文档内容
人教版初中数学八年级下册
20.2.1 数据的波动程度(1) 教学设计
一、教学目标：
1.理解方差的概念及统计学意义；
2.会计算一组数据的方差；
3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.
二、教学重、难点：
重点：掌握方差的定义和计算公式；会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小.
难点：理解方差的意义.
三、教学过程：
问题引入
教练的烦恼
现要从甲，乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比
较合适？
(1)请分别计算两名选手的平均成绩；
¯x
甲
=8 (环)，¯x
乙
=8
(环)
(2)请根据这两名选手的成绩在右图中画出折线统计图；(3)现要挑选一名选手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？
知识精讲
谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？
甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7-8)+(8-8)+(8-8)+(8-8)+(9-8)=0
乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10-8)+(6-8)+(10-8)+(6-8)+(8-8)=0
怎么办？
甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2
乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性.
【归纳】为了刻画一组数据的波动大小，可以采用很多方法.统计中常采用下面的做法：设有
n 个数据 x ，x ，…，x ，各数据与它们的平均数¯x的差的平方分别是(x -¯x)2，(x -¯x
1 2 n 1 2
1
)2，…，(x -¯x)2，我们用这些值的平均数，即用s2=n [(x -¯x)2+(x -¯x)2+…+(x -¯x)2]来衡量
n 1 2 n
这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2.
1
方差：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.s2=n [(x -¯x)2+(x -¯x)2+…+(x -¯x)2]
1 2 n
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
方差如何反映数据波动情况呢？结合前面折线统计图及所求方差得出结论.
甲：(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2=2
乙：(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2=16s
甲
2 =0.4
，
s
乙
2 =3.2
当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方
和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差
就较小.反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波动
越大；方差越小，数据的波动越小.
我们知道，用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数
一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性时，
实际中常常用样本的方差来估计总体的方差.
问题解决
问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性
是农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用 10块自然条
件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表.
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
解：(1)为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下面两幅图.
(2)甲、乙两个品种在试验田中的产量组成一个样本，算得样本数据的平均数为
¯x
甲
≈7.54 ，¯x
乙
≈7.52
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计在这个地区种植这两
种甜玉米，它们的平均产量相差不大.(3)两组数据的方差分别是
(7.65−7.54) 2 +(7.50−7.54) 2 +…+(7.41−7.54) 2
s2 = ≈0.01
甲 10
(7.55−7.52) 2 +(7.56−7.52) 2 +…+(7.49−7.52) 2
s2 = ≈0.002
乙 10
s2 s2
显然 甲＞
乙
，即甲种甜玉米的波动大，这与我们从右图看到的结果是一致的.
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平
均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种值乙种甜玉
米的产量比甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个
地区比较适合种值乙种甜玉米.
典例解析
例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演
员的身高(单位:cm)如下表
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的平均身高分别是
163+164×2+165×2+166×2+167
¯x = =165
甲 8
163+165×2+166×2+167+168×2
¯x = =166
乙 8
方差分别是(163−165) 2 +(164−165) 2 +…+(167−165) 2
s2 = =1.5
甲 10
(163−166) 2 +(165−166) 2 +…+(168−166) 2
s2 = =2.5
乙 10
s2 s2
由 甲＜
乙
可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
【针对练习】
1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据
的波动程度的.
(1) 6 6 6 6 6 6 6 (2) 5 5 6 6 6 7 7
(3) 3 3 4 6 8 9 9 (4) 3 3 3 6 9 9 9
解：
2.如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图.观察图形，甲、乙这10次
s2 s2
射击成绩的方差 甲，
乙
哪个大？
解：甲、乙两射击运动员的平均成绩分别是
¯x
甲
=8.5 (环)，¯x
乙
=8.5
(环)
方差分别是
s
甲
2 =0.85
，
s
乙
2 =1.45
s2 s2
显然 甲＜
乙
，即乙射击运动员的射击训练成绩波动大.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测
1.两组数据: 8，9，9，10和8.5，9，9，9.5，它们之间不相等的统计量是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
2.已知一组数据1，2，3，x，5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下: x
甲
=82， x =82，s2 =254，s2 =190， 则成绩较为整齐的是( )
乙 甲 乙
A.甲班 B.乙班 C.两班一样整齐 D.无法确定
4.比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是( )
A. A组、B组平均数及方差分别相等
B. A组、B组平均数相等，B组方差大
C.A组比B组的平均数、方差都大.
D.A组、B组平均数相等，A组方差大
5.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表:
某同学分析上表后得出如下结论:①甲、乙两班学生的平均成绩相同;②乙班优秀的人数多于
甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.其中正确的
是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为_____.
1
7.已知一个样本的方差 s2= [ (x -6)2+ (x -6)2+...+(x -6)2]，则这个样本的容量是_____，
1 2 10
10
样本的平均数是______.
8.一组数据a ，a ，a 的平均数为4，方差为3.
1 2 3
(1)数据a +2，a +2， a +2的平均数是_____，方差是_____；
1 2 3(2)数据3a -2，3a -2， 3a -2的方差是______.
1 2 3
9.某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下(单位: kg);
(1)分别求出本周甲、乙两种水果每天销售的平均数;
(2)说明甲、乙两种水果销售量的稳定性.
【参考答案】
1. D
2. B
3. B
4. D
5. D
6. 6
7. 10，6
8. (1)6,3；(2)27.
9.解: (1)
甲、乙两种水果每天销售的平均数均为51kg.
(2)
∵s2 ＞s2
甲 乙
∴乙种水果销售更稳定.
四、教学反思：
通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能
让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，
从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维.
