专题1二次根式三种类型的化简求值（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题训练+提分专项训练-V6

专题 1 二次根式三种类型的化简求值（解析版） 类型一 代入求值 方法技巧：1.分母有理化；2.由x＝a＋ 得x－a＝ ， 1 典例1 问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值． 2+❑√3 小明是这样分析与解答的： 1 2−❑√3 ∵a = = = 2−❑√3， 2+❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3) ∴a﹣2=−❑√3，∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1 （1）计算： = ❑√2021−❑√2020 ． ❑√2022+❑√2021 1 （2）若a= ，求3a2﹣18a+5的值． ❑√10−3 【思路引领】（1）直接找出分母有理化因式，进而化简得出答案； （2）直接找出分母有理化因式，再将原式变形，进而化简得出答案． 1 【解答】解：（1） ❑√2021+❑√2020 ❑√2021−❑√2020 = (❑√2021+❑√2020)(❑√2021−❑√2020) =❑√2021−❑√2020； 故答案为：❑√2021−❑√2020； 1 （2）∵a= ❑√10−3 ❑√10+3 = (❑√10+3)(❑√10−3) =❑√10+3， ∴3a2﹣18a+5 ＝3（a2﹣6a）+5 ＝3[（a﹣3）2﹣9]+5 ＝3（a﹣3）2﹣22，＝3（❑√10+3﹣3）2﹣22 ＝3×10﹣22 ＝8． 【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键． 针对训练 1．（2023春•滨州期末）计算：已知x＝2 ，求代数式 的值． +❑√3 (7−4❑√3)x2+(❑√3−2)x−❑√3 【思路引领】先求出x2＝7+4❑√3，再根据二次根式的乘法进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进 行计算即可． 【解答】解：∵x=2+❑√3， ∴x2＝（2+❑√3）2＝4+3+4❑√3=7+4❑√3， ∴ (7−4❑√3)x2+(❑√3−2)x−❑√3 =(7−4❑√3)×(7+4❑√3)+(❑√3−2)×(2+❑√3)−❑√3 =49−48+3−4−❑√3 =−❑√3． 【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关 键，注意运算顺序． 1 1 2．已知a﹣b=❑√5−❑√3，b﹣c=❑√3−2，设m为 的整数部分，n为 的小数部分，求❑√5m+n2的 a−c a−c 值． 【思路引领】首先利用已知得出a﹣c的值，再利用二次根式的性质化简进而求出m，n的值，进而求出 即可． 【解答】解：∵a﹣b=❑√5−❑√3，b﹣c=❑√3−2， ∴a﹣b+b﹣c ＝a﹣c =❑√5−❑√3+❑√3−2 =❑√5−2， 1 ∵m为 的整数部分， a−c 1 1 ∴ = =❑√5+2， a−c ❑√5−2∵2＜❑√5＜3， ∴m＝4， 1 ∵n为 的小数部分， a−c ∴n=❑√5+2﹣4=❑√5−2， ∴❑√5m+n2=4❑√5+（❑√5−2）2＝9． 【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简以及估计无理数，得出a﹣c的值是解题关键． 1 3．（2023春•新会区校级期末）小明在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与 2+❑√3 解的： 1 2−❑√3 ∵a= = =2−❑√3， 2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3) ∴a−2=−❑√3， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1 1 1 1 （1）化简 + + +⋯+ ． ❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√121+❑√119 1 （2）若a= ．求： ❑√2−1 ①求3a2﹣6a+1的值． 1 ②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝ 2 ；2a2−5a+ +2= 2 ． a 【思路引领】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得a=❑√2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，对①，②的式子进行变形后代入求值． ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√121−❑√119 【解答】解：（1）原式= + + +⋯+ 2 2 2 2 1 1 = ×(❑√3−1+❑√5−❑√3+⋯+11−❑√119)= (−1+11) 2 2 ＝5； 1 ❑√2+1 （2）①∵a= = =❑√2+1， ❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1) ∴a−1=❑√2，∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3， ∴3a2﹣6a+1＝4； ②∵a3﹣3a2+a+1 ＝a3﹣2a2﹣a2+a+1 ＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+1， a2﹣2a＝1， ∴原式＝a﹣a2+a+1＝﹣（a2﹣2a）+1＝﹣1+1＝0； 1 a2−2a−1 ∵2a2−5a+ +2=2a2−4a− ， a a a2﹣2a＝1， ∴原式＝2﹣0＝2． 故答案为：0，2． 【总结提升】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，解题的关键是变形各式后 利用a2﹣2a＝1来求解． 4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）： 11+ 6 ； 6 ﹣ 2 (3+❑√2) 2= ❑√2 (1−❑√5) 2= ❑√5 ． （2）把4+2❑√3写成（a+b）2的形式为 （ 1+❑√3 ） 2 ． （3）已知a=❑√7−1，求代数式a2+2a+3的值． 【思路引领】（1）用完全平方公式展开，再合并即可； （2）用完全平方公式可得答案； （3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案． 【解答】解：（1）（3+❑√2）2＝9+6❑√2+2＝11+6❑√2，（1−❑√5）2＝1﹣2❑√5+5＝6﹣2❑√5， 故答案为：11+6❑√2，6﹣2❑√5； （2）4+2❑√3=1+2❑√3+（❑√3）2＝（1+❑√3）2， 故答案为：（1+❑√3）2； （3）∵a=❑√7−1， ∴a+1=❑√7， ∴a2+2a+1＝7， ∴a2+2a+3＝9．【总结提升】本题考查完全平方公式和二次根式变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 2 5．（2022秋•闵行区期中）已知x= ，求代数式x2﹣2x﹣1的值． ❑√3−1 【思路引领】先分母有理数求出x=❑√3+1，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可． 【解答】解：∵x 2 2×(❑√3+1) 1， = = =❑√3+ ❑√3−1 (❑√3−1)×(❑√3+1) ∴x2﹣2x﹣1 ＝（x﹣1）2﹣1﹣1 ＝（❑√3+1−1）2﹣2 ＝3﹣2 ＝1． 【总结提升】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，能求出x的值是解此题的关键． 类型二 对称式求值 方法技巧：讲代数式化为两数的和或差，两数的积的形式，再求值。 典例2（2023春•江汉区期中）已知x＝2−❑√3，y＝2+❑√3，求下列式子的值： 1 1 （1） + x y （2） (7+4❑√3)x2+xy+❑√3 x+ y 【思路引领】（1）根据x、y的值计算出x+y、xy的值，代入原式= 计算可得； xy （2）将x、y的值代入原式后，根据二次根式的运算顺序和运算法则计算可得． 【解答】解：（1）∵x＝2−❑√3，y＝2+❑√3， ∴x+y＝2−❑√3+2+❑√3=4， xy＝（2−❑√3）（2−❑√3）＝4﹣3＝1， x+ y 4 则原式= = =4； xy 1 （2）原式＝（7+4❑√3）（2−❑√3）2+（2+❑√3）（2−❑√3）+❑√3 ＝（7+4❑√3）（7﹣4❑√3）+4﹣3+❑√3 ＝49﹣48+1+❑√3 ＝2+❑√3．【总结提升】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算 法则及完全平方公式和平方差公式． 针对训练 √a √b 1．已知a+b＝6，ab＝4，求❑ +❑ 的值． b a 【思路引领】首先化简二次根式，再通分计算二次根式的加法，然后再代入 a+b＝6，ab＝4即可得到答 案． √a √b ❑√ab ❑√ab a❑√ab b❑√ab (a+b)❑√ab 【解答】解：❑ +❑ = + = + = ， b a b a ab ab ab 6×❑√4 当a+b＝6，ab＝4时，原式= =3． 4 【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是正确把二次根式进行化简计算． √a √b 2．已知a+b＝﹣6，ab＝3，求❑ +❑ 的值． b a 【思路引领】首先得出a，b的符号，进而开平方化简求出即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝3， ∴a，b都小于0， √a √b ❑√ab ❑√ab 3a 3b −3×6 ∴❑ +❑ = − =−（ + ）=− =6． b a −b a ab ab 3 【总结提升】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用已知条件化简是解题关键． 1 1 3．（2021秋•船山区校级期末）已知：x= ，y= ，求下列代数式的值． ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 （1）x2+y2； y x （2） + ． x y 【思路引领】（1）先求出x=❑√3−❑√2，y=❑√3+❑√2，代入x2+y2求值； （2）先通分，再将x+ y=2❑√3，xy=1，代入求值． 【解答】解：∵x=❑√3−❑√2，y=❑√3+❑√2， ∴x+ y=2❑√3，xy=1， （1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝（2❑√3）2﹣2×1 ＝10；y x x2+ y2 （2） + = x y xy 10 = 1 ＝10． 【总结提升】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 4．（2021秋•雨花区校级期末）已知x＝3+❑√7，y＝3−❑√7，求下列各式的值： （1）x2+y2； y x （2） + ． x y 【思路引领】（1）根据完全平方公式对原式进行变形，然后利用二次根式加减法和平方差公式求得 x+y与xy的值，从而代入求值； （2）原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值． 【解答】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy， ∵x＝3+❑√7，y＝3−❑√7， ∴x+y＝（3+❑√7）+（3−❑√7）＝3+❑√7+3−❑√7=6， xy＝（3+❑√7）（3−❑√7）＝9﹣7＝2， ∴原式＝62﹣2×2 ＝36﹣4 ＝32； y2+x2 （2）原式= ， xy 当xy＝2，x2+y2＝32时， 32 原式= =16． 2 【总结提升】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝ a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键． 5．（2023春•黄渤海新区期中）已知：x=❑√7+❑√5，y=❑√7−❑√5．求下列各式的值． （1）x2﹣xy+y2； x y （2） − ． y x 【思路引领】（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵x=❑√7+❑√5，y=❑√7−❑√5， ∴x+y＝（❑√7+❑√5）+（❑√7−❑√5）＝2❑√7，x﹣y＝（❑√7+❑√5）﹣（❑√7−❑√5）＝2❑√5， xy＝（❑√7+❑√5）（❑√7−❑√5）＝7﹣5＝2， ∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝28﹣6＝22； x y x2−y2 (x+ y)(x−y) 2❑√7×2❑√5 （2） − = = = =2❑√35． y x xy xy 2 【总结提升】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式 和平方差公式是解题的关键． 类型三 配方法求值 方法技巧：抓中间项，配成完全平方式，从而求值 典例3已知a﹣b=❑√5+❑√3，b﹣c=❑√5−❑√3，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值． 1 【思路引领】由a﹣b=❑√5+❑√3，b﹣c=❑√5−❑√3，得出a﹣c＝2❑√5，把原式变形得到原式= （a2+b2﹣ 2 1 1 1 1 2ab）+ （b2+c2﹣2bc）+ （a2+c2﹣2ac），再利用完全平方公式得到原式= （a﹣b）2+ （b﹣c）2 2 2 2 2 1 + （a﹣c）2，然后利用整体代入进行计算． 2 【解答】解：∵a﹣b=❑√5+❑√3，b﹣c=❑√5−❑√3， ∴a﹣c＝2❑√5， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc 1 1 1 = （a2+b2﹣2ab）+ （b2+c2﹣2bc）+ （a2+c2﹣2ac） 2 2 2 1 = [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2] 2 1 = （8+❑√15+8−❑√15+20） 2 ＝18． 【总结提升】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解的应用，利用因式分解的方法把所给的代数式 和等式进行变形，然后得到更为简单的数量关系，再利用整体思想解决问题． 针对训练√ 1 1．（2022秋•象山区校级月考）已知a，b满足等式a2+6a+9+❑b− =0，则a2021b2020＝（ ） 3 A．2 B．﹣3 C．0 D．1 【思路引领】先将原式变形，求出a，b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解． √ 1 【解答】解：∵a2+6a+9+❑b− =0， 3 √ 1 ∴(a+3) 2+❑b− =0， 3 1 ∴a+3＝0，b− =0， 3 1 ∴a＝﹣3，b= ， 3 1 1 1 ∴a2021b2020=(−3) 2021 ( ) 2020=(−3)×(−3) 2020×( ) 2020=(−3)×(−3× ) 2020=（﹣3）×1＝﹣3， 3 3 3 故选：B． 【总结提升】本题考查了完全平方公式，平方以及算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的 逆用等知识，根据题意求出a，b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键． 2．已知实数x，y满足x2+10x+❑√y−4+25＝0，求（x+y）2021的值． 【思路引领】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出x、y，根据有理数的乘方法则计算， 得到答案． 【解答】解：∵x2+10x+❑√y−4+25＝0， ∴（x+5）2+❑√y−4=0， ∴x+5＝0，y﹣4＝0， 解得x＝﹣5，y＝4， ∴x+y＝﹣1， 则（x+y）2021＝﹣1． 【总结提升】本题考查的是非负数的性质，掌握偶次方、算术平方根分非负性是解题的关键．