文档内容
专题 24.20 圆（全章中考常考点专题）（全章专项练习）
第一部分【题型目录】
【考点1】垂径定理及其推论...............................................................................................................1
【考点2】弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系..................................................................................4
【考点3】圆周角定理及其推论...........................................................................................................8
【考点4】圈内接四边形的性质.........................................................................................................12
【考点5】点与圆的位置关系.............................................................................................................15
【考点6】直线与圆的位置关系.........................................................................................................19
【考点7】切线的性质及判定.............................................................................................................22
【考点8】三角形的外接圆和内切图..................................................................................................26
【考点9 】正多边形与圆的关系.......................................................................................................30
【考点10】弧长与扇形面积的有关计算............................................................................................33
【考点11】圆锥的有关计算..............................................................................................................37
【考点12】阴影部分面积的计算.......................................................................................................39
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点1】垂径定理及其推论
【1-1】（2023·浙江金华·中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于点
．连接 ，过点 作 于点 ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．
四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
【1-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门
最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明 ，
，再进一步的利用勾股定理计算即可；
解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ，
∴ ， ，
设拱门所在圆的半径为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴拱门所在圆的半径为 ；
故选B
【1-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在 中，直径 于点E， ，则弦
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得 ，设 的半径为 ，则 ，在 中，由勾股
定理得出方程，求出 ，即可得出 ，在 中，由勾股定理即可求解．
解：∵ ，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【考点2】弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系
【2-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图， 是 的直径，点C为 的中点， 为
的弦，且 ，垂足为点E．连接 交 于点G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径及 的长．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）先利用已知条件和垂径定理证明 ，然后根据 证明 ，然后利用
全等三角形的性质即可解答；
（2）如图：连接 ，设 的半径为r,由 ，列出关于r方程求解即可．
（1）证明：∵点C为 的中点，
∴ ，∵ 是 的直径且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ；
（2）解：如图:连接 ，设 的半径为r,
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定、
勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握数形结合思想是解题的关键．
【2-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为5的 中，弦 ， 所对的圆心角分别是
， ．已知 ， ，则弦 的弦心距等于（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质．
作 于 ，作直径 ，连接 ，先利用等角的补角相等得到 ，再利用圆心角、
弧、弦的关系得到 ，由 ，根据垂径定理得 ，可证 为△ 的中位线，
然后根据三角形中位线性质得到 ．
解：作 于 ，作直径 ，连接 ，如图，，
而 ，
，
，
，
，
，
而 ，
为△ 的中位线，
．
故选：D．
【2-3】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）将半径为5的 如图折叠，折痕 长为6，C为折叠后
的中点，则 长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长 交 于D点，交 于E
点，连接 ，如图根据圆心角、弧、弦的关系由 得到 ，则可判断
垂直平分 ，则 ，再利用勾股定理计算出 ，所以 ，然后利用C点和D点关于
对称得到 ，最后计算 即可．
解：延长 交 于D点，交 于E点，连接 ，如图，∵C为折叠后 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ， 垂直 ，
∴C点和D点关于 对称，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【考点3】圆周角定理及其推论
【3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦
和 交于点 ，且 ．
(1)求证： ； (2)求证： ； (3)求 的长．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得 ，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得
，即可证明 ；
（2）根据题意可得 ，则 ，再证明 ，即可证明 ；
（3）过 作 于点 ，连接 ， ，利用等弧所对的圆周角相等证明 是等腰直角三角形，
再根据勾股定理解答即可．
（1）证明： ，
，
， ，
，
；
（2）证明： 是 的中点，
，
，
，
，
即 ，
；
（3）解：过 作 于点 ，连接 ， ，为 的直径，
， ，
由（2）可知： ，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
．
【点拨】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助
线是解题的关键．
【3-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图， 是 的直径， ， 是 上的点，且 ，
分别与 ， 相交于点 ， ，则下列结论：
① ；
② ；
③ 平分 ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ．
其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【答案】D
【分析】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定
理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．①由直径所对圆周角是直角，②根据三角形外角的性质和
圆周角定理可作判断，③由平行线得到 ，再由同圆的半径相等得到结论判断出
；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到
和 中对应相等的边，所以不一定全等．
解：① 是 的直径，
，
，
故①正确；
② ， ，
当 时， ，
故②不正确；
③ ，
，
，
，
，
平分 ，
故③正确；
④ 是 的直径，
，
，
，
，
点 为圆心，，
故④正确；
⑤由④有， ，
点 为 中点，
是 的中位线，
，
故⑤正确；
⑥ 和 中，没有相等的边，
与 不全等，
故⑥不正确；
综上可知：其中一定成立的有①③④⑤，
故选：D．
【3-3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图， 是 的外接圆， 是 的高，且
， ， ，E是 上一个动点，不与A，C重合，则 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接 ，由勾股定理得出
，证明 是等腰直角三角形，得出 ，再由圆周角定理即可得解．
解：如图：连接 ，
，∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 和 所对的弧都为弧 ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【考点4】圈内接四边形的性质
【4-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E为
延长线上一点，且 平分 ．
(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析；(2) 的半径为
【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定
与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理．
（1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可．（2）过点 作 于点 ，连接 ，根据（1）中，得出 ，根据等腰三角形三线合
一的性质，得出 ，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出 的长和 垂直平
分 ，进而得出圆心 在 的垂直平分线 上，再设 的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，
解出即可得出 的半径．
（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
由（1）知：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 垂直平分 ，
∵ ，
∴圆心 在 的垂直平分线 上，
∴ ，设 的半径为r，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【4-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点
A 的坐标为 ，点 M是第三象限内圆上一点， ，则 的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含 角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，
根据圆内接四边形对角互补得到 ，再由 的圆周角所对的弦是直径得到 是直径，求出
，进而求出 ，是解题的关键．
解：∵ 、 、 、 都在圆上， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的直径， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的半径为4，
故选：A．
【4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线l与 相交于点 是 的直径， 于
点D．若 ，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．连接 ，由 是 的直径，根据直
径所对的圆周角是直角，可得 ，由三角形外角的性质，可求得 的度数，又由圆的内接
四边形的性质，继而证得结论．
解：连接 ．
是 的直径，
．
∵四边形 是 的内接四边形，
．
．
，
．
故答案为： ．
【考点5】点与圆的位置关系【5-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是
的外接圆．
(1)求 的半径；
(2)若在同一平面内的 也经过B、C两点，且 ，请直接写出 的半径的长．
【答案】(1) ； (2) 或
【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ，连接 、 ，根据勾股定理即可求解；
（2）分点 在点 的上方和下方，两种情况，进行求解即可．
解：（1）过点 作 ，垂足为 ，连接 、 ，
， ，
垂直平分 ，
，
点 在 的垂直平分线上，即 在 上，
，
，
在 中， ， ，
，
设 ，则 ．在 中， ，
，即 ．
解得 ，
即 的半径为 ；
（2）当 也经过 、 两点，且 ，如图：
设 ，
∵ ，则 或 ，
∵ ，
或 ．
∴ 的半径的长为 或 ．
【点拨】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确
确定点 的两个位置．
【5-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在 中， ， ， ，P为边 上
的一点，以P为圆心， 长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设
的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：①点 在圆外 ；②点 在圆上 ；③
点 在圆内 ．当点C在圆内，则 ，当 经过点A时，则 ，
，要使得点A在圆外，则 ，即可求解．
解：当点C在圆内，
∴ ，
当 经过点A时，则 ，
∵ ，
∴此时 ，
∴要使得点A在圆外，则 ，
∴满足题意时， ，
故选：A．
【5-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且
，则这个直角三角形的外接圆面积为 ．
【答案】
【分析】设这个直角三角形的斜边为 ，根据勾股定理，得到 ，将其代入，解得 ，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外
接圆面积．
解：设这个直角三角形的斜边为 ，
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
令 ，
则有， ，
整理得， ，
解得， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 为直角三角形的斜边，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴这个直角三角形的外接圆直径为 ，半径为 ，
∴这个直角三角形的外接圆面积为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运
用以上知识点是解题的关键．【考点6】直线与圆的位置关系
【6-1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 是 的角平分线，点 是 上一点， 与
相切于点 ，与 交于点 、 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三
角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键．
（1）连接 ，过点 作 于 ，先根据切线的性质得 ，再由角平分线的性质得
，进而根据切线的判定可得出结论；
（2）设 ，根据角平分线的定义得 ， ，再由 得
，由 得 ，由此得 ，然后根据
求出 ，进而可得 的度数．
（1）证明：连接 ，过点 作 于 ，如图所示：
点 为 的圆心， 为 的切线，切点为 ，
为 的半径，且 ，
为 平分线，点 为 上的点，且 ， ，
，
即 为 的半径，是 的切线；
（2）解：设 ，
为 平分线，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
．
【6-2】（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ， ，
如果以CD为直径的圆与梯形 各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线AB和
圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的
联系，得到答案．
解：根据题意，得圆必须和直线AB相交，设直线AB和圆相切于点E，连接 ，则 ， ，
又∵ ，
∴此时 ．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线要和圆相交，则 ．
故选D．
【6-3】（10-11九年级下·全国·阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ， ，半径为
的 的圆心在直线 上，且与点 的距离为 ．如果 以 的速度，沿由A向B的方向移动，
那么 秒种后 与直线 相切．
【答案】4或8
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切
线的性质和直角三角形的性质．
分类讨论：当点 在当点 在射线 时 与 相切，过 作 与 ，根据切线的性质得到
，再利用含 的直角三角形三边的关系得到 ，则 的圆心在直线 上向右
移动了 后与 相切，即可得到 移动所用的时间；当点 在射线 时 与 相切，过
作 与 ，同前面一样易得到此时 移动所用的时间．
解：当点 在射线 时 与 相切，如图，过 作 于 ，
，
，
，
的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，
移动所用的时间 （秒 ；
当点 在射线 时 与 相切，如图，
过 作 与 ，
，
，
，
的圆心在直线 上向右移动了 后与 相切，
移动所用的时间 （秒 ．
故答案为4或8．
【考点7】切线的性质及判定
【7-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的一条弦， 切 于点 ，直线
交 于点E，交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 交直线 于点D，交 于另一点F．①求证： ；
②若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②5
【分析】（1）连接 ， ．证明 ，推出 即可解决问题．
（2）①连接 ，想办法证明 即可解决问题．
②利用勾股定理求出 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（1）证明：连接 ， ．
是 的切线，
，
，
， ， ，
，
，
，
是 的切线；
（2）①证明：连接 ．， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
．
②解： ， ，
，
，
， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，
的半径为5．【点拨】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等
腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【7-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线
是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得 ，由 得 ，由切线长
定理得 ，即可求得结果．
解：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， 是 的切线，根据切线长定理得，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
【7-3】（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，以D为圆心，
为半径的弧恰好与 相切，切点为E，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 、 ，根据切线的判定可证 是 的切线，再根据切线长定理可得 ，
，由切线的性质可得 ，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得 ，
可得 ，再利用勾股定理求解即可．
解：连接 、 ，
∵ ， 是 的半径，
∴ 是 的切线，
∵ 是 的切线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟
练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．
【考点8】三角形的外接圆和内切图
【8-1】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点
D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【分析】（1）根据三角形内心的定义得 ，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接 ，证出 即可得证；
（3）连接 ， ， ，证出 即可得证．
（1）证明： 点I是 的内心，
平分 ，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接 ，点I是 的内心，
平分 ， 平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
．
（3）证明：如图，连接 ， ， ，
，
．
，
∴点D是 的外心．
【点拨】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，
掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
【8-2】（2024·四川南充·一模）如图，点 是 外接圆的圆心．点 是 的内心．连接 ．
若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，
熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
连接 ，由点 是 的内心可得 平分 ，根据角平分线的定义可得
，根据圆周角定理可得 ，根据等腰三角形的定义及
三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
解：如图，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 外接圆的圆心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【8-3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图， 周长为18， ，圆O是 的内切圆，圆
O的切线 与 、 相交于点M、N，则 的周长为 ．【答案】
【分析】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，根据切线长定理得到
，然后利用三角形的周长和 的长求得 和 的长，从而
求得 的周长，解题的关键是利用切线长定理求得 和 的长．
解：∵圆 是 的内切圆，圆 的切线 与 相交于点
∴ ， ， ， ， ，
∵ 周长为 ， ，
∴ ，
∴ 的周长为：
，
故答案为： ．
【考点9 】正多边形与圆的关系
【9-1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知 的内接正十边形 ，AD交 ， 于
， ，求证：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解
【分析】（1）根据圆心角的计算可得 ，
，由此可得 ，根据同弧所对圆心角是圆周角的
2倍可得 ，根据三角形内角和可得 ，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得 ，根据平行线的判定即可求解；
（2）根据（1）的计算，可得 ， ，再根据
即可求解．
（1）证明：如图所示，连接 ，则 ，
∵ 是内接正十边形的边长，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵内接正十边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，
等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关
键．
【9-2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最
大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形 ，若 的内接正六边形为正六
边形 ，则 的长为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边
角关系进行计算即可．
解：如图，连接 ， ， 交 于 ，
六边形 是 的内接正六边形，
， ， ，
∴ 为等边三角形，
， ，
∵ ，∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
故选：C．
【9-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形 、等边三角形 内接于同一个圆，则
的度数为 ．
【答案】30°/30度
【分析】由 ， ，已知图形是以正方形 的对角线 所在直线为对称轴的轴
对称图形，求得 ，则 所对的圆心角为 ，所以 的度数为 ．
解：∵四边形 是正方形， 是等边三角形，
∴ ， ，
∵连接 ，图形是以正方形 的对角线 所在直线为对称轴的轴对称图形，∴ ，
∵ 是 所对的圆周角，
∴ 所对的圆心角等于 ，
∴ 的度数为 ，
故答案为：30°．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角
定理求出 所对的圆心角的度数是解决本题的关键．
【考点10】弧长与扇形面积的有关计算
【10-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 是 的弦， 是 外一点， ，
交 于点 ，交 于点 ，且 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) 与 相切，理由见解析 (2)
【分析】（1）根据等边对等角得 ，根据垂直的定义得 ，即 ，则
与 相切；
（2）根据三角形的内角和定理得到 ，推出 是等边三角形，得到 ，
求得 ，根据勾股定理得到 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
解：（1） 与 相切，理由：连接 ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
即： ，
，
又 是半径，
与 相切；
（2）解： ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积 ．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【10-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在 上，直径 ，弦 、BD相
交于点E．若 ，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接 ，
根据 ，得出 ，进而得到 ，利用 即可求解．
解：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【10-3】（2024·福建莆田·模拟预测）如图，四边形 内接于 为 的直径， 平分 ，
若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出 是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出 的
长，再根据弧长公式即可求出 的长．
解：连接 ，
∵四边形 内接于 为 的直径，
，
平分 ，
，
，
，
，
∴ 是等腰直角三角形，
在 中， ，
，
∴ ，
则 的长 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键
是熟练掌握并运用相关知识．
【考点11】圆锥的有关计算
【11-1】（23-24九年级上·广东云浮·期末）如图， 是 的直径，C、D为 上的点，点E在 的
延长线上，直线 经过点C，已知 ， ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)若 ， 的半径等于 ，求 绕 旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留
）．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）连接 ．根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出 ，再根据直径所
对的圆周角是直角，得到 ，进而推出 ，即可证明结论；
（2）连接 ，可证 是等腰直角三角形，进而得出 ， 绕 旋转一周得到的
几何体为两个相同的底面相对的圆锥，利用圆锥的侧面积公式求解即可．
（1）证明：如图，连接 ．
， ，
， ，
，
是 的直径，点 在 上，
，即 ．
，
，即 ．是半径，
为 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
的半径等于 ，
， ．
， ，
．
是 的直径，点 为在 上，
，
是等腰直角三角形，
．
由勾股定理，得 ，
解得 ，
绕 旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，半径为 ，母线长为 ，
表面积 ．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，
圆锥的侧面积公式等知识，掌握圆的相关性质，利用空想想象力判断出旋转后的几何体是解题关键．【11-2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形 的半径为 ，圆心角的度数为 ，
若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为 ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，
这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 ，然后解关于 的方程即可．
解：设围成的圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
即围成的圆锥的底面圆的半径为 ．
故选：B．
【11-3】（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形 中，已知 ， ， ，如果把该三
角形绕直线 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
【答案】216
【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出 的长，根据旋转的方式，得
到底面圆的半径为 ，母线为 ，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
由题意，得：圆锥的底面圆的半径为 ，母线为 ，
设展开后扇形的圆心角的度数为 ，则： ，
解得： ；
故答案为：216．【考点12】阴影部分面积的计算
【12-1】（2024·江苏南通·中考真题）如图， 中， ， ， ， 与 相切于点
D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设 上有一动点P，连接 ， ．当 的长最大时，求 的长．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，利用勾股定理的逆定理判定得出 ，利用切线的性质得出 ，利用等面
积法求出 ，然后利用 求解即可；
（2）延长CA交 于P，连接 ，则 最大，然后在 中，利用勾股定理求解即可．
（1）解∶连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切于D，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解∶延长CA交 于P，连接 ，此时 最大，
由（1）知： ， ，
∴ ．
【12-2】（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，
两弧有且仅有一个公共点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得 ，由勾股定理得出
，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．
解：连接 ，根据题意可得 ，
∵矩形 ，∴ ， ，
在 中， ，
∴图中阴影部分的面积 ．
故选：D．
【12-3】（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图， 中， ，以 为
直径的半圆O交斜边 于点D，以点C为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E，则阴影部分面积
为 （结果保留π）．
【答案】 /
【分析】连接 ， ，运用勾股定理分别算出BC，CD，再结合
计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度
角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积．
解：如图，连接 ， ．
在 中， ， ，，
∴ ，则 ，
∵ 是直径，
∴ ，
，
∵O是 的中点，
∴ 是 的中线，
∴ ，
，
故答案为 ．
