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专题06 菱形的重难点题型归纳（八大题型）
重难点题型归纳
【题型1 利用菱形的性质求角度】
【题型2 利用菱形的性质求线段长度】
【题型3 利用等面积法求面积】
【题型4 添加条件对菱形的判定】
【题型5 菱形的判定-证明题】
【题型6 菱形的性质与判定综合】
【题型7 求菱形中最小值问题】
【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】
【题型1 利用菱形的性质求角度】
1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，点E在对
角线BD上，且BE=BA，那么∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到
1
∠ABD= ∠ABC=40°，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案．
2
【详解】解：解：∵四边形ABCD是菱形，点E在对角线BD上，∠ABC=80°，
1
∴∠ABD= ∠ABC=40°，
2
∵BE=BA，
1
∴∠AEB=∠EAB= (180°−40°)=70°，
2故选：C．
2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，连接
DE，CE，DE=AD．若∠ADE=36°，则∠DEC的度数为（ ）
A．72° B．54° C．50° D．48°
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得AD=CD，CD∥AB，再由
等腰三角形的性质得出∠A=∠DEA=72°，根据平行线的性质求出
∠CDE=∠DEA=72°，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，CD∥AB，
∵DE=AD，∠ADE=36°，
1
∴DE=CD，∠A=∠DEA= ×(180°−36°)=72°，
2
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠DEA=72°，
∵DE=DC，
1
∴∠DEC=∠DCE= ×(180°−72°)=54°，
2
故选：B．
3．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于
点Ｏ，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=126°，则∠AOE的大小为（ ）
A．63° B．65° C．53° D．50°
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得∠BAD=180°−∠ADC=54°，1
从而得出∠BAO= ∠BAD=27°，再结合OE⊥AB计算即可得解，熟练掌握菱形的
2
性质是解此题的关键．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠ADC=126°，
∴∠BAD=180°−∠ADC=54°，
1
∴∠BAO= ∠BAD=27°，
2
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°−∠BAO=63°，
故选：A．
4．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明同学按如下步骤作四边形ABCD：①画
∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM, AN于点B, D；③分
别以点B, D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC, CD, BD．
若∠A=46°，则∠CBD的大小为（ ）
A．64° B．66° C．67° D．68°
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱
形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：由作图可得AB=AD=BC=DC
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD
∵∠A=46°，
∴∠MBC=∠A=46°，
1 1
∴∠CBD= (180°−∠MBC)= (180°−46°)=67°，
2 2
故选：C．
5．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，
则∠2的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得AB∥CD，AC⊥BD，从而得
到∠1=∠ACD=20°，∠ACD+∠2=90°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠1=∠ACD=20°，∠ACD+∠2=90°，
∴∠2=90°−∠ACD=70°．
故选：D．
1
6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=34°，取大于 AB
2
的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E
（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为 ．
【答案】39°
【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平
分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得AD=AB，得到∠ABD的度数，由作
图可知点E在AB的垂直平分线上，得到∠EBA=∠A=34°，最后利用角的和差即可
求出∠EBD的度数．
【详解】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠A=34°，
1
∴∠ABD= ×(180°−∠A)=73°，
2由作图可知，点E在AB的垂直平分线上，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠A=34°，
∴∠EBD=∠ABD−∠EBA=73°−34°=39°．
故答案为：39°
【题型2 利用菱形的性质求线段长度】
7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的
中点，连接OM，若AC=6，BD=8，则OM的长为（ ）
5 3
A． B．4 C．5 D．
2 2
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解
题的关键．
由菱形性质，结合勾股定理求得BC，根据中位线定理求OM．
【详解】解：由菱形知，
1 1 1 1
∴∠BOC=90°，OB= BD= ×8=4，OC= AC= ×6=3，
2 2 2 2
∴BC=❑√OB2+OC2=5，
∵点M为AB的中点，O为AC的中点，
1 1 5
∴OM= BC= ×5= ；
2 2 2
故选：A．
8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点
O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的边长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
1 1
根据菱形对角线互相垂直平分得到OA= AC=4,OB= BD=3,AC⊥BD，由此利
2 2
用勾股定理求出AB的长即可得到答案．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AC=8，BD=6，
1 1
∴OA= AC=4,OB= BD=3,AC⊥BD，
2 2
∴在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=❑√OA2+OB2=❑√32+42=5，
∴菱形ABCD的边长为5，
故选：B．
9．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=16，AC交BD于点
O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．
1 1
由菱形的性质可得OB=OD= BD、OA=OC= AC=8，再运用勾股定理可得
2 2
OB=6，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵在菱形ABCD中， AC=16，1 1
∴OB=OD= BD，OA=OC= AC=8，
2 2
∵AB=10，OA=8，
∴OB=❑√AB2−OA2=6，
1
∵DE⊥BC，OB=OD= BD，
2
1
∴OE= BD=OB=6．
2
故选：A．
10．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
24 45
A． B．6 C． D．12
5 5
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识，先求出
菱形的面积，再利用勾股定理求出BC的长，利用菱形面积为△ABC面积的两倍求出
AE即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8
1 1
∴AC⊥BD,OC=OA= AC=3,OB=OD= BD=4
2 2
∴∠BOC=90°
∴BC=❑√OC2+OB2=5
∵AE⊥BC于点E
1
∴S =2S =2× ×BC×AE=5AE
菱形ABCD △ABC 21
∵S = AC×BD=24
菱形ABCD 2
∴5AE=24
24
∴AE=
5
故选：A．
11．（24-25九年级上·河南·阶段练习）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中
点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．15 D．17
【答案】B
【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形
的性质进行计算即可．
【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=4，
∴菱形的周长为4×4=16．
故选：B．
【题型3 利用等面积法求面积】
12．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，过点D作DH⊥AB交AB于点H，连接OH，若OA=10，OH=6，则菱形
ABCD的面积为（ ）
A．120 B．240 C．80 D．160【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积
公式等知识；由菱形的性质得OA=OC=10，OB=OD，AC⊥BD，则AC=20，再
由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=10，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=20，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∵点O是BD中点，即OH是斜边上的中线，
∴BD=2OH=2×6=12，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×20×12=120，
2 2
故选：A．
13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地
设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各
边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（ ）
A．2400平方米 B．2800平方米 C．3000平方米 D．3200平方米
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和判定，
菱形的性质是解题的关键；根据矩形的性质可证四边形ADFE是矩形，四边形ABHG
是矩形， 可得GH=AB=80米， EF=AD=60米，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：
∵ ABCD
四边形 是矩形，矩形荒地的长为80米，宽为60米，
∴AD=80米，AB=60米，AD∥BC,AB∥CD，∵菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，
1 1
∴AG=BH= AD，AE=DF= AB，
2 2
∴四边形ADFE是矩形，四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=80米， EF=AD=60米，
1
∴菱形花圃的面积为 ×80×60=2400平方米，
2
故选：A．
14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为
6，6❑√3，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】18❑√3
【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．
根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC，BD的长分别为6，6❑√3，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×6×6❑√3=18❑√3．
2 2
故答案为：18❑√3．
15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C
作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB=3，OE=3❑√3，则菱形
ABCD的面积为 ．
【答案】18❑√3
【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以
上知识点．
首先根据菱形的性质得到BD=2OB=6，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到
AC=2OE=6❑√3，然后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴BD=2OB=6，AO=CO∵CE⊥AB
∴∠AEC=90°
∴AC=2OE=6❑√3
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×6❑√3×6=18❑√3．
2 2
故答案为：18❑√3．
【题型4 添加条件对菱形的判定】
16．（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使
▱ABCD成为菱形的是（ ）
A．AC=BD B．AB=DC C．AC⊥BD D．AD∥BC
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握菱形的判定方法；
根据菱形的判定可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到答案。
【详解】解：AC=BD，可判断▱ABCD是矩形，不能判断▱ABCD是菱形，故选
项A错误，不符合题意；
AB=DC，是▱ABCD已具有的性质，不能判断▱ABCD是菱形，故选项B错误，
不符合题意；
AC⊥BD对角线互相垂直，可知判断▱ABCD是菱形，故选项C正确，符合题意；
AD∥BC，是▱ABCD已具有的性质，不能判断▱ABCD是菱形，故选项D错误，
不符合题意；
17．（21-22九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，请你添加一个
条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（ ）
A．AC=BD B．AB=BC
C．AC⊥BD D．∠BAC=∠DAC
【答案】A
【分析】本题考查的是菱形的判定．根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是
菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案．【详解】解：A、添加AC=BD可证明平行四边形ABCD是矩形，不能使它变成菱形，
故此选项符合题意；
B、添加AB=BC能证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意；
C、添加AC⊥BD可证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意；
D、添加∠BAC=∠DAC，则∠BCA=∠DAC，所以∠BCA=∠BAC，所以
AB=BC，可证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意；
故选：A．
18．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在▱ABCD中，如果只添加一个条件即可证明
▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠A=90∘ B．AC=BD C．∠B=60∘ D．BD平分∠ABC
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关
键．
根据菱形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：由题意可作出图形：
当∠BAD=90∘时，则▱ABCD为矩形，故A错误；
当AC=BD时，则▱ABCD为矩形，故B错误；
当∠ABC=60∘时，不能判定出▱ABCD是菱形，故C错误；
当BD平分∠ABC时，则∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴▱ABCD为菱形，故D正确；
故选：D．
19．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90° D．∠1=∠2
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角
的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边
形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A．添加AB=BC，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
B．添加AC⊥BD，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意；
C．添加∠ABC=90°，可判断平行四边形ABCD为矩形，符合题意；
D．添加∠1=∠2，可判断平行四边形ABCD为菱形，不符合题意．
故选：C．
20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在▱ABCD中（AD>AB），∠ABC为锐角，将
△ABC沿对角线AC方向平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，在不添加任何辅助
线的前提下，要使四边形AB′C′D是菱形，只需添加的一个条件是 ．
【答案】AB′=B′C′（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形AB′C′D
是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：∵▱ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
由平移可得BC=B'C'，BC∥B'C'，
∴AD=B'C'，AD∥B'C'，∴四边形AB′C′D是平行四边形，
若AB′=B′C′，则AB′=B′C′=AD=DC′，
∴四边形AB′C′D是菱形．
故答案为：AB′=B′C′（答案不唯一）．
【题型5 菱形的判定-证明题】
21．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC
的中点，BE∥AC,CE∥BD，BE与CE交于点E，求证：四边形BDCE是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟
练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
根据BE∥AC,CE∥BD，求得四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角形的性
1
质得到BD=DC= AC，由菱形的判定定理即可得到结论．
2
【详解】证明：∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
1
∴BD=DC= AC，
2
∴四边形BDCE是菱形．
22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
且BD=2AB，AE∥BD，OE∥AB，求证：四边形ABOE是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质1
求得OB=OD= BD，推出AB=OB，再证明四边形ABOE是平行四边形，据此即
2
可证明平行四边形ABOE是菱形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴OB=OD= BD，
2
∵BD=2AB，
∴AB=OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
又∵AB=OB，
∴平行四边形ABOE是菱形．
23．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形ABCD中，E是DB延长线上一点，F
是BD延长线上一点，连接AE,CE,CF,AF，若BE=DF，试判断四边形AECF的形
状，并说明理由．
【答案】四边形AECF是菱形，理由见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，先证明
△ABE≌△CDF(SAS)，得出AE=CF，∠AEB=∠CFD，同理
△ABE≌△ADF(SAS)，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD，再根据菱形的判定方法，
证明即可．
【详解】解：四边形AECF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD,AB∥CD，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB，
∴∠ABE=∠ADF=∠CDF，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，同理得：△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD，
∵∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形．
24．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，
M、N 分别为 AD、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点．求证：
(1)△ABM≌△DCM；
(2)四边形 MENF 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等腰梯形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，
根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；
（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM
的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，
{
AB=DC
)
∠A=∠D ，
AM=DM
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ABM≌△DCM，∴BM=CM，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
1 1
∴ME=BE= BM，MF=CF= CM，
2 2
∴ME=MF，
又∵N是BC的中点，
∴EN、FN是△BCM的中位线，
1 1
∴EN= CM，FN= BM，
2 2
∴EN=FN=ME=MF，
∴四边形MENF是菱形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、
菱形的判定；熟练掌握等腰梯形的性质，菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问
题的关键．
【题型6 菱形的性质与判定综合】
25．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG交叉
重叠，重叠部分为四边形BMNK．
(1)求证：四边形BMNK为菱形；
(2)若AB=8，BM=10，求MK的长．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√5
【分析】（1）根据题意得到KN∥BM，BK∥MN，AB=EB，推出四边形BMNK
平行四边形，根据全等三角形的性质得到KB=MB，根据菱形的判定定理得到结论；
（2）过点K作KH⊥BC于H，根据矩形的性质得到HK=AB=8，根据菱形的性质
得到 ，根据勾股定理得 到，求得
BK=BM=10 BH=❑√BK2−H K2=6，根据勾股定理得到 即可求解．
HM=10−6=4 MK=❑√H K2+H M2=❑√82+42
【详解】（1）证明：∵两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG交叉重叠，重叠部分为
四边形BMNK，
∴KN∥BM，BK∥MN，AB=EB，∠ABC=∠GBE=∠A=90°，
∴四边形BMNK平行四边形，
∵EB=AB，∠EBM=∠ABK=90°−∠KBM，∠E=∠A=90°，
∴△ABK≌△EBM(ASA)，
∴KB=MB，
∴四边形BMNK是菱形；
（2）解：过点K作KH⊥BC于H，
则∠BHK=∠ABC=∠A=90°，
∴四边形ABHK是矩形，
∴HK=AB=8，
∵四边形BMNK为菱形，
∴BK=BM=10，
在Rt△BHK中，BH=❑√BK2−H K2=❑√102−82=6
∴HM=10−6=4，
在Rt△HMK中，MK=❑√H K2+H M2=❑√82+42=4❑√5．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
26．（14-15八年级下·辽宁营口·期末）在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，E、F分
别是AD、BC上两点，并且AC垂直平分EF，垂足为O．(1)连接AF、CE．说明四边形AFCE为菱形；
(2)求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【分析】（1）由矩形的性质得出∠EAC=∠ACF．根据线段垂直平分线的性质，得
出EO=FO，EF⊥AC，即易证△AOE≌△COF(ASA)，得出AO=CO，从而即可
证明；
（2）根据菱形的性质可设AF=FC=x，则BF=8−x，结合勾股定理即可求出x的值，
即得解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF．
∵AC垂直平分EF，垂足为O．
∴EO=FO，AE=AF，EF⊥AC．
{∠EAC=∠ACF
)
在△AOE和△COF中， EO=FO ，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AO=CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：设AF=FC=x，则BF=8−x．
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴42+(8−x) 2=x2，
解得：x=5，
∴AF的长为5cm．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
27．（23-24八年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是
△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE=CF，连接BE、AE．
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若BC=8，BE=5，求菱形AEBD的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)24
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中
线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形中线性质可得DF=B F，再由已知条件可证得△CDF≌△EBF；根
据直角三角形斜边中线性质得BD=AD= CD，可证BE∥CD，进而可求解；
（2）通过证明四边形BCDE是平行四边形，求得DE=BC=8，利用勾股定理求得
AB的长，再利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵F是BD的中点，
∴DF=BF，
∵CF=EF,∠CFD=∠EFB，
∴△CDF≌△EBF(SAS)，
∵∠ABC=90°,BD是△ABC中线，
∴BD=AD=CD，
∵△CDF≌△EBF，
∴CD=BE,∠FCD=∠FEB，
∴BE∥CD，
∵BE=CD=AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接ED，∵BE∥CD,CD=BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=8，
∵AD=BE=5，BD是△ABC中线，
∴AC=2AD=10，
∵∠ABC=90°,BC=8，
∴AB=❑√AC2−BC2=❑√102−82=6，
∵四边形AEBD是菱形，
1 1
∴菱形AEBD的面积= ×AB×DE= ×6×8=24．
2 2
28．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB
的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，CE，AE交于点E，连
接DE交AC于点O．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)连接BE交AC于点F，交CD于点G，若DE=CE，CD=2，求OF的长．
【答案】(1)见解析
❑√3
(2)OF= ．
3
1
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到DC=AD=BD= AB，根据两
2
组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECD是平行四边形，再根据邻边
相等即可证明为菱形；
（2）先证明四边形BCED是菱形，△CDE为等边三角形，则1
∠OEF= ∠CED=30°，再根据30°角直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．
2
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点D是AB中点，
1
∴DC=AD=BD= AB，
2
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AC⊥DE，CD=CE，OD=OE，
∵DE=CE，CD=2，
∴DE=CE=CD=2，△CDE为等边三角形，
∴∠AOD=∠ACB=90°，OD=OE=1，∠DEC=60°，
∴BC∥DE，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∵DE=CE，
∴四边形BCED是菱形，
1
∴∠OEF=∠CEF= ∠CED=30°，
2
∴EF=2OF，
由勾股定理得OF2=EF2−OE2，即OF2=(2OF) 2−12，
❑√3
解得OF= ．
3
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，30°
角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
【题型7 求菱形中最小值问题】
29．（2018·安徽合肥·一模）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8❑√3，E为AB的
中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）A．2 B．2❑√3 C．4 D．4❑√3
【答案】B
【分析】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，作CE′⊥AB于E′，交BD
于P′，连接AC、AP′，首先证明E与E′重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与
P′重合时，P′ A+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．解题的关键是学会添加
常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．
【详解】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8❑√3，
∴AB=BC=4，AB⋅CE′=8❑√3，
∴CE′=2❑√3，
在Rt△BCE′中，BE′=❑√42−(2❑√3) 2=2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′ A+P′E的值最小，最小值为CE=2❑√3，
故选：B．
30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
AC=16，BD=12，则EF的最小值为（ ）A．8 B．6 C．4.8 D．2.4
【答案】C
【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练
掌握以上知识点．连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，
1 1
OA=OC= AC=8，OB=OD= BD=6，由勾股定理得AB=❑√OA2+OB2=10，
2 2
1 1
由 AB⋅OH= OA⋅OB=S ，求得OH=4.8，再证明四边形PEOF是矩形，
2 2 △AOB
则EF=OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8．
【详解】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
1 1 1 1
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×16=8，OB=OD= BD= ×12=6，
2 2 2 2
∴∠AOB=90°，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√82+62=10，
1 1
∵ AB⋅OH= OA⋅OB=S ，
2 2 △AOB
1 1
∴ ×10OH= ×8×6，
2 2
解得OH=4.8，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
∴OP≥OH，
∴EF≥4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．
31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC
上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B=45°，
BC=2❑√3，则GH的最小值为（ ）
❑√2 ❑√6
A．❑√3 B． C．❑√6 D．
2 2
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性
1
质、垂线段最短等知识，连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH= AF，当
2
AF⊥BC时，AF最小，求出AF最小值即可求出．
【详解】解：过A作AK⊥BC于K，
在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=2❑√3，
∴∠BAK=45°=∠B，AB=BC=2❑√3，
∴AK=BK，
∴AK2+BK2=2AK2=AB2=(2❑√3) 2 ，∴AK=❑√6，负值舍去，
∵G、H分别为AE、EF的中点，
1
∴GH= AF，
2
∵垂线段最短，
∴当F和K重合时，AF最小，GH也最小，
❑√6
∴GH的最小值为 ，
2
故选：D．
32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P
为线段BC的中点，Q，K分别为线段CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值
为（ ）
A．❑√2 B．2.5 C．❑√3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三
角形的性质与判定，如图所示，取AB中点E，连接EK，EC，EQ，AC，先证明
△ABC是等边三角形，得到CE⊥AB，再证明△EBK≌△PBK，得到KE=KP，则
当K、E、Q三点共线，且QE⊥AB时KE+KQ最小，即此时PK+QK最小，由垂
线段最短可知PK+QK最小值即为线段CE的长，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，取AB中点E，连接EK，EC，EQ，AC，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，
∴AB=BC=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∴CE⊥AB，
∵点P为线段BC的中点，
∴BE=BP，
又∵∠EBK=∠PBK，BK=BK，
∴△EBK≌△PBK，
∴KE=KP，
∴PK+QK=KE+KQ，
∴当K、E、Q三点共线，且QE⊥AB时KE+KQ最小，即此时PK+QK最小，
∴由垂线段最短可知PK+QK最小值即为线段CE的长，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE=❑√BC2−BE2=❑√3，
∴PK+QK的最小值为❑√3，
故选：C．
33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形ABCD的边长为12，点M是对角线
AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．6❑√3 B．12❑√3 C．12+2❑√3 D．6+6❑√3
【答案】B
1
【分析】由菱形ABCD，∠ABC=120°，可得∠MAD=∠MAB= ∠DAB=30°，
2
AD=AB，证明△MAD≌△MAB(SAS)，则DM=BM，如图，作MH⊥AB于H，
1
作DG⊥AB于G，则MH= AM，
2
(1 ) ，可知当
MA+MB+MD=MA+2MD=2 MA+MD =2(MH+MD)
2
D、M、H三点共线且DH⊥AB时，MA+MB+MD最小为2DG，由1
∠ADG=30°，可得AG= AD=6，由勾股定理求DG，进而可得MA+MB+MD
2
的最小值．
【详解】解：∵菱形ABCD，∠ABC=120°，
1
∴∠DAB=60°，∠MAD=∠MAB= ∠DAB=30°，AD=AB，
2
∵AD=AB，∠MAD=∠MAB，AM=AM，
∴△MAD≌△MAB(SAS)，
∴DM=BM，
如图，作MH⊥AB于H，作DG⊥AB于G，
1
∴MH= AM，
2
(1 )
∴MA+MB+MD=MA+2MD=2 MA+MD =2(MH+MD)，
2
∴当D、M、H三点共线且DH⊥AB时，MA+MB+MD最小为2DG，
∴∠ADG=30°，
1
∴AG= AD=6，
2
由勾股定理得，DG=❑√AD2−AG2=6❑√3，
∴MA+MB+MD的最小值为12❑√3，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，
勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三
角形，勾股定理是解题的关键．
34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，▱ABCD的面积为12，AC=BD=6，AC与BD
交于点O．分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
❑√3 3
A．1 B． C． D．3
2 2
【答案】A
【分析】先证明OC=OD，四边形OCFD是菱形，如图，连接OF，GP，而点G是
CD的中点，可得G为菱形对角线的交点，OF⊥CD，当GP⊥CF时，GP最小，再
利用等面积法求解最小值即可．
【详解】解：∵▱ABCD，AC=BD=6，
∴▱ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∵OC∥DF，DO∥CF，
∴四边形OCFD是菱形，
如图，连接OF，GP，而点G是CD的中点，
∴G为菱形对角线的交点，OF⊥CD，
∴当GP⊥CF时，GP最小，
∵▱ABCD即矩形ABCD的面积为12，AC=BD=6，
1
∴OC=OD=3，S = ×12=3，
△OCD 4
∴S =2S =6，
菱形OCFD △OCD
1 3
∴S = ×6= ，
△CGF 4 2
由菱形的性质可得：CF=3，
1 3
∴ ×3×GP= ，
2 2∴GP=1，即GP的最小值为1．
故选A
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，
垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
AC=6，BD=8．点P是边BC上的动点，过点P作PM⊥BO，垂足为点M，
PN⊥CO，垂足为点N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
3 12
A． B．2 C． D．3
2 5
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接
1 1
OP，由菱形的性质得出BD⊥AC，OB= BD=4，OC= AC=3，由勾股定理得
2 2
出BC=5，证明四边形PMON为矩形，得出MN=PO，即当PO最小时，MN的值最
小，由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小，再由等
面积法计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接OP，
∵四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8，
1 1
∴BD⊥AC，OB= BD=4，OC= AC=3，
2 2
∴∠BOC=90°，∴BC=❑√OB2+OC2=5，
∵PM⊥BO，PN⊥CO，
∴∠PMO=∠PNO=∠BOC=90°，
∴四边形PMON为矩形，
∴MN=PO，
∴当PO最小时，MN的值最小，
由垂线段最短可得，当OP⊥BC时，此时OP的值最小，MN的值最小，
1 1
∵S = OB⋅OC= BC⋅OP，
△BOC 2 2
12
∴OP= ，
5
12
∴MN的最小值为 ，
5
故选：C．
【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】
36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点O为菱形ABCD的对称中心，点E从点A
出发沿AD向点D运动，移动到点D停止，延长EO交BC于点F，则四边形AECF形
状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→矩形→菱形
D．平行四边形→矩形→正方形→菱形
【答案】B
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定与性质，根据运
动状态画出图形，再结合特殊四边形的判定方法可得答案．
【详解】解：如图，连接AC，BD，∵O为菱形ABCD的对称中心，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠FCO=∠EAO，而∠COF=∠AOE，
∴△COF≌△AOE，
∴AE=CF，而AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
如图，当CE⊥AD时，
∴平行四边形AECF为矩形；
如图，
点E继续运动，
同理可得：四边形AECF为平行四边形；
如图，当D,E重合，B,F重合，∴四边形AECF为菱形；
故选B．
37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6．动
点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿AD方向向点D运动，同时，动点Q从点
C出发沿CA方向向点A运动，它们同时到达目的地，则运动到（ ）秒时PQ=PO．
9 9
A．3或 B．3 C． D．5
2 2
【答案】A
【分析】分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如
图1中，当OP=PQ时，想办法构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=CO，BC//AD，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°，
1
∴BO= AB=3，
2
∴CO=AO=❑√62−32=3❑√3，
设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得
6❑√3 6
= ，
x 1
解得x=❑√3，经检验x=❑√3符合题意．
①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3❑√3÷❑√3=3秒；
②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH．
在Rt APH中，PA=t，∠PAH=30°，
△1
∴PH= t，
2
❑√3
∴AH= t，
2
❑√3
∴OH=3❑√3- t，
2
1
∵QH= （❑√3t-3❑√3），
2
1 ❑√3
∴ （❑√3t-3❑√3）=3❑√3- t，
2 2
9
解得t= ，
2
9
综上所述，当t=3秒或 秒时，OP=PQ．
2
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性
质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考
题型．
38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，AC=120cm，
∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒△的速度向点A匀速运动，同时点E从
点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另
一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连
接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）A．20秒 B．18秒 C．12 秒 D．6秒
【答案】A
【分析】用菱形的性质进行计算或证明时,一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求
解问题,转化到边上,再利用相等等条件求解,从而解决问题.本题中易证四边形AEFD是
平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值．
【详解】∵直角 ABC中，∠C=90°−∠A=30°
∵CD=4t，AE=2t，△
又∵在直角 CDF中，∠C=30°，
1 △
∴DF= CD=2t，
2
∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由(1)得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即120−4t=2t，
解得：t=20，
即当t=20时，四边形AEFD是菱形；
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键．
39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形ABCD中，AB=6cm，∠A=60°，
点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以
2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为ts，当△PDQ为等边三角形时，
t的值为（ ）A．1 B．1.3 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长AB至点M，使
BM=AP，连接QM，易证△ADP≌△MPQ，即可推出△BMQ是等边三角形，列出
方程即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AB至点M，使BM=AP，连接QM．
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=AD，
∴∠APD+∠ADP=120°，
∵BM=AP，
∴AD=MP，
∵△PDQ为等边三角形，
∴DP=PQ，∠DPQ=60°，
∴∠MPQ+∠APD=120°，
∴∠ADP=∠MPQ．
在△ADP和△MPQ中，
{
AD=MP
)
∠ADP=∠MPQ ，
DP=PQ
∴△ADP≌△MPQ(SAS)，∴AP=MQ，∠M=∠A=60°．
又∵BM=AP，
∴△BMQ是等边三角形，
∴BQ=AP．
∵AP=t，CQ=2t，
∴BC=CQ+BQ=3t．
∵BC=6cm．
∴t=2s．
故选：D．
