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第 4 章 整式的加减全章培优测试卷
【人教版2024】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
x y2
A．− 的系数是﹣5
5
B．单项式x的系数为1，次数为0
C．多项式a4﹣2a2b2+b4是四次三项式
D．﹣2 2xyz2的次数为6
【分析】π根据多项式的有关概念及单项式的有关概念逐一判断即可得．
x y2 1
【解答】解：A． − 的系数是− ，不是﹣5，此选项错误；
5 5
B．单项式x的系数为1，次数为1，不为0，此选项错误；
C．多项式a4﹣2a2b2+b4是四次三项式，此选项正确；
D．﹣2 2xyz2的次数为4，不为6，此选项错误；
故选：Cπ．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab﹣2ab＝ab B．6y2﹣2y2＝4
C．5a+a＝5a2 D．m2n﹣3mn2＝﹣2mn2
【分析】根据合并同类项运算法则逐个进行计算即可．
【解答】解：A、3ab﹣2ab＝ab，故A正确，符合题意；
B、6y2﹣2y2＝4y2，故B不正确，不符合题意；
C、5a+a＝6a，故C不正确，不符合题意；
D、m2n和3mn2不是同类项，不能合并，故D不正确，不符合题意；故选：A．
3．（3分）下列去括号中错误的是（ ）
A．a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a+b﹣c
B．5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+5
1 2
C．3a− (3a2−2a)=3a−a2+ a
3 3
D．a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2﹣b
【分析】根据去括号法则去括号，再判断即可．
【解答】解：A、a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a+b﹣c，正确，故本选项错误；
B、5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10，错误，故本选项正确；
1 2
C、3a− （3a2﹣2a）＝3a﹣a2+ a，正确，故本选项错误；
3 3
D、a3﹣[a2﹣（﹣b）]
＝a3﹣[a2+b]
＝a3﹣a2﹣b，正确，故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）已知2axbn+1与﹣3ab2m是同类项，则（2m﹣n）x的值为（ ）
A．2m﹣n B．0 C．1 D．2
【分析】根据同类项的定义可得x＝1，n+1＝2m，即x＝1，2m﹣n＝1，代入计算．
【解答】解：由同类项的定义可得，
x＝1，n+1＝2m，
即x＝1，2m﹣n＝1，
∴（2m﹣n）x＝11＝1，
故选：C．
5．（3分）如果M是四次多项式，N是三次多项式，那么M+N一定是（ ）
A．七次多项式
B．次数不高于四次的整式
C．四次的整式
D．四次多项式
【分析】根据合并同类项法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高即可得．
【解答】解：因为M是四次多项式，N是三次多项式，所以M+N中一定有四次项，结果有可能是多项
式，也有可能是单项式，如：若M＝x4﹣x3，N＝x3，则M+N＝x4，是单项式，次数为4，
若M＝x4，N＝x3，则M+N＝x4+x3，是四次多项式，
综上，M+N一定是四次的整式．
故选：C．
6．（3分）已知M＝4x2﹣3x﹣2，N＝6x2﹣3x+6，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．以上都有可能
【分析】首先计算M﹣N，求出差，再分析差的正负性．
【解答】解：∵M﹣N＝（4x2﹣3x﹣2）﹣（6x2﹣3x+6）
＝4x2﹣3x﹣2﹣6x2+3x﹣6
＝﹣2x2﹣8＜0，
所以M＜N．
故选：A．
7．（3分）已知m+n＝﹣2，mn＝﹣4，则整式2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16
【分析】将原式整理后将已知数值代入计算即可．
【解答】原式＝2mn﹣6m﹣6n+3mn
＝5mn﹣6（m+n）
＝﹣20+12
＝﹣8，
故选：B．
8．（3分）如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成
一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ）
A．（8a+b）厘米 B．（8b+a）厘米
C．（9a﹣b）厘米 D．（9b﹣a）厘米
【分析】画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到9个圆环的长度即可．
b−a
【解答】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：3a+ ×2＝b+2a，
2b−a
当圆环个数为9时，链长为9a+2× =（8a+b）（cm），
2
故答案选：A．
9．（3分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值
是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5…这样下去第2024次输出的
结果为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣8 D．﹣4
【分析】根据所给程序框图，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
当输入的值是20时，
第1次输出的结果为10；
第2次输出的结果为5；
第3次输出的结果为﹣2；
第4次输出的结果为﹣1；
第5次输出的结果为﹣8；
第6次输出的结果为﹣4；
第7次输出的结果为﹣2；
…，
由此可见，从第3次输出的结果开始按﹣2，﹣1，﹣8，﹣4循环出现，
因为（2024﹣2）÷4＝505余2，
所以第2024次输出的结果为﹣1．
故选：B．
10．（3分）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部
分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（ ）A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．大长方形
【分析】要求两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设 HI＝x，HN＝y，正
方形①的边长为 a，正方形②的边长为 b，正方形③的边长为 c．进而推断出 C 六边形PIGRSD ＝
PI+IG+GR+RS+DS+PD＝2a﹣2y+4b﹣2x以及C四边形OBEN ＝ON+OB+BE+NE＝2a﹣2x+2b﹣2y，那么，两
个阴影部分的周长之差为2b，所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两
个阴影部分的周长．
【解答】解：如图，
设HI＝x，HN＝y，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c，
∴ON＝a﹣x，NE＝b﹣y，PD＝c+b﹣x，PI＝a﹣y，IG＝b﹣x，GR＝b﹣c，RS＝c，DS＝a+b﹣y﹣c，
∴C六边形PIGRSD ＝PI+IG+GR+RS+DS+PD＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣y﹣c+b+c﹣x＝2a﹣2y+4b﹣2x，
C四边形OBEN ＝ON+OB+BE+NE＝a﹣x+b﹣y+a﹣x+b﹣y＝2a﹣2x+2b﹣2y，
∴C六边形PIGRSD ﹣C四边形OBEN ＝2b，
∴只要知道正方形②的边长b，就可以求出两个阴影部分周长的差．
∴只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
5 7
11．（3分）若单项式 ax2yn+1与− axmy4的差仍是单项式，则m﹣2n＝ ﹣ 4 ．
7 5
5 7
【分析】根据单项式 ax2yn+1与− axmy4的差，可以得到m＝2，n+1＝4，然后代入所求式子计算
7 5
即可．5 7
【解答】解：∵单项式 ax2yn+1与− axmy4的差仍是单项式，
7 5
∴m＝2，n+1＝4，
解得m＝2，n＝3，
∴m﹣2n＝2﹣2×3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．（3分）当k＝ 3 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项．
【分析】不含有xy项，说明整理后其xy项的系数为0．
【解答】解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy，
∴k﹣3＝0，k＝3．
故答案为：3．
13．（3分）已知a﹣b＝3，c+d＝2，则（a+c）﹣（b﹣d）的值为 5 ．
【分析】直接去括号进而将原式变形，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（a+c）﹣（b﹣d）
＝a+c﹣b+d
＝（a﹣b）+（c+d），
∵a﹣b＝3，c+d＝2，
∴原式＝3+2
＝5．
故答案为：5．
2 4 8 16 32
14．（3分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：− ， ，− ， ，− ，…，小亮猜测出第六个
5 7 11 19 35
数是64，根据此规律，第n（n为正整数）个数是 (−2) n ．
67 2n+3
【分析】观察数据分数的绝对值的分子是（﹣2）n，分母为2n+3，进而得出答案即可．
2 4 8 16 32
【解答】解：∵− ， ，− ， ，− ，…，
5 7 11 19 35
∴第n（n为正整数）个数是(−2) n
2n+3故答案为：(−2) n ．．
2n+3
15．（3分）已知有理数a和有理数b满足多项式A，A＝（a﹣1）x3+x|b+2|﹣x2+bx﹣a是关于x的二次三项
式，则a+b＝ ﹣ 2 ．
【分析】根据多项式的定义解决此题．
【解答】解：∵A＝（a﹣1）x3+x|b+2|﹣x2+bx﹣a是关于x的二次三项式，
∴x3的系数为0，即a﹣1＝0，
∴a＝1，
当a＝1时，A＝x|b+2|﹣x2+bx﹣1，
若|b+2|＝2，则A＝bx﹣1，不符合题意，
∴|b+2|＝1，即b+2＝±1，
∴b＝﹣1或b＝﹣3，
当b＝﹣1时，A＝x﹣x2﹣x﹣1＝﹣x2﹣1，不符合题意，
当b＝﹣3时，A＝x﹣x2﹣3x﹣1＝﹣x2﹣2x﹣1，符合题意，
综上，a＝1，b＝﹣3．
∴a+b＝1+（﹣3）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3
个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则M﹣N＝ ﹣ 2 x 2 + 4 x ．（用含有x的
代数式表示）
M x2﹣x﹣1
x
x2﹣x x﹣1 N
【分析】先设最中间的代数式为P，然后根据题意，即可用含x的代数式表示出P，M，N，从而可以计
算出M﹣N．
【解答】解：设最中间的代数式为P，
由题意可得，（x2﹣x）+（x﹣1）+N＝（x2﹣x）+P+（x2﹣x﹣1），
∴P＝﹣x2+2x+N，
∴第一列中间的代数式为：（x2﹣x）+（x﹣1）+N﹣（x﹣x2+2x+N）＝2x2﹣3x﹣1，
∵第一列的三个数之和＝第三行的三个数之和，∴M+（2x2﹣3x﹣1）+（x2﹣x）＝（x2﹣x）+（x﹣1）+N，
化简，得：M﹣N＝﹣2x2+4x，
故答案为：﹣2x2+4x．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）合并同类项：
（1）3x﹣2y+5x﹣y；
（2）0.8a2b﹣6ab﹣3.2a2b+5ab+a2b．
【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果；
（2）原式合并同类项即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝（3x+5x）+（﹣2y﹣y）
＝8x﹣3y；
（2）原式＝（0.8a2b﹣3.2a2b+a2b）+（﹣6ab+5ab）
＝﹣1.4a2b﹣ab．
3 4
18．（6分）已知整式A＝x2﹣2x+2，B=− x2+2x− ，当x＝﹣3时，求：2A﹣11B﹣（A+B）的值．
4 3
【分析】利用整式的加减的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
3 4
【解答】解：∵A＝x2﹣2x+2，B=− x2+2x− ，
4 3
∴2A﹣11B﹣（A+B）
＝2A﹣11B﹣A﹣B
＝A﹣12B
3 4
＝x2﹣2x+2﹣12（− x2+2x− ）
4 3
＝x2﹣2x+2+9x2﹣24x+16
＝10x2﹣26x+18，
当x＝﹣3时，
原式＝10×（﹣3）2﹣26×（﹣3）+18
＝10×9﹣26×（﹣3）+18
＝90+78+18
＝186．
19．（6分）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）求A﹣2B；（2）当x取何值时，A﹣2B的值与y的取值无关．
【分析】（1）将A、B代入，然后去括号、合并同类项求解；
（2）与x的取值无关说明x的系数为0，据此求出y的值．
【解答】解：（1）A﹣2B＝2x2+3xy+2y﹣2（x2﹣xy+x）
＝2x2+3xy+2y﹣2x2+2xy﹣2x
＝5xy+2y﹣2x；
（2）5xy+2y﹣2x＝（5x+2）y﹣2x，
∵A﹣2B的值与y的取值无关，
∴5x+2＝0
2
解得：x=− ．
5
20．（8分）阅读材料：
我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2
（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思
想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是 ﹣（ a ﹣ b ） 2
；
（2）若x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣23的值；
（3）若a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【分析】（1）把（a﹣b）2看作是整体，再合并同类项的法则计算；
（2）把3x2﹣6y﹣23化为3（x2﹣2y）﹣23，再把x2﹣2y＝4整体代入计算；
（3）先去括号合并同类项可得化简结果a﹣d，再结合条件计算可得答案．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2
＝（3﹣6+2）（a﹣b）2
＝﹣（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝4，
∴3x2﹣6y﹣23
＝3（x2﹣2y）﹣23
＝3×4﹣23
＝﹣11；（3）（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）
＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c
＝a﹣d，
∵a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，
∴（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）＝3+（﹣5）+10，
∴a﹣2b+2b﹣c+c﹣d＝8，
∴a﹣d＝8，
即（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）＝8．
21．（8分）如图，谢尔宾斯基三角形是一种无限分形结构，最早由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915年提
出，它是把一个等边三角形分别连接其三边中点，构成4个小等边三角形，挖去中间的一个小等边三角
形（如图2），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图 3，图4，图
5）观察规律解答以下各题：
（1）填写下表：
图形序号 图2 图3 图4 图5
挖去三角形的个 1 4 13 4 0
数
3
（2）若图1中的阴影三角形面积为1，则图2中的所有阴影三角形的面积之和为 ，图3中的所有
4
9
阴影三角形的面积之和为 ．
16
（3）在（2）的条件下，求图5中的所有阴影三角形的面积之和．
【分析】（1）根据给出的图形数出个数，得出答案即可；
1
（2）根据每次挖去等边三角形的面积的 ，列式求出结果即可；
4
1 3
（3）根据题意，每次挖去等边三角形的面积的 ，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的 ，然
4 4
后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】（1）解：根据题意可知：图2中挖去1个三角形，图3中挖去4个三角形，
图4中挖去13个三角形，
图5中挖去13×3+1＝40个三角形；
图形序号 图2 图3 图4 图5
挖去三角形的个 1 4 13 40
数
故答案为：40；
1 3
（2）图2阴影的面积=1− = ，
4 4
3 3 3 2 9
图3阴影的面积= × =( ) = ，
4 4 4 16
3 9
故答案为： ， ；
4 16
1 3
（3）图2阴影的面积=1− = ，
4 4
3 3 3 2 9
图3阴影的面积= × =( ) = ，
4 4 4 16
3 3 2 3 3
图4阴影的面积= ×( ) =( ) ，
4 4 4
3 3 3 3 4 81
图5阴影的面积= ×( ) =( ) = ．
4 4 4 256
22．（8分）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500
元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 53 0 元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 0. 9 x 元，当x
大于或等于500元时，他实际付款 （ 0. 8 x +5 0 ） 元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数
式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的100按8折付款即可；
（2）等量关系为：购物款×9折；500×9折+超过500的购物款×8折；（3）两次购物王老师实际付款＝第一次购物款×9折+500×9折+（总购物款﹣第一次购物款﹣第二次购
物款500）×8折，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8＝530；
（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8＝0.8x+50；
（3）0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450＝0.1a+706．
23．（10分）观察等式：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ．
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
将以上三个等式两边分别相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1
（1）猜想并写出： = − ；
n×(n+1) n n+1
（2）直接写出下式的计算结果：
1 1 1 1 2023
+ + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 2023×2024 2024
（3）探究并计算：（写出具体过程）
1 1 1 1
①计算 + + +⋯+ 的值；
1×3 3×5 5×7 2023×2025
5 7 9 11 199
②计算 − + − +⋯− 的值．
6 12 20 30 9900
【分析】（1）根据题中所给等式，发现各部分变化的规律即可解决问题；
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题；
1 1 1 1 1 1 1
（3）①将 改写为 ×（1− ）， 改写为 ×（ − ），…，再结合（1）中发现的规律即
1×3 2 3 3×5 2 3 5
可解决问题；
5 3+2 7 4+3
②将 改写为 ， 改写为 ，…，据此可解决问题．
6 2×3 12 3×4
1 1 1
【解答】解：（1） = − ．
n(n+1) n n+1
1 1
故答案为： − ；
n n+1
1 1 1 1
（2） + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2023×2024
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2023 20241
＝1−
2024
2023
= ．
2024
2023
故答案为： ；
2024
1 1 1 1
（3）① + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 2023×2025
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − +⋯+ − ）
2 3 3 5 5 7 2023 2025
1 1
= ×（1− ）
2 2025
1 2024
= ×
2 2025
1012
= ；
2025
5 7 9 11 199
② − + − +⋯−
6 12 20 30 9900
3+2 4+3 5+4 6+5 100+99
= − + − +⋯−
2×3 3×4 4×5 5×6 99×100
3 2 4 3 5 4 100 99
= + − − + + −⋯− −
2×3 2×3 3×4 3×4 4×5 4×5 99×100 99×100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + − − + + −...+ + − −
2 3 3 4 4 5 98 99 99 100
1 1
= −
2 100
．
