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专题 09 期中-综合大题必刷（压轴 15 考点 31 题）
一．二次根式的性质与化简（共1小题）
1．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+
（ ）2＝m， • ＝ ，那么便有 ＝ ＝ ± （a
＞b）例如：化简
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（ ）2+（ ）2＝7， • ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝2+
由上述例题的方法化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣ ；
（2） ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
（3） ＝ ＝ ．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
2．计算：
（1） + + ﹣ ；（2）（ × ﹣4 +3 ）÷2 ．
【答案】（1）6 + ；（2） ．
【解答】解：（1）原式＝4 +5 + ﹣3
＝6 + ；
（2）原式＝（3 ﹣2 +6 ）÷2
＝（3 +4 ）÷2
＝7 ÷2
＝ ．
三．二次根式的化简求值（共2小题）
3．（1）先化简，再求值： ，其中x＝ ﹣1；
（2）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【答案】（1） ；
（2）2b．
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝x+1，
当x＝ ﹣1时，
原式＝x+1＝ ﹣1+1＝ ；
（2）由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a﹣b＜0，b﹣1＞0，a+1＜0，
∴原式＝﹣（a﹣b）+（b﹣1）+（a+1）＝﹣a+b+b﹣1+a+1＝2b．4．阅读下面计算过程：
＝
＝
试求：
（1） 的值为 ﹣ ．
（2）求 +...+ 的值．
（3）若 ，求a2﹣4a+4的值．
【答案】（1） ﹣ ；
（2）9；
（3）5．
【解答】解：（1）
＝
＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ；
（2） +...+
＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ + ﹣
＝ ﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）∵ ＝ +2，
∴a2﹣4a+4＝（a﹣2）2
＝（ +2﹣2）2
＝（ ）2
＝5．
四．勾股定理（共3小题）
5．已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其
中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方
向运动，在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同
时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒，
（1）线段AC＝ 1 0 ；
（2）当t＝1秒时，求△BPQ的面积；
（3）当AP＝CP时，CQ＝ ；
（4）若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值．
【答案】（1）10；
（2）9；
（3） ；
（4）2或 ．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝10，
故答案为：10；
（2）∵AP＝2t＝2，BQ＝3t＝3，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6，
∴S△BPQ ＝ ＝ ＝9；
（3）设AP＝CP＝x，
在Rt△BCP中，由勾股定理得，
CP2﹣BP2＝BC2，
∴x2﹣（8﹣x）2＝62，
∴x＝ ，
∴t＝ ＝ ＞2，
∴点Q在AC上，
∴CQ＝5×（ ﹣2）＝ ，
故答案为： ；
（4）（6+8+10）× ＝10，24﹣10＝14，
当0＜t＜2时，BP+BQ＝10时，
8﹣2t+3t＝10，
∴t＝2（舍去），
当BP+BQ＝14时，
8﹣2t+3t＝14，
∴t＝6（舍去），
当2≤t＜4时，
当AP+AQ＝10时，
2t+10﹣5（t﹣2）＝10，
∴t＝ ，
当AP+AQ＝14时，
2t+10﹣5（t﹣2）＝14，
∴t＝2，
综上所述：t＝2或 ．6．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的
动点，点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方
向运动，且速度为每秒2cm⇒，它们同时出发；设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出
运动时间；若不能够，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）出发2秒后，AP＝2，BQ＝4，
∴BP＝8﹣2＝6，PQ＝ ＝2 ；（3分）
（2）设时间为t，列方程得
2t＝8﹣1×t，
解得t＝ ；（6分）
（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分，
由AB＝8cm，BC＝6cm，
根据勾股定理可知AC＝10cm，
即三角形的周长为8+6+10＝24cm，
则有BP+BQ＝ ×24＝12，
设时间为t，列方程得：2t+（8﹣1×t）＝12，
解得t＝4，
当t＝4时，点Q运动的路程是4×2＝8＞6，
所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分．（10分）
7．如图1，四边形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．（1）求线段AO的长度；
（2）如图2所示，OB是∠AOC的平分线，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度
的速度沿射线OB运动．设点P的运动时间为t秒，当△AOP是等腰三角形时，请求出t
的值．
【答案】（1）20；
（2）t的值为5 或10或10 ．
【解答】解：如图1，连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，
∴AC＝ ＝ ＝25，
∵∠AOC＝90°，CO＝15，
∴AO＝ ＝ ＝20；
（2）如图2，∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠COB＝45°，
∵一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动，设点P的运动时间为t秒，
∴OP＝2t，
当△AOP是等腰三角形时，分3种情况讨论：
①当AP＝OP时，
∴∠PAO＝∠POA＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
由（1）知：AO＝20，
∴OP＝ AO＝10 ，
∴2t＝10 ，
∴t＝5 ；
②当OA＝OP″时，
∴2t＝20，
∴t＝10；
③当AP′＝AO时，
∴∠AP′O＝∠AOP′＝45°，
∴△AOP′是等腰直角三角形，
∴OP＝ AO＝20 ，
∴2t＝20 ，
∴t＝10 ，
∴t的值为5 或10或10 ．
五．勾股定理的证明（共1小题）
8．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边
长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为
，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，
b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，
AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河
边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路 CH，且CH⊥AB．
测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样
思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH
＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程．
【答案】（1）推导过程见解答；
（2）新路CH比原路CA少约0.03千米；
（3）8．
【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为 （a+b）（a+b）＝ a2+ab+ b2，
也可以表示为 ab+ ab+ c2，
∴ ab+ ab+ c2＝ a2+ab+ b2，
即a2+b2＝c2；
（2）设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2，
∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2，
解得x≈0.83，
即CA≈0.83千米，
∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米），
答：新路CH比原路CA少约0.03千米；（3）∵AH＝x，
∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x，
∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，
根据勾股定理：
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，
解得：x＝6，
∴AH＝6，
∴CH＝ ＝ ＝8．
六．勾股定理的应用（共1小题）
9．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有
极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一
海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB
＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；
（2）台风影响该海港持续的时间为 小时．
【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝ （km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝ （小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
七．平行四边形的判定与性质（共1小题）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过
点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）四边形BECD是菱形，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB＝90°，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD＝ AB，
∴四边形BECD是菱形．
八．菱形的性质（共1小题）
11．【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为
AC、BC的中点，连接EF，DE．试说明：DE＝EF．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD
的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB＝2，且四边形CDEF是菱形时，直接写
出 四 边 形 ABCD 的 面 积 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：【问题原型】证明：
在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点
∴EF∥AB，且EF＝ AB
在Rt△ACD中，点E为AC的中点∴DE＝ AC∵AB＝AC，∴DE＝EF
【探究】解：∵AC平分∠BAD，EF∥AB，
DE＝ AC＝AE＝EC
∴∠BAC＝∠DAC，∠CEF＝∠BAC
∠DEC＝2∠DAC＝∠BAD
∵∠DEF＝90°
∴∠CEF+∠DEC＝∠BAC+2∠DAC＝90°
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝60°
【应用】四边形ABCD的面积为：
∵四边形CDEF是菱形，EC＝DE，
∴△CDE与△CEF都是等边三角形，
∵AB＝2，∴EF＝DE＝CD＝CF＝1
∴S△DCE ＝S△DEA ＝S△CEF ＝ ，
∵EF∥AB，∴ ，∴S△ABC ＝4S△CEF ＝
∴S四边形ABCD ＝S△DCE +S△DEA +S△ABC
＝2× + ＝ ．
九．菱形的判定与性质（共2小题）
12．在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，C是BE的中点，过点D作AD∥BE，且AD＝BC，连
接AE交CD于F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝8，菱形ABCD的面积为40，求DE的长．【答案】（1）见解析；
（2）10．
【解答】（1）证明：AD∥BE，且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵点C是BE边的中点，∠BDE＝90°，
∴BC＝CE＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴S△ABD ＝S
CDB
，
∵BC＝CE，
∴S△BCD ＝S△CDE ＝ S菱形ABCD ＝ S△BDE ，
∴ ×8•DE＝40，
∴DE＝10．
13．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、
CF为邻边作▱ ECFG．
（1）证明 E▱CFG是菱形；
（2）若∠▱ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝ ∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，∵ ，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝ BD＝5 ．
方法二：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC＝6，
过M作MH⊥CF于H，
则△MHF是等腰直角三角形，
∵△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AD＝8，
∵CF＝CE＝2，
∴MH＝FH＝1，
∴DM＝ ＝ ＝5 ．
一十．矩形的性质（共2小题）14．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点
C的坐标为（0，b）且a、b满足 +|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出
发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．
（Ⅰ）点B的坐标为 （ 4 ， 6 ） ；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 （ 1 ， 6 ）
；
（Ⅱ）在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）∵a、b满足 +|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6），
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动，
∴2×3.5＝7，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：7﹣6＝1，
即当点P移动4秒时，此时点P在线段CB上，离点C的距离是1个单位长度，点P的
坐标是（1，6）；
故答案为（4，6），（1，6）．
（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种
情况，
第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：4÷2＝2秒，第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（6+4+2）÷2＝6秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或6
秒．
（Ⅲ）如图1所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴ OP•BC＝10，即 ×4×OP＝10．
解得：OP＝5．
∴此时t＝2.5s
如图2所示；
∵△OBP的面积＝10，
∴ PB•OC＝10，即 ×6×PB＝10．
解得：BP＝ ．
∴CP＝ ．
∴此时t＝ s，如图3所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴ BP•BC＝10，即 ×4×PB＝10．
解得：BP＝5．
∴此时t＝ s
如图4所示：
∵△OBP的面积＝10，
∴ OP•AB＝10，即 ×6×OP＝10．
解得：OP＝ ．
∴此时t＝ s
综上所述，满足条件的时间t的值为2.5s或 s或 s或 s．
15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM
的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）四边形MENF是菱形．
证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝ CM，MF＝ CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
一十一．矩形的判定与性质（共3小题）
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从
点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运
动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间
为t秒（t＞0）．
（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝ （ 1 0 ﹣ t ） cm，（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为 2 秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩
形．
（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，
请求出t；若没有，请说明理由．
【答案】（1）（10﹣t）；
（2）2；
（3）以P、D、Q、B为顶点的四边形有可能是平行四边形，t的值为 或8．
【解答】解：（1）∵AD＝10，AP＝t，
∴PD＝10﹣t，
故答案为：（10﹣t）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AP∥BQ，∠A＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形PABQ是矩形，
当0＜t＜2.5时，点Q从点C向点B运动，
∴t＝10﹣4t，
解得t＝2，
故答案为：2．
（3）以P、D、Q、B为顶点的四边形有可能是平行四边形，
∵PD∥BQ，
∴当PD＝BQ时，四边形BPDQ是平行四边形，
当5＜t≤7.5时，点Q从点C向点B运动，
由PD＝BQ得10﹣t＝10×3﹣4t，
解得t＝ ；
当7.5＜t＜10时，点Q从点B向点C运动，
由PD＝BQ得10﹣t＝4t﹣10×3，
解得t＝8，综上所述，t的值为 或8．
17．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以
1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到
达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行
四边形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四
边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝ ，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或 s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．18．如图，在 ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是
E，F，过点▱E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是
M，N与M′，N′，连接EF．
（1）求证：四边形EFNM是矩形；
（2）已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．
∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB
∴EG＝ME，EG＝EM′
∴EG＝ME＝M′E＝ MM′
同理可证：FH＝NF＝N′F＝ NN′
∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′＝NN′
∴ME＝NF＝EG＝FH
又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD
∴四边形EFNM是矩形．
（2）∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∵ ，∠2＝ ∠DAB∴∠3+∠2＝90°
在Rt△DEA，∵AE＝4，DE＝3，
∴AD＝ ＝5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
又∵∠2＝ ∠DAB，∠5＝ ∠DCB，
∴∠2＝∠5
由（1）知GE＝NF
在Rt△GEA和Rt△CNF中
∴△GEA≌△CNF
∴AG＝CN
在Rt△DME和Rt△DGE中
∵DE＝DE，ME＝EG
∴△DME≌△DGE
∴DG＝DM
∴DM+CN＝DG+AG＝AD＝5
∴MN＝CD﹣DM﹣CN＝9﹣5＝4．
∵四边形EFNM是矩形．
∴EF＝MN＝4
一十二．正方形的性质（共10小题）
19．如图，已知四边形 ABCD是正方形AB＝ ，点E为对角线AC上一动点，连接
DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
【答案】（1）见解析；（2）4．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE．
（2）解：CE+CG的值是定值，定值为4．
理由：∵EF＝DE．
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝ AB＝ ×2 ＝4．
20．如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交
∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若要使四边形AECF是正方形，△ABC应该满足什么条件？（直接写出具体条件，
不需要证明）
【答案】（1）见解析；
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明见解析；
（3）要使四边形AECF是正方形，应该满足△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形，证明
见解析．
【解答】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠3＝∠2，
又∵CF平分∠DCO，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴FO＝CO，
同理：EO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
由（1）可知，FO＝CO，
∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
（3）解：要使四边形AECF是正方形，应该满足△ABC是∠ACB＝90°的直角三角形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
∴∠AOE＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
21．（1）正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF
与AC交于点G
①如图（i），若AC平分∠EAF，直接写出线段EF，BE，DF之间等量关系；
②如图（ⅱ），若AC不平分∠EAF，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立吗？
若成立请证明；若不成立请说明理由
（2）如图（ⅲ），矩形ABCD，AB＝4，AD＝8．点M、N分别在边CD、BC上，AN＝
2 ，∠MAN＝45°，求AM的长度．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；
②，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立：EF＝BE+DF；理由见解答；
（2） ．【解答】解：（1）①如图（i），
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°，
∵∠EAF＝45°，AC平分∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAG＝∠DAF＝∠FAG＝22.5°，
∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AC⊥EF，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EG，DF＝GF，
∴EF＝BE+DF；
②，①中线段EF，BE，DF之间等量关系还成立：EF＝BE+DF；
如图（ⅱ），延长CD到点H，截取DH＝BE，连接AH，
在△AEB与△AHD中，
∵ ，
∴△AEB≌△AHD（SAS），
∴AE＝AH，∠BAE＝∠HAD，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAF+∠DAH＝45°．即∠EAF＝∠HAF，
在△EAF与△HAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴EF＝HF＝DF+DH＝BE+DF，
（2）解法一：如图，取AD，BC的中点P，Q，连接QP，PQ交AM于H，连接NH，
∵AD＝8，AB＝4，
∴AP＝AB＝BQ＝PQ＝4，∠B＝90°，
∴四边形ABQP是正方形，
Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2 ，
∴BN＝ ＝2，
∴NQ＝4﹣2＝2，
∵∠NAH＝45°，
由（1）同理得：NH＝BN+PH，
设PH＝x，则NH＝x+2，QH＝4﹣x，
Rt△NHQ中，NH2＝QH2+NQ2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
x＝ ，
∵P是AD的中点，PH∥DM，
∴AH＝HM，
∴DM＝2PH＝ ，由勾股定理得：AM＝ ＝ ＝ ；
解法二：如图（iii），延长AN，DC交于点G，过M作MP⊥AG于点P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2 ，
∴BN＝2，CN＝8﹣2＝6，
∵AB∥CG，
∴△ABN∽△GCN，
∴ ＝ ，
∴NG＝6 ，
∵∠MAN＝45°，∠APM＝90°，
∴AP＝PM，
设AP＝x，则PM＝x，PG＝2x，
∵AG＝2 +6 ＝x+2x，
x＝ ，
∴AM＝ x＝ ．
解法三：如图，过点N作NK⊥AN，交AM于K，过K作KL⊥BC于L，∴∠ANK＝∠B＝∠KLN＝90°，
∴∠ANB＝∠KNL，
∵∠MAN＝45°，
∴△ANK是等腰直角三角形，
∴AN＝NK，
∴△ABN≌△NLK（AAS），
∴NL＝AB＝4，KL＝BN＝2，
设CM＝x，则DM＝4﹣x，
∵S梯形ABCM ＝2S△ABN +S△ANK +S梯形KLCM ，
∴ ×8（x+4）＝2× + ×（2 ）2+ （x+2）×（8﹣2﹣4），
∴x＝ ，
∴DM＝ ，
由勾股定理得：AM＝ ＝ ＝ ．
22．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边
BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）CF＝ DE，证明见解答过程；
（3）DE＝2 ﹣2 ．
【解答】（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠FEN＝90°．
∵∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝ DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN＝MD，∴CF＝2MD，
∵DE＝ MD，
∴CF＝ DE；
（3）解：设DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣ x）2+（ x）2，
由（2）得CF＝ DE，
∴CF＝ x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4﹣ x）2+（ x）2＝（ x）2，
解方程得：x ＝2 ﹣2 ，x ＝﹣2 ﹣2 （舍去），
1 2
∴DE＝2 ﹣2 ．
23．如图，在正方形中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DE⊥BP，交直线BP
于点E，连接CE．
（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BE﹣DE＝ CE；
（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间
又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，选择一个证明．【答案】（1）证明见解析；（2）如图②有结论BE+DE＝ CE；如图③有结论DE
﹣BE＝ CE，证明见解析．
【解答】（1）证明：在BE上截取MB＝DE，连接CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCP＝90°，
∵DE⊥BP，
∴∠DEP＝90°，
∴∠BCP＝∠DEP，
∵∠BPC＝∠DPE，
∴∠MBC＝∠EDC，
在△BMC和△DEC中，
，
∴△BMC≌△DEC（SAS），
∴CM＝CE，∠MCB＝∠ECD，
∵∠MCB+∠MCP＝90°，
∴∠ECD+∠MCP＝90°，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME＝ CE，
∵ME＝BE﹣BM＝BE﹣DE，
∴BE﹣DE＝ CE；
（2）如图②有结论BE+DE＝ CE；如图③有结论DE﹣BE＝ CE，选择如图②，BE+DE＝ CE进行证明
证明：延长EB到N使BN＝DE，连接CN，
∵DE⊥BE，
∴∠PED＝90°，
∴∠EDC＝∠P+∠PED＝∠P+90°，
∵∠CBN＝∠P+∠BCD＝∠P+90°，
∴∠CBN＝∠EDC，
∵NB＝DE，BC＝CD，
在△CBN和△CDE中，
，
∴△CBN≌△CDE（SAS），
∴CN＝CE，∠BCN＝∠ECD，
∵∠ECD+∠BCE＝90°，
∴∠BCN+∠BCE＝90°，
∴△CNE是等腰直角三角形，
∴NE＝ CE，
∵NE＝BE+BN＝BE+DE，
∴BE+DE＝ CE．
24．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交
直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
【答案】（1）①证明见解析部分．
②结论：EF＝2CG，证明见解析部分．
（2）6+2 或6﹣2 ．
【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝ ＝ ＝2 ，
∴BE＝BC+CE＝6+2 ；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEF的中位线，
∴DE＝2GM＝8，
在Rt△DCE中，CE＝2 ，∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2 或6﹣2 ．
25．在边长为6的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在
BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ 6 ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝ ，请直接写出此时DE的长．
【答案】（1）AG＝6 ；
（2）AG＝4 ；
（3）DE＝ 或 ．
【解答】解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BDF＝∠ADC＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC＝6，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠BCD＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝BC＝AD＝6，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝ ＝ ＝6 ，
故答案为：6 ；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∴∠K＝∠C＝90°，∠CBK＝∠CBG+∠GBK＝∠ABC＝90°，
∵DE＝2，DC＝6，
∴CE＝4，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠C＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝4，BC＝BK＝6，
∴AK＝AB+BK＝6+6＝12，
由勾股定理得：AG＝ ＝ ＝4 ；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理得：△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝6，CE＝KG，
∵AG＝ ，∠K＝90°，
∴由勾股定理得：KG＝ ＝ ＝ ，
∴CE＝KG＝ ，而CE＝ ＜6，此种情况不成立，应舍去；
②当点E在边CD上时，如图4，同理得：CE＝KG＝ ＜6，符合题意，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣ ＝ ；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝ ，
∴DE＝DC+CE＝6+ ＝
综上所述，DE的长是 或 ．
26．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向
旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．【答案】（1）四边形BE'FE是正方形，理由见解析；
（2）CF＝FE′，证明见解析．
【解答】解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形．理由如下：
∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
由旋转可知：BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）结论：CF＝FE′．
证明：如图②，过点D作DH⊥AE于点H，
则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∵DA＝DE，
∴AH＝EH＝ AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
在△ADH和△BAE中，
，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE，由旋转可知：AE＝CE'，
由（1）可知：四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝AH＝ AE＝ CE'，
∴CF＝FE′．
27．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角
∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．
（1）点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，
连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），请完成剩余证明过程：
（2）拓展：如图③，在正方形 A B C D 中，M 是B C 边上一点（不含端点 B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
C ），N 是正方形A B C D 的外角∠D C H 的平分线上一点，且A M ＝M N ．求证：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∠A M N ＝90°．
1 1 1
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，
得等边△BEC，连接EM，
易证△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2；
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4；∵∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，
∴∠1＝∠2＝∠5．
∵∠2+∠6＝120，
∴∠5+∠6＝120°，
∴∠AMN＝60°；
（2）拓展：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：
则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°，
∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，
∴∠MCN＝90°+45°＝135°，
∴∠BCE+∠MCN＝180°，
∴E、C、N，三点共线，
在△ABM和△EBM中，
，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠1＝∠2，
∵AM＝MN，
∴EM＝MN，
∴∠3＝∠4，
∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠5，
∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．
28．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结
论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上
的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证
明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝
180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF
＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，
∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．
（2）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，
证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝ ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
一十三．正方形的判定（共1小题）
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，过点C作AD的平行线，交△ABC外
角∠EAC的角平分线于点F．
（1）判断四边形ADCF的形状，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）四边形ADCF是矩形，理由见解析；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，理由见解析．
【解答】解：（1）四边形ADCF是矩形，理由如下：
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，∠B＝∠ACB，∠BAD＝∠DAC，
∵AF是△ABC外角∠EAC的角平分线，
∴∠EAF＝∠CAF，
∴ ，
又AD⊥BC，即∠ADC＝90°，则∠DAF+∠ADC＝180°，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD⊥DC，
∴四边形ADCF是矩形；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，理由如下：
∵四边形ADCF是矩形，
∴当AD＝DC时，四边形ADCF是正方形，
当AD＝DC时，△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAC＝90°，即△ABC是等腰直角三角形．
一十四．正方形的判定与性质（共1小题）
30．问题解决：如图 1，在矩形 ABCD中，点 E，F分别在 AB，BC边上，DE＝AF，
DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于
点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长．
【答案】（1）见解答；（2）△AHF是等腰三角形，见解答；（3）9．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：结论：△AHF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵DE＝AF，
∴BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形；
类比迁移：解：延长CB到点H，使BH＝AE＝7，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
∵BH＝AE，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝7+2＝9，∴DE＝AH＝9．
一十五．四边形综合题（共1小题）
31．在平行四边ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC对角线上的一个动点，由A向C
运动（不与A，C重合），速度为每秒1cm，Q是CB延长线上一点，与点P以相同的速
度由B向CB延长线方向运动（不与B重合），连接PQ交AB于E．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求点P运动几秒后，∠BQE＝30°；
（2）如图2，在（1）的条件下，作PF⊥AB于F，在运动过程中，线段EF长度是否发
生变化，如果不变，求出EF的长；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，当BC≠AB时，平行四边形的面积是24cm2，那么在运动中是否存在某一
时刻，点P，Q关于点E成中心对称，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，设点P运动t秒后，∠BQE＝30°，则AP＝QB＝t，
∵∠ABC＝60°，BC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，
∴PC＝6﹣t，QC＝6+t，
∵∠BQE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠QPC＝90°，
∴QC＝2PC，
6+t＝2（6﹣t），
t＝2，
即点P运动2秒后，∠BQE＝30°；
（2）如图2，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，∵∠BAC＝60°，
△AGP为等边三角形，
∴GP＝AP＝AG
∵QB＝AP，
∴GP＝QB，
∴△PEG≌△QEB（ASA），
∴BE＝GE，
∵△APG是等边三角形，PF⊥AB
得到AF＝GF，
∴GE+GF＝BE+AF＝ ＝ ×6＝3，
即EF＝3，
故在运动过程中，线段EF长度不变，EF的长为3；
（3）如图3，设PQ交AB于E，过点P作PG∥BC，与AB交于点G，作CH⊥AB于点
H．
当点P，Q关于点E成中心对称时，QE＝PE，
∴易证△PEG≌△QEB（ASA），
∴GP＝QB，
∵QB＝AP，
∴GP＝AP，
∵GP∥BC，
∴CA＝CB＝a
∵平行四边形的面积是24cm2，AB＝6，
∴AH＝BH＝3，CH＝24÷6＝4，
∴AC＝BC＝
即a＝5．
故在运动中存在某一时刻，点P，Q关于点E成中心对称，此时a的值为5．
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