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专题 1 二次根式三种类型的化简求值（原卷版）
类型一 代入求值
方法技巧：1.分母有理化；2.由x＝a＋ 得x－a＝
，
1
典例1 问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．
2+❑√3
小明是这样分析与解答的：
1 2−❑√3
∵a = = = 2−❑√3，
2+❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
∴a﹣2=−❑√3，∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
（1）计算： = ．
❑√2022+❑√2021
1
（2）若a= ，求3a2﹣18a+5的值．
❑√10−3
针对训练
1．（2023春•滨州期末）计算：已知x＝2 ，求代数式 的值．
+❑√3 (7−4❑√3)x2+(❑√3−2)x−❑√3
1 1
2．已知a﹣b=❑√5−❑√3，b﹣c=❑√3−2，设m为 的整数部分，n为 的小数部分，求❑√5m+n2的
a−c a−c
值．1
3．（2023春•新会区校级期末）小明在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与
2+❑√3
解的：
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简 + + +⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√121+❑√119
1
（2）若a= ．求：
❑√2−1
①求3a2﹣6a+1的值．
1
②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝ ；2a2−5a+ +2= ．
a
4．（2022 秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）： ；
(3+❑√2) 2= (1−❑√5) 2=
．
（2）把4+2❑√3写成（a+b）2的形式为 ．
（3）已知a=❑√7−1，求代数式a2+2a+3的值．
2
5．（2022秋•闵行区期中）已知x= ，求代数式x2﹣2x﹣1的值．
❑√3−1类型二 对称式求值
方法技巧：讲代数式化为两数的和或差，两数的积的形式，再求值。
典例2（2023春•江汉区期中）已知x＝2−❑√3，y＝2+❑√3，求下列式子的值：
1 1
（1） +
x y
（2）
(7+4❑√3)x2+xy+❑√3
针对训练
√a √b
1．已知a+b＝6，ab＝4，求❑ +❑ 的值．
b a
√a √b
2．已知a+b＝﹣6，ab＝3，求❑ +❑ 的值．
b a
1 1
3．（2021秋•船山区校级期末）已知：x= ，y= ，求下列代数式的值．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
（1）x2+y2；
y x
（2） + ．
x y4．（2021秋•雨花区校级期末）已知x＝3+❑√7，y＝3−❑√7，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
y x
（2） + ．
x y
5．（2023春•黄渤海新区期中）已知：x=❑√7+❑√5，y=❑√7−❑√5．求下列各式的值．
（1）x2﹣xy+y2；
x y
（2） − ．
y x
类型三 配方法求值
方法技巧：抓中间项，配成完全平方式，从而求值
典例3已知a﹣b=❑√5+❑√3，b﹣c=❑√5−❑√3，求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．
针对训练
√ 1
1．（2022秋•象山区校级月考）已知a，b满足等式a2+6a+9+❑b− =0，则a2021b2020＝（ ）
3
A．2 B．﹣3 C．0 D．1
2．已知实数x，y满足x2+10x+❑√y−4+25＝0，求（x+y）2021的值．
