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专题 08 一元一次方程应用的五种考法全梳理
目录
【考法一、行程问题】...................................................................................................................1
【考法二、配套问题】...................................................................................................................5
【考法三、工程问题】...................................................................................................................8
【考法四、销售盈亏问题】.........................................................................................................11
【考法五、方案选择问题】.........................................................................................................13
【课后练习】................................................................................................................................17
【考法一、行程问题】
例．综合与实践：如图，这是我市某校校园内的环形跑道，跑道是由线段 ， 及半圆
， 组成的，已知跑道的周长为400米，半圆 ， 的长都为88米， ， 和
分别是线段 和 的中点．（请用方程的相关知识解决下列问题）．
(1)求线段 的长；
(2)小明和小英在如图所示的环形跑道上练习跑步，已知小明、小英两人分别从点 ， 两
处同时沿着箭头方向出发，小明的速度是6米 秒，小英的速度是4米 秒．
①多长时间后，两人首次相遇？
②在第二次相遇前，经过多长时间两人在跑道上相距100米？
【答案】(1)56米
(2)①20秒后，两人首次相遇；②在首次相遇后、第二次相遇前，经过30秒或50秒两人在
跑道上相距100米
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出题中的等量关系是解本题的关
键；
（1）由跑道的周长减去半圆m，n的长，可 （米），再由E是线段AC的
中点即可求解：
（2）①设x秒后，两人首次相遇，根据首次相遇时两人的路程和是周长的 列出方程，解
方程即可：②设在第二次相遇前，经过x秒两人在跑道上相距100米，根据两人的路程和
减去 或两人的路程和减去 列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解： （米 ，是线段 的中点，
（米 ，
答：线段 的长为56米；
（2）①设 秒后，两人首次相遇，
根据题意得 ，
解得 ，
答：20秒后，两人首次相遇；
②设在第二次相遇前，经过 秒两人在跑道上相距100米，
根据题意得 或 ，
解得 或 ，
答：在第二次相遇前，经过30秒或50秒两人在跑道上相距100米．
变式1．汽车拉力赛有两个距离相等的赛程第一赛程由平路出发，离中点26千米处开始上
坡，通过中点继续行驶4千米后，全是下坡路：第二赛程也是由平路出发，离中点4千米
处开始下坡，通过中点继续行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用
时间相同，第二赛程出发时的速度是第一赛程出发时速度的 ，而遇到上坡时速度就要减
少 ，遇到下坡时速度就要增加 ，那么，每个赛程的距离是多少千米？
【答案】每个赛程为92千米．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出列方程的等量关系式是解题关键．设赛程
每个赛程为 千米，起点到中点为x千米，以第一赛程出发时的速度为1，不难得到第二
个赛程出发时的速度；由题意表示出上坡、下坡的速度，根据两个赛程的路况表示出两个
赛程所用的时间；根据两个赛程所用的时间相同列方程求解，问题即可解答．
【详解】解：设每个赛程距离为 千米，则两个赛程的上、下坡图示如下（如图1、图
2）：
设第一赛程出发时的速度为1，
则第一赛程用时为：
①
第二赛程用时为；②
根据两个赛程用时相等，由①②得方程
解得 ，所以每个赛程为 （千米）．
答：每个赛程为92千米．
变式2．（培优）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A
站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站
始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习
小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
A站 B站 C站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为 ，离A站的路程为 ；G1002次列车的行驶速度为 ，
离A站的路程为 ．
① ______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则 ），已知 千
米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中 ，若
，求t的值．
【答案】(1)90，60；(2)① ；② 或125
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分
类讨论是解题的关键．
（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于
速度乘以时间求解即可；②先求出 ， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当
时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在
B站停车，然后分 ， ， ， 讨论，根据题意列
出关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分
钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需 分钟，
G1002次列车从A站到C站共需 分钟，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
② （千米/分钟）， ，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当 时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当 时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当 时， ，
， ， （分钟）；
ⅱ．当 时， ，
， ， （分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当 时， ，
， ， （分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当 时， ，
， ， （分钟）．
综上所述，当 或125时， ．【考法二、配套问题】
例．在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图
1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪
20个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）.
（1）七（1）班有男生、女生各多少人？
（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底
面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人
时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套.
【答案】（1）七年级（1）班有男生24人，女生26人；（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，
女生负责剪圆柱底面，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援14人时，才
能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【分析】（1）设七年级（1）班有男生有x人，则女生有（x+2）人，根据“男生人数+女
生人数=50”列出方程，求解即可；
（2）分别计算出24名男生和26名女生剪出的筒身和筒底的数量，可得不配套；设男生应
向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）设七年级（1）班有男生有x人，则女生有（x+2）人，由题意得：
x+x+2=50，
解得：x=24，
女生：24+2=26（人），
答：七年级（1）班有男生24人，女生26人；
（2）男生剪筒身的数量：24×20=480（个），
女生剪筒底的数量：26×10=260（个），
因为一个筒身配两个筒底，480：260≠1：2，
所以原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，每小时剪出的筒身与筒底不能配
套．
设男生应向女生支援y人，由题意得：
20（24-y）×2=10（26+y），解得：y=14，
答：男生应向女生支援14人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，再列出方程．
变式1．某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天
能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分
别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品.
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？
（2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只
能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内
能完成总任务吗？
【答案】（1）48；（2）64，能．
【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根
据“生产的装置总数=每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由4个G型装置和
3个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入
中即可求出结论；
（2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，
同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入 中即可求出补
充新工人后每天能配套生产的套数，进而求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结
论．
【详解】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，
根据题意得： ，
解得：x=32，∴ 48．
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．
（2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，
根据题意得： ，
解得：y=64，∴ y=64．
∵64×20=1280＞1200，∴补充新工人后20天内能完成总任务．
答：补充新工人后每天能配套生产4套产品，补充新工人后20天内能完成总任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
变式2．列方程解应用题
劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7
人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
(1)男生有______人，女生有______人．(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身
与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？
请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案．
【答案】(1)19，26
(2)①分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，
8人制作鼓面．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键．
（1）设男生有x人，则女生有 人，根据男生人数比女生人数少7人列方程求解即
可；
（2）①设分配m名学生制作鼓身，则 名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作
2个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可；
②根据①可知45名学生1小时可制作小鼓54个，则若要每小时制作78个小鼓，需增加24
个小鼓，则制作鼓身需要 人，制作鼓面需要 人，即可求解．
【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有 人，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：19，26；
（2）解：①设分配m名学生制作鼓身，则 名学生剪鼓面，
由题意，得 ，
解得 ，
则 ，
答：应分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面；
②由①知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓 个，
还需制作 个小鼓，
所以应再加入制作鼓身 人，制作鼓面 人．
则新加入 人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．
变式3．劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生
人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
(1)男生有______人，女生有______人．
(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身
与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你思考此问题，并直接写出结果．
【答案】(1)22，28
(2)①应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面．②应再加入 名学生
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，掌握配套问题的等量关系是解题的关键．
（1）设男生有x人，则女生有 人，根据男生人数比女生人数少6人列方程求解即
可；
（2）①设分配 名学生制作鼓身，则 名学生剪鼓面，根据每名学生每小时可制作2
个鼓身或剪6个鼓面，且每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套列方程求解即可；
②根据①可知50名学生1小时可制作小鼓 个，则若要每小时制作90个小鼓，需增加一
半的人数．
【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有 人，
由题意得： ，
解得： ，
所以 ，
即男生有22人，女生有28人，
故答案为：22，28；
（2）①设分配 名学生制作鼓身，则 名学生剪鼓面，
由题意，得 ，
解得 ，
则 ，
答：应分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面；
②由①知分配30名学生制作鼓身，20名学生剪鼓面，则1小时可制作小鼓 个，
还需制作 个小鼓，
所以应再加入 人．
【考法三、工程问题】
例．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每
天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？
(2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的
挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独
完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米(2)8天
【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关
键．
（1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道 米，根据甲、乙两
工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可；
（2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘 天，根据总费用刚好
102万元，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道 米，
根据题意，得
解得：
∴
答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米．
（2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘 天，根据题意，
得
解得：
答：甲工程队应先单独挖掘8天．
变式1．某学校举行物理知识竞赛，学校打印室有A、B两台一体机可以印刷试卷．如果单
独用A机器需要45分钟印刷完，如果单独用B机器需要30分钟印刷完，为了保密起见不
能过早印刷试卷，为保障学生按时开始竞赛，学校决定在考试前用两台机器同时印刷．
(1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印完？
(2)若两台机器同时印刷，10分钟后，B机器出了故障，暂时不能印刷，此时离发卷还有13
分钟（老师领试卷的时间忽略不计）．如果由A机器单独完成剩下的印刷任务，会不会影
响按时发卷考试？
(3)在（2）的问题中，B机器经过紧急抢修，2分钟后修好恢复正常使用，则学校能否按时
发卷考试？
【答案】(1)18分钟
(2)会影响按时发卷考试
(3)学校能按时发卷考试
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）两台机器同时印刷，共需x分钟才能印完，根据题意列方程求解即可；
（2）设B机器出了故障后，A机器需要m分钟单独完成剩下的印刷任务，根据题意列方程
求得m值，再与13比较即可得出结论；（3）设B机器修好后，两台机器又用y分钟印刷完剩余，根据题意列方程求得y值，再与
13比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设两台机器同时印刷，共需x分钟才能印完，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：两台机器同时印刷，共需18分钟才能印完；
（2）解：设B机器出了故障后，A机器需要m分钟单独完成剩下的印刷任务，
根据题意， ，
解得 ，
∵ ，
∴由A机器单独完成剩下的印刷任务，会影响按时发卷考试；
（3）解：设B机器修好后，两台机器又用y分钟印刷完剩余试卷，
根据题意，得 ，
解得 ，
∵ ，
∴学校能按时发卷考试．
变式2．风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工
程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有
教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用
1600元，付乙工程队每天费用2600元．
(1)求风华中学一共有多少个教室？
(2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部
分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉
刷多少天？
【答案】(1)风华中学一共有120个教室
(2)乙工程队共粉刷34天
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找
出等量关系，列出方程求解．
（1）设风华中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程
求解即可；
（2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了 ，根据（1）中求出的教室总数，
列出方程求解即可．【详解】（1）解：设风华中学一共有x个教室，
，解得： ，
答：风华中学一共有120个教室．
（2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了 ，
，
解得： ，
答：乙工程队共粉刷34天．
【考法四、销售盈亏问题】
例．炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩
虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元．
(1)该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为
11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元；
(2)根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相
比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低 ，销量增加 斤；彩虹西瓜售价不变，销
量增加 ．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多 ．求a的值．
【答案】(1)特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元；(2)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价 元，根据题意列方程求解即可；
（2）根据销售额=单价×销售量列方程求解即可
【详解】（1）解：设特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
，
答：特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元；
（2）解：根据题意，得
，
解得 或 （舍去）．变式1．某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件．
类型 进价（元/件） 标价（元/件）
A 150 220
B 100 150
(1)求A，B商品购进的数量
(2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基
础上也打折．当600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基
础上打了几折？
【答案】(1)A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件
(2)B商品在标价的基础上打了9折
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购进甲、乙两商品各自所
需要的钱数是解题的关键．
（1）设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是 件，购进甲种商品需要
元，购进乙种商品需要 元，列方程进行求解即可．
（2）设B商品在标价的基础上打y折，由总利润 总售价 总进价列方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设A商品购进的数量是x件，则B商品购进的数量是 件，
根据题意得 ，
解得 ，
则 件，
答：A商品购进的数量是200件，B商品购进的数量是400件．
（2）设B商品在标价的基础上打y折，
根据题意： ，
解得： ，
答：B商品在标价的基础上打了9折．
变式2．网购已经成为每个家庭经常使用的购物方式之一了，某直播间购进甲、乙两种商
品，其中乙商品的件数比甲商品件数的 少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 25 40
(1)该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利=售价－进价）
(2)经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若
要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？
【答案】(1)该直播间本次获利4000元
(2)若要获得9000元的利润，需购进乙商品600件
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并找出等量关系，列
出方程并正确求解．
（1）设甲的进货量为x件，则乙的进货量为 件，再根据交易额等于单件售价×
进货量，列出方程求解即可；
（2）先算出乙商品的新售价和每件新获利，再求出购进乙商品数量即可．
【详解】（1）解：设甲商品的进货量为 件，
由题意得： ，解得 ，
乙的进货量为： （件）
（元）
答：该直播间本次获利4000元．
（2）解：乙商品的新售价为 （元）
乙商品每件新获利为 （元）
需购进乙商品 （件）．
答：若要获得9000元的利润，需购进乙商品600件．
【考法五、方案选择问题】
例．元旦节期间，长沙市各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是德思勤和奥特莱斯
各自推出的优惠办法：
德思勤：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元
（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超
过1000元（含1000），超过部分享受6折，其余的一律9折；
奥特莱斯：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商
品享受8折．问：
（1）小雄哥想到德思勤买件标价为1800元的衣服，他应该付多少钱？
（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
（3）小雄哥元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，已知这些商品德思勤和奥特莱
斯都有，没有说一定去哪个商场，只是倘若去两个商场各买一部分的话，去德思勤购买商品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍．请帮小雄哥预算一下，他能买到原价为多少的
商品，并指出哪种方案最香．
【答案】（1）1380（元）；（2）当我们购买不超过500元或购买1500元钱的商品时，在
两个商场可以享受相同的优惠；（3）全部去德思勤买可买到的原价为4500元，全部去奥
特莱斯买可买到的原价为3750元，两个商场各买一部分可买到的原价为4050元；∵4500
＞4050＞3750，∴应选择全部去德思勤买
【分析】（1）根据德思勤的优惠办法即可求解；
（2）分两种情况：一次购物不超过500元；一次购物超过1000元；进行讨论即可求解；
（3）分别求出三种打算的原价，进行比较即可求解．
【详解】解：（1）1000×0.9＋（1800−1000）×0.6＝1380（元）．
答：她应该付1380元钱；
（2）一次购物不超过500元，在两个商场可以享受相同的优惠；
一次购物超过1000元，设当我们购买x元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，
依题意有
1000×0.9＋0.6（x−1000）＝0.8x，
解得x＝1500．
综上所述，当我们购买不超过500元或购买1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同
的优惠；
（3）分三种情况讨论：
①全去德思勤买
设他能买到原价为x元的商品
根据题意的：1000×0.9+0.6（x-1000）=3000，解得：x=4500；
②全去奥特莱斯买，3000÷0.8＝3750（元）；
③两个商场各买一部分的话，去德思勤购买商品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍
设去奥特菜斯购买商品原价为y元，德思勤购买商品的原价为2y元
根据题意的：0.8y+1000×0.9+0.6(2y-1000)=3000
解得：y=1350
1350×2=2700（元）
1350+2700=4050（元）；
∵4500＞4050＞3750，
∴应选择第①种打算．全部去德思勤买
【点睛】考查了一元一次方程的应用，本题主要是应用题中的销售类，此题考查了关于优
惠下的实际消费问题．
变式1．根据以下素材，探索完成任务．
素材1：
素材2：
某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种
学校计划添置 100张课桌
优惠方案：
方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 和x把椅子 ．
方案二：课桌和椅子都按定价的 付款．
问题解决
【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用．
【任务2】(2)若 ，分别计算两种方案的费用．
【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方
案．
【答案】【任务1】方案一： 元，方案二： 元；【任务2】该校
选择方案二更省钱；【任务3】100张桌子全部用方案一买，剩下的椅子用方案二买．
【分析】（1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用；
（2）当 时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解；
（3）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可：①全按方案一购买；②全
按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200
把椅子．
【详解】解：（1）方案一： （元），
方案二： （元）．
（2）当 时，
方案一： （元），
方案二： （元），
，∴该校选择方案二更省钱；
（3）当 时，由（2）可知，①全按方案一购买： 元；
②全按方案二购买： 元；
③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子，
，
，
∴先按方案一购买100张桌子，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子最省．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识，理解两种优惠
方案，从而正确写出代数式是解决问题的关键．
变式2．（培优）曙光双语学校 月 日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双
色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共 支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠
笔的单价比单色圆珠笔的单价贵 元，买 支双色圆珠笔和 支单色圆珠笔共需要 元．(1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
(2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下
表：
三色圆珠笔级
球珠直径 球珠直径 球珠直径
别
单价 元 元 元
现在学校用 元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应
该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
(3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，
其中三色圆珠笔单价为 元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分
配，总费用始终不变．求此时 的值和总费用．
【答案】(1)单色圆珠笔单价为 元，双色圆珠笔单价为 元；
(2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各 支，双色圆珠笔 支；
(3)此时 的值为 ，总费用始终不变，总费用为 元．
【分析】( ) 设单色圆珠笔单价为 元，双色圆珠笔单价为 元，根据列出方程求解
即可；
( ) 设购买单色圆珠笔 支，三色圆珠笔 支，则双色圆珠笔 支，然后分购买
球珠直径 、球珠直径 、球珠直径 三色圆珠笔的总费用等于 列方程，
解方程取符合题意的值即可；
( ) 设购买 支三色圆珠笔，则单色圆珠笔 支，双色圆珠笔 支，总费用为
元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出 和 的值即可．
【详解】（1）设单色圆珠笔单价为 元，双色圆珠笔单价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
∴ ，
答：单色圆珠笔单价为 元，双色圆珠笔单价为 元；
（2）设购买单色圆珠笔 支，三色圆珠笔 支，则双色圆珠笔 支，
当选球珠直径 三色圆珠笔购买时，
则 ，
解得 ，不合题意；
当选球珠直径 三色圆珠笔购买时，
则 ，解得 ，
则 ，不合题意；
当选球珠直径 三色圆珠笔购买时，
则 ，
解得 ，
∴ ，符合题意，
答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各 支，双色圆珠笔 支；
（3）设购买 支三色圆珠笔，则单色圆珠笔 支，双色圆珠笔 支，总费用为
元，
由题意得：
，
∵ 与 无关，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答：此时 的值为 ，总费用始终不变，总费用为 元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题
的关键．
【课后练习】
1．希希从甲地出发前往乙地，望望从乙地出发前往甲地，他们沿同一条线路相向而行，希
希骑自行车，望望步行．两人距离甲地 米处第一次相遇，希希继续骑车到丙地后发现
忘带了东西，于是以原速的 倍返回甲地，在距离甲地 米处追上望望（第二次相遇，
追及相遇）．希希到达甲地拿到东西后，仍然以提速后的速度立即沿原线路前往乙地（在
甲地拿东西所耗时间忽略不计），在距离甲地 米处第三次与望望相遇，最后两人同时
到达目的地．求乙、丙两地之间的距离．
【答案】乙、丙两地之间的距离为 米
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—行程问题，熟练掌握列方程解决实际问题的
一般步骤是解题的关键，根据题意所给的信息，先设未知量，然后找等量关系，列出方程，
最后计算即可求解．
【详解】解：根据题意可得：在第二次和第三次相遇之间，
希希走了 （米），
望望走了 （米），
则希希提速后的速度是望望速度的 倍；
在第三次相遇与到达目的地之间，望望走了 米，希希走了 （米），
甲、乙两地相距 （米），
在第一次相遇和第二次相遇之间，望望走了 （米），设第一次相遇点距
离丙地 米，则， ，
解之得： （米），
甲、丙两地相距 （米），
∴乙、丙两地相距 （米），
∴答：乙、丙两地之间的距离为 （米）．
2．县民族中学有A，B两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷。学校举行入学考试，
数学试卷如果用复印机A、B单独复印，分别需要90分钟和60分钟．在考试时为了保密需
要，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．
(1)两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
(2)在复印30分钟后B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，
如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
(3)B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复使用，请你再算算，学校能否按时发卷考试？
【答案】(1)两台复印机同时复印，共需 分钟才能印完
(2)会影响学校按时发卷考试
(3)学校可以按时发卷考试
【分析】本题考查一元一次方程的应用——工程问题，掌握工作量的有关公式：工作总量
工作时间 工作效率．
（1）设共需x分钟才能印完，依题意得 ，解方程即可；
（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得
，求解与 分进行比较即可；
（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得
，求解后加 再与 进行比较．
【详解】（1）设共需x分钟才能印完，依题意得 ，解得： ，
答：两台复印机同时复印，共需 分钟才能印完；
（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得：
，解得： ，
答：会影响学校按时发卷考试；
（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得：
，
解得： ，
则有 ，
答：学校可以按时发卷考试．
3．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为 ；乙种商品
每件进价80元，售价128元．
(1)甲种商品每件进价为 元．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多
少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于480元 不优惠
超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠
超过680元 按购物总额给予 折优惠
若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】(1)70
(2)30件
(3)5或6件
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键．
（1）根据售价减去进价等于利润，再建立方程求解即可；
（2）设该商场购进乙种商品 件，根据总进价为3800元，再建立方程求解即可；
（3）设小华在该商场购买乙种商品 件，再分两种情况讨论：①当过480元，但不超过
680元时， ②当超过680元时，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲种商品的进价为 元，则
．
解得 ．即甲种商品每件进价为 70元，
故答案是：70；
（2）设该商场购进乙种商品 件，根据题意可得：
，
解得： ；答：该商场购进乙种商品30件．
（3）设小华在该商场购买乙种商品 件，根据题意，得：
①当超过480元，但不超过680元时， ，
解得 ．
②当超过680元时， ，
解得 ．
答：小华在该商场购买乙种商品5或6件．
4．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是 的原材料板材进行裁剪得到A型
长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张
的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方
形纸板，如图1所示．（单位： ）
(1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张；
(2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板
当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2
个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少
个纸盒？
【答案】(1)12；20
(2)100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用：
（1）根据每张原材料板材先裁得4张 的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得
3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可；
（2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，
列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为：12，20；
（2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用 张原材料板材裁剪B型纸板，
根据题意得： ，
解得 ，
∴ ，答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸
盒．
5．我国最新的个人所得税“起征点”是 元，即月工资超过 元的部分需要缴纳税
收，具体如下表，其中应纳税所得额 月工资 专项扣除金额 依法确定的其他扣
除金额．
年个人所得税税收表（工资薪金所得适用）
级数 应纳税所得额 税率
1 0至 元的部分
2 超过 元至 元的部分
3 超过 元至 元的部分
4 超过 元至 元的部分
5 超过 元至 元的部分
(1)某员工的应纳税所得额为 元，求该员工缴纳的税额是多少？
(2)我国专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除 元；②住房
贷款扣除 元；③赡养每位老人扣除 元．某公司一技术专家的月工资是 元，
他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养1位老人．则该技术
专家缴纳的税额是多少元？
(3)公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加
了公益捐赠活动后，实际收入 元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？
【答案】(1)该员工缴纳的税额是 元
(2)该技术专家缴纳的税额是 元
(3)该技术专家在三月份捐赠了 元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意、正确列
式、列出一元一次方程计算是解题的关键．
（1）利用应缴纳的税额 超出 元的部分 ，计算即可；
（2）利用应纳税所得额 月工资 专项扣除金额，可求出该技术专家的应纳税所得
额，利用应缴纳的税额 超出
元的部分 ，计算即可；
（3）设该技术专家在三月份捐赠了 元，分 及 两种情况考虑，由该技术
专家在三月份的实际收入 元，得出关于 的一元一次方程，计算求解即可．【详解】（1）解： （元），
答：该员工缴纳的税额是 元；
（2）解：该技术专家的应纳税所得额 （元），
（元）．
答：该技术专家缴纳的税额是 元；
（3）解：设该技术专家在三月份捐赠了 元，
（元），
（元），
（元），
当 时， ，
解得： （舍去）；
当 时， ，
解得： ，
答：该技术专家在三月份捐赠了 元．
6．某中学附近的文具用品商店3月初以每支4元的价格新进了一批涂卡笔，卖出时每支以
m元为标准，超出m元的部分记为正数，不足m元的部分记为负数；每周以卖出20支为
标准，超出20支的部分记为正数，不足20支的部分记为负数．售货员记录了一个月内涂
卡笔的销售情况
第二
第一周 第三周 第四周
周
每支售价相对于标准价格（单位：元） 0
每周售出支数相对于标准支数（单位：
支）
(1)这一个月内，这种涂卡笔的每支的最高售价比最低售价多多少元？
(2)文具店第一周出售的涂卡笔比第二周出售的涂卡笔多卖58元，求m的值及这一个月共
售出了多少支涂卡笔？
(3)在（2）的条件下，若这批涂卡笔一共进了100支，文具店计划获利19.5%，那么剩余的
涂卡笔每支应卖多少元？
【答案】(1)3元
(2) ，78支
(3)剩余的涂卡笔每支应卖 元【分析】本题考查正负数的应用，有理数运算的实际应用，一元一次方程的应用：
（1）用表格中相对于标准价格中的最大数据减去最小数据即可；
（2）根据总价等于售价乘以销量，以及第一周出售的涂卡笔比第二周出售的涂卡笔多卖
58元，列出方程进行求解即可；
（3）设剩余的涂卡笔每支应卖 元，根据文具店计划获利 ，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解： （元）；
答：这种涂卡笔的每支的最高售价比最低售价多3元；
（2）由题意，得： ，
解得： ，
本月共售出： （支）；
（3）设剩余的涂卡笔每支应卖 元，
由题意，得：
解得： （元）；
答：剩余的涂卡笔每支应卖 元．
