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第 16 练 平面向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．若向量 =（1,2）， =（3,4），则 =
A．（4,6） B．(-4，-6) C．(-2，-2) D．(2,2)
【答案】A
【解析】
【详解】
.
2．如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么 能够表示为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意， ．
故选：B
3．已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设 ，
，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
4．在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C
5．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
6．已知向量 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【详解】
， ，
.
故选：A.
7．已知点 在函数 的图象上，点 的坐标是 ，那么 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵点 在函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ 点坐标为 ， ， ．
故选：D8．已知点 ， ，点 在函数 图象的对称轴上，若 ，则
点 的坐标是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】
由题意函数 图象的对称轴是 ，设 ，
因为 ，所以 ，解得 或
，所以 或 ，
故选：C．
二、多选题
9．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，
阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，
阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为
图乙中的正八边形 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】
由题意，分别以 所在的直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正八边形 ，所以
，
作 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得其余各点坐标， ， ， ， ， ，
对于A中， ，故A正确；对于B中， ，故B正确；
对于C中， ， ， ，
所以 ，故C正确；
对于D中， ， ， ，
，故D不正确.
故选：ABC.
10．已知向量 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．存在 ，使得
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．向量 与 夹角的余弦值范围是
【答案】AB
【详解】
解：对于A选项：若 ，则 ，
， ．故A正确；
对于B：若 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，由A可知， ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C选项：与 共线的单位向量为 ，故为 或 ，故C选项错误；对于D选项：设向量 与 夹角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故 ，故
D错误；
故选：AB．
11．设 是两个非零向量，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 在 方向上的投影向量为 D．
【答案】ABC
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以选项A正确；
因为 ，所以 ，即有 ，所以 ，所以选项B
正确；
因为 ，所以 在 方向上的投影向量为 ，所以选项C正确；
由向量数量积的定义可知， ，所以 ，所以选项
D错误.
故选：ABC.
12．已知向量 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】
，A正确； ，B正确；
，则 ，C
正确；，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．在边长为 的等边 中，已知 ，点 在线段 上，且
，则 ________.
【答案】
【详解】
因为 ，所以 ，又 ，
即 ，因为点 在线段 上，
所以 ， ， 三点共线，由平面向量三点共线定理得， ，即 ，
所以 ，又 是边长为 的等边三角形，
所以
，故 .
故答案为： .
14．已知 为单位向量，若 ，则 __________.
【答案】
【详解】
由 可得 ，则 ，
又 ，则 .
故答案为： .
15．已知向量 ，且 ，则实数 __________.
【答案】
【详解】
由题意得 ，因为 ，所以
，解得 .故答案为：
16．已知单位向量 ， 满足 ，则向量 的夹角为_________．
【答案】 ##
【详解】
由单位向量 ， 满足 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
四、解答题
17．已知向量 ， ，若 ，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）函数 定义域.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意得， ，
，即m的取值范围为 ；
（2）由题意知 ，即 ，
由（1）知 ，根据指数函数的单调性得： ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
18．如图，在梯形 中， .（1）用 ， 表示 ， ， ；
（2）若 ，且 ，求 的大小.
【答案】（1） ， ， ；（2） .
【解析】（1） ， ，
；
（2） ， ， .
，且 ，
，解得： ，
， .
