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专题15.14 整式的指数幂（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）已知 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C．0 D．
4．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）下列等式中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）若 ， ， ， ，
则平面直角坐标系内的点 与点 关于________对称．（ ）
A． 轴 B． 轴 C．原点 D．直线
6．（2023下·河北衡水·九年级校考期中） 不等于下列各式中的（ ）
A． B． C． D．
7．（2022上·广东肇庆·八年级统考期末）奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为 纳米
（1纳米 米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（
）
A． B．
C． D．
10．（2023上·广东深圳·七年级深圳中学校考期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，
1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个 的数字之和，依次写出1或0的系数即可，
如十进数数19可以写为二进制数字 ，因为 可以写
为二进制数字 ，因为 ，则十进制数字 是二进制下的
（ ）
A．4位数 B．5位数 C．6位数 D．7位数
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·吉林白城·八年级校联考阶段练习）计算： ．
12．（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）火星的体积约为 立方米，地球的体积约为
立方米，地球体积约是火星体积的 倍．
13．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： ．
14．（2022下·湖北黄石·九年级校考开学考试）计算： ．
15．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）计算： ．16．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）在计算器上输入一个绝对值小于1的非零小数，再按
“=”键，这个数被化为科学记数法的形式 ，则这个数用小数表示出来是 ．
17．（2023上·上海奉贤·七年级统考期末）将分式 表示成不含分母的形式 ．
18．（2023上·全国·八年级专题练习）定义一种新运算 ，例如 ．则
＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·江西新余·八年级新余四中校联考阶段练习）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2023下·广东广州·七年级统考期中）计算：
（1） （2）
21．（10分）（2022上·四川绵阳·八年级统考期末）计算：
（1） （2）
22．（10分）（2019上·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）观察下面两行数：
-3, 9，-27,81，-243，…； ①
0，12，-24,84，-240，…； ②（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②行数与第①行数有什么关系？
（3）取每行数的第6个数，计算这两个数的和.
23．（10分）（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）比较 与 的大小，我们可以
采用从“特殊到一般”的惠想方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小；（填“>”“<”或“=”）
① ___ ，② ___ ，③ ___ ，④ ___ ；
（2）由（1）可以猜测 与 （ 为正整数）的大小关系；
当 ___ 时， ；当 ___时， ；
（3）根据上面的猜想，则有 ___ （填“>”，“<”或“=”）．
24．（12分）（2023上·全国·九年级专题练习）（一）阅读：求 的最小值．
解： ，
，
，
由于 的值必定为非负数，所以 ，即 的最小值为2．
思想总结：等式变形的关键是将“11”拆分成“ ”，形成完全平方式“ ”再逆用公式
变形为平方形式．
（二）解决问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）对于多项式 ，当x，y取何值时有最小值，最小值为多少？参考答案：
1．C
【分析】本题考查整式的运算．根据单项式乘单项式，单项式除单项式，积的乘方，合并同类项法则，
逐一进行计算，判断即可．
解：A、 ，选项运算错误，不符合题意；
B、 ，选项运算错误，不符合题意；
C、 ，选项运算正确，符合题意；
D、 ，选项运算错误，不符合题意；
故选C2．D
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即
可．
解： ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此
题的关键．
3．B
【分析】根据任何非零数的零次幂是1计算即可，熟练掌握零指数幂计算是解题的关键．
解：根据题意，得 ，
故选B．
4．A
【分析】根据零指数幂、负指数幂及分式的基本性质即可判断求解，解题的关键是熟知
这个公式的运用．
解： ，故错误，A选项符合题意；
，正确，B选项不符合题意；
，正确，C选项不符合题意；
，正确，D选项不符合题意；
故选：A．5．C
【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，得到
， ，然后根据关于原点对称点的性质求解即可．熟知关于原点对称点的性质是
解决问题的关键．
解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴点 与点 关于原点对称．
故选：C．
6．A
【分析】根据幂的运算法则计算即可．
解：解∶ ， ， ， ，
选项A不等于 ，符合题意；
故选∶ A．
【点拨】本题考查了幂的运算，解题关键是熟记幂的运算法则，准确进行计算．
7．B
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示
绝对值小于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变
为a时小数点移动的位数．
解：140纳米 米，
∴“140纳米”用科学记数法表示为 米，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．利用单项式乘以多项式法则判断
选项A、B；利用单项式除以单项式法则判断选项C；利用幂的乘方法则判断选项D即可．解：A． ，计算正确，但不符合题意；
B． ，原计算错误，符合题意；
C． ，计算正确，但不符合题意；
D． ，计算正确，但不符合题意；
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查积的乘方、零次幂、负指数幂、单项式除以单项式及分式的运算，熟练掌握各
个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、零次幂、负指数幂及分式的运算可进行排除选项．
解：A、 ，原计算错误，故不符合题意；
B、 ，原计算正确，故符合题意；
C、 ，原计算错误，故不符合题意；
D、 ，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
10．D
【分析】根据题意得 ，则十进数 可以
写为二进制数字 ，故可求共有7位数．熟练掌握有理数的乘方，要求分析是几位数，所以只需把
写成二进制即可分析出共有几位数．
解：∵ ，
∴十进数数 可以写为二进制数字 ，
∴十进制数字 是二进制下的7位数．
故选：D．
11．
【分析】此题考查积的乘方，整式的除法，关键是根据整式的除法法则计算解答．解： ，
故答案为： ．
12．8
【分析】根据整式除法法则进行计算即可．
解： ．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键．
13．2
【分析】本题考查了零指数幂，绝对值．熟练掌握零指数幂，绝对值是解题的关键．
分别计算零指数幂，绝对值，然后求和即可．
解： ，
故答案为：2．
14． /
【分析】此题考查了实数的运算，根据负整数次幂，化简绝对值运算法则进行计算即可，解题的关键
是熟练掌握知识点的应用．
解：原式 ，
，
故答案为： ．
15．
【分析】根据根据积的乘方的运算法则 ，可得到 ，再根据单项式的除法
法则以及负整数指数幂的运算法则可得 ．解：原式
，
故答案为：
【点拨】本题考查了积的乘方的运算法则，单项式的除法法则，负整数指数幂的运算法则等知识点，
熟记和灵活应用公式是解决问题的关键．
16．
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示的一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是
其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解： ，
故答案为 ．
【点拨】主要考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示，熟练掌握科学记数法是基本表示方法是解
题关键．
17．
【分析】本题主要考查负指数幂的运算，根据负指数幂的意义进行变形即可．
解： ．
故答案为： ．
18． /
【分析】本题考查了新定义运算，负整数指数幂的运算，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．
根据题意即可列出方程，解方程，即可求解．
解：由题意得，
．故答案为： ．
19．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了整式的运算，实数混合运算；
（1）根据积的乘方运算法则，单项式乘除法进行计算即可；
（2）根据积的乘方和零指数幂进行计算即可；
解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）5；（2）
【分析】（1）根据二次根式、立方根、平方化简即可；
（2）根据立方根、整数指数幂、绝对值、二次根式化简即可．
（1）解：原式
（2）解：原式【点拨】本题考查了简单实数运算，掌握运算法则是关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）先将除法转化为乘法，同时将分子分母因式分解，进而根据分式的性质化简计算即可；
（2）根据幂的运算以及单项式除以单项式进行计算即可．
解：（1）
（2）
【点拨】本题考查了分式的乘除运算，幂的混合运算，正确的计算是解题的关键．
22．（1） （－1）n×3n；（2） 第②行的数在第①行的数基础上加3；（3） 这两个数的和为1461.
【分析】（1）由题意知第①行第n个数为（-3）n；
（2）第①行数的每一个相对应的数加上3即得到第②行数；
（3）求出每行第6个数，相加可得．
解：（1）－3＝（－1）1×31，9＝（－1）2×32，－27＝（－1）3×33，81＝（－1）4×34，…，第n（n为
正整数）个数为（－1）n×3n.
（2）第①行数的每一个相对应的数加上3即得到第②行数，即第②行数中的第n（n为正整数）个数
为（－1）n×3n+3.
（3）第①行数的第6个数为（－1）6×36＝36=729，
第②行数的第6个数为（－1）6×36+3＝36+3=732，
这两个数的和为729+732＝1461.
【点拨】本题考查数字的变化规律，根据题意得出第1行数的规律及第2行、第3行数与第1行数间的关系是解题的关键．
23．（1）①>；②>；③<；④<；（2） ， ；（3）<
【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据有理数比较大小的法则比较出
其大小即可；
（2）由（1）中数量的大小总结出规律即可；
（3）由（2）中结论，即可求解
（1）解： ① , ，
∴ ＞ ，
故答案为：＞
② ， ，
∴ ＞ ，
故答案为：＞
③ ，
∴ ＜ ，
故答案为：＜
④ ， ，
∴ ＜ ，
故答案为：＜
（2）解：由（1）①②得：
当 时， ；
由（1）③④得：
当 时， ；
故答案为： ，
（3）解：由（2）得：当 时， ，
∵2020＞2，
∴ ，故答案为：＜
【点拨】本题考查的是负整数指数幂及有理数的大小比较，能根据（1）中有理数的大小总结出规律
是解答此题的关键
24．（1） ；（2） ， 时， 有最小值，最小值为4
【分析】（1）根据完全平方公式把已知条件变形得到 ，再根据非负数的性质求
出 、 ，然后把 、 的值代入计算即可；
（2）原式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出最小值，以及 与 的值即可．
（1）解：原式可变为 ，
，
且 ，
， ，
；
（2）原式
，
因为 和 的值必定为非负数，
所以当 ， 时， 有最小值，最小值为4．
【点拨】此题考查了因式分解运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关
键．
