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专题2.1 全等三角形的性质（3个考点八大题型）
【题型01：全等图形的概念】
【题型02：全等三角形的对应元素的判断】
【题型03：全等三角形的性质-求长度】
【题型04：全等三角形的性质-求角度】
【题型05：全等三角形的性质-判断结论】
【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】
【题型07：全等三角形的性质-动点问题】
【题型08：全等三角形的性质-证明题】
【题型01：全等图形的概念】
1．下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等图形的概念，形状和大小完全相同的图形是全等图形，据此即可求
解．
【详解】解：根据全等图形的概念，只有B选项中的两个图形形状和大小完全相同，是全
等图形，
故选：B．
2．下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等
形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符
合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
3．下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的两个图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．平移、翻折、旋转前后的图形全等
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转
的性质依次判断可求解．
【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意；
B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意；
C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意；
D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意；
故选：C．
4．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图
形是全等图形，据此即可求解．
【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形，
故选：B ．
【题型02：全等三角形的对应元素的判断】
5.（2022秋•荆州月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C
＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝ °．
【答案】105．
【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，
∵∠D′＝105°，
∴∠D＝105°，
∵∠B＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝105°，
∴∠A′＝105°，
故答案为：105．
6.（2022春•南阳期末）如图，四边形 ABCD≌四边形A'B′C'D'，若∠A＝110°，∠C＝
60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ．
【答案】85°．【解答】解：根据题意得：∠D＝∠D′＝105°，
所以∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝360°﹣110°﹣60°﹣105°＝85°．
7.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′= ，∠A= ，
B′C′= ，AD= ．
【答案】120；70；12；6
【解析】【解答】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，
由题意得：∠A′=∠D =∠120°，∠D′=∠A=70°，B′C′=CB=12，AD = D′A′=6
8.如图，△ABC 中，点 A（0，1），点 C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，
那么符合条件的点 D 的坐标为 .
【答案】(4，−1) 或 (−1，−1) 或（-1，3）
【解析】【解答】解：因为 △ABC 与 △ABD 的一条边 AB 重合
当点D在 AB 的下方时，满足条件的坐标有 (4，−1) 和 (−1，−1) ；
当点D在 AB 的上方时，满足条件的坐标是 (−1，3) .
故满足条件的为 (4，−1) 或 (−1，−1) 或（-1，3）
【题型03：全等三角形的性质-求长度】
9．如图，A,B,C三点共线，D,E,B三点共线，且△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12，
则DE长为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出DB，BE，即可求解．
【详解】解：∵△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12，
∴DB=AB=12，AB=BE=5，
∴DE=DB−BE=7，
故选：C．
10．如图， ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，
DG=1，AG=2△，则梯形CFDG的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】先求出梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，根据全等求出AB=DE=3，求出
EG，根据梯形面积公式求出即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=3，
∴DE=AB=3，
∵DG=1，
∴EG=3-1=2，
∵△ABC≌△DEF，
∴S =S ，
ABC DEF
△ △
1
∴都减去 GEC的面积得：梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，即S =
梯形CFDG 2
△1
（AB+EG）AG= （3+2）×2=5，
2
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和梯形面积公式的应用，注意：全等三角形的对应边
相等，对应角相等．
11．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=3，BD=10，则AB
等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出AB=CD，
BC=DE=3，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵△ABC≌△CDE，
∴AB=CD，BC=DE=3，
∵BD=10，
∴CD=BD−BC=10−3=7，
∴AB=CD=7，
故选：C．
12．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=6，AC=8，则BD长
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到
BC=CE=6，CD=AC=8，则BD=BC+CD=14．【详解】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC=CE=6，CD=AC=8，
∴BD=BC+CD=14，
故选：B．
13．如图，△ABC≌△≝¿，BC=7，则EF的长为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质；
根据全等三角形的对应边相等可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△≝¿，BC=7，
∴EF=BC=7，
故选：A．
14．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F,BC=6,BE=3．则
△EBC的周长为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据△ABC≌△DEC得到EC=BC=6，根据周
长为EC+BC+BE=6+6+3=15，选择即可．
【详解】∵△ABC≌△DEC，BC=6,BE=3，
∴EC=BC=6，
∴EC+BC+BE=6+6+3=15，
故选A．
15．如图所示，△ABC≌△≝,AD=8,AE=2，则AB的长是（ ）A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
根据全等三角形的性质可得AB=ED，进而可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△≝¿，
∴AB=ED，
∵AD=8，AE=2，
∴DE=AE+AD=8+2=10，
∴AB=ED=10．
故选：A．
16．如图，已知△AEC≌△ADB，若AB=5，AD=3，则BE的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求得AE=AD=3即可
求解．
【详解】解：∵△AEC≌△ADB，AD=3，
∴AE=AD=3，
∵AB=5，
∴BE=AB−AE=5−3=2，
故选：D．
【题型04：全等三角形的性质-求角度】
17．如图，已知△ABC≌△A′BC′，A′C′∥BC，∠C=20∘，则∠ABA'的度数是（ ）
A．15❑∘ B．20❑∘ C．25❑∘ D．30❑∘
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等
是解此题的关键．根据全等三角形的性质得出∠C=∠C′=20°，∠A′BC′=∠ABC，求
出∠ABA′=∠CBC′，根据平行线的性质得出∠CBC′=∠C′=20°，再求出答案即可．
【详解】解：∵△ABC≌△A′BC′，∠C=20°，
∴∠C=∠C′=20°，∠A′BC′=∠ABC，
∴∠A′BC′−∠ABC′=∠ABC−∠ABC′，
即∠ABA′=∠CBC′，
∵A′C′∥BC，∠C′=20°，
∴∠CBC′=∠C′=20°，
∴∠ABA′=20°，
故选：B．
18．如图，若△OAD≌△OBC，∠O=65°，∠D=20°，则∠BED的度数为（ ）
A．75° B．85° C．60° D．55°
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键
是掌握全等三角形对应角相等，三角形的内角和是180度，三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角之和．
先根据三角形的外角定理得出∠CAE=∠O+∠D=85°，再根据全等三角形的性质得出∠D=∠C=20°，最后根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可解答．
【详解】解：∵∠O=65°，∠D=20°，
∴∠CAE=∠O+∠D=85°，
∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=20°，
∴∠BED=∠CEA=180°−∠C−∠CAE=75°，
故选：A．
19．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对
应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等
a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
∴∠α=50°
故选：D．
20．如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB=35°，∠CBD=30°，那么∠DAB度数是
（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出
∠DAB=∠CBA，∠CAB=∠DBA，由角的和差关系即可得出∠DAB=∠CBA=∠CBD+∠DBA，即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△BAD
∴∠DAB=∠CBA，∠CAB=∠DBA，
∵∠CAB=35°，
∴∠DBA=35°，
∵∠CBD=30°，
∴∠DAB=∠CBA=∠CBD+∠DBA=30°+35°=65°，
故选：B．
21．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若
∠A:∠C=5:3，则∠DBC=(（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，
∠BDE=∠A=∠BDA，∠E=∠C，又∠ABD=∠BDE+∠E，∠A:∠C=5:3，得
到∠A:∠BDA:∠BDE:∠E=5:5:5:3，在△ADE中根据内角和定理求解，熟练掌握全
等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：∵ △ABC≌△DBE，
∴∠BDE=∠A，∠E=∠C，
∵∠BDA=∠A，
∴∠BDE=∠A=∠BDA，
∵∠A:∠C=5:3，
∴∠A:∠BDA:∠BDE:∠E=5:5:5:3，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得∠A+∠BDA+∠BDE+∠E=180°，
∴∠C=∠E=30°，∠BDE=∠A=∠BDA=50°，
∠CDE=∠A+∠E=50°+30°=80°，
∴∠DBC=180°−∠C−∠CDE−∠BDE=180°−30°−80°−50°=20°，故选：C．
22．如图，已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，且
∠C=70°，∠ABD=30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．80° B．60° C．30° D．不能确定
【答案】A
【分析】
本题考查了全等三角形的性质以及三角形的内角和性质，先根据△ABC≌△BAD，得
∠CAB=∠ABD=30°，∠BAD=∠ABC，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可
作答．
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠ABD=30°，∠BAD=∠ABC
在△ABC中，∠BAD=∠ABC=180°−∠C−∠ABD=180°−70°−30°=80°
故选：A
23．如图，△ABC≌△ADE，∠ADE=80°，∠C=40°，∠DAC=35°，则∠EAC的
度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等的性质，得
∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理，得
∠BAC=180°−∠ABC−∠C=60°，于是∠DAE=60°，
∠EAC=∠DAE−∠DAC=25°.
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE.
∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−80°−40°=60°.
∴∠DAE=60°.
∴∠EAC=∠DAE−∠DAC=60°−35°=25°.
故选：A．
24．如图，已知△ABC≌△DEC，且∠A=30°,∠AED=70°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，由△ABC≌△DEC，
推出∠A=∠D=30°，再求出∠CED=110°，再根据三角形内角和定理进行求解．
【详解】∵△ABC≌△DEC
∴∠A=∠D=30°，
∵∠AED=70°，
∴∠CED=180°−∠AED=110°，
∴∠C=180°−∠D−∠CED=40°，
故选：C
25．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，∠BCE=30∘，则
∠AED的度数为（ ）
A．30∘ B．40∘ C．60∘ D．75∘
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定及平角的定义．由△ABC≌△DEC，得CE=CB，∠DEC=∠B,即△CEB是等腰三角形，由∠BCE=30∘可得∠CEB=∠B=75∘，故
∠DEC=∠B=75∘，最后根据平角的性质即可得∠AED的度数．
【详解】解：∵ △ABC≌△DEC，
∴ CE=CB，∠DEC=∠B，
∵ ∠BCE=30∘，
1
∴ ∠CEB=∠B= ×（180∘−30∘）=75∘ ，
2
∴ ∠DEC=∠B=75∘，
∴∠AED=180∘−∠DEC−∠CEB=180∘−75∘−75∘=30∘．
故选：A．
【题型05：全等三角形的性质-判断结论】
26．如图，△ABD≌△EBC，AB=12，BC=5，A、B、C三点共线，则下列结论中：
①CD⊥AE； ②AD⊥CE；③ED=8；④∠EAD=∠ECD；正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可
以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】延长AD交CE于H，延长CD交AE于F，
∵△ABD≌△EBC，
∴EB=AB=12，BD=BC=5，∠CAD=∠BEC，∠ABE=∠CBE=90°，∠ADB=∠BCE，
∴∠CAE=∠AEB=45°=∠BCD=∠BDC，∠BEC+∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠BCD=90°，∠BAD+∠ACE=∠BEC+∠ACE=90°，
∴CD⊥AE，AD⊥CE，
故①②正确，
∴ED=EB−BD=7，
故③是错误的，
∵∠EAD=∠ADB−45°，∠ECD=∠ACE−∠ACD=∠ACE−45°，
∴∠EAD=∠ECD，
故④是正确的，
故选：C．
27．如图，△ABC≌△CDA，AB 与CD，BC与DA是对应边，则下列结论错误的是
（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．AB∥DC
C．∠BCA=∠DCA D．BC∥DA
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，根据全等三角形对应角相等
得到∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，进而得到AB∥CD，BC∥AD，据此可得
答案．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴AB∥CD，BC∥AD，
根据现有条件无法证明∠BCA=∠DCA，
故选：C．
28．如图，已知△ABC≌△AED，则下列边或角的关系正确的是（ ）A．∠C=∠D B．∠CAB=∠AED C．AC=ED D．BC=AE
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据
全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴A、∠C=∠D正确，符合题意；
B、∠CAB=∠DAE，原选项错误，不符合题意；
C、AC=AD，原选项错误，不符合题意；
D、BC=ED，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
29．如图，已知△OAB≌△OA B ，AB与A O交于点C，AB与A B 交于点D，则下列
1 1 1 1 1
说法错误的是（ ）
A．∠A=∠A B．AO=CO
1
C．OB=OB D．∠AOC=∠A DC
1 1
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，
可得∠A=∠A ，AO=A O，OB=OB ，即可求解．
1 1 1
【详解】解：∵△OAB≌△OA B ，
1 1
∴∠A=∠A ，AO=A O，OB=OB ，故A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，
1 1 1
符合题意；
∵
∠AOC+∠A+∠ACO=180°,∠A DC+∠A +∠A CD=180°,∠A CD=∠ACO，
1 1 1 1∴∠AOC=∠A DC，故D选项正确，不符合题意；
1
故选：B
30．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）．
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠ABD=∠CBD D．AD∥BC，且AD=CB
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及应用，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相
等的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵△ABD≌△CDB，
∴两个全等的三角形是一定能够完全重合的图形，
∴△ABD和△CDB的面积与周长都相等．
∴选项A、B都正确，不符合题意．
又∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB
∴∠ADB=∠CBD（全等三角形的对应角相等）
∴∠ABD与∠CBD不一定相等，
∴选项C不正确，符合题意．
又∵△ABD≌△CDB，
∴AD=CB（全等三角形的对应边相等）
又∵∠ADB=∠CBD
∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）
∴选项D正确，不符合题意．
31．如图，若△ABC≌△DCB，则下列结论错误的是（ ）A．∠A=∠D=90° B．S =S
△ABC △DCB
C．CD∥AB D．AC=DB
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质“对应边相等，对应角相
等”解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，
∴S =S ，AC=DB，∠ABC=∠DCB，
△ABC △DCB
∴CD∥AB，
没有理由能证明∠A=∠D=90°，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【题型06：全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】
32．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．
(1)若BC=10，AD=7，求BD的长．
(2)试判断AB和CF的关系，并说明理由
【答案】(1)3
(2)AB=CF，AB⊥CF，理由见解析
【分析】（1）根据△ABD≌△CFD，得出BD=DF， AD=DC，根据BD=BC−CD
即可求解；
（2）根据全等的性质得出AB=CF，∠BAD=∠FCD，然后由∠AFE=∠CFD即可得到∠AEF=∠CDF=90°，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF， AD=DC，
∵BC=10，AD=7，
∴CD=7，
∴BD=BC−CD=3；
（2）∵△ABD≌△CFD
∴AB=CF，∠BAD=∠FCD，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEF=∠CDF=90°
∴AB⊥CF
∴AB=CF，且AB⊥CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三
角形对应边相等，对应角相等．
33．已知：如图所示，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于
点F，在AB上有一点M，且CM=CD．
(1)若AF=12，DF=4，求AM的长．
(2)试说明∠CDA与∠CMA的关系．
【答案】(1)AM的长为8或16
(2)∠CDA与∠CMA相等或互补
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与
性质，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=CF，再利用“HL”证明
△CDF和△CEM全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=ME，然后分点M在点E的
左边与右边两种情况讨论求解；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CME，然后分两种情况讨论解答．【详解】（1）如图，以点C为圆心，CD为半径画弧交AB于点M、M′，则
CM=CM′=CD，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在Rt△CDF和Rt△CEM中，
{CD=CM)
，
CE=CF
∴△CDF≌△CEM(HL)，
∴DF=ME=4，
点M在点E的左边时，AM=AF−ME=12−4=8，
点M在点E的右边时，AM=AE+ME=12+4=16，
综上所述，AM的长为8或16；
（2）∵△CDF≌△CEM，
∴∠CDF=∠CME，
点M在点E的左边时，∠CDA=∠CMA，
点M在点E的右边时，∠CDA+∠CMA=180°，
综上所述，∠CDA与∠CMA相等或互补．
34．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)直接写出AB，AC，AE之间的等量关系．
【答案】(1)见解析(2)结论：AB+AC=2AE，见解析部分
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角
形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDF可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出
△AED≌△AFD，所以AE=AF，故AB+AC=2AE．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
{BD=CD)
，
BE=CF
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：结论：AB+AC=2AE．
理由：∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF=BE，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∵AE=AF，
∵AC=AF+CF=AE+BE=AE+AE−AB=2AE−AB．
即：AB+AC=2AE．
35．△ABC在中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，
BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？
请写出这个关系，并加以证明；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD−BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请直接写出这个等量关系不必证明.
【答案】(1)DE=AD+BE，证明见解析
(2)见解析
(3)DE=BE−AD
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）利用AAS证明△ACD≌△CBE，利用线段的和差关系即可完成；
（2）利用AAS证明△ACD≌△CBE，利用线段的和差关系即可完成；
（3）利用AAS证明△ACD≌△CBE，利用线段的和差关系即可完成．
【详解】（1）解：DE=AD+BE，
证明如下：
∵∠ACB=90°，AD⊥MN，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°；
在△ADC与△CEB中，
{∠ADC=∠CEB
)
∠CAD=∠BCE ，
AC=BC
∴△ACD≌△CBE，∴CD=BE，AD=CE；
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）证明：∵∠ACB=90°，AD⊥MN，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°；
在△ADC与△CEB中，
{∠ADC=∠CEB
)
∠CAD=∠BCE ，
AC=BC
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE，AD=CE；
∵DE=CE−CD，
∴DE=AD−BE；
（3）解：DE=BE−AD，
证明如下：
∵∠ACB=90°，AD⊥MN，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°；
在△ADC与△CEB中，
{∠ADC=∠CEB
)
∠CAD=∠BCE ，
AC=BC
∴△ACD≌△CBE，
∴CD=BE，AD=CE；
∵DE=CD−CE，
∴DE=BE−AD．
36．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，
AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q使得
DQ=AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得
4<AQ<10，则AD的取值范围是___________．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三
角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，
AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，
并加以证明．
【答案】(1)2<AD<5
(2)AC∥BQ，理由见解析
(3)EF=2AD，AD⊥EF，证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全
等三角形．
（1）由题意可得AQ=2AD及三角形三边关系，即可求解；
（2）通过证明△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD=∠CAD，即可得出结论；
（3）同（2）得△QDB≌△ADC（SAS），则∠DBQ=∠ACD，BQ=AC，进而判
断出∠ABQ=∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ=EF，∠BAQ=∠AEF，
即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：AQ=2AD，
∵4<AQ<10，
∴2<AD<5，
故答案为2<AD<5；（2）AC∥BQ，理由如下，
延长AD到Q使DQ=AD，连接BQ，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△QDB和△ADC中
{
BD=CD
)
∠BDQ=∠CDA ，
DQ=AD
∴△QDB≌△ADC(SAS)，
∴∠BQD=∠CAD，
∴AC∥BQ；
（3）EF=2AD，AD⊥EF，理由如下，
在下图中，延长AD到Q使得DQ=AD，连接BQ，
由（2）知，△QDB≌△ADC(SAS)，
∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC，
∵AC=AF，
∴BQ=AF，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°，
∴∠BAC+∠ABQ=180°，，∵∠BAE=∠FAC=90°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∴∠ABQ=∠EAF，
在△ABQ和△EAF中
{
AB=AE
)
∠ABQ=∠EAF ，
BQ=AF
∴△ABQ≌△EAF(SAS)，
∴AQ=EF，∠BAQ=∠AEF，
延长DA交EF于点P，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAQ+∠EAP=90°，
∴∠AEF+∠EAP=90°，
∴∠APE=90°，
∴AD⊥EF，
∵AD=DQ，
∴AQ=2AD，，
∵AQ=EF，
∴EF=2AD，
综上：EF=2AD，AD⊥EF．
37．（1）如图1，△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则
∠1+∠2=__________；（2）如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成为四边形，则∠1+∠2=
__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳∠1+∠2与∠A的关系是
______________；
（4）若没有剪去∠A，而是将∠A折成如图3的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并
说明理由．
【答案】（1）270°；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）
∠1+∠2=2∠A，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为180°，三角形的外角和定理，则
∠1=∠A+∠AFE，∠2=∠A+∠AEF，∠AFE+∠AEF=90°，即可；
（2）根据三角形的内角和为180°，三角形的外角和定理，则∠1=∠AEF+∠A，
∠2=∠AFE+∠A，∠AFE+∠AEF=140°，即可；
（3）根据（1）和（2）可知，∠1+∠2=2∠A+∠AFE+∠AEF，根据
∠A+∠AFE+∠AEF=180°，即可；
（4）根据折叠的性质，则△AFE≌△PFE，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平
角的性质，则∠1+2∠AFE=180°，∠2+2∠AEF=180°，
∠A+∠AFE+∠AEF=180°，再根据等量代换，即可．
【详解】（1）△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵∠1=∠A+∠AFE，∠2=∠A+∠AEF，
∴∠1+∠2=2∠A+∠AFE+∠AEF，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°，
故答案为：270°．（2）∵∠A=40°，
∴∠AFE+∠AEF=140°，
∵∠1=∠AEF+∠A，∠2=∠AFE+∠A，
∴∠1+∠2=2∠A+∠AFE+∠AEF，
∴∠1+∠2=2×40°+140°=220°，
故答案为：220°．
（3）由（1）和（2）得，∠1+∠2=2∠A+∠AFE+∠AEF，
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AFE+∠AEF，
∴∠1+∠2=∠A+180°．
（4）∠1+∠2=2∠A，理由见下：
由题意得，△AFE≌△PFE，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1+2∠AFE=180°，∠2+2∠AEF=180°，
∴∠1+∠2+2(∠AFE+∠AEF)=360°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴∠AFE+∠AEF=180°−∠A，
∴∠1+∠2+2(180°−∠A)=360°，
∴∠1+∠2−2∠A=0，
∴∠1+∠2=2∠A．【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和
和三角形的外角和定理．
【题型07：全等三角形的性质-动点问题】
38．如图，在△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P
在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以a厘米/秒
的速度由C点向A点运动．当△BPD与△CQP全等时，a的值为（ ）
A．3 B．4 C．4或6 D．2或3
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角
形的对应边相等是解题的关键．
分△BPD≌△CPQ和△BPD≌△CQP两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求
得点Q的移动速度即可．
【详解】解：分两种情况：
①当△BPD≌△CPQ时，BD=CQ=6，BP=CP=4，
∴点P运动的时间为4÷4=1秒，
∴点Q的运动速度为6÷1=6厘米/秒；
②当△BPD≌△CQP时，CP=BD=6，BP=8−6=2，
1
∴点P运动的时间为2÷4= ，
2
1
∴点Q的运动速度为2÷ =4厘米/秒；
2
综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全
等．
故选：C．
39．如图，∠A=∠B=90°，AB=60，E、F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点
E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3:7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为（ ）
A．18 B．70 C．88或62 D．18或70
【答案】D
【分析】设BE=3t，则BF=7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B可知，分两种情
况：当BE=AG，BF=AE时，当BE=AE，BF=AG时，列方程即可求解．本题主要
考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
【详解】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B，使△AEG与△BEF全等，可分两
种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60−3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60−3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或70．
故选：D．
40．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10．点P从点A出发，以每秒2个
单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长
度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时
间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，
F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）A．2 B．2.8 C．3 D．6
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的
性质、一元一次方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
【详解】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点
E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴6−2t=8−3t，
解得t=2；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，
由题意得，6−2t=3t−8，
解得t=2.8；
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ=AC=6，
由题意得，2t−6=6，解得t=6．
综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
41．如图，AB=12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，
每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全
等于△PBQ，则此时t的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，BP=t，如图，当△CAP全等于
△PBQ时，得到BP=AC，根据速度为1米/分钟即可求解．
【详解】由题意得，BP=t
如图，当△CAP全等于△PBQ时，BP=AC
∵ AC=4m
∴BP=4 m
∵ P点从B向A运动，每分钟走1m
∴t=4
故选：A．
42．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，如图，AB=12cm，
∠A=∠B=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，
同时，点Q在线段BD上以x(cm/s)的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s)，
当△ACP与△BPQ全等时，x的值是（ ）A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知分△ACP≌△BPQ
时和△ACP≌△BQP时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上
以xcm/s的速度由点B向点D运动，
∴AP=2tcm，BQ=xtcm，
∴BP=AB−AP=(12−2t)cm．
∵∠A=∠B=60°，
∴可分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，
∴AP=BQ，
∴2t=xt，
解得：x=2；
②当△ACP≌△BQP时，
∴AP=BP，AC=BQ
{2t=12−2t)
∴ ，
9=xt
{t=3)
解得： ．
x=3
综上可知x的值是2或3．
故选：D．
43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点M，N分别在AC的垂线AX与线段AC上移动，
MN=AB，AC=12cm，BC=6cm，若△ABC和以点M、N、A为顶点的三角形全等，则
AN的值为（ ）A．12cm B．12cm或6cm C．11cm或7cm D．6cm
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，分情况讨论，掌握全等三角形的对应边相等是
解题的关键．
【详解】解：由题意得：∠C=∠PAQ=90°，
∴分两种情况讨论：
当△ABC≌△MNA时，
AN=BC=6cm，
当△ABC≌△NMA时，
AN=AC=12cm，
即AN的值为6cm或12cm，
故选：B．
【题型08：全等三角形的性质-证明题】
44．如图，△ABD≌△CFD，且点B，D，C在一条直线上，点F在AD上，延长CF交
AB于点E．
(1)试说明：CE⊥AB．
(2)若BD=3，AF=1，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)7【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握了全等三角形的性
质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由△ABD≌△CFD，可得∠ADB=∠CDF，∠A=∠C，由点B，D，C在一条直
线上，可求∠ADB=∠CDF=90∘，则∠A+∠B=90∘．∠C+∠B=90∘．∠BEC=90∘，
进而可得CE⊥AB．
（2）由△ABD≌△CFD，可得FD=BD=3，AD=CD，则CD=AD=AF+FD=4，根
据BC=BD+CD，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵△ABD≌△CFD，
∴∠ADB=∠CDF，∠A=∠C．
∵点B，D，C在一条直线上，
∴∠ADB+∠CDF=180∘．
∴∠ADB=∠CDF=90∘．
∴∠A+∠B=90∘．
∴∠C+∠B=90∘．
∴∠BEC=90∘．
∴CE⊥AB．
（2）解：∵△ABD≌△CFD，BD=3，
∴FD=BD=3，AD=CD，又AF=1，
∴CD=AD=AF+FD=4．
∴BC=BD+CD=7．
∴BC的长为7．
45．如图所示，△ABC≌△ADE，若∠BAD=100°，∠CAE=40°，求∠BAC的度数．
【答案】70°
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到
∠BAC=∠DAE，进而证明∠BAE=∠DAC，求出∠BAE=30°即可得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAE=∠DAE− ∠CAE，即∠BAE=∠DAC.
1 1
∴∠BAE= (∠BAD−∠CAE)= (100°−40°)=30°，
2 2
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=30°+40°=70°．
46．如图，点D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且
△ABD≌△CAE，AD=2cm，BD=4cm．求：
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)DE=6cm
(2)∠BAC=90∘
【分析】此题考查全等三角形的性质，等角的余角相当的性质，
（1）根据全等三角形的性质得到AE=BD=4cm，即可求出DE的长；
（2）由全等三角形的性质得到∠ABD=∠CAE，根据等角的余角相等得到
∠BAD+∠CAE=90°，求出∠BAC=90°．
【详解】（1）∵△ABD≌△CAE，AD=2cm，BD=4cm，
∴AE=BD=4cm，
∴DE=AD+AE=6cm．
（2）∵BD⊥DE，
∴∠D=90∘，
∴∠DBA+∠BAD=90∘．
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=90∘.
又∵点D，A，E在同一条直线上，∴∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，
∴∠BAC=90∘．
47．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)求证：DE=CE+BC；
(2)猜想：当△ADE满足什么条件时DE∥BC？并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)当△ADE中∠AED=90°时，DE∥BC．
【分析】本题考查了全等三角形的性质定理和平行线的性质和判定．
（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠AED=∠BCA，根据平行线的性质得出
∠BCE=∠DEC，求出∠DEC=∠AED，再求出答案即可．
【详解】（1）解：∵△ABC≌△DAE，
∴BC=AE，AC=DE，
∴DE=AC=CE+AE=CE+BC；
（2）解：猜想，∠AED=90°时，DE∥BC，
∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED=∠BCA，
∵DE∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DEC=∠AED，
又∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴当△ADE是直角三角形时，DE∥BC．
48．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．(1)若BC=10，AD=7，求BD的长；
(2)求证：CE⊥AB．
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）根据△ABD≌△CFD，得出BD=DF， AD=DC，根据BD=BC−CD
即可求解；
（2）根据全等的性质得出∠BAD=∠DCF，易得∠DFC+∠DCF=90°， 则
∠AFE+∠BAD=90°，即可求证．
【详解】（1）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF， AD=DC，
∵BC=10，AD=7，
∴CD=7，
∴BD=BC−CD=3；
（2）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD=∠DCF，
∵AD⊥BC，
∴∠CDF=90°，
∴∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠AFE=∠CFD，∠BAD=∠DCF，
∴∠AFE+∠BAD=90°，
∴∠AEF=180°−∠AFE−∠BAD=90°，
∴CE⊥AB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三
角形对应边相等，对应角相等．
49．如图，已知△ABF≌△CDE．(1)若∠B=45°，∠DCF=25°，求∠EFC的度数；
(2)若BD=10，EF=5，求BF的长．
【答案】(1)70°
15
(2)
2
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
（2）根据全等三角形的对应边相等计算．
【详解】（1）解：∵△ABF≌△CDE，∠B=45°，
∴∠D=∠B=45°，
∵∠DCF=25°，
∴∠EFC=∠DCF+∠D=70°；
（2）解：∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，
即BE=DF，
∵BD=10，EF=5，
5
∴BE=(10−5)÷2= ，
2
15
∴BF=BE+EF= ．
2
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应
边相等，对应角相等是解题的关键．
