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专题 01 平行四边形的性质和判定（六大题型）
【题型1 根据平行四边形的性质求边长】
【题型2根据平行四边形的性质求角度】
【题型3根据平行四边形的性质求周长】
【题型4 平行四边形的判定】
【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】
【题型6 平行四边形的性质与判定综合】
【题型1 根据平行四边形的性质求边长】
1．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，AC⊥AB，若AB=4，AC=6，则BD的长为（ ）
A．10 B．5 C．2❑√5 D．2
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
1
利用平行四边形的对角线互相平分得AO=CO= AC=3，BO=DO，再在Rt△ABO
2
中利用勾股定理求出BO，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，
1
∴AO=CO= AC=3，BO=DO，
2
∵AC⊥AB，AB=4，
∴BO=❑√AB2+AO2=❑√42+32=5，
∴BD=2BO=10，
故选：A．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，
△FCB的周长为22，则FC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；由平行四边形可得对边相等，
由折叠，可得AE=EF，AB=BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的
长，本题可解．
【详解】解：设DF=x，FC= y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，
由折叠的性质得AE=EF，AB=BF，
∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，
∴BC=AD=8−x，AB=CD=x+ y，
∴y+x+ y+8−x=22，
解得y=7．
故选：C．
3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=5．
按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DC于点E，F；
1
②分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧交于点P；
2
③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图
可知DG是∠ADC的平分线，得∠ADG=∠CDG，由平行四边形的性质得AD∥BC，
BC=AD=5，即得∠ADG=∠CGD，得到∠CDG=∠CGD，即可得CG=CD=3，
进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADG=∠CDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=5，
∴∠ADG=∠CGD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CG=CD=3，
∴BG=BC−CG=5−3=2，
故选：B.
4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∠BAD=45°，AD=2，则▱ABCD的对角线AC的长为（ ）
2
A．5 B．10 C． D．2❑√5
3
【答案】D
【分析】连接BD交AC于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出
BD=AD=2，即可推出∠ADB=90°，先利用勾股定理求出AF的长，即可求出AC的
长．【详解】解：如图，连接BD交AC于点F．
∵BE垂直平分CD，
∴BD=BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=2，BF=DF，AC=2AF，
∴BD=AD=2，
1
∴DF= BD=1
2
∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF=❑√22+12=❑√5，
∴AC=2AF=2❑√5，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性
质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=10，
AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得
AB=BE=CF是解题的关键．
由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE=AB、CD=CF，再由线段的和差可求得EF．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=10，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=BA=3，
同理CF=CD=3，
∴EF=BC−BE−CF=10−3−3=4，
故选：B．
6．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，BC边
上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和面积公式是解
题的关键．
根据平行四边形的性质可得CD=AB=4，再平行四边形的面积可得
S =CD·AF=BC·AE，然后代入数据计算即可．
平行四边形ABCD
【详解】解：∵▱ABCD，
∴CD=AB=4，
∵由题意可知：S =CD·AF=BC·AE，
平行四边形ABCD
∴4AF=8×2，
解得：AF=4
故选C．
【题型2根据平行四边形的性质求角度】
7．（2025·河北保定·一模）如图，在 ▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠2=130°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解
题的关键是熟练掌握以上知识点．由平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线的性
质得∠BAE=∠1，易证∠ABE=90°，然后由三角形的外角性质即可得
∠2=∠1+∠ABE，由此即可求解．
【详解】解：∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1，
∵∠2=∠BAE+∠ABE，
∴∠2=∠1+∠ABE，
∴∠1+90°=130°
∴∠1=130°−90°=40°，
故选：B．
8．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=40°，过点D
作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
【答案】50°
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，由三角形内角和定理可得
∠CDF=50°，由平行四边形的性质可得AB∥CD，再由平行线的性质即可得解．【详解】解：∵∠C=40°，DF⊥BC，
∴∠CDF=180°−∠C−∠CFD=50°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF=50°，
故答案为：50°．
9．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，
AB=AE, AD=DE，若∠B=70°，则∠CDE的度数为 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，
根据题意等边对等角得出∠AEB=∠B=70°，根据平行线的性质可得
∠DAE=∠AEB=70°，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得∠ADE=40°，
进而根据∠CDE=∠ADC−∠ADE，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题
解题关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC
∴∠B+∠BAD=180°,∠ADC+∠BAD=180°
∴∠ADC=∠B=70°
∵AB=AE
∴∠AEB=∠B=70°，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB=70°，
∵AD=DE
∴∠AED=∠DAE=70°
∴∠ADE=180°−2×70°=40°，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=70°−40°=30°
故答案为：30°．
10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AC，∠B=50°，则∠CAD的度数为 ．
【答案】50°/50度
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质．
由等腰三角形的“等边对等角”得到∠ACB=∠B=50°，再由▱ABCD中，
AD∥BC即可解答．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠ACB=∠B=50°，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=50°．
故答案为：50°
11．（2025·贵州·模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，BA=BD，以点A为圆心，AD为半径
1
作弧，交BD于另一点F，再分别以点D，F为圆心，以大于 DF的长为半径作弧，
2
两弧交于点G，作射线AG交BD于点E，若∠C=70°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】20°/20度
【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作垂线，根据平行四边形的性质，推出
∠ADB=70°，作图可知AE⊥BD，三角形的内角和定理求出∠DAE即可．
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠C=70°，
∴∠BAD=∠C=70°，
∵BA=BD，
∴∠ADB=∠BAD=70°，
由作图可知AE⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−∠ADE=20°．故答案为：20°
12．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分
∠BAD交CD边于点E，∠AED=35°，则∠B的度数是 °．
【答案】110
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和角平分线的性质，根据平行四边形的性质
求得∠BAE=∠AED=35°，结合角平分的性质求得∠BAD=2∠BAE=70°，进一
步利用平行四边形的性质求得∠B=180°−∠BAD即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠AED=35°，
∴∠BAE=∠AED=35°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAE=70°．
∵AD∥BC，
∴∠B=180°−∠BAD=180°−70°=110°．
故答案为：110．
12．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在▱ABCD中，DB=CD，∠C=70°，
AE⊥BD于E，则∠DAE= ．
【答案】20°/20度
【分析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质，三角形内角和定理，利用等
腰三角形性质得到∠DBC，进而利用平行四边形性质得到∠ADE，最后结合三角形
内角和定理求解，即可解题．
【详解】解：∵ DB=CD，∠C=70°，
∴∠DBC=∠C=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，∴∠ADE=∠DBC=70°，
∵ AE⊥BD于E，
∴∠AED=90°，
∴ ∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=20°，
故答案为：20°．
13．（24-25八年级上·湖北随州·期中）在四边形ABCD中，已知∠B=80°，∠C=160°，
且AB=BC=CD，则∠D的度数是 ．
【答案】40°
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，四边形内角和定
理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；
在四边形ABCD中，构造等边△ABE，连接ED，根据等边三角形的性质，
AB=AE=EB，∠ABE=∠AEB=∠BEA=60°，进而得到∠EBC=20°，证明四
边形BEDC为平行四边形，进而求得∠EAD的度数，进而求解；
【详解】解：在四边形ABCD中，构造等边△ABE，连接ED，
∵△ABE
时等边三角形，
∴AB=AE=EB，
∠ABE=∠AEB=∠BEA=60°，
∵∠ABC=80°，
∴∠EBC=20°，
∵∠C=160°，∠C+∠EBC=180°，
∴BE∥CD，
∵AB=BC=CD，
∴BE=CD，四边形BEDC为平行四边形，
∴∠BED=∠C=160°，
∠EDC=∠EBC=20°，
∴∠AED=360°−∠AEB−∠BED=360°−60°−160°=140°，
∵AE=AB，AB=BC=CD，BC=ED，
∴AE=ED，
1
∴∠EAD=∠EDA= (180°−∠AED)=20°，
2
∴∠ADC=∠EDC+∠EDA=20°+20°=40°
故答案为：40°
【题型3根据平行四边形的性质求周长】
14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，
交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=2，则四边形EFCD的周长为
（ ）
A．12 B．13 C．24 D．28
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，将四
边形EFCD的周长进行转化是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，AO=CO，进而证明
△AEO≌△CFO(ASA)，可得AE=CF，EO=FO=2，再说明CD+AD=9，最后根
据四边形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵▱ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠EAO=∠FCO，
∵在△AEO和△CFO中，{∠EAO=∠FCO
)
AO=CO ，
∠AOE=∠COF
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴AE=CF，EO=FO=2，
∵C =18，
四边形ABCD
∴CD+AD=9，
∴
C =CD+DE+EF+FC=CD+DE+2OE+AE=CD+AD+2OE=9+4=13．
四边形CDEF
故选B．
15．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，
1
分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线
2
MN交BC于点F，交AD于点E，则△ABF的周长是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基
本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，
作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得
MN垂直平分AC，则AF=CF，利用等线段代换得到△ABF的周长=AB+BC，然后
根据平行四边形的性质可确定周长的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵由作法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴AF+BF=CF+BF=BC，
∴△ABF的周长=AF+BF+AB=BC+AB=6+4=10．故选B．
16．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且
CD=4，若它的对角线的和是32，则△AOB的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线相互平分是解题
的关键.
1 1
根据平行四边形的性质可得CO= AC，DO= BD，进而得到CO+DO=16，然后
2 2
根据三角形的周长公式解答即可.
【详解】解：∵平行四边形ABCD的对角线交于点O，
1 1
∴CO= AC，DO= BD，
2 2
∵AC+BD=32，
1 1 1
∴CO+DO= BD+ AC= (BD+AC)=16，
2 2 2
∵CD=4，
∴△AOB的周长为CO+DO+CD=16+4=20.
故答案为：20.
17．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，
BC=9，DE=4，则平行四边形ABCD周长等于 ．
【答案】28
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，等腰三角形的性质等知
识点，熟练掌握性质定理是解题的关键．
由平行四边形ABCD得到AB=CD，AD=BC，AD∥BC，再根据角平分线的定义
得出∠ABE=∠AEB，然后根据等角对等边及线段的和差得出AB=AE=5，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【详解】解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∵ BC=9，DE=4，
∴AD=BC=9，
∴AE=AD−DE=9−4=5
∴AB=AE=5，
∴AB=CD=5，AD=BC=9，
∴平行四边形的周长是2(AB+BC)=28．
故答案为：28．
18．（24-25八年级上·全国·期末）如图， ▱ABCD的对角线相交于点O， 且AD≠CD，
过点O作OM⊥AC， 交AD于点M．如果△CDM的周长为18， 那么▱ABCD的
周长是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练
的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质．
由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，
然后由△CDM的周长为18，求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴OM垂直平分线段AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为18，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=18，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×18=36．
故答案为：36．
19．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相
交于点O．已知两条对角线长的和为20cm，CD长为5cm．则△OCD的周长为
．
【答案】15cm/15厘米
【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平
行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴OC= AC,OD= BD，
2 2
∵CD=5cm，AC+BD=20cm，
1 1
∴OD+OC= (AC+BD)= ×20cm=10cm，
2 2
∴△COD的周长为=OC+OD+CD=10+5=15(cm)，
故答案为∶15cm．
【题型4 平行四边形的判定】
20．（2025八年级下·全国·专题练习）依据所标数据，一定为平行四边形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法分别
对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数据可知，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定为平行四
边形，故选项A不符合题意；
B、由数据可知，一组对边平行且相等，能判定为平行四边形，故选项B符合题意；
C、由数据可知，只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由数据可知，有三条边相等，不能判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，对角
线AC，BD相交于点O，若增加下列条件，则可以使四边形ABCD成为平行四边形的
是（ ）
A．∠1=∠2 B．AD=BC C．OA=OC D．AD=AB
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四
边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A. 由AB∥CD，∠1=∠2，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故
本选项不符合题意；
B. 由AB∥CD，AD=BC可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，
据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C. ∵AB∥CD，
∴∠1=∠2,∠ABD=∠CDB，
∵OA=OC，∴△AOB≌△COD(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D. 由AB∥CD，AD=AB，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合
题意；
故选：C．
22．（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形ABCD中，下列条件不能使四边形ABCD
成为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B． AB=CD，AD=BC
C．AB∥CD，AB=CD D．AB=CD，AD∥BC
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个条件进
行判断即可．
【详解】解：如图：
A. 当AB∥CD，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B.当AB=CD，AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C.当AB∥CD，AB=CD时，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D.当AB=CD，AD∥BC时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意．
故选：D．
23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形ABCD的对角线相交点O，下列条件
中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠1=∠2,∠3=∠4 B．∠1=∠2,AB=DC
C．∠3=∠4,AD=BC D．∠3=∠4,AB=DC
【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的
关键．由平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两
组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形．分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ∠1=∠2,∠3=∠4，
∴AB∥CD,AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，
故不符合题意；
B、∵ ∠1=∠2,AB=DC，
∴AB∥CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合
题意；
C、∵ ∠3=∠4,AD=BC，
∴AD∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符
合题意；
D、∵ ∠3=∠4,AB=DC，
∴AD∥BC，不可以判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
故选：D．
24．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于
点O，E，F是对角线AC上的两点．要添加一个条件使四边形DEBF是平行四边形，
不能添加（ ）
A．AE=CF B．BE=BF
C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
【答案】B
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形
的判定与性质．根据▱ABCD可得OD=OB，利用平行四边形的判定可知，如
OE=OF，则四边形DEBF是平行四边形．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OE,OA=OC,∠ADO=∠BCO,AD=CB,∠DAO=∠BCO，
A．如AE=CF，
则AO−AE=OA−CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴A选项不符合题意，
B．如添加BE=BF，无法证明四边形DEBF是平行四边形，
∴B选项不符合题意，
C.如∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△BCF中，
{∠ADE=∠CBF
)
AD=BC ，
∠DAO=∠BCO
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴C选项不符合题意，
D．如∠AED=∠CFB，
则△AED≌△CFB(AAS)，
∴AE=CF，
∴OE=CF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
∴D选项不符合题意，
故选：B．
25．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC,DF平分
∠ADC．求证：四边形DEBF是平行四边形．【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，
∠ABC=∠ADC，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到∠2=∠3，进而
得到DF∥BE，结合DE∥BF，即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC=∠ADC．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
1 1
∴∠2= ∠ABC，∠1= ∠ADC，
2 2
∴∠1=∠2．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴DF∥BE．
又∵AB∥CD，即DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
26．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，AC∥DB，且AC=2DB，E是AC的中点．
求证：四边形BDEC是平行四边形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形，进行证明，即可作答．
【详解】证明：∵E是AC的中点．
∴AC=2CE，∵AC=2DB，
∴CE=DB，
∵AC∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】
27．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在▱ABCD中，点G，H分别是AB，CD的
中点，且¿⊥AC于E，HF⊥AC于F．
求证：
(1)△AGE≌△CHF；
(2)四边形EGFH是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握
以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，由平行线的性质得到
∠GAE=∠HCF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到¿=HF，再根据¿⊥AC，HF⊥AC得到GE//HF，
即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
1 1
∴AG= AB，CH= CD，
2 2
∴AG=CH，
∵≥⊥AC，HF⊥AC，
∴∠AEG=∠CFH=90°，在△AGE和和△CHF中，
{∠AEG=∠CFH
)
∠GAE=∠HCF ，
AG=CH
∴△AGE≌△CHF(AAS)；
（2）因为△AGE≌△CHF，
所以¿=HF，
因为¿⊥AC，HF⊥AC（或因为∠AEG=∠CFH，所以∠GEF=∠HFE），
所以GE//HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
28．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，
DE∥BC，∠ADE=∠ECB，
(1)求证：△AED≌△EBC
(2)当AB=6时，求CD长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）利用ASA即可证明；
1
（2）首先证明四边形BEDC是平行四边形，推出CD=BE= AB即可解决问题．
2
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠B=∠AED，
∵E是AB中点，
∴AE=EB，
∵∠ADE=∠ECB，
∴△AED≌△EBC；
（2）解：∵△AED≌△EBC，
∴DE=BC，∵DE∥BC，
∴四边形BEDC是平行四边形，
∴CD=BE，
∵AB=8，E为AB的中点，
1
∴CD= AB=3．
2
29．（2023·浙江湖州·一模）如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，
DF⊥AC，连接ED，FB．
(1)求证：AE=CF．
(2)连接BD交AC于点O，若BE=4，EF=6，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△CDF，可得AE=CF；
（2）结合（1）中条件证明四边形BEDF为平行四边形，由平行四边形的性质得
1
OB=OD，OE=OF= EF=3，再由勾股定理求出OB=5，即可求解．
2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
{∠BAE=∠DCF
)
∠AEB=∠CFD ，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF；
（2）解：由△ABE≌△CDF得：BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，1
∴OB=OD，OE=OF= EF=3，
2
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴OB=❑√BE2+OE2=❑√42+32=5，
∴BD=2OB=10．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的
判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明
△ABE≌△CDF是解题的关键．
30．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）如图，BC∥AD,AB∥CD．
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)若AB=3，BC=5，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABCD的周长=16
【分析】（1）根据BC∥AD,AB∥CD，证得四边形ABCD是平行四边形，进而利
用SSS证明△ABC≌△CDA；
（2）利用平行四边形的性质求出平行四边形的周长即可．
【详解】（1）证明：∵BC∥AD,AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，
在△ABC和△CDA中，
¿，
∴△ABC≌△CDA(SSS)；
（2）解：由(1)可知，AB=CD=3，AD=CB=5，
∴四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×(3+5)=16．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握
平行四边形的判定定理是解题的关键．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】
31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，D及E分别是AB、AC的中
点，F是DE延长线上的点，且EF=DE．
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形
1
(2)求证：DE= BC
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理
是解题的关键．
（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据三角形的中位线的性质即可得证；
【详解】（1）∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
又∵EF=DE
∴四边形ADCF是平行四边形
（2）∵D及E分别是AB、AC的中点，
∴DE是ΔABC的中位线
1
∴DE∥BC,DE= BC
2
32．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，点E和点F是
直线BD上的两点且DE=BF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AD⊥BD，AB=5，BC=3，DE=2，求△AEF的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)S =12
△AEF
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质
等知识点，
(1)根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD=BC，根据平行线的性质，得
∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，得
AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边
形，即可证明四边形AECF是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到BD=4,连接AC交EF于O，进而可以得到EF的长，然后利用三
角形面积公式即可得解；
熟练掌握其性质并能正确得到△ADE≌△CBF是解决此题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
¿，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD,AB=5,BC=AD=3，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√52−32=4，
∵DE=BF=2，
∴EF=2DE+BD=4+4=8，
1 1
∴S = ·EF·AD= ×8×3=12．
△AEF 2 2
33．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD
，∠B=∠D．(1)证明：四边形ABCD是平行四边形；
(2)当AB=BC，AC=24，BC=15时，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见详解
(2)216
【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌
握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行线的性质得∠B+∠BCD=180°，因为∠B=∠D．得
∠D+∠BCD=180°，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答．
（2）运用勾股定理列式AH2=AB2−HB2=152−x2，
AH2=AC2−HC2=242−(15+x) 2，则242−(15+x) 2=152−x2，解出x=4.2，再运
72
算出AH=❑√152−4.22=
，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答．
5
【详解】（1）解：∵AB∥CD
∴∠B+∠BCD=180°
∵∠B=∠D．
∴∠D+∠BCD=180°
∴AD∥BC
∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：过点A作AH⊥BC
设BH=x
∵AB=BC，AC=24，BC=15
∴在Rt△AHB， AH2=AB2−HB2=152−x2在Rt△AHC， AH2=AC2−HC2=242−(15+x) 2
则242−(15+x) 2=152−x2
解得x=4.2
72
∴AH=❑√152−4.22=
5
72
则四边形ABCD的面积=BC×AH=15× =216
5
34．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将▱ABCD的AD边延长至点E，
1
使DE= AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
2
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB=6，AD=8，∠A=60°，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2❑√7
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，进而利用已知得出
DE=FC，DE∥FC，进而得出答案；
（2）首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出
DF的长，进而得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
1
∵DE= AD，F是BC边的中点，
2
∴DE=FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，由（1）得：四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴∠CDN=90°−60°=30°，
1
∴NC= DC=3，
2
在Rt△CDN中，∠DNC=90°，
∴DN=❑√CD2−NC2=3❑√3，
又∵ F是BC边的中点，
1
∴FC= BC=4，
2
∴FN=FC−NC=1，
在Rt△DFN中，∠DNF=90°，
∴EC=DF=❑√DN2+FN2=2❑√7．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，
熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键．
35．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E、F分
1
别是AC、BC的中点，延长AB至点D，使BD= AB，连接
2
EF、ED、EB、FD，ED交BC于点O．(1)证明：BF与ED互相平分；
(2)若AB=4，CF=3，求OE的长度．
【答案】(1)见解析
5
(2)
2
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可证明四边形BEFD是平行四边形，从而结论
可证明；
（2）在Rt△OEF中由勾股定理即可完成求解．
【详解】（1）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点，
1
∴EF∥AB，EF= AB，
2
1
∵BD= AB，
2
∴EF=BD
∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BF与ED互相平分；
（2）解：∵∠ABC=90°，EF∥AB，
∴∠EFO=90°，
1
∵EF= AB，AB=4，
2
∴EF=2，
∵F是BC的中点，CF=3，
∴BF=CF=3，
由（1）知，BF与ED互相平分；1 3
∴OF= BF= ；
2 2
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE=❑√EF2+OF2=❑
√
22+
(3) 2
=
5
．
2 2
5
即OE的长度为 ．
2
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识，
证明四边形是平行四边形是关键．
36．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AD⊥CD，E
为边AB上一点，连接CE，BD相交于点F，且CF=EF，连接DE．
(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(2)取CD中点G，连接FG，若FG=2，CD=3，∠BCD=120°，求四边形BCDE的
面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6❑√3
【分析】（1）先证明AB∥CD得到∠FDC=∠FBE，∠FCD=∠FEB，进而证明
△FCD≌△FEB得到CD=BE，由此即可证明四边形BCDE是平行四边形；
（2）如图所示，过点C作CH⊥AB于H，由平行四边形的性质得到
BE=CD=3，DF=BF，证明FG为△BCD的中位线，得到BC=2FG=4，再证明
1
CH⊥CD，求出∠BCH=30°，则BH= BC=2，利用勾股定理求出CH=2❑√3则
2
S =BE⋅CH=6❑√3．
四边形BCDE
【详解】（1）证明：∵AD⊥AB，AD⊥CD，
∴AB∥CD，
∴∠FDC=∠FBE，∠FCD=∠FEB，
∵CF=EF，∴△FCD≌△FEB(AAS)，
∴CD=BE，
又∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）解：如图所示，过点C作CH⊥AB于H，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE=CD=3，DF=BF，
∵G为CD的中点，
∴FG为△BCD的中位线，
∴BC=2FG=4，
∵CH⊥AB，AB∥CD，
∴CH⊥CD，
∴∠DCH=90°，
又∵∠BCD=120°，
∴∠BCH=30°，
1
∴BH= BC=2，
2
∴CH=❑√BC2−BH2=2❑√3，
∴S =BE⋅CH=6❑√3．
四边形BCDE
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，
含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性
质与判定条件是解题的关键．
37．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、
AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F；(1)求证：DE=CF；
(2)若∠B=60°，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)EF=2❑√3
【分析】（1）先证明DE是△ABC的中位线，得到DE∥CF，再由EF∥DC，可证
明四边形CDEF为平行四边形，由此即可证明DE=CF；
（2）先证明△ABC是等边三角形得到BC=AB=AC=4，BD=2，利用勾股定理求
出CD=2❑√3，则由平行四边形的性质可得EF=CD=2❑√3．
【详解】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，即DE∥CF，
又∵EF∥DC，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DE=CF；
（2）解：∵AB=AC=4，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC=4，
又∵D为AB中点，
∴CD⊥AB，
1
∴在Rt△BCD中，BD= AB=2，
2
∴CD=❑√BC2−BD2=2❑√3，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD=2❑√3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角
形中位线定理，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．38．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平
分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
(1)求证：AF⊥DE，BF=CE．
(2)若AD=10，AB=6，AF=8，求DE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√5
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，再由角平分线的定
1 1
义证明∠DAF+∠ADE= ∠BAD+ ∠ADC=90°，得到∠AGD=90°，即可证
2 2
明AF⊥DE；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠BAF=∠AFB，得到
AB=BF，同理可得CD=CE，则BF=CE；
（2）过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，证明四边形AFCK是平行四边形，
∠KID=90°，得到AF=CK=8，再证明∠DKI=∠DCI，得到DK=DC=6，则
KI=CI=4，同理证明CE=CD，得到EI=DI，求出DI=2❑√5，则DE=2DI=4❑√5．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
1 1
∴∠DAF=∠BAF= ∠BAD，∠ADE=∠CDE= ∠ADC．
2 2
1 1
∴∠DAF+∠ADE= ∠BAD+ ∠ADC=90°．
2 2
∴∠AGD=90°．
∴AF⊥DE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∴∠DAF=∠AFB，
又∵∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理可得CD=CE，
∴BF=CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD=∠KID=90°，
∴AF=CK=8，
∵∠KDI+∠DKI=90°，∠CDI+∠DCI=90°，∠IDK=∠IDC，
∴∠DKI=∠DCI，
∴DK=DC=6，
∴KI=CI=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD，
∵CI⊥DE，
∴EI=DI，
∵DDI=❑√CD2−CI2=2❑√5，
∴DE=2DI=4❑√5．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与
判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键．
39．（黑龙江哈尔滨·一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB，CD于点E，F连接BD，EF．
(1)求证：BD,EF互相平分；
(2)若∠A=60°,AE=2EB,AD=4，求四边形DEBF的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形DEBF的周长为12，四边形DEBF的面积为4❑√3
【分析】（1）证明BD,EF互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分
别平行来证明．
（2）首先证明出△ADE是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D
点作DG⊥AB于点G，根据勾股定理求出DG=2❑√3，然后利用平行四边形的面积公
式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF即BE=DF
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD,EF互相平分；
（2）∵∠A=60°，AE=AD，
∴△ADE是等边三角形
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，∴BE=2
∴四边形DEBF的周长=2(BE+DE)=2(4+2)=12；
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=60°，
∴∠ADG=30°，
1
∴AG= AD=2，
2
∴DG=❑√AD2−AG2=2❑√3，
∴四边形DEBF的面积=BE×DG=2×2❑√3=4❑√3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定
平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解
答，避免混用判定方法．
