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专题 4.3 同角三角函数的基本关系及诱导公式-重难点题型精讲
1．同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系
(2)基本关系式的变形公式
2．诱导公式
(1)诱导公式
(2)诱导公式的作用【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【方法点拨】
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；
第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.
4
【例1】（2021秋•仁怀市校级月考）已知sinα=− ，且 是第三象限的角，则tan 的值等于（ ）
5
α α
4 3 3 4
A．− B．− C． D．
3 4 4 3
【变式1-1】（2022春•揭阳期末）已知 1，则 sin3θ+sinθ （ ）
tanθ= =
2 cos3θ+sinθcos2θ
1 1
A． B．2 C． D．6
2 6
2√3 π π
【变式1-2】（2022春•温州期末）已知sinα+cosα= ，且α∈( ， )，则cos ﹣sin ＝（ ）
3 4 2
α α
√3 √3 √6 √6
A．− B． C． D．−
3 3 3 3
π 6
【变式1-3】（2022春•凯里市校级期中）若θ∈( ，π)，且满足 −tanθ=1，则sin +cos ＝（
2 tanθ
θ θ
）
√10 √5 √5 √10
A． B． C．− D．−
5 5 5 5【题型2 诱导公式的应用】
【方法点拨】
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行
运算.
π 2 π
【例2】（2022春•潍坊期中）已知sin(α− )= ，则cos(α+ )=（ ）
3 3 6
2 2 √5 √5
A． B．− C．− D．
3 3 3 3
3π
【变式2-1】（2022春•商洛期末）cos(π−x)+sin(x+ )=（ ）
2
A．﹣2cosx B．0 C．﹣2sinx D．cosx﹣sinx
3π 3 2021π
【变式 2-2】（2022 春•渭南期末）若sin(α+ )= ，且 是第三象限角，则cos(α+ )=
2 5 2
α
（ ）
3 3 4 4
A． B．− C． D．−
5 5 5 5
1 π
【变式2-3】（2022春•榕城区校级月考）如果sinα= ，那么sin(π+α)−cos( −α)等于（ ）
3 2
2√2 2 2 2√2
A．− B．− C． D．
3 3 3 3
【题型3 同角关系式和诱导公式的综合应用】
【方法点拨】
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进
行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
(2)用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.π 4
【例3】（2022春•华阴市期末）已知 为第二象限角，sin( −α)=− ．
2 5
α
（Ⅰ）求sin 的值；
α 7π
cos( −α)tan(−π+α)cos(2π−α)
（Ⅱ）若 2 ，求f（ ）的值．
f(α)=
−tan(−19π−α)sin(5π−α)sin(π+α)
α
3π
sin(π+α)cos(2π−α)cos( +α)
2
【变式3-1】（2022春•宝鸡期末）已知f(α)= ．
π
cos( +α)sin(α−π)
2
（1）化简f（ ）；
α 1
（2）若 是第四象限角，且sin(α−π)= ，求f（ ）的值．
3
α α
2√5
【变式3-2】（2022春•梧州期末）已知sin(π+α)=− ，且 为第二象限角．
5
α
（1）求tan 的值；
α π
2sin(α+4π)+sin( −α)
（2）求 2 的值．
sinα+3cos(α−π)
5 3
sin(α− π)cos( π+α)tan(π−α)
【变式3-3】（2022春•赣州期中）已知 为第三象限角， 2 2 ．
f(α)=
tan(−α−π)sin(−α−π)
α
（1）化简f（ ）；
α3 1
（2）若cos(α− π)= ，求f（ ）．
2 3
α
【题型4 三角恒等式的证明】
【方法点拨】
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.
【例4】（2021秋•芜湖期末）已知 ， 为锐角，tan（ ﹣ ）＝sin2 ，求证：tan +tan ＝2tan2
α β α β β α β β
tan(2π−α)sin(−2π−α)cos(6π−α)
=−
【变式4-1】（2021秋•龙川县校级期中）求证： 3π 3π tan ．
sin(α+ )cos(α+ )
2 2
α
1−2sinxcosx 1−tanx
【变式4-2】（2022春•平阴县校级月考）（1）求证： =
cos2x−sin2x 1+tanx
（2）已知tan +sin ＝a，tan ﹣sin ＝b，求证：（a2﹣b2）2＝16ab．
θ θ θ θ【变式4-3】（2022春•禅城区校级期中）求证：
1−sin2α
=
（1） π sin ﹣cos ；
√2sin(α− )
4
α α
1−tanα
（2）已知 =1，求证3sin2 ＝﹣4cos2 ．
2+tanα
α α
