选修2-2教案(1)_教资初高中_教资面试2025教资面试备考资料合集_教资面试资料合集_2025教资面试资料_25上教资面试-小学资料包_19教案：合集_高中学科全册教案_高中数学全册教案

§1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究， 产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、 最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 4  气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)  r3 3 3V  如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V) 3 4 3V 分析: r(V) 3 ， 4 ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0) 0.62(dm) r(1)r(0) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L) 10 ⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1) 0.16(dm) r(2)r(1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L) 21 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． r(V )r(V ) 思考：当空气容量从V 增加到V 时,气球的平均膨胀率是多少? 2 1 1 2 V V 2 1问题2 高台跳水 h 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在 某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t 0.5和1t  2的平均速度v h(0.5)h(0) 在0t 0.5这段时间里，v   4.05(m/s)； 0.50 o t h(2)h(1) 在1t  2这段时间里，v   8.2(m/s) 21 65 探究：计算运动员在0t  这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 65 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h( )  h(0)， 49 65 h( )h(0) 49 所以v  0(s/m)， 65 0 49 65 虽然运动员在0t  这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运 49 动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: f(x ) f(x ) 1．上述问题中的变化率可用式子 2 1 表示, 称为函数f(x)从x 到x 的平均变 1 2 x x 2 1 化率 2．若设x  x x , f  f(x ) f(x ) (这里x看作是对于x 的一个“增量”可用x + 2 1 2 1 1 1 x代替x ,同样f  y  f(x ) f(x )) 2 2 1 y f f(x ) f(x ) f(x x) f(x ) 3．则平均变化率为   2 1  1 1 x x x x x 2 1 思考：观察函数f(x)的图象 f f(x ) f(x ) 平均变化率  2 1 表示什么? x x x 2 1y y=f(x) f(x ) 2 △y =f(x )-f(x ) 2 1 直线AB的斜率 f(x ) 1 △x= x -x 2 1 x x O 1 2 x 三．典例分析 例 1． 已 知 函 数 f(x)=x2  x的 图 象 上 的 一 点 A(1,2)及 临 近 一 点 y B(1x,2y),则  ． x 解：2y  (1x)2 (1x)， y (1x)2 (1x)2 ∴  3x x x 例2． 求y  x2在x x 附近的平均变化率。 0 y (x x)2 x 2 解：y (x x)2 x 2，所以  0 0 0 0 x x x 2 2x xx2 x 2  0 0 0 2x x x 0 所以y  x2在x x 附近的平均变化率为2x x 0 0 四．课堂练习 1．质点运动规律为s t2 3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 253t 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割 线的斜率. 五．回顾总结 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业 §1.1.2导数的概念 教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率 65 （二）探究：计算运动员在0t  这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49 ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 65 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h( )  h(0)， 49 65 h( )h(0) h 49 所以v  0(s/m)， 65 0 49 65 虽然运动员在0t  这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际 49 情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描 述运动员的运动状态． 二．新课讲授 o t 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一 时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t 2时的瞬时速度是多 少？考察t 2附近的情况： 思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？ 结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时， 平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．从物理的角度看，时间 t 间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度， 因此，运动员在t 2时的瞬时速度是13.1m/s h(2t)h(2) 为了表述方便，我们用lim 13.1 t0 t 表示“当t 2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率是: 0 f(x x) f(x ) f lim 0 0  lim x0 x x0x 我们称它为函数y  f(x)在x x 出的导数，记作 f '(x )或y' | ，即 0 0 xx 0 f(x x) f(x ) f(x ) lim 0 0 0 x0 x 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率 0 f(x) f(x ) （2）x xx ，当x0时，x x ，所以 f(x ) lim 0 0 0 0 x0 xx 0 三．典例分析 2 例1．（1）求函数y=3x 在x=1处的导数. 2 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx) f f 再求 6x再求lim 6 x x0x 解：法一 定义法（略） 3x2 312 3(x2 12) 法二： y| lim lim lim3(x1)6 x1 x1 x1 x1 x1 x1 （2）求函数f(x)=x2  x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． y (1x)2 (1x)2 解：  3x x x y (1x)2 (1x)2 f(1) lim   lim(3x)3 x0x x x0 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷 却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为 f(x) x2 7x15(0 x8)，计 算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 f '(2)和 f '(6) f f(2x) f(x ) 根据导数定义，  0 x x (2x)2 7(2x)15(22 7215)  x3 x f 所以 f(2) lim  lim(x3)3 x0x x0 同理可得: f(6)5 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温 度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升． 注：一般地， f '(x )反映了原油温度在时刻x 附近的变化情况． 0 0 四．课堂练习 1．质点运动规律为s t2 3，求质点在t 3的瞬时速度为． 2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数． 3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结 1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业 §1.1.3导数的几何意义 教学目标： 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念； 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x 附近 0 0 的变化情况，导数 f(x )的几何意义是什么呢？ 0 二．新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当P (x , f(x ))(n1,2,3,4)沿着曲线 f(x) n n n趋近于点P(x , f(x ))时，割线PP 的变化趋势是什么？ 0 0 n 图3.1-2 我们发现,当点P 沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PP 趋近于确定的位置，这个 n n 确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：⑴割线PP 的斜率k 与切线PT的斜率k有什么关系？ n n ⑵切线PT的斜率k为多少？ f(x ) f(x ) 容易知道，割线PP 的斜率是k  n 0 ,当点P 沿着曲线无限接近点P时， n n x x n n 0 f(x x) f(x ) k 无限趋近于切线PT的斜率k，即k  lim 0 0  f(x ) n x0 x 0 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切 线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在x x 处的导数. 0 （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x 处的导数等于在该点(x , f(x ))处的切线的斜率， 0 0 0f(x x) f(x ) 即 f(x ) lim 0 0 k 0 x0 x 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; f(x x) f(x ) ②求出函数在点x 处的变化率 f(x ) lim 0 0 k ，得到曲线在点 0 0 x0 x (x , f(x ))的切线的斜率； 0 0 ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f(x)在x=x 处求导数的过程可以看到,当时, f(x ) 是一个确定的数，那么,当x 0 0 变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作： f(x)或y， f(xx) f(x) 即: f(x) y lim x0 x 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数 f(x)在点x 处的导数 f(x )、导函数 f(x)、导数 之间的区别与联系。 0 0 （1）函数在一点处的导数 f(x )，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 0 限，它是一个常数，不是变数。 (2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 (3）函数 f(x)在点x 处的导数 f '(x )就是导函数 f(x)在x x 处的函数值，这也是 求 0 0 0 函数在点x 处的导数的方法之一。 0 三．典例分析 2 例1:（1）求曲线y=f(x)=x +1在点P(1,2)处的切线方程. 2 （2）求函数y=3x 在点(1,3)处的导数. [(1x)2 1](12 1) 2xx2 解：（1） y|  lim  lim 2, x1 x0 x x0 x 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2x y 0 3x2 312 3(x2 12) （2）因为 y| lim lim lim3(x1)6 x1 x1 x1 x1 x1 x1 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6x y30 （2）求函数f(x)=x2  x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．y (1x)2 (1x)2 解：  3x x x y (1x)2 (1x)2 f(1) lim   lim(3x)3 Ax0x x Ax0 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(x)4.9x2 6.5x10 ，根据图像，请描述、比较曲 线h(t)在t 、t 、t 附近的变化情况． 0 1 2 解：我们用曲线h(t)在t 、t 、t 处的切线， 0 1 2 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当t t 时，曲线h(t)在t 处的切线l 平行于 0 0 0 x轴，所以，在t t 附近曲线比较平坦，几乎 0 没有升降． （2） 当t t 时，曲线h(t)在t 处的切线l 的斜率h(t )0，所以，在t t 附近曲线下降， 1 1 1 1 1 即函数h(x)4.9x2 6.5x10 在t t 附近单调递减． 1 （3） 当t t 时，曲线h(t)在t 处的切线l 的斜率h(t )0，所以，在t t 附近曲线下 2 2 2 2 2 降，即函数h(x)4.9x2 6.5x10 在t t 附近单调递减． 2 从图3.1-3可以看出，直线l 的倾斜程度小于直线l 的倾斜程度，这说明曲线在t 附近比 1 2 1 在t 附近下降的缓慢． 2 例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c f(t)(单位：mg/mL) 随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t 0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药 物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 f(t)在此时刻的导数，从图 像上看，它表示曲线 f(t)在此点处的切线的斜率． 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时 刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作t 0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为： 0.480.91 k  1.4 1.00.7 所以 f(0.8)1.4 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率 f '(t) 0.4 0 -0.7 -1.4 四．课堂练习 1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线； 2．求曲线y  x 在点(4,2)处的切线． 五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业 §1.2.1几个常用函数的导数 教学目标： 1 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c、y  x、y  x2、y  x 的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．1 教学重点：四种常见函数y c、y  x、y  x2、y  的导数公式及应用 x 1 教学难点： 四种常见函数y c、y  x、y  x2、y  的导数公式 x 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度．那么，对于函数y  f(x)，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以 求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函 数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导 数． 二．新课讲授 1．函数 y  f(x)c的导数 y f(xx) f(x) cc 根据导数定义，因为   0 x x x y 所以y lim  lim00 x0x x0 函数 导数 y c y0 y0表示函数 y c图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若 y c表示路程 关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状 态． 2．函数 y  f(x) x的导数 y f(xx) f(x) xxx 因为   1 x x x y 所以y lim  lim11 x0x x0 函数 导数 y  x y1 y1表示函数 y  x图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若 y  x表示路程 关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数 y  f(x) x2的导数 y f(xx) f(x) (xx)2 x2 因为   x x x x2 2xx(x)2 x2  2xx x y 所以y lim  lim(2xx)2x x0x x0 函数 导数 y  x2 y2x y2x表示函数 y  x2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当x0时，随着x的增加，函数 y  x2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函 数y  x2增加得越来越快．若y  x2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物 体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 1 4．函数 y  f(x) 的导数 x 1 1  y f(xx) f(x) xx x 因为   x x x x(xx) 1   x(xx)x x2 xx y 1 1 所以 y lim  lim( ) x0x x0 x2 xx x2 函数 导数 1 1 y  y x x2 5．函数y  f(x) x 的导数 y f(xx) f(x) xx  x 因为   x x x ( xx  x)( xx  x)  x( xx  x)(xx)x  x( xx  x) y 1 1 所以y lim  lim  x0x x0 xx  x 2 x 函数 导数 1 y  x y 2 x （2）推广：若 y  f(x) xn(nQ*)，则 f(x)nxn1 三．课堂练习 1．课本P 探究1 13 2．课本P 探究2 13 四．回顾总结 函数 导数 y c y' 0 y  x y' 1 y  x2 y' 2x 1 1 y  y'  x x2 1 y  x y 2 x y  f(x) xn(nQ*) y' nxn1 五．布置作业 §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 1 五种常见函数y c、y  x、y  x2、y  、y  x 的导数公式及应用 x 函数 导数 y c y' 0 y  x y' 1 y  x2 y' 2x 1 1 y  y'  x x2 1 y  x y 2 x y  f(x) xn(nQ*) y' nxn1 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y c y' 0 y  f(x) xn(nQ*) y' nxn1 y sinx y' cosx y cosx y' sinx y  f(x)ax y' axlna(a 0) y  f(x)ex y' ex 1 f(x)log x f(x)log xf '(x) (a 0【 a 1) a a xlna1 f(x)lnx f '(x) x （二）导数的运算法则 导数运算法则 1． f(x)g(x)'  f '(x)g'(x) 2． f(x)g(x)'  f '(x)g(x) f(x)g'(x) '  f(x) f '(x)g(x) f(x)g'(x) 3．   (g(x)0) g(x) g(x)2 （2）推论：cf(x)' cf '(x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价 p（单位：元）与时间t（单 位：年）有如下函数关系 p(t) p (15%)t，其中 p 为t 0时的物价．假定某种商品的 0 0 p 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 0 解：根据基本初等函数导数公式表，有 p'(t)1.05t ln1.05 所以 p'(10)1.0510ln1.050.08（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）y  x3 2x3 1 1 （2）y   ； 1 x 1 x （3）y  xsinxlnx； x （4）y  ； 4x 1lnx （5）y  ． 1lnx（6）y (2x2 5x1)ex； sinxxcosx （7）y  cosxxsinx 解：（1）y' (x3 2x3)' (x3)' (2x)' (3)' 3x2 2， y' 3x2 2。 1 1 (1 x)' (1 x)' （2）y' ( )' ( )'   1 x 1 x (1 x)2 (1 x)2 1 1  2 x 2 x   (1 x)2 (1 x)2 1 1 1  [  ] 2 x (1 x)2 (1 x)2 1 (1 x)2 (1 x)2   2 x (1x)2 (1x) x  x(1x)2 (1x) x y'  x(1x)2 （3）y' (xsinxlnx)' [(xlnx)sinx]' (xlnx)'sinx(xlnx)(sinx)' 1 (1lnxx )sinx(xlnx)cosx x sinxlnxsinxxlnxcosx y' sinxlnxsinxxlnxcosx x x'4x x(4x)' 14x x4xln4 1xln4 （4）y' ( )'    ， 4x (4x)2 (4x)2 4x 1xln4 y'  。 4x 1 1lnx 2 1 x 2 （5）y' ( )' (1 )' 2( )' 2  1lnx 1lnx 1lnx (1lnx)2 x(1lnx)22 y'  x(1lnx)2 （6）y' (2x2 5x1)'ex (2x2 5x1)(ex)' (4x5)ex (2x2 5x1)ex (2x2 x4)ex， y' (2x2 x4)ex。 sinxxcosx （7）y' ( )' cosxxsinx (sinxxcosx)'(cosxxsinx)(sinxxcosx)(cosxxsinx)'  (cosxxsinx)2 (cosxcosxxsinx)(cosxxsinx)(sinxxcosx)(sinxsinxxcosx)  (cosxxsinx)2 xsinx(cosxxsinx)(sinxxcosx)xcosx  (cosxxsinx)2 x2  。 (cosxxsinx)2 x2 y'  (cosxxsinx)2 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的． ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增 加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为 5284 c(x) (80 x100) 100x 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． 5284 5284'(100x)5284(100x)' c'(x)( )'  100x (100x)2 0(100x)5284(1) 5284   (100x)2 (100x)25284 （1） 因为c'(90) 52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变 (10090)2 化率是52.84元/吨． 5284 （2） 因为c'(98) 1321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变 (10090)2 化率是1321元/吨． 函数 f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知， c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为 90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就 越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本P 练习 92 2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； （y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．布置作业 §1.2.2复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的 导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y c y' 0 y  f(x) xn(nQ*) y' nxn1 y sinx y' cosx y cosx y' sinxy  f(x)ax y' axlna(a 0) y  f(x)ex y' ex 1 f(x)log x f(x)log xf '(x) (a 0【 a 1) a a xlna 1 f(x)lnx f '(x) x （二）导数的运算法则 导数运算法则 1． f(x)g(x)'  f '(x)g'(x) 2． f(x)g(x)'  f '(x)g(x) f(x)g'(x) '  f(x) f '(x)g(x) f(x)g'(x) 3．   (g(x)0) g(x) g(x)2 （2）推论：cf(x)' cf '(x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y  f(u)和u  g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数 y  f(u)和u  g(x)的复合函数，记作 y  f g(x)。 复合函数的导数 复合函数 y  f g(x)的导数和函数 y  f(u)和u  g(x)的导数间的关系为y   y u ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． x u x  若 y  f g(x)，则 yf g(x)  fg(x)g(x)   三．典例分析 例1（课本例4）求下列函数的导数： （1） y (2x3)2；（2）y e0.05x1； （3）y sin(x)（其中,均为常数）． 解：（1）函数 y (2x3)2可以看作函数y u2和u 2x3的复合函数。根据复合函 数求导法则有 y   y u  =(u2)'(2x3)' 4u 8x12。 x u x （2）函数 y e0.05x1可以看作函数y eu和u 0.05x1的复合函数。根据复合函 数求导法则有 y   y u  =(eu)'(0.05x1)' 0.005eu 0.005e0.05x1。 x u x （3）函数 y sin(x)可以看作函数 y sinu和u x的复合函数。根据复 合函数求导法则有 y   y u  =(sinu)'(x)' cosu cos(x)。 x u x 例2求y sin(tanx2)的导数． 解：y' [sin(tanx2)]' cos(tanx2)sec2(x2)2x 2xcos(tanx2)sec2(x2) y' 2xcos(tanx2)sec2(x2) 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐 层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． xa 例3求y  的导数． x2 2ax 2x2a 1 x2 2ax (xa) 2 x2 2ax 解： y'  x2 2axa2 a2 x2 2ax   ， x2 2ax x2 2ax (x2 2ax)2 a2 x2 2ax y'  (x2 2ax)2 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数． 1 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ sin22 x 2 1 3 1 ＝1－ （1－cos 4 x）＝ ＋ cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 4 4 4 【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sin x)′＋4 cos3x (cos x)′ ＝4 sin3x cos x ＋4 cos3x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin2x －cos2x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导 数，应注意不漏步． 例5曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的 距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 1 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 或x ＝1． 3 1 14 于是切点为P（1，2），Q（－ ，－ ）， 3 27 过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为 1 14 |  1| 3 27 16 ＝ 2 ． 2 27 四．课堂练习 sin2x 1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2） y  ;(3)log (x2 2) 2x1 a 2.求ln(2x2 3x1)的导数 五．回顾总结 六．布置作业 §1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以 对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数 在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中 高 度 h随 时 间 t变 化 的 函 数 h(t)4.9t2 6.5t10 的图像，图 3.3-1 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t 变化的函数 v(t)h'(t)9.8t6.5的图 像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增 函数．相应地，v(t)h'(t)0． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减 函 数．相应地，v(t)h'(t)0． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如 图 3.3-3， 导 数 f '(x )表示函数 f(x)在点(x ,y )处的切线的斜率． 0 0 0 在x x 处， f '(x )0，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f(x)在x 附近单调 0 0 0 递增； 在x x 处， f '(x )0，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f(x)在x 附近单调 1 0 1 递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内，如果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内单调递增；如 果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数 y  f(x)单调区间的步骤： （1）确定函数 y  f(x)的定义域； （2）求导数y'  f '(x)； （3）解不等式 f '(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 f '(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．已知导函数 f '(x)的下列信息： 当1 x4时， f '(x)0； 当x4，或x1时， f '(x)0； 当x4，或x1时， f '(x)0 试画出函数y  f(x)图像的大致形状． 解：当1 x4时， f '(x)0，可知y  f(x)在此区间内单调递增； 当x4，或x1时， f '(x)0；可知y  f(x)在此区间内单调递减； 当x4，或x1时， f '(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数y  f(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f(x) x3 3x； （2） f(x) x2 2x3 （3） f(x)sinxx x(0,)； （4） f(x)2x33x2 24x1 解：（1）因为 f(x) x3 3x，所以， f '(x)3x2 33(x2 1)0 因此， f(x) x3 3x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为 f(x) x2 2x3，所以， f '(x)2x22x1 当 f '(x)0，即x1时，函数 f(x) x2 2x3单调递增； 当 f '(x)0，即x1时，函数 f(x) x2 2x3单调递减； 函数 f(x) x2 2x3的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为 f(x)sinxx x(0,)，所以， f '(x)cosx10 因此，函数 f(x)sinxx 在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为 f(x)2x33x2 24x1，所以 ． 当 f '(x)0，即 时，函数 f(x) x2 2x3 ； 当 f '(x)0，即 时，函数 f(x) x2 2x3 ； 函数 f(x)2x33x2 24x1的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分 析 ：以 容 器 （2） 为 例 ，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越 快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：1B,2A,3D,4C 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快 慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的 快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数y  f(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”， 在b,或,a内的图像“平缓”． 例4．求证：函数y 2x33x2 12x1在区间2,1内是减函数． 证明：因为y' 6x2 6x126  x2 x2  6x1x2 当 x2,1即 2 x1时， y' 0，所以函数 y 2x33x2 12x1在区间 2,1内是减函数． 说明：证明可导函数 f x在a,b内的单调性步骤： （1）求导函数 f 'x； （2）判断 f 'x在a,b内的符号； （3）做出结论： f 'x0为增函数， f 'x0为减函数． 2 例5．已知函数 f(x)4xax2  x3 (xR)在区间1,1上是增函数，求实数a 3 的取值范围． 解： f '(x)42ax2x2，因为 f x在区间1,1上是增函数，所以 f '(x)0对 x1,1恒成立，即x2ax20 对x1,1恒成立，解之得：1a1所以实数a的取值范围为1,1． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调 性关系：即“若函数单调递增，则 f '(x)0；若函数单调递减，则 f '(x)0”来求解，注 意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 1 例6．已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间. x 1 解：y′=(x+ )′ x =1－ 1· x－ 2= x2 1 (x1)(x1)  x2 x2 (x1)(x1) 令 ＞0. x2 解得x＞1或x＜－1. 1 ∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). x (x1)(x1) 令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. x2 1 ∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1) x 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x[0,2] 4. y=xlnx x 2．课本 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数y  f(x)单调区间 （3）证明可导函数 f x在a,b内的单调性六．布置作业 §3.3.2函数的极值与导数（2课时） 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t) 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规 律？ 放大t a附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h(a)；在t a，当t a时， 函数h(t)单调递增，h(t)0；当t a时，函数h(t)单调递减，h(t)0；这就说明，在 t a附近，函数值先增（t a，h(t)0）后减（t a，h(t)0）．这样，当t在a的 附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0． 对于一般的函数y  f x，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1． 问 题 ： 图 3.3-1（ 1）， 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度 h随 时 间 t变 化 的 函 数 h(t)4.9t2 6.5t10 的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化 的函数v(t)h'(t)9.8t6.5的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现： （3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增 函数．相应地，v(t)h'(t)0． （4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减 函数．相应地，v(t)h'(t)0． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3，导数 f '(x )表示函数 f(x)在点(x ,y )处的切线的斜率．在 x x 处， 0 0 0 0 f '(x )0，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f(x)在x 附近单调递增；在x x 处， 0 0 1 f '(x )0，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f(x)在x 附近单调递减． 0 1 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内，如果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内单调递增；如 果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果 f '(x)0，那么函数 y  f(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数 y  f(x)单调区间的步骤： （1）确定函数 y  f(x)的定义域； （2）求导数y'  f '(x)； （3）解不等式 f '(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 f '(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 1 例1．（课本例4）求 f x x34x4的极值 3 1 解： 因为 f x x34x4，所以 3 f 'x x2 4(x2)(x2)。 f 'x0,x2,x2 下面分两种情况讨论：（1）当 f 'x >0,即x2，或x2时； （2）当 f 'x <0,即2 x2时. 当x变化时， f 'x， f x的变化情况如下表： x ,2 -2 (-2,2) 2 2, y + 0 － 0 + 28 4 y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 3 3 28 因此，当x2时， f(x)有极大值，并且极大值为 f(2) ； 3 4 当x2时， f(x)有极小值，并且极小值为 f(2) 。 3 1 函数 f x x34x4的图像如图所示。 3 y 1 f(x)= x3-4x+4 3 2 -2 O x 例2求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x =－1，x =0，x =1 1 2 3 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x ,1 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 1, y － 0 － 0 + 0 + y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时，y有极小值且y =0 极小值y fx = x2-13+1 -1 O 1 x 1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f(x)＜ 0 0 f(x )，就说f(x )是函数f(x)的一个极大值，记作y =f(x )，x 是极大值点 0 0 极大值 0 0 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f(x)＞f(x ). 0 0 0 就说f(x )是函数f(x)的一个极小值，记作y =f(x )，x 是极小值点 0 极小值 0 0 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如 下图所示，x 是极大值点，x 是极小值点，而 f(x )> f(x ) 1 4 4 1 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4. 判别f(x )是极大、极小值的方法: 0 若x 满足 f (x ) 0，且在x 的两侧 f(x)的导数异号，则x 是 f(x)的极值点， 0 0 0 0 f(x )是极值，并且如果 f (x)在x 两侧满足“左正右负”，则x 是 f(x)的极大值点， 0 0 0 f(x )是极大值；如果 f (x)在x 两侧满足“左负右正”，则x 是 f(x)的极小值点， f(x ) 0 0 0 0 是极小值 5. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检 查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x) 在这个根处无极值 如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 四、巩固练习： 1．求下列函数的极值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－77 令y′=0，解得x= . 2 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x  , 7  7   7 ,    2 2 2  y － 0 + 25 y ↘ 极小值 ↗ 4 7 25 ∴当x= 时，y有极小值，且y =－ . 极小值 2 4 (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x =－3，x =3. 1 2 当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x ,3 -3 (-3,3) 3 3, y + 0 － 0 + y ↗ 极大值54 ↘ 极小值-54 ↗ ∴当x=－3时，y有极大值，且y =54. 极大值 当x=3时，y有极小值，且y =－54 极小值 五、教学反思 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤. 还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个 极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要 看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业：书本P 34 3 . 4 . 5 §1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） 教学目标：   ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数 f(x)在闭区间 a,b 上 所有点（包括端点 a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一．创设情景 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的 性质．也就是说，如果x 是函数 y  f x的极大（小）值点，那么在点x 附近找不到比 0 0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在 0 某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果x 是函数的最大（小）值，那么 f x 不小（大） 0 0 于函数y  f x在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授   y 观察图中一个定义在闭区间 a,b 上的函数 f(x) 的图象．图中 f(x )与 f(x )是极小值， f(x )是极大 1 3 2   值．函数 f(x)在 a,b 上的最大值是 f(b)，最小值是 a x1 O x2 x3 b x f(x )． 3 1．结论：一般地，在闭区间 a,b 上函数 y  f(x)的图像是一条连续不断的曲 线，那么函数 y  f(x)在 a,b 上必有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数 y  f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数 y  f(x)在这个区间上连续．（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与 1 最小值．如函数 f(x)  在(0,)内连续，但没有最大值与最小值； x ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，     ⑷函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，是 f(x)在闭区间 a,b 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件．（可以不给学生讲） 2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个 局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也 可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有 最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．   一般地，求函数 f(x)在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f(x)在(a,b)内的极值； ⑵将 f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，   最小的一个是最小值，得出函数 f(x)在 a,b 上的最值 三．典例分析 1 例1．（课本例5）求 f x x34x4在0,3的最大值与最小值 3 解： 由例 4可知，在0,3上，当 x2时， f(x)有极小值，并且极小值为 4 f(2) ，又由于 f 04， f 31 3 1 4 因此，函数 f x x34x4在0,3的最大值是4，最小值是 ． 3 3 1 上述结论可以从函数 f x x34x4在0,3上的图象得到直观验证． 3 例2．求函数 y  x4 2x2 5在区间  2,2  上的最大值与最小值 解：先求导数，得y/  4x3 4x 令 y/＝0 即 4x3 4x 0解得 x  1,x 0,x 1 1 2 3 导数 y/的正负以及 f(2)， f(2)如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知，当x  2时，函数有最大值13，当x  1时，函数有最小值4 x2 axb 例3．已知 f(x)log ,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使 f(x)同时满 3 x 足下列两个条件：（1） f(x))在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2） f(x) 的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由. x2 axb 解：设g(x)= x ∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数. g'(1)0 b10 a 1 ∴ ∴ 解得 g(1)3 ab13 b1经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件. 四．课堂练习 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 y 12 1 1 1 3．函数y= x4  x3  x2，在［－1，1］上的最小值为( ) 10 4 3 2 8 13 A.0 B.－2 C.－1 D. 6 12 4 y=x4-2x2+5 4．求函数 y  x4 2x2 5在区间  2,2  上的最大值与最小值． 2 -4 -2 O 2 4 x 5．课本 练习 五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点， 区间端点；     2．函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，是 f(x)在闭区间 a,b 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件；   3．闭区间 a,b 上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最 值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 六．布置作业 §1.4生活中的优化问题举例（2课时） 教学目标： 1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问 题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利 用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下 几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关 系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当 的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中， 导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 用函数表示的数学问题 优化问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 三．典例分析 例1．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的 竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何 设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 128 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 x 128 512 S(x)(x4)( 2)1282x 8,x0。 x x 求导数，得 512 S'(x)2 。 x2 512 令S'(x)2 0，解得x16(x16舍去）。 x2 128 128 于是宽为  8。 x 16 当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 4 r3  y  f r0.2 r3 0.8r2 0.8 r2 ,0r 6 3  3  令 fr0.8(r2 2r)0 解得 r 2（r 0舍去） 当r0,2时， fr0；当r2,6时， fr0． 当半径r 2时， fr0它表示 f r单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r 2时， fr0 它表示 f r单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为2cm 时，利润最小，这时 f 20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶 子的成本，此时利润是负值． （2）半径为6cm时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r 3时， f 30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等；当r 3时，利润才为正值． 当r0,2时， fr0， f r为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时， 瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小． 例3．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本 单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得 小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域． （1） 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道Rr 不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存 m 2r 储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量 n Rr 2r 2 f(r) ×  r(Rr) m n mn （1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储 量越大． （2）为求 f(r)的最大值，计算 f(r)0． 2 f(r) R2r mn R 令 f(r)0，解得r  2 R R 当r  时， f(r)0；当r  时， f(r)0． 2 2 R 2R2 因此r  时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 mn 4 例4．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定 的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比 w 值．如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么G  ，其中，w表示汽油消耗量（单 s 位：L），s表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”， 就是求G的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽 油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位： km/h）之间有如图所示的函数关系g  f v． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油 平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h） 之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． w w t g 解：因为 G    s s v tg g 这样，问题就转化为求 的最小值．从图象上看， 表示经过原点与曲线上点的直线的斜 v v 率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此 时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即 f90， 约为 L． 例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ _x x x _60 _x _60 解法一：设箱底边 长 为 xcm， 则 箱 高 60x h cm，得箱子 2 容积 60x2 x3 V(x)  x2h  (0 x 60)． 2 3x2 V(x)60x (0 x 60) 2 3x2 令 V(x)60x ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 2 并求得V(40)=16 000 由题意可知，当 x过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm， 则得箱子容积 V(x) (602x)2x (0 x 30)．（后面同解法 一，略） 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很 小，所以最大值出现在极值点处．60x2 x3 事实上，可导函数V(x)  x2h  、V(x) (602x)2x在各自的定义域中 2 都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值 点，不必考虑端点的函数值 例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的 材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 V 由V=πR2h，得h ，则 R2 V 2V S(R)= 2πR + 2πR2= +2πR2 R2 R 2V 令 s(R) +4πR=0 R2 V V V 4V V 解得，R=3 ，从而h= = =3 =23 2 R2 V   (3 )2 2 即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能 使所用材料最省？ S 2R2 提示：S=2Rh+2R2 h= 2R S 2R2 1 1 V(R)= R2= (S 2R2)R  SRR3 2R 2 2 V'(R))=0 S  6R2  6R2  2Rh2R2  h  2R． 例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产 品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。 （1）、如果 C(x)＝106x3 0.003x2 5x1000，那么生产多少单位产品时，边际 C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润 最大？ 变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的 1 函数关系式为 p  25 q．求产量q为何值时，利润L最大？ 8分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与 产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．  1  1 解：收入Rqpq  25 q  25q q2，  8  8  1  1 利润L RC   25q q2  (1004q) q221q100 (0q100)  8  8 1 L q21 4 1 令L0，即 q210，求得唯一的极值点q84 4 答：产量为84时，利润L最大 例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时 的高h和下底边长b. 1 3 解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE= h,BC=b 2 3 2 3 1 2 3 3 ∴AD= h+b, ∴S= ( h2b)h( hb)h ① 3 2 3 3 h 2 2 ∵CD=  h,AB=CD.∴l= h×2+b ② cos30 3 3 S 3 4 3 S 3 S 由①得b=  h,代入②,∴l= h  h 3h h 3 3 h 3 h S S S S l′= 3 =0,∴h= , 当h< 时，l′<0,h> 时，l′>0. h2 4 3 4 3 4 3 S 24 3 ∴h= 时，l取最小值，此时b= S 4 3 3 例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方 的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长． 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y）， 在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 2 由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝ 3，易知 3 4 x ＝ 是S在（0，2）上的极值点， 3即是最大值点， 2 8 所以这种矩形中面积最大者的边长为 3和 ． 3 3 【点评】 应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如 确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值． 练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付 手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几 次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？ 【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元， x 由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即 ，故有 2 150 x 4500 y ＝ ×30＋ ×40，y′＝－ ＋20， x 2 x2 9000 令y′＝0，得x ＝15，且y″＝ ，f″(15)＞0， x3 所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一， 150 故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为 ＝10（次）． 15 即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少． 2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城 相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千 米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？ 【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元， 则CD ＝ x2 402 ． y ＝500（50－x）＋700 x2 1600 ＝25000－500 x ＋700 x2 1600 ， 1  1 y′＝－500＋700 · (x 2＋1600) 2· 2 x 2 700x ＝－500＋ ， x2 1600 50 6 令y′＝0，解得x ＝ ． 3 50 6 答：水厂距甲距离为50－ 千米时，总费用最省． 3【点评】 当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x， 然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）． 四．课堂练习 1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比 另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大 容积1.8m3） 5．课本 练习 五．回顾总结 1．利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 用函数表示的数学问题 优化问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过 研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 利的工具。 六．布置作业 1.5.1 曲边梯形的面积 一：教学目标 知识与技能目标 理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解 三：教学过程： 1．创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那 么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概 念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。 一个概念：如果函数 y  f(x)在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就 把函数y  f(x)称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2．新课讲授 问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲 线 y  f(x)的 一 段 ， 我 们 把 由 直 线 xa,xb(a b),y 0和曲线 y  f(x)所围成的图形 称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ 例1：求图中阴影部分是由抛物线 y  x2，直线x 1以及x轴所围成的平面图形的面 积S。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的 所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． y y y x x x 1 1 1 x x xy yx2 O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.1 把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形 “以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近 似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越 精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为 计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区 间：  1 1 2 n1  0, ， , ，…， ,1        n n n  n  i1 i  记第i个区间为 , (i 1,2,,n)，其长度为    n n i i1 1 x   n n n 分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作： S ，S ，…，S 1 2 n n 显然，S S i i1 （2）近似代替 记 f x x2，如图所示，当 n很大，即 x很小时，在区间 i1 i  , 上，可以认为函数 f x x2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它    n n i1 i1 近似的等于左端点 处的函数值 f  ，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近 n  n i1 i  似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间 , 上，用小矩形的面积S近   n n   i 似的代替S ，即在局部范围内“以直代取”，则有 i 2 2 i1 i1 i1 1 S S f   Ax   Ax    A (i 1,2,,n) ① i i  n   n   n  n （3）求和 由①，上图中阴影部分的面积S 为 n n n i1 n i1 2 1 S S f Ax A     n i  n   n  n i1 i1 i1 2 2 1 1 1 n1 1 1 =0A    A    A = 12 22 n12 n n n  n  n n3   1 n1n2n1 1 1 1  = =  1  1  n3 6 3 n 2n 1 1 1  从而得到S 的近似值 S S   1  1  n 3 n 2n （4）取极限 分别将区间0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x 1 1 1  趋向于0时，S   1  1 趋向于S ，从而有 n 3 n 2n n i1 1 1 1 1  1 S limS lim f A lim 1 1       n n n  n  n n3 n 2n 3 i1 从数值上的变化趋势：3．求曲边梯形面积的四个步骤: 第一步：分割．在区间a,b中任意插入n1各分点，将它们等分成n个小区间 x ,x i 1,2,,n，区间x ,x 的长度x  x x ， i1 i i1 i i i i1 第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每 个小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和． 第四步：取极限。 说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为： 分割以直代曲求和逼近 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 例2．求y 2xx2,y 0,0 x2围成图形面积 解：1．分割 在区间0,2上等间隔地插入n1个点，将区间0,2等分成n个小区间：  2 2 4 2n1   0,  ，  ,  ，…， ,1  n n n  n  2i1 2i 记第i个区间为 ,  (i 1,2,,n)，其长度为 n n   2i 2i1 2 x   n n n 分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记 作：S ，S ，…，S 1 2 n n 显然，S S i i1 （2）近似代替 2i1 2i ∵y 2xx2，当n很大，即x很小时，在区间 ,  (i 1,2,,n)上， n n   可以认为函数 y 2xx2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左 2i1 2i1 2i1 2 2i1 2i 端点 处的函数值2   ，这样，在区间 ,  上，用 n n n n n       小矩形的面积S近似的代替S ，即在局部范围内“以直代取”，则有 i i  2i1 2i1 2  2i1 2i1 2 2 S S2   Ax 2   A ① i i   n   n     n   n   n     （3）求和 由①，上图中阴影部分的面积S 为 n n n  2i1 2i1 2 2 S S2   A n i1 i i1    n   n    n n i1  i1 2 8 n = 4A A  1  A = ni1i12 n  n  n n3   i1 i1 = 8  012n1   8  12 22 n12 n2 n3 8 nn1 8 n1n2n1 =  n2 2 n3 6 8 nn1 8 n1n2n1 从而得到S 的近似值 S S   n n2 2 n3 6 （4）取极限 n  8 nn1 8 n1n2n1 4 S limS lim     n n n i1  n2 2 n3 6  3 练习 设S表示由曲线y  x ，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。四：课堂小结 求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想） 五：教学后记 1.5.2 汽车行驶的路程 一：教学目标 知识与技能目标 了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中 渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近） 过程与方法 通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的 思想 情感态度与价值观 在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观 二：教学重难点 重点 掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限） 难点 过程的理解 三：教学过程： 1．创设情景 复习：1．连续函数的概念； 2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤； 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反 之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 2．新课讲授 问题：汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为S vt．如果汽车 作变速直线运动，在时刻t的速度为vtt2 2（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位： h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路 程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间0,1分成n个小区间，在每个小区间上， 由于vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S （单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思 想方法求出匀变速直线运动的路程）． 解：1．分割 在时间区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：  1 1 2 n1  0, ， , ，…， ,1        n n n  n  i1 i  记第i个区间为 , (i 1,2,,n)，其长度为    n n i i1 1 t    n n n  1 1 2 n1  把汽车在时间段 0, ， , ，…， ,1 上行驶的路程分别记作：        n n n  n  S ，S ，…，S 1 2 n n 显然，S S i i1 （2）近似代替 i1 i  当n很大，即t很小时，在区间 , 上，可以认为函数vtt2 2的值变化    n n i1 很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值 n 2 i1 i1 i1 i  v      2，从物理意义上看，即使汽车在时间段  ,  (i 1,2,,n)  n   n   n n 2 i1 i1 i1 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度v      2作匀 n  n   n  速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积S近似的代替 i S ，即在局部范围内“以直代取”，则有 i i1  i1 2  1 i1 2 1 2 S Sv   At    2A    A  (i 1,2,,n) ① i i  n    n   n  n  n n （3）求和n n i1 n  i1 2 1 2 由①，S Sv   At     A   n i1 i i1  n  i1   n  n n 2 2 1 1 1 n1 1 1 =0A    A    A 2= 12 22 n122 n n n  n  n n3   1 n1n2n1 1 1 1  = 2=  1  1  2 n3 6 3 n 2n 1 1 1  从而得到S 的近似值 S S   1  1  2 n 3 n 2n （4）取极限 1 1 1  当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，S   1  1  2趋向于S ，从 n 3 n 2n 而有 n 1 i1  1 1 1   5 S limS lim Av   lim    1  1  2   n n n n  n  n 3 n 2n  3 i1 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S 与由直线 t 0,t 1,v0和曲线vt2 2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程S limS 在数据上等于由直线t 0,t 1,v0 n n 和曲线vt2 2所围成的曲边梯形的面积． 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤ t≤b内所作的位移S ． 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，x是伸 长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x，则所作的功为W  Fx． 1．分割 在区间0,b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：  b b 2b n1b   0,  ，  ,  ，…， ,b  n n n   n i1b ib 记第i个区间为 ,  (i 1,2,,n)，其长度为 n n   ib i1b b x   n n n  b b 2b n1b  把在分段  0,  ，  ,  ，…， ,b上所作的功分别记作：  n n n   n  W ，W ，…，W 1 2 n （2）近似代替 i1b i1b b 有条件知：W  F xk  (i 1,2,,n) i n n n   （3）求和 n n i1b b W W k  n i n n i1 i1 kb2 kb2 nn1 kb2  1 =  012n1     1  n2 n2 2 2  n kb2  1 从而得到W 的近似值 W W   1  n 2  n （4）取极限 n kb2  1 kb2 W limW limW lim 1    n n n i n 2  n 2 i1 kb2 所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为： 2 四：课堂小结 求汽车行驶的路程有关问题的过程． 五：教学后记 阿 1.5.3 定积分的概念 一：教学目标 知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 过程与方法 借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念； 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 三：教学目标 ： 1．创设情景 复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤： 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 2．新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数 f(x)在区间[a,b]上连续，用分点 a  x  x  x  x  x  x b 0 1 2 i1 i n ba 将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（x ），在每个小区间 n n n ba x ,x 上取一点i 1,2,,n，作和式：S  f()x f() i1 i i n i n i i1 i1 如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式S 无限趋近于常数S ，那么称该常数 n b S 为函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：S   f (x)dx a 其中 f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。 b 说明：（1）定积分 f(x)dx是一个常数，即S 无限趋近的常数S （n时）称 n a b 为 f (x)dx，而不是S ． n a （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点x ,x ； i i1 i n ba ③求和： f()； n i i1 b n ba ④取极限： f(x)dxlim f  a n i n i1 b t （3）曲边图形面积：S  f xdx；变速运动路程S  2v(t)dt； a t 1 b 变力做功 W  F(r)dr a 2．定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数连续且恒有 f(x)0，那么定积 b 分 f(x)dx表示由直线 xa,xb（ab）， y 0和曲 a 线y  f(x)所围成的曲边梯形的面积。 b 说明：一般情况下，定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数 f(x)的图形以及 a 直线xa,xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积 去负号． 分析：一般的，设被积函数y  f(x)，若y  f(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式 f x x f x x f(x )x f x x 1 2 i n 不妨设 f(x ), f(x ),, f(x )0 i i1 n 于是和式即为 f x x f x x f(x )x{[f(x )x][f x x]} 1 2 i1 i n b  f(x)dx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积） a 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： b 性质1  1dx ba a b b 性质2  kf(x)dx  k f(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） a a b b b 性质3  [f (x) f (x)]dx f (x)dx f (x)dx （定积分的线性性质） 1 2 1 2 a a a b c b 性质4  f(x)dx f(x)dx f(x)dx (其中acb) a a c （定积分对积分区间的可加性）   b 性质5 若 f(x)0, x a,b ，则 f(x)dx 0 a 推论1： f(x) g(x)， b f(x)dx  b g(x)dx  a b  a a推论2： b f(x)dx  b g(x)dx  a b  a a   性质6设M,m为 f(x)在 a,b 上的最大值、最小值，则 b m(ba)  f(x)dx  M(ba) a     b 性质7（中值定理）若 f(x) a,b ，则至少有一 a,b ，使 f(x)dx  f()(ba). a 1 b   证：由性质6知，m  f(x)dx  M ，依介值定理，必有 a,b ， ba a 1 b b 使  f(x)dx  f()，即 f(x)dx  f()(ba)。 ba a a 说明： b b b b ①推广： [f (x) f (x) f (x)]dx f (x)dx f (x)dx f (x) 1 2 m 1 2 m a a a a b c c b ②推广: f(x)dx 1 f(x)dx 2 f(x)dx f(x)dx a a c c 1 k ③性质解释： 性质4 性质1 S S S 曲边梯形AMNB 曲边梯形AMPC 曲边梯形CPNB 2 例1．计算定积分 (x1)dx 1 5 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为 。 2 2 5 即： (x1)dx 1 2 y 2 思考：若改为计算定积分 (x1)dx呢？ 2 改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上出 现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） o 1 2 x 练习 计算下列定积分 5 1． (2x4)dx 05 解： (2x4)dx945 0 1 2． x dx 1 1 1 1 解： x dx 11 111 1 2 2 例2．计算由两条抛物线y2  x和y  x2所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积 的差得到。 y  x 解：  x0及x1，所以两曲线的交点为 y  x2 （0，0）、（1，1），面积S= 1 xdx 1 x2dx，所以 y  x B 0 0 S=  1 ( x-x2)dx    2 x 3 2  x3  1 = 1 C y  x2 0 3 3  3 0 D A O 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步 骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线y  x3 6x和y  x2所围成的图形的面积. 四：课堂小结 定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 五：教学后记 （1）定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积， 进而在相关习题中出现错误 阿 1.6 微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证 唯物主义观点，提高理性思维能力。二：教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的 含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般 方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o）， T 则物体在时间间隔[T ,T ]内经过的路程可用速度函数表示为 2v(t)dt。 1 2 T 1 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T ,T ]上的增量S(T )S(T )来表 1 2 1 2 达，即 T  2v(t)dt=S(T )S(T ) 1 2 T 1 而S(t) v(t)。 对于一般函数 f(x)，设F(x)  f(x)，是否也有 b  f(x)dx  F(b)F(a) a 若上式成立，我们就找到了用 f(x)的原函数（即满足 F(x)  f(x)）的数值差 F(b)F(a)来计算 f(x)在[a,b]上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数 f(x)的任意一个原函数，则 b  f(x)dx  F(b)F(a) a x 证明：因为(x)= f(t)dt与F(x)都是 f(x)的原函数，故 a F(x)-(x)=C（a  x b） 其中C为某一常数。 a 令x  a得F(a)-(a)=C，且(a)= f(t)dt =0 a 即有C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a) x  (x)=F(x)-F(a)= f(t)dt ab 令x b，有 f(x)dx  F(b)F(a) a 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用F(x)|b表示F(b)F(a)，即 a b  f(x)dx  F(x)|b F(b)F(a) a a 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的 一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后 面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅 如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： 21 3 1 （1） dx； （2） (2x )dx。 1 x 1 x2 1 解：（1）因为(lnx)'  ， x 21 所以 dxlnx|2ln2ln1ln2。 1 x 1 1 1 （2））因为(x2)' 2x,( )'  ， x x2 3 1 3 3 1 所以 (2x )dx 2xdx dx 1 x2 1 1 x2 1 1 22  x2 |3  |3(91)( 1) 。 1 x 1 3 3 1 练习：计算 x2dx 0 1 解：由于 x3是x2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 1 1 1  x2dx= x3 |1 = 13  03= 0 3 0 3 3 3 例2．计算下列定积分：  2 2  sinxdx, sinxdx, sinxdx。 0  0 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为(cosx)' sinx， 所以   sinxdx (cosx)|(cos)(cos0)2， 0 0 2  sinxdx(cosx)|2(cos2)(cos)2，   2  sinxdx(cosx)|2(cos2)(cos0)0. 0 0 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于 曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3 ( 2 ） （2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等 于曲边梯形的面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分 的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的 曲边梯形面积． 例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8 米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v =32公里/小 0 321000 时= 米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v at=8.88-1.8t当汽 3600 0 8.88 车停住时,速度v(t)=0,故从v(t)=8.88-1.8t=0解得t= 4.93秒 1.8 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 4.93 4.93 4.93 1 s   v(t)dt   (8.881.8t)dt=(8.881.8 t2) 21.90米,即在刹车后,汽 0 0 2 0 车需走过21.90米才能停住. 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一 种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成 为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的 成果． 四：课堂小结 ： 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布 尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分 的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的 知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！ 五：教学后记： 从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己 早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班 重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当 简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原 因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。 §1.7 定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线y2  x和y  x2所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积 的差得到。 y  x 解：  x0及x1，所以两曲线的交点为 y  x2 （0，0）、（1，1），面积S= 1 xdx 1 x2dx，所以 y  x B 0 0 S=  1 ( x-x2)dx    2 x 3 2  x3  1 = 1 C y  x2 0 3 3  3 0 D A O 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步 骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。巩固练习 计算由曲线y  x3 6x和y  x2所围成的图形的面积. 例2．计算由直线y  x4，曲线y  2x 以及x轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 和S ．为了确定出 1 2 被积函数和积分的上、下限，需要求出直线 y  x4与曲线 y  2x 的交点的横坐标，直 线y  x4与 x 轴的交点． 解：作出直线 y  x4，曲线 y  2x 的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． y  2x, 解方程组 y  x4 得直线y  x4与曲线y  2x 的交点的坐标为（8,4) . 直线y  x4与x轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S +S 1 2 4 8 8  2xdx[ 2xdx (x4)dx] 0 4 4 2 2 3 2 2 3 1 40  x2 |4  x2 |8 (x4)2 |8 . 3 0 3 4 2 4 3 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 2 2 例3.求曲线 ysin x x[0, ]与直线x0,x , x轴所围成的图形面积。 3 3 2 2 3 答案： S【  3 sinxdxcosx| 3  0 o 2 练习 1、求直线 y  2x3与抛物线 y  x2所围成的图形面积。3 x3 32 答案：S【 【 2x【 3【 x2)dx【 x2 3x )|3  1 3 1 3 y 2、求由抛物线 yx2 4x3及其在点M（0，－3） 和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 o x 略解：y/ 2x4，切线方程分别为 y4x3、 y=－x2+4x-3 y2x6，则所求图形的面积为 3 3 9 S【 2[(4x3)(x2 4x3)]dx  [(2x6)( x2 4x3)]dx【 3 0 4 2 3、求曲线 ylog x与曲线 ylog (4 x)以及x轴所围成的图形面积。 2 2 略解：所求图形的面积为 1 1 S【 【 g(y) f(y)dy (422y)dy 0 0 【 4y22y log e)|142log e 2 0 2 1 4、在曲线y  x2(x  0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为 . 12 试求：切点A的坐标以及切线方程. x y=x2 略解：如图由题可设切点坐标为【 x ,x 2)，则切线方程 0 0 A 为 y2x x x 2，切线与x轴的交点坐标为 0 0 O BC x x x 0 x x 3 1 ( 0 ,0)，则由题可知有S  2 x2dx  0(x2 2x x x 2)dx 0  2 0 x 0 0 0 12 12 2 x 1，所以切点坐标与切线方程分别为A(1,1),y  2x1 0 总结：1、定积分的几何意义是： 【【【 [a,b]【【【【 y f(x)【【【 xa、 b xb【【 x轴所围成的图形的面积的代数和，即 f(x)dx S 【 S . x【【【 x【【【 a 因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要 特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数 ysinx x【【 ,2【 的图像与x轴围成的 图形的面积为4,而其定积分为0. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； （2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数； （4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）x型区域： ①由一条曲线 y f(x)(【【 f(x)0【 与直线 xa,xb(ab)以及 x轴所围成 b 的曲边梯形的面积：S【  f(x)dx（如图（1））； a ②由一条曲线 y f(x)(【【 f(x)0【 与直线 xa,xb(ab)以及 x轴所围成 b b 的曲边梯形的面积：S【  f(x)dx【【  f(x)dx（如图（2））； a a ③由两条曲线 y f(x)【 y g(x)(【【 f(x) g(x)【 与直线xa,xb(ab) y y y y  f (x) y  f (x) a b x y  g(x) a b x b y  f (x) a x 图（1） 图（2） 图（3） b 所围成的曲边梯形的面积：S【 | f(x)【 g(x)|dx（如图（3））； a （2） y型区域： ①由一条曲线 y f(x)(【【 x0【 与直线 ya,yb(ab)以及 y轴所围成的曲 b 边梯形的面积,可由 y f(x)得xh(y)，然后利用S【 h(y)dy求出（如图（4））； a ②由一条曲线 y f(x)(【【 x0【 与直线 ya,yb(ab)以及 y轴所围成的曲 b b 边梯形的面积，可由 y f(x)先求出xh(y)，然后利用S【 h(y)dy【【 h(y)dy求 a a 出（如图（5））； ③由两条曲线 y f(x)【 y g(x)与直线 ya,yb(ab)所围成的曲边梯形的 面积，可由 y f(x)【 y g(x)先分别求出 xh (y)， xh (y)，然后利用 1 2 b y S【  |h (y)【 h (y)|dy求出（如图（6））； 1 2 y y ba b b y  f (x) y  f (x) x x y  f (x) y  g(x) x a a a图（4） 图（5） 图（6） 2．求平面曲线的弧长 设曲线AB方程为y  f(x)(a xb)，函数 f(x)在区间[a,b]上可导，且 f '(x)连续， 则曲线AB的弧长为 b l  1[f '(x)]2dx. a 3．求旋转体的体积和侧面积 由曲线 y  f(x)，直线xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴 旋转而成的旋转体体积为 b V  [f(x)]2dx. a 其侧面积为 b S 2 f(x) 1[f '(x)]2dx. 侧 a （二）、定积分在物理中应用 (1)求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 b s  v(t)dt a 例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路 程． 解：由速度一时间曲线可知： 3t,0t 10,  v(t)30,10t 40  1.5t90,40t 60.  因此汽车在这 1 min 行驶的路程是： 10 40 60 s  3tdt[ 30dt (1.5t90)dt 0 10 403 3  t2 |10 30t|40 ( t2 90t)|601350(m) 2 0 10 4 40 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m . 2．变力作功 一物体在恒力 F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F相同的方向移 （单位：m)，则力F所作的功为W=Fs . 探究 如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a0)---------大前提 lg8=lg23————小前提 lg8=3lg2————结论 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提 lg0.8=lg(8/10)——－小前提 lg0.8=lg(8/10)——结论 例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等 解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提 所以△ABD是直角三角形——结论 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提 1 所以 DM= AB——结论 2 同理 EM= AB 所以 DM=EM. 练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题 五 回顾小结： 演绎推理具有如下特点:课本第33页 。 演绎推理错误的主要原因是1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。 作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。 课题：推理案例赏识 课型：新授课 教学目标： 1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。 2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。 3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别 教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。 教学过程： 2 复习 合情推理和演绎推理的过程 3 案例： 例一 正整数平方和公式的推导。 提出问题 我们知道，前n个正整数的和为 1 S 1(n)=1+2+3+…….+n= 2 n(n+i) ① 那么，前n 个正整数的平方和 S 12 22 32 ........n2 2（n）＝ ＝？ ② 三，数学活动 思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想 n(n1)(2n1) S 2（n）＝ 6 思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？ 在这个过程中提出了哪些猜想？ 提出猜想时使用了哪些推理方法？ 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？ 思路2 （演绎的方案） 尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。2 把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页 S 左右两边分别相加，等号两边的 2（n）被消去了，所以无法从中求出 S 2（n）的值，尝试失败了。 （2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试 （3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加， 终于导出了公式。 思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？ 在这个过程中提出了哪些猜想？ 提出猜想时使用了哪些推理方法？ 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。 四，数学理论： 上面的案例说明： （1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验 证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共 同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为 演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供 思路的作用。 （3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中， 它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提， 而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提 供依据。 五，巩固练习： 阅读课本第39页 棱台体积公式的探求 通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中 的作用的案例，并回答问题： 1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？ 2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？ 3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？ 4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？ 六，教学小结： （1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验 证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共 同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为 演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供 思路的作用。 （3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中， 它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提， 而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提 供依据。七，作业： 八，教后感： 课题：直接证明--综合法与分析法 1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的 两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的 思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能 力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数 学的兴趣。 2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点 3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。 5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形” 是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干 个平方和等是“变形”的常用方法。 6．教学过程: 学生探究过程：证明的方法 （1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发， 一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是 从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待 证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索 因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本 思考方法，应用十分广泛。 （2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞ a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立， 即需证(a-b)2＞0成立。 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然 成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证 x 1 例 2、 若 实 数 ， 求 证 ： 3(1 x2  x4) (1 x x2)2. 证明：采用差值比较法： 3(1 x2  x4)(1 x x2)2 33x2 3x4 1x2 x4 2x2x2 2x3 = 2(x4 x3 x1) 2(x1)2(x2  x1) = = 1 3 2(x1)2[(x )2  ]. 2 4 = 1 3 x 1,从而(x1)2 0,且(x )2  0, 2 4 1 3 2(x1)2[(x )2  ]0, 2 4 ∴ ∴ 3(1 x2  x4) (1 x x2)2. a,bR, aabb  abba. 例3、已知 求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方 法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关 a,b a b 0. 于 对称，不妨设 ab0 aabb abba  abbb(aab bab)0 ，从而原不等式得证。 a b 0, 2）商值比较法：设 a aabb a  1,ab 0,  ( )ab 1. b abba b 故原不等 式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。 用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、 判断符号。 x 1 讨论：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如何变 换？ 巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4 课后作业：第84页 1，2, 3 教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成 若干个平方和等是“变形”的常用方法。 课题：间接证明--反证法 1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的 一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能 力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数 学的兴趣。 2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点 3. 教学难点：反证法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。 5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾 结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或 已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 6．教学过程: 学生探究过程：综合法与分析法 (1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相 反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾， 从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证 法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结 论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分 为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常 用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/ 不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于； 大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有； 至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/ 至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必 须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必 须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已 知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (2)、例子 2 例1、求证： 不是有理数 a b 0 n a  n b nN n 1 例2、已知 ，求证： （ 且 ） a3 b3  2 ab  2. 例3、设 ，求证 ab  2 a  2b 证明：假设 ，则有 ，从而 a3 812b6b2 b3, a3 b3 6b2 12b86(b1)2 2. 6(b1)2 2 2 a3 b3  2 因为 ，所以 ，这与题设 a3 b3  2 条件 矛盾，所以，原不 ab 2 等式 成立。 f(x)  x2  pxq 例 4、 设 二 次 函 数 ， 求 证 ：1 f(1), f(2), f(3) 中至少有一个不小于2 . 1 f(1), f(2), f(3) 证明：假设 都小于2 ，则 f(1) 2 f(2)  f(3)  2. （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 f(1) 2 f(2)  f(3)  f(1)2f(2) f(3)  (1 pq)2(42pq)(93pq)  2 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来 的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一 个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛 盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已 知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根 据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  1 c)a,不可能同时大于4 1 1 1 证：设(1  a)b >4 , (1  b)c >4 , (1  c)a >4 , 1 则三式相乘：ab < (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <64 ① 又 ∵ 0 < a, b, c < 1 ∴ 2 (1a)a 1 0(1a)a      2  4 1 1 (1b)b (1c)c  同理： 4, 4 1 以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤64与①矛盾 ∴原式成立 例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 巩固练习：第83页练习3、4、5、6 课后作业：第84页 4、5、6 教学反思： 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相 反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾， 从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证 法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结 论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分 为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些 常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/ 不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于； 大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/ 至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必 须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必 须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已 知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 课题:数学归纳法 一、教学目标： 1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。 2．掌握数学归纳法证明问题的方法。 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。 难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 三、教学过程： 【创设情境】 1．华罗庚的“摸球实验”。 2．“多米诺骨牌实验”。 问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了 利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？ 数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据 的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程， 是处理自然数问题的有力工具。 【探索研究】1．数学归纳法的本质： 无穷的归纳→有限的演绎（递推关系） 2．数学归纳法公理： （1）（递推奠基）：当n取第一个值n 结论正确； 0 （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n )时结论正确；（归 0 纳假设） 证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从n 开始的所有正整数n都正确。 0 【例题评析】 例 1：以知数列{a }的公差为d，求证：a  a  (n 1)d n n 1 说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1) 与f(k)的递推关系，是解题的关键。 ②数学归纳法证明的基本形式； （1）（递推奠基）：当n取第一个值n 结论正确； 0 （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n )时结论正确；（归 0 纳假设） 证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从n 开始的所有正整数n都正确。 0 EX: 1.判断下列推证是否正确。 P88 2,3 2. 用数学归纳法证明 1427310n(3n1)  n(n1)2 1 1 1 例 2：用数学归纳法证明   1(n n 1 n  2 3n 1 ∈N,n≥2) 说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。 EX:1.用 数 学 归 纳 法 证 明 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1        2 3 4 2n1 2n n1 n2 2n (1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项； (2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项； (3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项； (4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同? 1 1 1 变题: 用数学归纳法证明   1 (n∈N+) 2 22 2n 1 1 1 例 3：设 f(n)=1+   ,求证 n+f(1)+f(2)+…f(n- 2 3 n 1)=nf(n) (n∈N,n≥2)说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。 【课堂小结】 1．数学归纳法公理： （1）（递推奠基）：当n取第一个值n 结论正确； 0 （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n )时结论正确；（归 0 纳假设） 证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从n 开始的所有正整数n都正确。 0 2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推 条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系. 【反馈练习】 1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 1 1 1 2．用数学归纳法证明1    nnN且n 1 2 3 2n 1 第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( ) A. 2k 1 B 2k 1 C 2k D 2k1 1 1 1 13 3．若n为大于1的自然数，求证    n1 n2 2n 24 1 1 7 13 证明 (1)当n=2时，    21 22 12 24 1 1 1 13 (2)假设当n=k时成立，即    k1 k2 2k 24 1 1 1 1 1 1 1 则当nk1时,       k2 k3 2k 2k1 2k2 k1 k1 13 1 1 1 13 1 1        24 2k1 2k2 k1 24 2k1 2k2 13 1 13    24 2(2k1)(k1) 24 4． 用 数 学 归 纳 法 证 明 n1n2nn2n132n1,  nN 【课外作业】 《课标检测》课题:数学归纳法 一、教学目标： 1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。 2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题 3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 难点：归纳→猜想→证明。 三、教学过程： 【创设情境】 问题 1：数学归纳法的基本思想？ 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完 全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系） 问题 2：数学归纳法证明命题的步骤？ （1）递推奠基：当n取第一个值n 结论正确； 0 （2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n )时结论正确；（归纳 0 假设） 证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从n 开始的所有正整数n都正确。 0 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现 在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列 的通项及前n项和等问题。 【探索研究】 问题：用数学归纳法证明：(3n 1)A7n 1能被9整除。 法一：配凑递推假设： 法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。 说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 ②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。【例题评析】 例1：求证: an1  (a 1)2n1能被a2  a 1整除（n∈N+）。 例 2： 数 列 {a }中 ， a  a ,a =1 且 n n1 n 1 (a  a )2  2(a  a ) 1 0 n1 n n n1 （1）求a ,a ,a 的值； 2 3 4 （2）猜想{a }的通项公式，并证明你的猜想。 n 说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明 变题：（2002全国理科）设数列{a }满足a  a 2  na 1 n n1 n n ，n∈N+, (1)当a =2时，求a ,a ,a ，并猜想{a }的一个通项公式； 1 2 3 4 n （2）当a ≥3时，证明对所有的n≥1,有 1 1 1 1 1 ①a ≥n+2 ②  AAA  n 1 a 1 a 1 a 2 1 2 n 例 3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不 共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？ 变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个 圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。 例 4： 设 函 数 f(x)是 满 足 不 等 式 log x  log (3A2k1  x)  2k 1,(k∈N+)的自然数x的个数； 2 2 （１）求f(x)的解析式； （２）记S =f(1)+f(2)+…+f(n),求S 的解析式； n n （３）令Ｐ =n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓ 与Ｐ 的大小。 n n n 【课堂小结】 1.猜归法是发现与论证的完美结合数学归纳法证明正整数问题的一般方法： 归纳→猜想→证明。 2.两个注意： （1）是否用了归纳假设？ （2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？ 【反馈练习】 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1 观察下列式子 1  ,1   ,1    2 2 22 32 3 22 32 42 4 …则可归纳出____ 1 1 1 2n1 答案:1    (n∈N*) 22 32 (n1)2 n1 1．用数学归纳法证明2n  n2 n 4,nN 1 1 1 1 2． 已 知 数 列 ， ， ，...， ，...，计 算 14 47 710 （3n2）（3n1） S，S ，S ，S ，根据计算结果，猜想S 的表达式，并用数学归纳法证 1 2 3 4 n 明。 3.是 否 存 在 常 数 a、 b、 c， 使 等 式 3 3 3 3  1   2   3   n  an2 bnc           n   n   n   n  n 对一切nN都成立？并证明你的结论. 【课外作业】 《课标检测》课题:复习课 一、教学目标： 1．了解本章知识结构。 2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认 识。课题:数学归纳法 3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能 力。 二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法， 形成对数学的完整认识。 难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识， 提高创新能力 三、教学过程： 【创设情境】 一、知识结构： 归纳推理 合情推理 推理 类比推理 推 演绎推理 理 与 综合法 证 分析法 直接证明 明 数学归纳 证明 法 间接证明 反证法 【探索研究】 我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分 析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 【例题评析】 例1：如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２， ３，…）。则第n－2个图形中共有________个顶点。 变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图 案： 第1个 第2个 第3个 则第n个图案中有白色地面砖 块。 例 2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为,， 则cos2sin2 =1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为： _______________________; 变题 1：已知，m是非零常数，x∈R,且有 f (x  m)= 1 f (x) ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不 1 f (x) 是，说明理由。变 题 2： 数 列 {a }的 前 n项 和 记 为 S ， 已 知 n n n2 a 1,a  S (n 1,2,3).证明： 1 n1 n n S （Ⅰ）数列{ n}是等比数列； n （Ⅱ）S  4a . n1 n 例 3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象 关于y轴对称，求证： 1 f (x  )为偶函数。 2 1 1 1 n 例 4：设 S =1+ + +...+ (n>1,n∈N),求证：S 1 （ n 2 3 n 2n 2 n2,nN ） 评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。 n(n1) 变题：是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2= 12 (an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，  1 4 (abc)  6  a3  1  这时令n=1,2,3,有22 (4a2bc) b11 2   c10 709a3bc    于是，对n=1,2,3下面等式成立 n(n1) 1·22+2·32+…+n(n+1)2= (3n2 11n10) 12记S =1·22+2·32+…+n(n+1)2 n （1）n=1时，等式以证，成立。 k(k1) （2）设n=k时上式成立，即S = (3k2+11k+10) k 12 k(k1) 那么S =S +(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 k+1 k 2 (k1)(k2) (k1)(k2) = (3k2+5k+12k+24)= 12 12 ［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 【课堂小结】 体会常用的思维模式和证明方法。 【反馈练习】 1．（2005辽宁）在 R上定义运算:x y  x(1 y).若不等式 (xa)(xa)1对任意实数x成立， 则 1 3 A． 1 a 1 B． 0 a  2 C．   a  D． 2 2 3 1   a  2 2 2．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形 （1） （2） （3） （4） 那么下列图形中 （1） （2） （3） （4） 可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4） 3 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能 使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A 30 B 26 C 36 D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－ f(k)=(2k+9)· 3k+1 － (2k+7)· 3k=(6k+27)· 3k－ (2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36 4 已知数列{b }是等差数列，b =1,b +b +…+b =145 n 1 1 2 10 (1)求数列{b }的通项公式b ; n n 1 (2)设数列{a }的通项a =log (1+ )(其中a＞0且a≠1)记S 是数 n n a n b n 1 列{a }的前n项和，试比较S 与 log b 的大小，并证明你的结论 n n a n+1 3 解 (1) 设数列{b }的公差为d, n b 1  1 b 1 由题意得 10(101)  1 ,∴b n =3n－2   10b 1  2 d 145 d 3 1 (2)证明 由 b =3n－2知 S =log (1+1)+log (1+ )+…+log (1+ n n a a a 4 1 ) 3n2 1 1 =log ［(1+1)(1+ )…(1+ )］ a 4 3n2 1 1 而 log a b n+1 =log a 3 3n1,于是，比较S n 与 log a b n+1 的大小 3 3 1 1 比较(1+1)(1+ )…(1+ )与3 3n1的大小 4 3n2 取n=1，有(1+1)=3 8 3 4 3 311 1 取n=2，有(1+1)(1+ )3 8 3 7 3 321 4 1 1 推测 (1+1)(1+ )…(1+ )＞3 3n1 (*) 4 3n2 ①当n=1时，已验证(*)式成立 1 1 ②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ )…(1+ )＞ 4 3k2 3 3k1 则当n=k+1时， 1 1 1 1 (11)(1 )(1 )(1 )3 3k1(1 ) 4 3k2 3(k1)2 3k1 3k2  3 3k1 3k1 3k 2 ( 3 3k 1)3 (3 3k 4)3 3k 1(3k 2)3 (3k 4)(3k 1)2 9k 4   0 (3k 1)2 (3k 1)2 3 3k 1  (3k 2) 3 3k 4  3 3(k 1)1 3k 1 1 1 1 从而(11)(1 )(1 )(1 )3 3(k1)1, 4 3k2 3k1 即当n=k+1时，(*)式成立 由①②知，(*)式对任意正整数n都成立 1 1 于是，当a＞1时，S ＞ log b ,当 0＜a＜1时，S ＜ n a n+1 n 3 3 log b  a n+1 【课外作业】 《课标检测》 第 3 章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 数系的扩充和复数的概念 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 教学目标： 1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚 数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念 是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单 位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、 乘运算律仍然成立 教具准备：多媒体、实物投影仪 教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说， 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除 的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾. 教学过程： 学生探究过程： 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等 劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全 体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各 种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数 集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有 限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解 决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛 盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数 集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1. 由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课： 1.虚数单位i: (1)它的平方等于-1，即 i2 1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的 另一个根是－i! 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z abi(a,bR)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时， 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个 复数相等 这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能 说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实 数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 1 1 例1请说出复数23i,3 i, i, 3 5i的实部和虚部，有没有纯虚数？ 2 3 1 1 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－ 3;虚部分别是3， ，－ ，－ 2 3 1 5;－ i是纯虚数. 3 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 答：实部是3.14，虚部是－2. 易错为：实部是－2，虚部是3.14！ 例3（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ ［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚 数的条件可以确定m的值. 解：(1)当m－1=0，即m=1时，复数z是实数； (2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数； (3)当m+1=0，且m－1≠0时，即m=－1时，复数z 是纯虚数. 例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y. 2x1 y, 5 解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以x= ，y=4 1(3 y) 2  巩固练习： 1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是 ( ) A.A∪B=C B. C A=B C.A∩C B= D.B∪C B=C S S S 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足( ) 1 1 A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2 2 2 3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝， 则实数m的值为( ) A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1 4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______. 5.复数z =a+｜b｜i，z =c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z =z 的充要条件是______. 1 2 1 2 6.设复数z=log (m2－3m－3)+ilog (3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值. 2 2 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值. m(m2) 8.已知m∈R，复数z= +(m2+2m－3)i，当m为何值时， m11 (1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i. 2 答案：1.D 2.D 3. 解析：由题设知3∈M，∴m2－3m－1+(m2－5m－6)i=3 m2 3m13 m4或m1 ∴ ，∴ ∴m=－1，故选A.  m2 5m60  m6或m1 x 3或x 1 x2 2x30,  4. 解析：由题意知 ∴ 1 9y2 6y10, y     3 1 1 ∴点对有(3， )，(－1， )共有2个.答案：2 3 3 a c 5. 解析：z 1 =z 2   a=c且b2=d2.答案：a=c且b2=d2 |b||d |  m2 3m31 log (m2 3m3)0,  6.解：由题意知 2 ∴3m1 log (3m)0,   2 3m0  m2 3m40 m4或m1 ∴ ∴ ，∴m=－1.  m 2且m3  m3且m 2 x2 mx20 7. 解：方程化为(x2+mx+2)+(2x+m)i=0.∴ ， 2xm0  m m2 m ∴x=－ ，∴  20,∴m2=8，∴m=±2 2. 2 4 2 m2 2m30, 8. 解：(1)m须满足 解之得：m=－3. m11.  (2)m须满足m2+2m－3≠0且m－1≠0，解之得：m≠1且m≠－3. m(m2)  0, (3)m须满足 m1 解之得：m=0或m=－2.  m2 2m30.  m(m2) 1   (4)m须满足 m1 2 解之得：m∈  m2 2m34.  课后作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 , 3 教学反思：这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问 题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实 数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们 采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要， 也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史 和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚 数的概念、复数的概念、复数的分类 §3.1.2 复数的几何意义 教学目标： 知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系 过程与方法：了解复数的几何意义 情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往 能起到启迪解题思路的作用 教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数的几何意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一 个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一 确定. 教学过程： 学生探究过程：  1.若A(x,y)，O(0,0)，则OAx,y 2. 若a (x ,y )，b (x ,y )，则ab (x  x ,y  y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 ab (x x ,y  y ) 1 2 1 2 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差   3. 若A(x ,y )，B(x ,y )，则AB  x x ,y  y 1 1 2 2 2 1 2 1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB=OBOA=( x y )  (x ,y )= (x  x , y  y ) 2, 2 1 1 2 1 2 1 讲授新课： 复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应 y 关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数 Z(a，b) b 相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定， 如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可 以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3， o a x2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知， 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数 是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1) 表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i 非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的 点(－5，－3)在第三象限等等. 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z abi 一一对应复平面内的点Z(a,b) 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个 点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.  １．复平面内的点Z(a,b) 一一对应平面向量OZ  2. 复数z abi 一一对应平面向量OZ 3 5  例1．（2007年辽宁卷）若  π， π ，则复数(cossin)(sincos)i在 4 4  复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：选B . 例2．（2003上海理科、文科）已知复数z =cosθ－i，z =sinθ+i，求| z ·z |的最大值 1 2 1 2 和最小值. [解] | z z ||1sincos(cossin)i| 1 2  (1sincos)2 (cossin)2 1  2sin2cos2 2 sin2 2. 4 3 故| z z |的最大值为 ,最小值为 2 . 1 2 2 例3．（2004北京理科）满足条件|zi||34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 解：选C. 巩固练习： 课后作业：课本第106页 习题3. 1 A组4，5，6 B组1,2 教学反思： 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数z abi 一一对应复平面内的点Z(a,b) 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个 点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数3 3i对  应的向量按顺时钟方向旋转 ，所得向量对应的复数是：（ B ） 3 （A）2 3 （B）2 3i （C） 3 3i （D）3+ 3i 2． (1992全国理科、文科)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为：( D ) (A)1 (B)2 (C) (D)3 3．（2003北京理科）若zC且| z22i|1,则| z22i|的最小值是（ B ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2007年上海卷）若a,b为非零实数，则下列四个命题都成立： 1 ①a  0 ②ab2  a2 2abb2 ③若 a  b ，则a  b a ④若a2  ab，则a b则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的序号是_____。 4．②，④ 3i 5．(2005上海文科)在复数范围内解方程| z|2 (z z)i  （i为虚数单位）。 2i 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处 理. 2 【解】原方程化简为 z (z z)i 1i, 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, 1 3 ∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=- 且y=± , 2 2 1 3 ∴原方程的解是z=- ± i. 2 2 §3.2 复数代数形式的四则运算 §3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义 教学目标： 知识与技能：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过 对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。 教具准备：多媒体、实物投影仪 。 教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一 的一个复数和它对应。复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由 一个有序实数对(a，b)惟一确定. 教学过程： 学生探究过程： 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即 i2 1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行 四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的 另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z abi(a,bR)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时， 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个 复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就 可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： y 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R) Z(a，b) b 可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫 做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序 o a x 实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实 数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z abi 一一对应复平面内的点Z(a,b)这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个 点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法  8.若A(x,y)，O(0,0)，则OAx,y 9. 若a (x ,y )，b (x ,y )，则ab (x  x ,y  y )， 1 1 2 2 1 2 1 2 ab (x x ,y  y ) 1 2 1 2 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差   10. 若A(x ,y )，B(x ,y )，则AB  x x ,y  y 1 1 2 2 2 1 2 1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB=OBOA=( x y )  (x ,y )= (x  x , y  y ) 2, 2 1 1 2 1 2 1 讲解新课： 一．复数代数形式的加减运算 １．复数z 与z 的和的定义：z +z =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 1 2 1 2 2. 复数z 与z 的差的定义：z -z =(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 1 2 1 2 3. 复数的加法运算满足交换律: z +z =z +z . 1 2 2 1 证明：设z =a +b i，z =a +b i(a ，b ，a ，b ∈R). 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ∵z +z =(a +b i)+(a +b i)=(a +a )+(b +b )i. 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z +z =(a +b i)+(a +b i)=(a +a )+(b +b )i. 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 又∵a +a =a +a ，b +b =b +b . 1 2 2 1 1 2 2 1 ∴z +z =z +z .即复数的加法运算满足交换律. 1 2 2 1 4. 复数的加法运算满足结合律: (z +z )+z =z +(z +z ) 1 2 3 1 2 3 证明：设z =a +b i.z =a +b i，z =a +b i(a ，a ，a ，b ，b ，b ∈R). 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ∵(z +z )+z =［(a +b i)+(a +b i)］+(a +b i) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 =［(a +a )+(b +b )i］+(a +b )i 1 2 1 2 3 3 =［(a +a )+a ］+［(b +b )+b ］i 1 2 3 1 2 3 =(a +a +a )+(b +b +b )i. 1 2 3 1 2 3 z +(z +z )=(a +b i)+［(a +b i)+(a +b i)］ 1 2 3 1 1 2 2 3 3 =(a +b i)+［(a +a )+(b +b )i］ 1 1 2 3 2 3 =［a +(a +a )］+［b +(b +b )］i 1 2 3 1 2 3 =(a +a +a )+(b +b +b )i 1 2 3 1 2 3 ∵(a +a )+a =a +(a +a )，(b +b )+b =b +(b +b ). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ∴(z +z )+z =z +(z +z ).即复数的加法运算满足结合律 1 2 3 1 2 3 讲解范例： 例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－ 1001)+(1001－2004)i=1002－1003i. 解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i， …… (2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i)+(2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i 二.复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).  １．复平面内的点Z(a,b) 一一对应平面向量OZ  2. 复数z abi 一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义： 设复数z =a+bi，z =c+di，在复平面上所对应的向量为OZ 、OZ 1 2 1 2 ，即OZ 、OZ 的坐标形式为OZ =(a，b)，OZ =(c，d)以OZ 、 1 2 1 2 1 OZ 为邻边作平行四边形OZ ZZ ，则对角线OZ对应的向量是OZ， 2 1 2 ∴OZ= OZ +OZ =(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i 1 2 4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z =z ， 1 2 z +z =z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ 为一条边画平行四边形，那么 2 1 1 这个平行四边形的另一边OZ 所表示的向量OZ 就与复数z－z 的差(a－c)+(b－d)i对应由 2 2 1   于OZ Z Z ，所以，两个复数的差z－z 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 2 1 1 例3已知复数z =2+i，z =1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z 1 2 在平面内所对应的点在第几象限？ 解：z=z －z =(1+2i)－(2+i)=－1+i， 2 1 ∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0， ∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内. 点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复 数所得的差. 即AB所表示的复数是z －z ，而BA所表示的复数是z －z ，故切不可把 B A. A B 被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的 差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量， 即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例4 复数z =1+2i，z =－2+i，z =－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的 1 2 3三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用AD  BC，求点D的对应复数. 解法一：设复数z 、z 、z 所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数 1 2 3 为x+yi(x，y∈R)，是： AD ODOA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; BC OC OB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i. ∵AD  BC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i， 例2图 x11, x 2, ∴ 解得 y23, y 1.   故点D对应的复数为2－i. 分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解. 解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1. 故点D对应的复数为2－i. 点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到 启迪解题思路的作用 巩固练习： 1.已知复数z =2+i,z =1+2i,则复数z=z －z 在复平面内所表示的点位于 1 2 2 1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD 的对角线BD所对应的复数是 A.5－9i B.－5－3i C.7－11i D.－7+11i 3.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则 以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为 A.3 2 B.2 2 C.2 D. 5 4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.一个实数与一个虚数的差（ ） A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6.计算(－ 2  3i)( 3 2i)[( 3 2)( 3 2)i]=____. 7.计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R). 8.计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i). 9.已知复数z =a2－3+(a+5)i,z =a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ 、OZ （O 1 2 1 2 为原点），若向量Z Z 对应的复数为纯虚数，求a的值. 1 2解：Z Z 对应的复数为z －z ，则 1 2 2 1 z －z =a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i 2 1 ∵z －z 是纯虚数 2 1 aa2 20 ∴ 解得a=－1.  a2 a60 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它 的第四个顶点D对应的复数. 解：设D（x,y),则 AD ODOA对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i BC OC OB对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i ∵AD  BC ∴(x－1)+(y－2)i=1－3i x11 x 2 ∴ ,解得 y23 y 1 ∴D点对应的复数为2－i。 答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.－2 2 i 7.(y－x)+5(y－x)i 8.解：原式=(1－2+3－4+…+2001－2002）+(－2+3－4+…－2002+2003)i =－1001+1001i 课后作业：课本第112页 习题3.2 1 , 2 , 3 教学反思： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d ∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就 可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，d∈R). 复数的加法，可模仿多 项式的加法法则计算，不必死记公式。 复数加法的几何意义：如果复数z ，z 分别对应于向量OP 、OP ，那么，以OP 、OP 1 2 1 2 1 2 为两边作平行四边形OP SP ，对角线OS表示的向量OS就是z +z 的和所对应的向量 1 2 1 2 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 1 §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运 算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践 的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a， b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程： 学生探究过程： 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即 i2 1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行 四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的 另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全 体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z abi(a,bR)，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时， 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个 复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就 可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数 是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8．复数z 与z 的和的定义：z +z =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 1 2 1 2 9. 复数z 与z 的差的定义：z -z =(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 1 2 1 2 10. 复数的加法运算满足交换律: z +z =z +z . 1 2 2 1 11. 复数的加法运算满足结合律: (z +z )+z =z +(z +z ) 1 2 3 1 2 3 讲解新课： １．乘法运算规则： 规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z =a+bi，z =c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－ 1 2 bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律： (1)z (z z )=(z z )z 1 2 3 1 2 3 证明：设z =a +b i，z =a +b i，z =a +b i(a ，a ，a ，b ，b ，b ∈R). 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ∵z z =(a +b i)(a +b i)=(a a -b b )+(b a +a b )i， 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z =(a +b i)(a +b i)=(a a -b b )+(b a +a b )i. 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 又a a -b b =a a -b b ，b a +a b =b a +a b . 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 ∴z z =z z . 1 2 2 1 (2)z (z +z )=z z +z z 1 2 3 1 2 1 3 证明：设z =a +b i，z =a +b i，z =a +b i(a ，a ，a ，b ，b ，b ∈R). 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ∵(z z )z =［(a +b i)(a +b i)］(a +b i)=［(a a -b b )+(b b +a b )i］(a +b i) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 =［(a a -b b )a -(b a +a b )b ］+［(b a +a b )a +(a a -b b )b ］i 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 =(a a a -b b a -b a b -a b b )+(b a a +a b b +a a b -b b b )i， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 同理可证： z (z z )=(a a a -b b a -b a b -a b b )+(b a a +a b a +a a b -b b b )i， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ∴(z z )z =z (z z ). 1 2 3 1 2 3 (3)z (z +z )=z z +z z . 1 2 3 1 2 1 3 证明：设z =a +b i，z =a +b i，z =a +b i(a ，a ，a ，b ，b ，b ∈R). 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ∵z (z +z )=(a +b i)［(a +b i)+(a +b i)］=(a +b i)［(a +a )+(b +b )i］ 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 =［a (a +a )-b (b +b )］+［b (a +a )+a (b +b )］i 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =(a a +a a -b b -b b )+(b a +b a +a b +a b )i. 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 z z +z z =(a +b i)(a +b i)+(a +b i)(a +b i) 1 2 1 3 1 1 2 2 1 1 3 3 =(a a -b b )+(b a +a b )i+(a a -b b )+(b a +a b )i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 =(a a -b b +a a -b b )+(b a +a b +b a +a b )i 1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 =(a a +a a -b b -b b )+(b a +b a +a b +a b )i 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 ∴z (z +z )=z z +z z . 1 2 3 1 2 1 3 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算： （1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2. 解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复 数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数z的共轭复数为z。 4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di abi 的商，记为：(a+bi)(c+di)或者 cdi 5.除法运算规则： ①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. cxdy a, 由复数相等定义可知 dxcy b.   acbd x  ,   c2 d2 解这个方程组，得 bcad  y  .   c2 d2 acbd bcad 于是有:(a+bi)÷(c+di)=  i. c2 d2 c2 d2 abi ②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将 的分母有理化得： cdi abi (abi)(cdi) [acbi(di)](bcad)i 原式=   cdi (cdi)(cdi) c2 d2 (acbd)(bcad)i acbd bcad    i. c2 d2 c2 d2 c2 d2 acbd bcad ∴(a+bi)÷(c+di)=  i. c2 d2 c2 d2 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理 化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的 3 2的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种 方法叫做分母实数化法 例3计算(12i)(34i) 12i 解：(12i)(34i)  34i (12i)(34i) 386i4i 510i 1 2      i (34i)(34i) 32 42 25 5 5 (14i)(1i)24i 例4计算 34i (14i)(1i)24i 143i24i 7i (7i)(34i) 解：    34i 34i 34i 32 422143i28i 2525i   1i. 25 25 1 z1 例5已知z是虚数，且z+ 是实数，求证： 是纯虚数. z z1 证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是 1 1 abi a b z+ =a+bi+ =a+bi+ a (b )i. z abi a2 b2 a2 b2 a2 b2 1 b ∵z+ ∈R，∴b－ =0. z a2 b2 ∵b≠0，∴a2+b2=1. z1 (a1)bi [(a1)bi][(a1)bi] ∴   z1 (a1)bi (a1)2 b2 a2 1b2 [(a1)b(a1)b]i 02bi b    i. a2 b2 2a1 12a1 a1 b ∵b≠0，a、b∈R，∴ i是纯虚数 a1 巩固练习： 1 1.设z=3+i,则 等于 z 3 1 3 1 A.3+i B.3－i C. i D.  i 10 10 10 10 abi abi 2.  的值是 bai bai A.0 B.i C.－i D.1 i z 3.已知z =2－i,z =1+3i,则复数  2 的虚部为 1 2 z 5 1 A.1 B.－1 C.i D.－i x 3 y 4.设   (x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________. 1i 2i 1i 3 9 答案：1.D 2.A 3.A 4. , － 5 5 课后作业：课本第112页 习题3. 2 A组4，5，6 B组1，2 教学反思： 复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. abi acbd bcad 复数的除法法则是：   i(c+di≠0). cdi c2 d2 c2 d2 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分 母的共轭复数，再把结果化简 高考题选 2 1．（2007年北京卷）  i ． (1i)2 2. （2007年湖北卷）复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z2 4bz是实数，则有序实数对（a,b） 可以是 .(写出一个有序实数对即可) 【答案】：(2,1). 【分析】：z2 4bz (abi)2 4b(abi)a2 4abb2 2b(a2b)i是实数，所 以a2b，取(a,b)(2,1). 【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算. 【易错点】：复数的运算公式不能记错。 【高学科网备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。 1 3．（2007年福建卷）复数 等于（ D ） (1i)2 1 1 1 1 A． B． C． i D． i 2 2 2 2 4．（2007年广东卷）若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b= 1 1 (A) -2 (B) - (C) (D) 2 2 2 答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B； 2  2i  5．（2007年湖南卷）复数  等于（ C ） 1+i A．4i B．4i C．2i D．2i 24i 6．（2007年江西卷）化简 的结果是（ Ｃ ） (1i)2 Ａ．2i Ｂ．2i Ｃ．2i Ｄ．2i a 1i 7．（2007年全国卷I）设a是实数，且  是实数，则a （ B ） 1i 2 1 3 A． B．1 C． D．2 2 212i 8．（2007年全国卷Ⅱ）设复数z满足 i，则z （ C ） z A．2i B．2i C．2i D．2i 1 9.（2007年陕西卷）在复平面内，复数z= 对应的点位于（Ｄ） 2i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第在象限 （D）第四象限 1i 10．（2007年四川卷）复数 i3的值是（ ） 1i （A）0 （B）1 （C）1 （D）i 1i (1i)2 2i 解析：选A． i3  i3  i3 ii 0． 1i (1i)(1i) 2 本题考查复数的代数运算． 2i3 11．（2007年天津卷）i是虚数单位， （ Ｃ ） 1i Ａ．1i Ｂ． 1i Ｃ．1i Ｄ．1i 12．（2007年浙江卷）已知复数z 1i，z Az 1i，则复数z  1 ． 1 1 2 2 13．（2007年上海卷）已知2ai,bi是实系数一元二次方程x2  pxq 0的两根，则 p,q的值为 （A） A、 p  4,q 5 B、 p  4,q 5 C、 p  4,q  5 D、 p  4,q  5 2i 4 14．（2007年重庆卷）复数 的虚部为__ ____. 2i3 5 2ai 15．（2007年安徽卷）若a为实数， ＝- 2 I，则a等于(B) 1 2i （A） 2 （B）- 2 （C）2 2 （D）-2 2 16．（2007年山东卷）若z cosisin（i虚数单位），则z2 1使的值可能是（D）     (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 510i 17．（2007年宁夏卷）i是虚数单位，  12i ．（用abi的形式表示， 34i a【 bR）