x ( 3 3 a = − − 0 2 1 x ) 4 x = 4 = 0 0 . 当a取何值时，方程(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，并求出所有的非零公共解.周洋鑫强化 · 4.特征值 第四章 特征值 专题9 特征值与特征向量 题型1特征值与特征向量的求解 p73强化86已知向量 第 40 页，共93页 a = ( 1 , k ,1 ) T 2 1 1   是矩阵A= 1 2 1 的逆矩阵    1 1 2  A − 1 的特征向量,试求常数 k 的值. p74强化87已知4阶矩阵A满足 A 3 = A (1)证明 A 的特征值不能是0,1,−1之外的数; (2)如果还有 A + 2 E = 8 ,求 A 2 + E .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 4.特征值 p74强化88设3阶矩阵A的特征值为 第 41 页，共93页 1 1 , 2 2 , 3 3    = = = 1   ,对应的特征向量依次为ξ = 1 , 1    1  ξ 3 =  1 3 9  ξ 2 =  1 2 4  , ,又向量 β =  1 2 3  . (1)将用 1 , 2 , 3  线性表示; (2)求Anβ( n 为自然数). p75强化89设3阶矩阵A与B相似,且 3 E + 2 A = 0 , 3 E + B = E − 2 B = 0 ,则行列式 A 的代数余子式 A +A +A =________. 11 22 33周洋鑫强化 · 4.特征值 专题 10 矩阵相似与相似对角化 题型1矩阵相似 周老师在这里好像没有放题，特意确认了一下.(至少在讲义上没有) 题型2相似对角化 p77强化90设A为3阶矩阵, 第 42 页，共93页 1 , 2  为 A 的属于特征值1的线性无关的特征向量, 为 3 A 的属于特征值 -1的特征向量,则满足 P − 1 A P =  1 0 0 0 − 0 1 0 0 1  的可逆矩阵 P 可为( ) A.( +,,−). B. 1 3 2 3 ( 1 2 , 2 , 3 )     + − . C.( +,−, ). D. 1 3 3 2 ( 1 2 , 3 , 2 )     + − . p78强化91已知矩阵 A =  0 2 0 − − 0 1 3 1 0 0  . (1)求A99; (2)设3阶矩阵B=(,,)满足 1 2 3 B 1 = B A .记 B 1 0 0 ( 1 , 2 , 3 )    = .将 1 , 2 , 3   分别表示为 1 , 2 , 3  的线 性组合.周洋鑫强化 · 4.特征值 p79强化92已知矩阵 第 43 页，共93页 A =  − 2 2 0 − 2 x 0 1 − 2 − 2  2 1 0   与B= 0 −1 0 相似.     0 0 y (1)求x,y; (2)求可逆矩阵 P 使得 P − 1 A P = B . p80强化93设数列x ,y 满足 n n  x y n n = = 3 5 x x n − 1 n − 1 + + 4 2 y y n − 1 n − 1 , , x 0 = 7 , y 0 = − 2 ,求通项x ,y . n n周洋鑫强化 · 4.特征值 p80【自我练习】设 第 44 页，共93页 x 1 = x 2 = 1 ,且 x n = x n − 1 + x n − 2 , n = 3 , 4 , ,试用矩阵方法给出数列  x n  的通项. p81强化94下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( ) A.  1 0 0 1 2 0 a 2 3  . B.  1 1 a 1 2 0 a 0 3  . C.  1 0 0 1 2 0 a 0 2  . D.  1 0 0 1 2 0 a 2 2  .周洋鑫强化 · 4.特征值 p81强化95已知三阶不可逆矩阵 第 45 页，共93页 A 有特征值1和2,矩阵 B = A 2 − 2 A + 3 E ,求B的特征值, B 及秩 ( 3 E − B ) ,并问 B 能否相似对角化?  3 2 −2   p82【自我练习】设A= −k −1 k .问     4 2 −3  k 为何值时, A 可相似对角化?并在此时求出相似变换矩阵 P , 使得 P − 1 A P 为对角矩阵.周洋鑫强化 · 4.特征值 p83强化96判断 第 46 页，共93页 A =  1 2 2 2 1 2 2 2 1  , B =  5 0 0 0 − 1 1 0 0 − 1  是否相似. 题型3实对称矩阵的相似对角化  a 2 −2   p84强化97设A= 2 5 b ,=1是    −2 b c   A 的二重特征值. (1)求 a , b , c 的值; (2)求正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.周洋鑫强化 · 4.特征值 p85强化98设A为3阶实对称矩阵, 第 47 页，共93页 A  1 1 −1 1     的秩为2,且A 0 0 = 0 0 .         −1 1  1 1 (1)求A的所有特征值与特征向量; (2)求矩阵A. p86强化99设3阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1 , 2 2 , 3 2 , 1 (1 , 1 ,1 ) T     = = = − = − 是 A 的属于 1 的一个特征 向量.记 B = A 5 − 4 A 3 + E .求正交矩阵 Q ,使得QT( B*+B2 +E ) Q=A.周洋鑫强化 · 5.二次型 第五章 二次型 专题 11 二次型 题型1正交变换法化二次型为标准型 p90强化100已知二次型 f (x,x ,x )=5x2+5x2+cx2−2xx +6xx −6x x 的秩为2,求参数c及此二 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 次型经正交变换后所得的标准形,并指出 f (x ,x ,x )=1表示何种曲面. 1 2 3 p91强化101已知二次型 f(x,x ,x )=3x2 +4x 2 +3x 2 +2xx 1 2 3 1 2 3 1 3 (1)求正交变换 第 48 页，共93页 x = Q y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形. (2)证明 mx in  0 f x ( T x x ) = 2 .周洋鑫强化 · 5.二次型 p92强化102设二次型 第 49 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 ( a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) 2 + ( b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ) 2 ,记 α =  a a a 1 2 3  , β =  b b b 1 2 3  . (1)证明二次型 f 对应的矩阵为 2 α α T + β β T ; (2)若α,β正交且均为单位向量,证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y 21 + y 22 . 题型2配方法法化二次型为标准型 p93强化103用配方法将二次型 f (x ,x ,x )=x x +x x −3x x 化为标准形,并写出所用的坐标变换. 1 2 3 1 2 1 3 2 3周洋鑫强化 · 5.二次型 题型3正交变换法的本质 p94强化104设二次型 第 50 页，共93页 f ( x 1 , x 2 ) = x 21 − 4 x 1 x 2 + 4 x 22 x  y  经正交变换  1 =Q 1  化为二次型 x 2 y 2 g ( y 1 , y 2 ) = a y 21 + 4 y 1 y 2 + b y 22 ,其中 a  b . (1)求a,b的值; (2)求正交矩阵Q. 题型4可逆线性变换法的本质 p95强化105已知二次型 f (x,x ,x )=x2+2x2+2x2+2xx −2xx ,g(y ,y ,y )=y2+y2+y2+2y y . 1 2 3 1 3 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 2 3 求可逆变换 x = P y 将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化成 g ( y 1 , y 2 , y 1 ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 5.二次型 题型5正负惯性指数的求解 p96强化106二次型 f (xx ,x )=x2+3x2+x2+2xx +2xx +2x x ,则 f 的正惯性指数为__________. 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 p96强化107二次型 第 51 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 2 + x 3 ) 2 − ( x 3 − x 1 ) 2 的正惯性指数与负惯性指数依次为 ( ) A. 2 , 0 . B. 1 ,1 . C. 2 ,1 . D. 1 , 2 . 题型6等价、相似、合同的判定  2 −1 −1 1 0 0     p97强化108设矩阵 = −1 2 −1 , = 0 1 0 ,则         −1 −1 2  0 0 0 A 与 B ( ). A.合同,且相似 B.合同,但不相似 C.不合同,但相似 D.既不合同,又不相似周洋鑫强化 · 5.二次型 题型7正定二次型与正定矩阵 p98强化109若二次型 第 52 页，共93页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2 x 21 + x 22 + x 23 + 2 x 1 x 2 + tx 2 x 3 是正定的,则 t 的取值范围是_________. p99强化110设A为 m 阶实对称矩阵且正定, B 为 m  n 实矩阵,BT 为 B 的转置矩阵,试证: B T A B 为正 定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 第一章 随机事件及其概率 专题 12 随机时间求概率 题型1利用概率公式求概率 p103强化111若 第 53 页，共93页 A , B 为任意两个随机事件,则( ). A. P ( A  B )  P ( A ) . B. P ( A ) + P ( B )  P ( A  B ) . C. P ( A B )  P ( A ) + 2 P ( B ) . D. P ( A B )  P ( A ) + 2 P ( B ) . p104强化112设 A , B 为两个随机事件,且 P ( A ) = 1 2 , P ( ∣A B ) = 1 3 , P ( ∣B A ) = 1 6 ,则 P ( A B ) = ( ) . 1 A. B. 6 5 1 2 C. 1 3 D. 7 1 2 p104强化113设A,B,C是随机事件, A 1 1 与C互不相容,P(AB)= ,P(C)= ,则 2 3 P ( A ∣B C ) = ( ) . A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p104强化114设A,B为两个随机事件,且 第 54 页，共93页 P ( A ) = 0 .2 , P ( B ) = 0 .6 , P ( A B ) = 0 .4 ,则 P  ∣B  A  B   = ( ) . A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 p105强化115设 A , B 为随机事件,若 0  P ( A )  1 , 0  P ( B )  1 ,则 P ( ∣A B )  P ( ∣A B ) 的充分必要条件是 ( ). A.P(B∣A)P ( B∣A ) . B. P ( ∣B A )  P ( ∣B A ) . ( ) ( ) C.P B∣A P B∣A . D. P ( ∣B A )  P ( ∣B A ) . p105强化116设A,B,C为三个随机事件,且 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 4 , P ( A B ) = 0 , 1 P(AC)=P(BC)= ,则 12 A , B , C 中恰有一个事件发生的概率为( ) 3 2 1 A. . B. . C. . D. 4 3 2 5 1 2 .周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p105强化117假设一批产品中一、二、三等品各占 第 55 页，共93页 6 0 % 、 3 0 % 、 1 0 % ,从中随意取出一件,结果不是三等 品,则取到的是一等品的概率为( ). A. 1 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 2 题型2随机事件的独立性 p107强化118已知事件 A , B 相互独立,且 P ( B ) = 1 3 , P ( A )  0 ,则 P ( A  ∣B A ) = ( ) . A. 1 3 B. 2 3 C. 1 9 D. 2 9 p107强化119设随机事件 A 与 B 相互独立, A 与 C 相互独立, B C = Ø,若 P ( A C ∣ A B  C ) = 1 4 P ( A ) = P ( B ) = 1 2 , ,则P(C)=( ) 1 1 A. B. C. 4 2 1 3 3 D. 4周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p107强化120设两个相互独立的事件 第 56 页，共93页 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 , A 发生 B 不发生的概率与B发生 A 不 发生的概率相等,则 P ( A ) = ( ) . A. 1 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 2 p108强化121在三局两胜制的比赛中,甲赢得第一局、第二局、第三局的概率分别为 1 2 , 1 3 , 1 4 ,且每局赢 下比赛与否相互独立,则甲获胜的概率为( ) A. 1 2 4 B. 7 2 4 C. 1 3 D. 3 8 p108强化122甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中, 则它是甲射中的概率为( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p108强化123设 第 57 页，共93页 A , B , C 为随机事件,且 A 与 B 互不相容, A 与 C 互不相容,B与C相互独立, P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 3 ,则 P ( B  C ∣ A  B  C ) = ________. 题型3三大概型、全概率公式与贝叶斯公式 强化124(基础题)一袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,从中任取3球,则至少有一个白球的概率为 ( ). A. 1 2 4 B. 5 2 4 C. 1 3 D. 1 2 7 4 p110强化125箱子内装有4个球,2个白球,2个红球,现从中每次取出1个球后放回,共取5次,则既摸 到红球也摸到白球的概率为( ). A. 1 1 6 . B. 1 3 6 . C. 7 1 6 . D. 1 1 5 6 .周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p110强化126将3个球放入4个盒子中去,则恰有3个盒子内各有一个球的概率为( ). A. 第 58 页，共93页 1 8 . B. 1 4 . C. 3 8 . D. 1 2 . p110强化127从5双不同的鞋子中任取4只,则4只鞋至少有两只配成1双的概率( ). A. 1 2 1 B. 4 2 1 C. 8 2 1 D. 1 2 3 1 p111强化128在区间  0 ,   上随机取两个数x与 y ,则cos(x+ y)0的概率为( ). A. 1 2 . B. 3 4 . C. 1 4 1 . D. . 8周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p111强化129在长为2米的线段 第 59 页，共93页 A B 上随机地投两点C,D,则 C 点到 D 点的距离比到 A 点的距离近的 概率为( ). A. 3 4 B. 1 4 C. 5 6 D. 1 6 p111强化130盒中装有5个红球和3个白球,另一袋中装有4个红球和3个白球.现从盒中任取3个球 放入袋中,然后从袋中任取1个球. (1)求此球是红球的概率; (2)若已知从袋中任取1个球为红球,问从盒中取出的3个球中没有红球的概率.周洋鑫强化 · 1.随机事件及其概率 p112强化131设有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3份、7份和5份.现随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率p; (2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 第 60 页，共93页 q .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 2. 第二章 一维随机变量及其分布 专题 13 一维随机变量 题型1一维随机变量及其分布 p117强化132(基础题)设随机变量 第 61 页，共93页 X 的分布函数为 F ( x ) 0 1 b , , a r c s in x a , x x 1 1 1 x . , 1 ,  =  + −    −  ,则概率 P  X 2 − 2 3 X  0  = ( ) . A. 1 4 . B. 2 3 . C. 1 2 . D. 1 3 . p117强化133设离散型随机变量X 的分布律为 P  X k  a k , ( k 0 ,1 , 2 ) , 0 a 1  = = =   ,则等于 _________.周洋鑫强化 · 2. p117强化134一汽车沿街道行驶,需要经过3个设有红绿信号灯的路口.设每个信号灯显示红绿两种信 号的时间相等,且各个信号灯工作相互独立.若以 第 62 页，共93页 X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,则 X 的 概率分布为( ). 0 1 2 0 1 2 3 A.X   1 1 1  B.X   1 1 1 1      2 4 4 2 8 8 4 0 1 2 3 C.X   1 1 1 1  D.   2 4 8 8 X   0 1 4 1 1 4 2 1 2  p118强化135(基础题)设随机变量 X 分布函数为 F ( x ) =  0 0 0 1 , .4 .8 , , , x − 1 x  1   −  x 3 1 x   3 1 ,则 P { X  ∣2 X  1 } = ________ .周洋鑫强化 · 2. p118强化136随机变量X 的密度函数为 第 63 页，共93页 f ( x ) = A e − x ,则 X 的分布函数为________. p118强化137设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =  x 20 , , 0 其  他 x  , 2 , F ( x ) 为 X 的分布函数, E X 为 X 的数 学期望,则 P { F ( X )  E X − 1 } = __________.周洋鑫强化 · 2. p119强化138设随机变量 第 64 页，共93页 X 取值的绝对值不大于1,且 P  X = − 1  = 1 8 , P  X = 1  = 1 4 .在事件 { − 1  X  1 } 发生的条件下, X 在(−1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.试 求X 的分布函数与 X 取负值的概率. p119强化139已知 F ( x ) =  0 , x x , 0 21 , x  0   1 x  1 , 则 ( ) . A.F(x)是离散型随机变量的分布函数. B.F(x)是连续型随机变量的分布函数. C.F(x)是分布函数,但既不是离散型,也不是连续型随机变量的分布函数. D.F(x)不是某随机变量的分布函数.周洋鑫强化 · 2. 题型2一维常见分布 p121强化140(2024年)设随机试验每次成功的概率为 第 65 页，共93页 p ,进行3次独立重复试验,在至少试验成功1次 的条件下三次试验全部成功的概率为 1 4 3 ,则p=_________. p122强化141设随机变量 X 和 Y 独立,都在区间 1 , 3  上服从均匀分布,引进事件 A =  X  a  , B = { Y  a } 7 ,且PAB= ,则 9 a = _________. p122强化142某灯泡的寿命X 服从参数 1 1 0 0 0  = 的指数分布,则灯泡在使用500小时没坏的条件下,还 可继续使用100小时而不坏的概率为_________.周洋鑫强化 · 2. p122强化143已知随机变量X 服从参数为的指数分布,且 第 66 页，共93页 X 落入区间 ( 1 , 3 ) 内的概率达到最大,未知 参数 = _________。 p123强化144设某地在任何长为t(以周计)的时间内发生地震的次数 N ( t ) 服从参数为 t 的泊松分布. (1)设T表示直到下一次地震发生所需的时间(单位:周),求 T 的概率分布; (2)求在相邻两周内至少发生3次地震的概率; (3)求在连续8周无地震的情形下,在未来8周中仍无地震的概率.周洋鑫强化 · 2. p123强化145设随机变量 第 67 页，共93页 X 服从正态分布 N ( ,1 )  ,其分布函数为 F ( x ) ,则对任意实数 x ,有 ( ) . A. F ( x ) F ( x )   + = − . B. F ( x ) F ( x )   + = − . C.F(x+)+F(x−)=1. D. F ( x ) F ( x ) 1   + + − = . p123强化146设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 )  ,则随着的增大,概率 P { X 3 } ( )   −  A.单调增大. B.单调减少. C.保持不变. D.增减不定. p124强化147设随机变量 X , Y 与 Z 均服从正态分布, X N ( 1 , 2 ) ,   Y N ( 1 , 2 ) ,   − Z N ( 2 , 2 )   ,记 p = pX −1, p = pY 1, p = pZ 0,则( ). 1 2 3 A. p 1 = p 2 = p 3 . B. p 1 = p 3  p 2 . C. p 1  p 2  p 3 . D. p 1 = p 3  p 2 .周洋鑫强化 · 2. 专题 14 一维随机变量函数的分布 题型1一维离散型随机变量函数的分布 p124强化148设随机变量 第 68 页，共93页 X 的概率分布为 P  X = k  = A k 3 , k = 1 , 2 ,,其中 A 为常数.试求 A 的值及 Y s in 2 X  =   的概率分布. 题型2一维连续型随机变量函数的分布 p125强化149设随机变量 X 服从标准正态分布 N ( 0 ,1 ) ,则 Y = X 的概率密度为_________. p126强化150假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量Y =minX,2的分布函数( ). A.是连续函数 B.至少有两个间断点 C.是阶梯函数 D.恰好有一个间断点周洋鑫强化 · 2. p126强化151设随机变量 第 69 页，共93页 X 的概率密度为 f ( x ) =  3 3 1 2 x 0 , , x  其 1 他 ,  8 , , F ( x ) 是X 的分布函数求随机变量 Y = F ( X ) 的分布函数. p127强化152在区间 ( 0 , 2 ) 上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为 X .较长一段的长度 记为 Y Y .令Z = . X (1)求X 的概率密度; (2)求Z的概率密度; X  (3)求E .   Y 周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 第三章 二维随机变量及其分布 专题 15 二维随机变量 题型1二维离散型随机变量的分布 p132强化153已知 第 70 页，共93页 X 和 Y 的概率分布分别为 X   − 1 4 1 0 1 2 1 1 4  , Y   0 1 2 1 1 2  ,且PXY =0=1. (1)试求 X 和 Y 的联合分布,并问 X 与 Y 是否相互独立? (2)求概率 P { X − Y  0 } , P { X  ∣1 Y = 1 } . p133强化154设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布, P  X = 1  = P  Y = 1  = 1 2 P  X = − 1  = P  Y = − 1  = 1 2 , ,则下列各式成立的是( ). 1 A.PX =Y= . B. 2 P  X = Y  = 1 . C. P  X + Y = 0  = 1 4 . D. P  X Y = 1  = 1 4 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 p133强化155设二维随机变量 第 71 页，共93页 ( X , Y ) 服从区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1 , y  0  上的均匀分布.定义随机变 0, X 0,   0, X  3Y, 量U =1, 0 X Y, V =  2, X Y, 1, X  3Y. (1)求(U,V)的概率分布; (2)求关于U 的边缘分布; (3)求在 V = 1 条件下关于U 的条件分布. p134强化156设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0 )   的泊松分布,每位乘客在中途下车的概 率为 p ( 0  p  1 ) ,且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数.试求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布.周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 题型2二维连续型随机变量的分布 p135强化157设随机变量 第 72 页，共93页 X 在区间(0,1)内服从均匀分布,在X =x(0x1)的条件下, Y 在(0,x)内也 服从均匀分布.试求: (1) ( X , Y ) 的概率密度; (2) ( X , Y ) 的分布函数. p135强化158设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D = { ( x , y )∣ x  0 , y  0 , 2 x + y  1 } 上服从均匀分布. 试求: (1) ( X , Y ) 的概率密度 f ( x , y ) ; (2)边缘概率密度 fY ( y ) .周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 p136强化159设二维随机变量 第 73 页，共93页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) = A e − 2 x 2 + 2 xy − y 2 ,−x+, −   y  +  , 试求常数A及条件概率密度 fY |X ( y | x ) 专题 16 二维随机变量函数的分布 题型1离散+离散 p137强化160设 A , B 为两个随机事件,且 P ( A ) = 1 4 , P ( ∣B A ) = 1 3 , P ( ∣A B ) = 1 2 .令 Y =  1 0 , , B B 发 不 生 发 , 生 . X =  1 0 , , A A 发 不 生 发 , 生 ; (1)求(X,Y)的概率分布; (2)求Z = X2 +Y2,Z = XY 的概率分布.周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 题型2连续+连续 p138强化161(2023年)设二维随机变量 第 74 页，共93页 ( X , Y )   2( x2 + y2) , x2 + y2 1, 的概率密度为 f (x,y)=  0, 其他. (1)求X 与 Y 的协方差; (2) X 与 Y 是否相互独立? (3)求Z = X2 +Y2的概率密度. p139强化162设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G =  ( x , y )∣ 1  x  3 ,1  y  3  上的均匀分布,试求 随机变量 Z = X − Y 的概率密度 f Z ( z ) .周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 p139强化163设二维随机变量 第 75 页，共93页 ( X , Y ) 在矩形 G =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  1  上服从均匀分布,试求边长为 X 和Y的矩形面积 Z 的概率密度 f Z ( z ) . 题型3离散+连续 p140强化164设随机变量 X , Y 相互独立,且 X 的概率分布为 P  X = 0  = P  X = 2  = 1 2 , Y 的概率密度为 f ( y ) =  2 0 y , , 0 其  他 y .  1 , (I)求PY EY; (II)求Z=X +Y的概率密度.周洋鑫强化 · 3.二维随机变量及其分布 p141强化165设二维随机变量 第 76 页，共93页 ( X , Y ) 在区域 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , x 2  y  x  上服从均匀分布,令 U =  1 0 , , X X   Y Y , . (1)写出 ( X , Y ) 的概率密度; (2)问U 与 X 是否相互独立?并说明理由; (3)求Z =U +X 的分布函数 F ( z ) .周洋鑫强化 · 4.随机变量的数字特征 第四章 随机变量的数字特征 专题 17 二维随机变量 题型1基本公式的应用 p145强化166设 第 77 页，共93页 X 的均值、方差都存在,且D(X)0,令 Y = X − D E ( ( X X ) ) ,则E(Y)=________,D(Y)= _________. p145强化167设 X 服从参数为 0   的泊松分布,且已知E(X −1)(X −2)=1,则=_________.   p146强化168设 X P ( )    1  ,则E =________.   X +1周洋鑫强化 · 4.随机变量的数字特征 p146强化169设随机变量 第 78 页，共93页 X 的概率密度为 f ( x ) =  2 0 − , x ln 2 , x x   0 0 , . 对 X 进行独立重复的观测,直到第2 个大于3的观测值出现时停止,记 Y 为观测次数. (1)求Y的概率分布; (2)求 E Y . p147强化170设随机变量X 与 Y 相互独立,且 X  N ( 1 , 2 ) , Y  N ( 1 , 4 ) ,则D(XY)=( ) A.6. B.8. C.14. D.15.周洋鑫强化 · 4.随机变量的数字特征 p147强化171设随机变量 第 79 页，共93页 X  U ( 0 , 3 ) ,随机变量 Y 服从参数为2的泊松分布,且X 与 Y 的协方差为-1, 则D(2X −Y +1)=( ) A.1. B.5. C.9. D.12. 强化172设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为 若事件  m a x  X , Y  = 2  与事件  m in  X , Y  = 1  相互独立,则 C o v ( X , Y ) = ( ) A.-0.6. B.-0.36. C.0. D.0.48.周洋鑫强化 · 4.随机变量的数字特征 P148强化173设 第 80 页，共93页 X 服从区间 2 , 2    −  上的均匀分布, Y = s in X ,则Cov(X,Y)=________. 题型2独立和不相关的检验 强化174设随机变量 X 的概率分布密度为 f ( x ) 1 2 e x , x   = − −   + . (1)求 X 的数学期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) . (2)求X 与 X 的协方差,并问 X 与 X 是否不相关? (3)问 X 与 X 是否相互独立?为什么?公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 4.随机变量的数字特征 题型3二维正态分布 P150强化175随机变量(X,Y)N(0,1;0,4;),D(2X −Y)=1,则 第 81 页，共93页 = _________. P150强化176已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N ( 1 , 3 2 ) 和 N ( 0 , 4 2 ) ,且 X 与 Y 的相关系数 X Y 1 2  = − 设 Z = X 3 + Y 2 . (1)求Z的数学期望EZ和方差DZ; (2)求 X 与 Z 的相关系数 xz  .周洋鑫强化 · 4.随机变量的数字特征 P150强化177设两个随机变量相互独立,且都服从均值为0,方差为 第 82 页，共93页 1 2 的正态分布,求随机变量 X − Y 的方差为_________.周洋鑫强化 · 5.大数定律与中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 专题 18 数理统计预备知识 题型1切比雪夫不等式 p152强化178设随机变量 第 83 页，共93页 X 的概率密度为 f ( x ) =  1 20 , x 2 e − x , x x   0 0 ,试用切比雪夫不等式估计概率 P{1 X 5}___________. p152强化179设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布,且 X 1 的4阶矩存在.记 k E ( X k1 ) ( k 1 , 2 , 3 , 4 )  = = , 则由切比雪夫不等式,对任意 0    1 n   ,有P X2 − ( ) n i 2  i=1   −2 A. 4 2 . B. n2 4 n 2 22    − . C. 2 n 2 21    − . D. 2 n 2 21    − .周洋鑫强化 · 5.大数定律与中心极限定理 题型2大数定律 p153强化180设总体 第 84 页，共93页 X 服从参数为2的指数分布, X 1 , X 2 , , X n 为来自总体的简单随机样本,则当 n  → 时, Y n = 1 n n i= 1 X 2i 依概率收敛于________. 题型3中心极限定理 p154强化181设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 相互独立,且 X i 都服从参数为 1 2 的指数分布,则当 n 充分大 时,随机变量 Z n = 1 n n i− 1 X i 的概率分布近似服从( ). A.N(2,4) B. N  2 , 4 n  C. N  1 2 , 1 4 n  D. N ( 2 n , 4 n )周洋鑫强化 · 5.大数定律与中心极限定理 p154强化182设 第 85 页，共93页  ( x ) 为标准正态分布函数, X i =  0 1 , , A A 不 发 发 生 生 ( i = 1 , 2 , ,1 0 0 ) ,且 P ( A ) = 0 .8 , X 1 , X 2 , , X 1 0 0 100 相互独立.令Y =X ,则由中心极限定理知 i i=1 Y 的分布函数 F ( y ) 近似于 ( ) . A.(y) B.   y − 4 8 0  C.  ( 1 6 y + 8 ) D.  ( 4 y + 8 0 )周洋鑫强化 · 6.数理统计 第六章 数理统计 专题 19 数理统计的基本概念 pdf版讲义漏印了p158页，故丢失了强化183题在此说明. 题型1XXX p158强化183题(略) p159强化184设 第 86 页，共93页 X 1 , X 2 , ..., X 9 是总体X的一个简单随机样本，X服从正态分布 N ( , 2 )  ,且 Y 1 = 1 6 ( X 1 + X 2 + ... + X 6 ) , Y 2 = 1 3 ( X 7 + X 8 + X 9 ) , S 2 = 1 2 9 i= 7 ( X i − Y 2 ) 2 , T = 2 ( Y 1S − Y 2 ) ,则T服从的分布 为________.周洋鑫强化 · 6.数理统计 题型2正态总体下的抽样分布 p160强化185设 第 87 页，共93页 X 1 , X 2 , , X n ( n  2 ) 为来自总体 N ( 0 ,1 ) 的简单随机样本,X 为样本均值, S 2 为样本方 差,则( ). A. n X  N ( 0 ,1 ) B. n S 2 2 ( n )   (n−1)X (n−1)X2 C. t(n−1) D. 1 F(1,n−1) S n X2 i i=2 p160强化186设总体 X 服从正态分布 N ( 0 , 2 )  ( 2  已知), X 1 , , X n 是取自总体 X 的简单随机样本, S 2 为样本方差,则( ). n A.X2 2(n) B. i i=1 X t 2 ( n ) 1 2 S 2 2 ( n )      + −  C. 1 n n i 1 X i 2 ( n ) 1 2 S 2 2 ( n )     =   + −  D. 1 n n i 1 X i 2 ( n ) 1 2 S 2 2 ( n )      =  + − 周洋鑫强化 · 6.数理统计 题型3统计量的数字特征 p161强化187设 第 88 页，共93页 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 N ( , 2 ) 1 n  的简单随机样本,记统计量T = X2,则E(T)= n i i=1 _________. 1 p161强化188设总体X 的概率密度为 f (x)= e−x (−x+),X ,X , ,X 为总体X 的简单随机样 2 1 2 n 本,其样本方差为 S 2 ,则 E S 2 = ________. p162强化189设 X 1 , X 2 , , X n 是取自N ( 0,2) 的简单样本,X = 1  k X ,1kn,则Cov ( X ,X ) = k k l k k+1 l=1 _________.周洋鑫强化 · 6.数理统计 p162强化190设总体 第 89 页，共93页 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ( 0 )    .从该总体中抽取简单随机样本 X 1 , X 2 , , X 2 n ( n  2 ) .其样本均值为 X = 1 2 n 2 n i= 1 X i n ,则统计量Y =( X + X −2X )2 的数学期望 i n+i i=1 E ( Y ) 为_________. p162强化191设总体 X 的均值 E X  = ,方差 D X 2  = 均存在, ( X 1 , X 2 , , X n ) 为取自总体 X 的一个简 单随机样本, X 为样本均值,则X −X 与 i X j − X ( i  j , i , j = 1 , 2 , , n ). 的相关系数为_________.周洋鑫强化 · 6.数理统计 专题 20 参数估计、假设检验 题型1统计量的数字特征 p164强化192设总体 第 90 页，共93页 X 的概率密度为 f ( x ; ) x 0 2 2 , e x , x 0 , ,    =  − 其  他 其中为未知参数且大于零. X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. (I)求的矩估计量; (II)求的最大似然估计量. p165强化193设随机变量 X    的分布函数为F(x;,)=   1−  x   , x 其中参数0,1,设  0, x X ,X , ,X 为来自总体 1 2 n X 的简单随机样本. (1)当=1时,求未知参数的矩估计量; (2)当=1时,求未知参数的最大似然估计量; (3)当 2  = 时,求未知参数的最大似然估计量.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫强化 · 6.数理统计 p166强化194设总体 第 91 页，共93页 X 的概率密度为 f ( x ) 2 0 e , 2 ( x ) , x x    =  − −   其中0是未知参数,从总体中抽取简 单随机样本X ,X , ,X .记 ˆ =min(X ,X , ,X ). 1 2 n 1 2 n (1)求总体 X 的分布函数 F ( x ) ; (2)求统计量 ˆ 的分布函数 F ˆ ( x ) ;  (3)如果用 ˆ 作为的估计量,讨论它是否具有无偏性. 题型2区间估计(数学一) p168强化195设来自正态总体 X N ( , 0 .9 2 )   ,样本容量为9的简单随机样本的样本均值为 x = 5 ,则未 知参数的置信度为0.95的置信区间为________.周洋鑫强化 · 6.数理统计 p168强化196设一批零件的长度服从正态分布 第 92 页，共93页 N ( , 2 )  ,其中 , 2  均未知,现从中随机抽取16个零 件,测得样本均值x=20( cm),样本标准差s=1( cm).则的置信度为0.90的置信区间是( ). (A)  2 0 − 1 4 t0 .0 5 ( 1 6 ) , 2 0 + 1 4 t0 .0 5 ( 1 6 )  B.  2 0 − 1 4 t0 .1 ( 1 6 ) , 2 0 + 1 4 t0 .1 ( 1 6 )  (C)  2 0 − 1 4 t0 .0 5 ( 1 5 ) , 2 0 + 1 4 t0 .0 5 (1 5 )  (D)  2 0 − 1 4 t0 .1 ( 1 5 ) , 2 0 + 1 4 t0 .1 ( 1 5 )  题型3假设检验(数学一) p170强化197设总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) .x 1 , x 2 , , x n  是来自总体 X 的简单随机样本,据此样本检 验假设: H 0 : 0 , H 1 : 0     =  ,则( ). A.如果在检验水平 0 .0 5  = 下拒绝 H 0 ,那么在检验水平=0.01下必拒绝 H 0 . B.如果在检验水平 0 .0 5  = 下拒绝H ,那么在检验水平 0 0 .0 1  = 下必接受H . 0 C.如果在检验水平=0.05下接受 H 0 ,那么在检验水平=0.01下必拒绝 H 0 . D.如果在检验水平 0 .0 5  = 下接受H ,那么在检验水平 0 0 .0 1  = 下必接受H . 0周洋鑫强化 · 6.数理统计 p170强化198某种元件的寿命 第 93 页，共93页 X (以小时计)服从正态分布 N ( , 2 )  ,其中 , 2  均未知.现随机抽取16 只元件,测得其寿命的平均值 x = 2 4 1 .5 ,标准差 s = 9 8 .7 ,问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小 时.(取检验水平 0  = ..05)