文档内容
专题5.14 平行线的性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】两直线平行的判定方法1
判定方法1：同位角相等，两直线平行.
如图1，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
图1
【知识点二】两直线平行的判定方法2
判定方法2：内错角相等，两直线平行.
如图2，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
图2
【知识点三】两直线平行的判定方法3
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.
如图3，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3
特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【考点目录】
【平行线性质求角的等量关系】
【考点1】同位角相等两直线平行； 【考点2】内错角相等两直线平行；
【考点3】同旁内角互补两直线平行；
【平行线性质探究角的关系】
【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；
【平行线性质性质与判定综合】
【考点5】平行线判定与性质求角度； 【考点6】平行线判定与性质证明;
【平行线间的距离】
【考点7】平行线间的距离（应用）.
【平行线性质求角的等量关系】
【考点1】同位角相等两直线平行
【例1】（2021下·七年级课时练习）如图， ， ， ，求 的度数．
（1）请完成下列书写过程．
（已知）
又 （已知）
（2）若在平面内取一点 ，作射线 ， ，则 ．【答案】（1）∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；（2）40°或
140°
【分析】（1）根据平行线的性质填写空格即可；
（2）根据题意，可使得作出的 与 相等或互补即可．
解：（1） （已知），
（两直线平行，同位角相等），
又 （已知），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等，∠D，40°，两直线平行，同位角相等；
（2）若在平面内取一点 ，作射线 ， ，则 40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点拨】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质，熟悉证明类问题的书写形式是解题关键．
【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，直线 ，分别与直线l交于点A，B，
把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据 ，即可得到 ，再根据 ，即可得出答案．
解：如图，，
，
又 ，
，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相
等．
【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，将一把直尺和一块含 角的三角板 按如图所
示的位置放置，如果 ，那么 的度数为 ．
【答案】 /14度
【分析】由题意可确定 ， ，再根据平行线的性质得 ，然后根
据角的关系即可解答．
解：由题意可知 ，
，
由含 角的三角板的特点可知： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查平行线的性质，含 角的三角板中的角度计算，掌握平行线性质是解题关键．
【考点2】内错角相等两直线平行
【例2】（2013下·八年级课时练习）如图，已知∠B＝∠C，AD//BC．求证：AD是∠CAE的平分线．
【答案】证明见分析
【分析】由平行的性质可得∠2＝∠B，∠1＝∠C，再结合∠B＝∠C，即可得∠2＝∠1，从而得证．
解：∵AD BC，
∴∠1＝∠C，∠2＝∠B，
∵∠B＝∠C，
∴∠1＝∠2，
∴AD是∠CAE的平分线．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等．
【变式1】（2023下·全国·七年级专题练习）如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若 ，
则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先标注图形，根据“两直线平行，内错角相等”得 ，再根据折叠的性质得 ，
最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案.
解：如图，∵ ，
∴ .
由折叠可得， .
∵ ，∴ .
故选：A．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等，灵活选择平行线的性质定理是解题的关键．
【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）将一个三角尺 按如图所示的位置摆放，直线
，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /50度
【分析】根据三角形的外角定理求出 的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等
于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等．
【考点3】同旁内角互补两直线平行
【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿 折叠得到
图2．（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，则 的度数为_______（直接写出结果）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先根据平行线的性质得出 ， ，求出 的度数，
最后根据 进行计算即可得到答案；
（2）先根据平行线的性质得出 ， ，求出 的度数，最后根
据 进行计算即可得到答案．
（1）解：如图1，
，
，
，
如图2，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，，
，
，
如图2，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内
角互补，是解题的关键．
【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）如图， ， =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过C点作直线 ，根据平行线的性质可得 ， ，
然后再计算 即可.解：
如图，过C点作直线 ，
，
，
， ，
，
即 .
故选：B
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，将一块含 的直角三角尺 按如图所示
的方式放置，其中点 ， 分别在直线 ， 上，若 ， ，则 °．
【答案】40
【分析】由题意可得 ， ，则有 ，由平行线的性质可求得
，即可求 ．
解：如图，
由题意得： ， ，，
，
∵ ，
，
．
故答案为：40．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
【平行线性质探究角的关系】
【考点4】平行线判探究角的关系或求角度
【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线 ，点M、N分别在直线 、直
线 上，点E为平面内一点，
（1）如图1，请写出 ， ， 之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若 ， 平分 ， 平分 ，
，求 的度数；
（3）如图3，点G为 上一点， ， ， 交 于点H，
， ， 之间的数量关系（用含m的式子表示）是 ．
【答案】（1） ，证明见分析；（2） ；（3）
．
【分析】（1）过点E作 ，根据平行线的性质进行证明即可；
（2）利用 平分 ， 平分 ，可得 ，再根据，进行等量代换进行计算即可；
（3）由已知条件可得 ，
，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．
解：（1） ，
证明如下：如图1所示，过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ．
（3） ．证明如下：
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果 ，那么角α，β，γ之间的关系
式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】过点E作 ，再根据平行线的性质得出 ， ，求解即可．
解：过点E作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 分别在直线 、
上， ， ，则 与 的数量关系 ．
【答案】【分析】过点 作 ，根据平行线的性质与已知条件得出 ， ，根据
，即可得出结论．
解：如图，过点 作 ，则 ，
， ，
，
,
即
∴ ；即 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【平行线性质性质与判定综合】
【考点5】平行线判定与性质求角度
【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图所示，有两艘油轮在海面上，油轮 在油
轮 的正东方向，并且在 、 两处分别测得小岛 在北偏东 和北偏西 的方向，那么在 处测得
、 的张角 的度数为多少？【答案】
【分析】本题考查了方位角的计算，平行线的性质与判定；过点P作 于点C，根据平行线
的性质即可求解．
解：如图，过点P作 于点C，
，
，
， ，
， ，
， ，
．
【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图， 为等边三角形， ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作 ，可得 ，用平行线性质求解即可．
解：过点B作 ，如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
【变式2】（2020上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图， ， ，
，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】过C作 ，结合 可得 ， ，结合 ，
即可得到答案；
解：过C作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；【点拨】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．
【考点6】平行线判定与性质证明
【例6】（2023下·七年级课时练习）成下面推理过程，并在括号内填上依据．
已知：如图， ， ， ．
求证： ．
证明： ， （已知），
．
________（________________________）．
（________________）．
又 （已知），
________（________________________）．
（________________________）．
又 ，
（________________）．
【答案】 ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ；同位角相等，两直线平行；
两直线平行，内错角相等；等量代换
【解析】略
【变式1】（2018上·全国·七年级统考期末）如图，如果 ， ，则下列结论正确的个
数为（ ）
（1） ；（2） ；（3） 平分
（4） （5）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由平行线的性质得出内错角相等，同位角相等，得出（2）正确；再由已知条件证出，得出，
得（1）正确；由平行线的性质得出（5）正确，即可得出结果．
解： ，
， ，故（2）正确；
，
，
，故（1）正确；
，故（5）正确；
，而 与 不一定互余，
与 不一定互余，故（4）错误；
，而 与 不一定相等，
与 不一定相等，故（3）错误；
正确的个数有3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决
问题的关键．
【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）一副三角板按如图所示（共顶点 ）叠放在一起，
若固定三角板 （其中 点位置始终不变），当 时， ．
【答案】 或【分析】分情况讨论：① ；② ，利用平行线的性质即可解答．
解：由题意得 ，
①如图，
当 时，可得 ；
②如图，
当 时，可得 ，
则 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了平行线的判定，分情况讨论：① ；② 是解
题的关键．
【平行线间的距离】
【考点7】平行线间的距离（应用）
【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线 ， 与 ， 分别交于点 ，
，且 ， 交直线 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求直线 与 的距离．【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由直线 ，根据平行线的性质得出 ，再由 ，根据垂直的定义
即可得到结果；
（2）过 作 于 ，根据 ，即可求解．
解：（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如图，过 作 于 ，则 的长即为直线 与 的距离
∵ ， ，
是直角三角形
∵
∴
∴直线 与 的距离
【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点
到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图， ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为 ， ， 上的动点，连接AB、AC、BC，AC与 交于点D， ，则BD的最
小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题
意求解即可．
解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD= AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．
【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）如图， ， 是线段 上任意一点，
与 相交于点 ，若 的面积是5， 的面积是1，则 的面积是 ．
【答案】4
【分析】由AD∥BC，S 与S 均以BC为底，且高相等，则得到S =S =5，再利用S = S -
CBE ABC CBE ABC BOC CBE
△ △ △ △ △ △
S 得到结论．
EOC
△
解：∵AD∥BC，
∴S 与S 均以BC为底，且高相等.
CBE ABC
△ △
∴S =S =5，
CBE ABC
△ △∵S =1，
EOC
△
∴S = S - S =5-1=4，
BOC CBE EOC
△ △ △
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
