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专题23.9 中心对称（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·河南郑州·八年级统考期末）六月是高考季，考上大学是每个学子的目标，河南也有很多
不错的大学，以下是河南部门大学的校徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A．河南大学 B．郑州大学 C．河南农业大学 D．河南工业学校
2．（2022·河北保定·校考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
若 ， ．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
3．（2023秋·九年级课时练习）如图所示是一个中心对称图形，点 为对称中心．若 ，
， ，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2023·河北沧州·统考二模）如图由 个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格
点， 的三个顶点 ， ， 均在格点上， 是 与网格线的交点，将 绕着点 顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
5．（2022春·浙江绍兴·九年级专题练习）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则
把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点 ，
是关于 的“黄金函数” 上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线
的右侧，有结论① ；② ；③ ；④ ．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
6．（2022·广西河池·校联考二模）如图，把 放置在正方形 中， ，直角顶点
在正方形的对角线 上，点 、 分别在 和 边上， 经正方形 的对称中心点 ，且点
是 的中点，下面说法：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若
， ， ，则 ，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．（2023春·全国·八年级专题练习）已知函数：y ，则下列关于此函数的图象与性质描述
正确的是（ ）
A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点
B．图象关于原点中心对称
C．图象不经过第一象限
D．x＞0时，y随x的增大而减小
8．（2022秋·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）如图，抛物线 （a＞
0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对
应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
9．（2022·广东·九年级专题练习）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知点 ，点 ，点 是线段 的中点，
则 ， ．在平面直角坐标系中有三个点 ， ， ，点 关于
点 的对称点 （即 ， ， 三点共线，且 ）， 关于点 的对称点 ， 关于点 的对称点，…按此规律继续以 ， ， 三点为对称点重复前面的操作．依次得到点 ， ， …，则点 的
坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，作点A关于原点的对称点，得到点 ，再将点 向上平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标
是 ．
12．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）已知实数 、 是方程 的两根，且 ，
则点 关于原点的对称点Q的坐标是 ．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 与 关于点 成中心对称， ，
， ，则 ．
14．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，有一个由六个边长为1
的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为 ， ，现平移直线l： ，使平移后的直
线将这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．15．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，将 绕点 旋转
得到 ，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
16．（2023·湖南长沙·校联考一模）如图，在矩形 中，E在 边上，将 沿 折叠，点A
恰好落在矩形 的对称中心O处，若 ，则 的长为 ．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三
角形，作 与 关于点 成中心对称，再作 与 关于点 成中心对称，点
在第 个三角形上， （n是正整数）的顶点 的坐标是 ．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）函数 的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确
的是（1）该函数的图像是中心对称图形；
（2）当 时，该函数在 时取得最小值2；
（3）在每个象限内， 的值随 值的增大而减小；
（4） 的值不可能为1．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·河南周口·七年级校联考期末）如图，在 中， 是 边上的中点，已知
， ．
（1）画出 关于点 的中心对称图形；
（2）求线段 长的取值范围．
20．（8分）（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）如图， 和 关于点 成中心对称．
（1）找出它们的对称中心 ；
（2）若 ，求 的周长；21．（10分）（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点
， ， 均在正方形网格的格点上．
（1）把 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ；
（2）直接写出点 关于点 中心对称的点的坐标；
（3）在 轴上找一点 ，使得 最小，请在图中标出点 的位置，并直接写出这个最小值．
22．（10分）（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的
边长为1个单位长度：已知 ．
（1） 与 关于原点O对称，画出 ，并写出 点的坐标．
（2）以O为旋转中心将 顺时针旋转 得 ，画出 并写出 点的坐标．
（3）在x轴上找一点P，使得 最小，直接写出P点坐标及其最小值？23．（10分）（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点
，点 ．
（1）将 以点C为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；平移 ，若A对应的点
坐标为 ，画出 ；若 与 成中心对称，请直接写出对称中心坐标为 ；
（2）在x轴上有两个动点M和N （点M在点N的左边），其中 ，若要使得四边形 的
周长最小，则请直接写出点M的坐标为 ；
（3）在平面直角坐标系中，存在一点P，使得以A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接
写出满足条件点P的坐标为 ．
24．（12分）（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，抛物线 ： 与x轴分别交于点 ，点 ，与y轴交于点C，连接 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）若抛物线 与抛物线 关于原点O对称，点P是第四象限抛物线 上的点，过点P作 轴
于点D，连接 ．若 与 相似，求点P 的坐标．参考答案
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：选项A、B、C中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以
不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2．C
【分析】根据三角形三边关系定理，可知 即可求解．
解：∵点 与点 关于点 对称，点 与点 也关于点 对称，
∴ ，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的
判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
3．D
【分析】根据中心对称图形的特点可知： ，再根据含 角的直角三角形的性质以及勾股定
理求出 ，问题随之得解．
解：根据中心对称图形的特点可知： ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵在 中， ， ，∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了中心对称图形的特点，含 角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据中
心对称图形的特点得到 ，是解答本题的关键．
4．C
【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．
解：如图，取格点 ，连接 ， ，取格点E，F．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合．
同理可证：点B与点 关于点O对称，
∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，
故嘉嘉说法正确；
由中心对称的性质得 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，
故淇淇说法正确．
故选C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
5．C
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2
的右侧即可求解．
解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴ ，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，当x＝ 时，y＝ax2+bx+c＝ a+ b+c＝ a+2﹣a＝2﹣ a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣ a＞0，
∴ a+ b+c＝2﹣ a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点拨】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金
点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
6．C
【分析】①正确，证明△EDO≌△FBO（ ASA），可得结论；②正确，求出∠GFB，∠EFG，可得结论；
③错误，求出OG，EF，再利用勾股定理求出EG，即可判断．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=BC=6，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴DE=BF，OE=OF，
∴CF+DE=CF+BF=BC=6，
故①正确；
∵ ，
若 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
故③错误；
故选：C．
【点拨】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【分析】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果．
解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意；
B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意；
C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意；
D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解
析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键．
8．A
【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配
方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′ ，CD=
，CD′= ，由 CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用
△
勾股定理列出方程，解方程即可．解：∵抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线 ，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′= ，CD= ，
CD′= ，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得 ，
∵a＞0，
∴ ；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，解得 ，
∴ ，
∴综合得a的值为 或 ．
故答案选：A．
【点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待
定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
9．B
【分析】根据点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律逐项判断即可得．
解：A、点 先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点 ，则点 的坐标为 ，即
为 ，则此项说法错误，不符题意；
B、绕原点按顺时针方向旋转 的点坐标变换规律：横、纵坐标互换，且纵坐标变为相反数，
则点 绕原点按顺时针方向旋转 后到点 ，则点 的坐标为 ，此项说法正确，符合题意；
C、点坐标关于原点对称的变换规律：横、纵坐标均变为相反数，
则点 与点 关于原点中心对称，则点 的坐标为 ，此项说法错误，不符题意；
D、点坐标关于 轴对称的变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，
则点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，此项说法错误，不符题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了点坐标的平移、旋转、轴对称的变换规律，熟练掌握各变换规律是解题关键．
10．A
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
解：由题意， ， ， ， ， ， ， ， ……
可得每6次为一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．11．
【分析】先根据关于原点对称点的坐标特征“横纵坐标互相相反数”，求出 ，再根据平移的
坐标变换规律“上加下减，左减右加”求得 ．
解：∵点A关于原点的对称点 ， ，
∴ ，
∵将点 向上平移3个单位，得到点 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化——中心对称和平移，正确求出点 的坐标是解题的关键．
12．
【分析】先把方程分解因式得出 ，即得到方程 ， ，求出方程的解
即可得到P点的坐标，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反计算，即点 关于原点
O的对称点是 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵实数 、 是方程 的两根， ,
∴ ，
又∵点P关于原点O的对称点Q，∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，
使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一
元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．解题时牢记步骤是关键．
13．1
【分析】根据中心对称的性质，得出 ， ，再根据勾股定理求出 ，即可
求解．
解：∵ 与 关于点 成中心对称， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴根据勾股定理可得： ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相
等，对应角相等，以及勾股定理的内容．
14．
【分析】如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成
面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，
再根据一次函数平移的特点结合待定系数法可求平移后直线的函数解析式．
解：如图，∵点A，B的坐标分别为 ， ，∴C的坐标为 ．
∵平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，
∴平移后的直线经过点C．
设平移后的直线的函数解析式为 ，依题意有，
∴ ，
解得 ，
∴平移后的直线的函数解析式为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，一次函数图象的平移．熟知过中心对
称图形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键．
15．
【分析】根据将 绕点 旋转 得到 ，可知这两个三角形关于 中心对称，
设 ，利用中点坐标公式计算即可得到答案．
解：设 ，
由题意 ，即 为 的中点，
， ，则有 ，解得 ，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】本题考查中心对称，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问
题．
16．
【分析】连接 ，由O是矩形 中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到 ，由矩形
的性质得到 ，由勾股定理求出 的长即可．
解：连接 ，
∵O是矩形 中心，
∴B，O，D共线，
∵ 沿 翻折到 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，O是它的中心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．
17． 7
【分析】由题意可以求出点 ， ， ， 的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；
根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案．解：由题意可得，点 的坐标为 ， ， ， ，由此可得，点
是 的坐标，即该点在第7个三角形上；
法一：由图可得点 ， ，所以点 ，则点 ，
由图可推得点 ；
法二：由点 ， ， ， 的坐标，可得点 ，
，
所以点 ．
故答案为7，
【点拨】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
18．（1）（2）（4）
【分析】根据中心对称图形的特征判断论断（1）；结合函数图像判断论断（2）（3）（4）．
解：（1）由图像可以看出函数图像上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
（2）结合图像的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为 ，故正确；
（3）在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
（4）在第一象限y的最小值为2，在第三象限最大值为 ，故不可能为1，故正确．
∴正确的有（1）（2）（4）．
故答案为（1）（2）（4）．
【点拨】此题主要考查了识别中心对称图形、函数图像等知识，结合函数图像获得所需信息是解题关
键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由题知 为中线，延长 到E，只要使 ，然后连接 即可；
（2）根据三角形三边关系，先求出 的取值范围，即可求出 的取值范围．
解：（1）如图，延长 到E，使 ，连接 ， 即为所求；（2）由图知， ， ， ，
由三角形三边关系知，
，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了尺规作图和三角形三边关系，熟练掌握作一条线段等于已知线段，三角形任
意两边的差小于第三边，任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键．
20．（1）见分析；（2）15
【分析】（1）连接 ， ，其交点就是对称中心 ；
（2）依据 和 关于点 成中心对称，即可得到 ，进而得出 的周长
（1）解：如图所示，点 即为所求；
（2）解： 和 关于点 成中心对称，
，
， ， ，
的周长 ；
答： 的周长为15．
【点拨】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
21．（1）见分析；（2） ；（3）图见分析，最小值为【分析】（1）利用点旋转的坐标变换规律得到 ， 的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数，即可求解；
（3）利用轴对称的性质，及两点间的距离最短即可求解．
（1）解：如图所示； 即为所求作的三角形
（2）解：根据关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数，
即 ．
（3）解：如图，作点 关于 轴对称的点 ，连接 交 轴于点 ，
点P即为所求作的点，
最小值为 ．
【点拨】本题考查了作图 旋转变换，最短距离，轴对称，解题的关键是掌握根据旋转的性质可知，
对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的
方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．（1）见分析， ；（2）见分析， ；（3）P点坐标为 ，最小值为
【分析】（1）利用关于原点对称的点的特征得到 ， ， 的坐标，然后描点即可；
（2）利用旋转的性质得到 ， ， 的坐标，然后描点即可；
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，如图，则 ，根据两点之间线段最
短可判断此时 的值最小，再利用待定系数法求出直线 的解析式 ，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标，计算 得到 的最小值．
（1）解：如图， 为所作； ；
（2）如图， 为所作； ；
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，如图，则 ，
，
，
此时 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得
，解得
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得
点坐标为 ，
，
的最小值为 ．
【点拨】本题考查作图——旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也
考查了最短路径问题．
23．（1）图见分析，对称中心坐标为 ；（2） ；（3） ； ；
【分析】（1）找到 以点C为旋转中心旋转 得到对应点 ，顺次连接 即可得到
，由点 的对应的点 坐标为 ，得到平移规律为向下平移6个单位，按照相同的规律
得到点 的对应点 ，顺次连接 即可得到 ，根据成中心对称图形的对应点的
连线必过对称中心，得到对称中心，再写出对称中心坐标即可；
（2）利用网格特点，则 ，则四边形 的周长 ，当
取最小值时，四边形 的周长最小，进一步求出点M的坐标即可；
（3）利用网格的特点和平行四边形的判定作出满足要求的平行四边形，写出点P的坐标即可．
（1）解：如图所示， 即为所求， 即为所求；对称中心坐标为 ；
故答案为：
（2）如图，利用网格特点，则 ，
则四边形 的周长 ，当 取最小值时，四边形 的周长最小，
由网格的特点可知 ，连接 交x轴于点 ，当 时，且点 在 左边时，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ,
∵点B关于x轴的对称点是 ，
∴ ,
即当点N移动到点 ，当点M移动到点 时， 有最小值，即为 的长，
，
即四边形 的周长最小值为 ，
设直线 的解析式为 ，把点 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，解得 ，即点 ，
∵ ，
∴ ,
即当四边形 的周长最小时，点M的坐标为 ；
故答案为：
（3）如图，点 ； ； 即为满足要求的点；
即点P的坐标为 ； ； ；
故答案为： ； ； ；
【点拨】此题考查了平移的作图、中心对称图形的作图、平行四边形的判定和性质、求一次函数解析
式、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握作图方法和数形结合是解题的关键．
24．（1） ；（2） 或 或 或 ，
【分析】（1）将 ， ，代入 ，即可求解；
（2）先求出抛物线 的解析式为 ，设 ，则 ， ，分
两种情况讨论：①当 时， ，求出 或 ；②当 时，，求出 或 ， ．
（1）解：将 ， 代入 中，
得 ，解得： ，
∴抛物线 的表达式为 ；
（2） ，
顶点坐标为 ， ，
， 关于原点对称的点为 ， ，
抛物线 的解析式为 ，
， ，
，
轴，
，
设 ，
， ，
∵ 与 相似，
①当 时， ，
或 ，
或 ；
②当 时， ，
解得 或 ，或 ， ；
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ， ．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性
质，会求函数图象关于原点对称的函数解析式是解题的关键．
