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专题18.3 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中折叠、旋转问题之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 矩形中的折叠问题】........................................................................................................................1
【考点二 菱形中的折叠问题】......................................................................................................................11
【考点三 正方形中的折叠问题】..................................................................................................................17
【考点四 矩形中的旋转问题】......................................................................................................................25
【考点五 菱形中的旋转问题】......................................................................................................................30
【考点六 正方形中的旋转问题】..................................................................................................................38
【典型例题】
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2023上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形 中，将 沿 折叠，点D刚好落
在对角线 上的点F．
(1)若 ， ，求 的长．
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理，得出 ，再由折叠的性质，得到 ， ，
，进而得到 ，设 ，利用勾股定理列方程求解，即可求出 的长；
（2）由矩形的性质，得出 ，由折叠的性质，得到 ，由等边对等角的性质，
得到 ，进而得出 ，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可证明结论．【详解】（1）解： 矩形 ，
， ， ，
在 中， ，
由折叠的性质可知， ， ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
；
（2）证明： 矩形 ，
， ，
，
由折叠的性质可知， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角
形等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东菏泽·七年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片 沿 折叠，得到 ， 与
交于点 ．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠性质，直角三角形额特征量，根据性质计算即可．
【详解】∵ 矩形纸片 沿 折叠，得到 ，
∴ , ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
故选D．
2．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 为射线
上一个动点，把 沿直线 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，则
的长为 ．
【答案】 或10
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段 上时，
②当点E在线段 延长线上时，点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，先求出
，再求出 ，设 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：①当点E在线段 上时，
过点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵点F在线段 的垂直平分线上，
∴ ，则 ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
即 ；
②当点E在线段 延长线上时，
过点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，∵点F在线段 的垂直平分线上，
∴ ，则 ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
即 ．
综上： 或 ．
故答案为： 或10．
3．（2022下·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图1，在矩形纸片 中， ， ，折叠
纸片使B点落在边 上的点E处，折痕为 ．过点E作 交 于F，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点E在 边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形 的边长
②若限定P、Q分别在边 、 上移动，菱形 的面积的最大值为______；最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②36，
【分析】（1）由折叠的性质得出 ， ， ，由平行线的性质得出，证出 ，得出 ，因此 ，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得 的长，在 中求得 ，即可求得菱形的边长；②当点
Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时 ；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时
四边形 为正方形， ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边 上的E处，折痕为 ，
∴点B与点E关于 对称，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（2）①∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点B与点E关于 对称，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得： ，
∴菱形 的边长为 ；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时 ， ，则
，当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形 为正方形，如图，
则 ，
那么 ，
∴菱形 的面积范围为 ，即最大值为36；最小值为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、
勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 上一点.将
沿 折叠后，得到 .点F在矩形 内部，延长 交 于点G.
(1)如图①，当点E是 中点时，求 的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证： ；
(3)如图③，在矩形 中，当点F落在矩形对角线 上时， 的长是
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查矩形与折叠，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识 ：
（1）连接 ，由折叠得 ，证明 ，得 ，设 ，则，在 中，根据勾股定理列方程求出x的值即可；
（2）延长 交 的延长线于点 ，证明 得 ，由折叠得
，得 ，即 ，从而可得结论；
（3）由勾股定理得 ，由折叠得 , ， ，设 ，则 ，
根据勾股定理列方程求出x的值即可．
【详解】（1）连接 ，如图①，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ 沿 折叠后，得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，即 ；
（2）延长 交 的延长线于点 ，如图②，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ,
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠得 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，即 ；
（3）如图③，在 中， ，
即 ，由折叠得 , ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，
即 ．
故答案为： ．
5．（2023上·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，有一矩形纸片 ， ， ，如图1，将
纸片折叠使 落在 边上， 的对应点为 ，折痕为 ．如图2，再将 以 为折痕向右折叠，
与 交于点 ．
(1)求 的值；
(2)四边形 的面积为________；
(3)如图3，将 绕点 旋转得到 ，点 刚好落在 上， 的对应点为 ， 的对应点为
，则 旋转的角度为________度；
【答案】(1)
(2)10
(3)30
【分析】本题考查旋转的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质等：
（1）先证 为等腰直角三角形，求出 ，进而求出 ，则可得出答案；
（2）由梯形的面积公式可求出答案；（3）由直角三角形的性质及旋转的性质求出 ，进而根据平行线的性质可得
．
【详解】（1）解：∵将纸片折叠使 落在 边上， 的对应点为 ，
∴ ， ， ，
∴四边形 为正方形，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵将 以 为折痕向右折叠，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可知 ， ， ，
∴四边形 的面积 ．
故答案为：10；
（3）解：∵将 绕点 旋转得到 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 旋转的角度为 ，
故答案为：30．
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）如图，菱形 中， ，M为边 上的一点，将菱
形沿 折叠后，点A恰好落在 的中点E处，则 ．【答案】
【分析】如图所示，延长 交 延长线于N，由菱形的性质得到
，证明 得到 ，由
折叠的性质可得 ，进一步证明 ，由此可得 ，解方
程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 交 延长线于N，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定等等，
正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键
【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）如图，若菱形 的面积为 ， ，
将菱形 折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为 ，则 cm．
【答案】
【分析】连接 、 ，根据题意得出 、 分别为 、 的中点， 是 的中位线，得出
，再由已知条件根据含30度直角三角形的性质求出 ，即可求出 ．
【详解】解：连接 、 ，如图所示：
四边形 是菱形，
，
将菱形 折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点 处，折痕为 ，
， ，
、 分别为 、 的中点，
是 的中位线，，
菱形 的面积为 ， ，
， ，
， ，
，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及翻折变换的性质；根据题意得出 为 的
中位线是解决问题的关键．
2．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，在菱形 中， ， 分别在边 上，
，将 沿 折叠，点 落在 的延长线上的点 处，则 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质可证 ，可得 的度数， ，根据折叠的性质
可得 ， ，由此可求出 的度数，在 中根据三角形的内角和定理
可得 的度数，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠后得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的综合，
掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023下·广西来宾·八年级校考期末）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰
好落在对角线 上的点 处（不与 、 重合），折痕为 ，若 ， ，则 的长为
．
【答案】 /2.5/
【分析】作 于 ，根据折叠的性质得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到
为等边三角形，得到 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作 于 ，由折叠的性质可知， ，
四边形 是菱形，
， ，
为等边三角形，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
在 中， ，即 ，
解得， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对
称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
4．（2023·河南南阳·统考二模）如图，在菱形 中， ， ，点 是 边上的动点，把
沿着 折叠得到 ，点 的对应点为 ，当 垂直于菱形的一边时， 的长为
．【答案】 或 / 或 / 或 / 或
【分析】分情况 和 两种情况讨论即可．
【详解】解：①当 时，作图如下：
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴
由折叠的性质可知： ， ，
∴ ，
∴
∴
②当 时，作图如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由折叠的性质可知： ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
综上所述： 的长为： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意正确作图和分类讨
论是解题的关键．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）如图，已知在正方形 中，
， ．将正方形 折叠，使点B落在 边的中点Q处，
点A落在P处，折痕为 ．已知 长为 ．
(1)求线段 和线段 的长；
(2)连接 ， ．
【答案】(1) ；
(2)【分析】（1）由对角线为 ，易知边长为8．设 ，由折叠可知在 中，由勾股定理有
，解得 ，即可得 ；
（2）连接 ，作 于点G，连接 交 于点H，由折叠知 ，可证明
，则 ， ，在 中由勾股定理可求 ．
【详解】（1）解：∵对角线 ，
∴ ，
设 ，由折叠可知 ，
由于Q为 中点，
则 ，
在 中，由勾股定理可得：
，
解得： ．
故 ；
（2）解：如图所示，连接 ，作 于点G，连接 交 于点H，
由折叠可知 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由折叠可得 ，
由勾股定理有 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟悉折叠的性质、
掌握以上定理并利用勾股定理建立关于x的方程是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023下·天津北辰·八年级校联考期中）如图，将正方形纸片 折叠，使边 均落在对角线
上，得折痕 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据四边形 是正方形， 是对角线，可求出 的度数，根据折叠可知
是角平分线，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
∵ 沿 折叠后落在 上， 沿 折叠后落在 上，
∴ 是 的角平分线， 是 的角平分线，∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查正方形的折叠，掌握正方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质是解题的关键．
2．（2024上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，四边形 是边长为 的正方形纸片，将其沿 折
叠，使点 落在 边上的 处，点 对应点为 ，且 ，则AM的长是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．设 ，连接
，分别在 和 中利用勾股定理得出三边关系，然后利用 得出
，最后利用方程求解即可．
【详解】设 ，
∵正方形的边长为25， ，
∴ ， ，
连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
即 ．
故答案为：8．
3．（2023·广东茂名·三模）如图，正方形 中， 是边 的中点，将 沿 折叠，得到 ，
延长 交边 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由正方形的性质得 ， ，由折叠得 ，
，则 ， ，可证明 ，得 ；
（2）由 ， 是边 的中点，得 ， ，由勾股定理得
，求得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
四边形 是正方形，
， ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ， 是边 的中点，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运
用这些知识是解题的关键．
4．（2023·广西贵港·统考二模）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片 ，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为 ，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点 处，
连接 ，如图1，请直接写出 与 的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为 ，然后展开，沿过点A与 上的点G所在的直线折叠，使点B落
在 上的点P处，连接 ，如图2，猜想 的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，如图3，求的度数．
【答案】初步尝试： ；能力提升：猜想： ，理由见解析；拓展延伸：
【分析】初步尝试：连接 ，由折叠的性质可知， ， ， ， ，根
据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出 ，推出 ，即可得出答案；
能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证 ，从而证明 是等边三角形，
即可得到答案；
拓展延伸：连接 、 ，由（2）得 是等边三角形，进而得出 ，再结合等边对等角
的性质和三角形内角和定理，求得 ， ，由对称性质得： ，
，证明 ，得到 ，再由 ，即可求
出 的度数．
【详解】解：初步尝试： ，理由如下：
如图，连接 ，
由折叠的性质可知， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
解：能力提升：猜想： ，理由如下：
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由折叠性质可得： ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
解：拓展延伸：如图，连接 、 ，
由（2）得 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由对称性质得： ， ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三
角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
【考点四 矩形中的旋转问题】
例题：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，点 在 上，
延长 交 于点 ．连接 、 ．
(1)四边形 是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
(2)若 长为2，则 的长为 时，四边形 为菱形．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，证明见解析
(2)
【分析】（1）依据题意可得到 ， ， ，利用平行线的性质可证明
，然后依据 证明 ，由全等三角形的性质可知 ，由旋转的性质
可得到 ，从而可证明 ，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；（2）连接 ．可证明 为等边三角形，则 ，利用直角三角形的性质可得到答案．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形．
证明： 四边形 是矩形，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
矩形 由矩形 旋转得到，
， ，
四边形 为平行四边形；
（2）当 时，四边形 是菱形，
连接 ．
四边形 为菱形，
．
由旋转的性质可知 ．
．
为等边三角形．
．
．．
又 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定、平行四边形的判定、矩
形的性质、菱形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022上·湖北武汉·九年级校联考期中）已知大小一样的矩形 和矩形 如图1摆放，
，现在把矩形 绕点A旋转，如图2， 交 于点M，交 于点N，若 ，
则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 与 交于点H，由已知可得 、 都是等腰直角三角形，由勾股定理可得 、
的长，从而可求得 的长．
【详解】设 与 交于点H，如图，
∵四边形 、四边形 都是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
同理， 是等腰直角三角形，
∴ ，
由勾股定理可得 ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由题意得到若干个等腰直
角三角形是问题的关键．
2．（2023上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）如图，在矩形 中， ， ，将
矩形 绕点A逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形 ．
(1)如图①，若在旋转过程中，点E落在对角线 上， 分别交 于点M，N，
①求证： ；
②求 的长；
(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线 经过线段 的中点 ，连接 ，求 的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2) 的面积是 或
【分析】（1）①根据矩形的性质和旋转的性质得到 ，证得 ；
②设 ，则 ，根据勾股定理求出x的值，即可求出MF的值；
（2）分情况讨论，第一种情况，过点B作 于点H，证明 ，用勾股定理求出
AH的长，从而得到 的长，再求出 的长，根据 算出 的面积；第二种情况，与第
一种情况的区别在于 的长，求出 长之后，一样算出 的面积．
【详解】（1）解：①∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②设 ，则 ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
∴ ，
（2）①如图，过点B作 于点H，则 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，
同①得： ， ，
∴ ，
∴ ；
综上： 的面积是 或 ．
【点睛】本题考查的是四边形综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质
和判定，以及等腰三角形的判定，需要注意进行分类讨论．【考点五 菱形中的旋转问题】
例题：（2023上·吉林长春·九年级校联考期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕
对角线的交点O顺时针旋转90°后到 的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其
一边长即可得到其周长．
【详解】解：
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是 ．
故选：C．【变式训练】
1．（2023上·黑龙江·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，
AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐
标是 ．
【答案】 或 / 或
【分析】分当D落在x轴正半轴时和当D落在x轴负半轴时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D落在x轴正半轴时，
∵O是菱形ABCD对角线BD的中点，
∴AO⊥DO，
∴当D落在x轴正半轴时，A点在y轴正半轴，
∴同理可得A、B、C三点均在坐标轴上，且点C在y轴负半轴，
∵∠BAD=60°，
∴∠OAD=30°，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为（0， ）；如图2所示，当D落在x轴负半轴时，
同理可得 ，
∴点C的坐标为（0， ）；
∴综上所述，点C的坐标为（0， ）或（0， ），
故答案为：（0， ）或（0， ）．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握
菱形的性质是解题的关键．
2．（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，在菱形 中， ， ，将菱形
绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形 ，点E在 上， 与 交于点P．（1） 与
的关系是 ，（2） 的长为 ．【答案】 相等且垂直
【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出
，由直角三角形的性质求出 ，
由直角三角形的性质得出 ，由旋转的性质得出 ，求出
，证出 ，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出 ，即可得出结果．
【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质得： ， ，∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴EF与DC的关系是相等且垂直，
故答案为：相等且垂直；
（2）∴ ， ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟
练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
3．（2021下·江苏南京·八年级统考期末）如图①，菱形 和菱形 有公共顶点A，点 ， 分别
落在边 ， 上，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)将菱形 绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角 ，且 ， ，
．
①如图②，当 时，则线段 的长度是多少？
②连接 ，当 为直角三角形时，则旋转角 的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析
(2)① ；② 或
【分析】（1）连接 ，根据菱形的性质，可得到 ，从而得到 ，进而得到
，即可求证；
（2）①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质
可得 ，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，
即可求解；
②分两种情况讨论： 和 ，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①如图，连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，由（1）得当菱形 没有旋转时，AC平分∠BAD，AF平分∠EAG，
∴此时点A、F、C三点共线，
∴当菱形 绕点 按逆时针方向旋转时， ，
∴当 时， ，
在菱形ABCD中，AB=AD， ，BD⊥AC， ，
∴
∴ ，
∴ ，
在菱形AEFG中，∠EAF= ，AE=AG， ，
∵ ．
∴△ABD和△AEG是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴AF=3，
∴AF=OD，
∴四边形AODF是平行四边形，
∴ ；
②由①得四边形AODF是平行四边形，
∵ ，
∴四边形AODF是矩形，
∴ ，即 为直角三角形，
∴此时旋转角 的度数为 ；
如图，当点F在AD上时，
由①得AF=3，
∵AD=AB=6
∴ ，
∴AF=DF，
∵△ABD为等边三角形，
∴BF⊥AD，即 ，
∴此时△DFB为直角三角形，
∵∠EAF= ，
∴ ，
即此时旋转角 的度数为 ；
综上所述，当 为直角三角形时，旋转角 的度数为 或 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟
练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想
解答是解题的关键．
【考点六 正方形中的旋转问题】
例题：（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，点F为正方形 内一点，连接 ， ，
，将 绕着点A按顺时针方向旋转 至 ，延长 交 于点H．(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)四边形 为正方形；
(2)7
【分析】本题是四边型的综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关
键是熟练掌握旋转的性质和正方形的判断方法；
（1）由旋转的性质得 ， ，即可解答；
（2）设 ，则 ，再根据勾股定理可求出x，再由（2）中得出的结论四边形
为正方形可知 ， ，即可解答．
【详解】（1）解： 将 绕着点A按顺时针方向旋转 至 ，
， ，
，
在四边形 中，
，
四边形 为正方形；
（2）解：设 ，
，
四边形 为正方形，
，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得： 或 ，
由图可知： ，即，
， ，
，
，
．
【变式训练】
1．（2023上·广东惠州·九年级校联考阶段练习）如图，将边长为为3厘米的正方形 绕点C按顺时针
方向旋转 ，得到正方形 ， 与 交于H，则 的长是 厘米．
【答案】
【分析】如图所示，连接 ，由正方形的性质得到 ， ，由旋转的性质
得到 ，则 ，利用 证明 得到
，则 厘米．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ， ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得 ，
∴ 厘米，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的
直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）【问题情境】已知四边形 和四边形 均为正方形，连
接 ， ，直线 与 交于点 .如图1，当点 在 上时，不难得出线段 ， .
【类比探究】如图2，将正方形 绕点 旋转任意角度.
(1)请你判断图1中得到的线段 和 的关系是否仍然成立，并说明理由；
(2)当点 在直线 左侧时，连接 ，存在实数 满足等式 ，请求出 的值并说明理
由；
(3)若 ， ，正方形 在绕点 旋转过程中，当点 ， 重合时，请直接写出线段 的
长.
【答案】(1)图1中得到的线段 和 的关系仍然成立，理由见解析
(2) ,理由见解析
(3) 或 ．
【分析】（1）设 交 于O，证明 ，得到 ，由
，得到 ，则 ，即可证明结论；
（2）在BE上取 ，使得 ，连接AN、AH，证明 ，可得
求出 ，则 是等腰直角三角形， ，则，根据存在实数m满足 ，即可得 ；
（3）分两种情况画图，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求解．
【详解】（1）图1中得到的线段 和 的关系仍然成立，理由如下：
设 交 于O，
四边形 和四边形 是正方形，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
∴ ；
（2） ．
理由如下：在 上取N,使得 ,连接 ，由（1）可知 ，
∴
，
，
，
∴ ，
即 ，
是等腰直角三角形，
，
，
存在实数m满足 ，即 ；
（3）分两种情况：
①如图：
∵ ， ，四边形 与四边形 是正方形，
， ，
直线 与 交于点H，且点F、H重合，
点B、E、F在同一直线上，
，，
，
，
②如图：
，四边形 与四边形 是正方形，
直线 与 交于点H，且点F、H重合，
点B、E、F在同一直线上，
，
，
，
，
则 或 ．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角
形的性质，勾股定理，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题关键．
3．（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考二模）【课本再现】
(1)如图1，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形
的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点O转动，则下列结论正确的是
_______（填序号即可）．① ；② ；③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，总有 ．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与边 相交于
点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在 中， ，直角 的顶点D在边 的中点处，它的
两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当 时，求线段
的长度．
【答案】(1)①②③④
(2) ，证明见解析
(3) 或
【分析】（1）利用正方形的性质，证明 ，即可推出所有结论；
（2）连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，推出 ，得到 ，即可得出结论；
（3）分点 在线段 上和在线段 的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，
∴ ，∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ，故②正确；
∴四边形 的面积 ，故③正确；
连接 ，
∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；故④正确；
综上，正确的是①②③④；
故答案为：①②③④．
（2）解： ，理由如下：
连接 ，
∵矩形 的中心O是矩形 的一个顶点，
∴ ， ， ，
延长 ，交 于点 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，
①当点 在线段 上：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②当点 在线段 的延长线上时：如图，此时 ，
过点 作 ，延长 交 于点 ，连接 ，
同（2）法可证： ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
解得：解得： ，
∴ ；
综上：线段 的长度为 或 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解
题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形．
