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专题6.9 实数（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．2 B． C．0 D．
2．（2023下·山东临沂·七年级统考期末）下列实数中，比3大的有理数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽宿州·八年级统考阶段练习）若a，b分别是 的整数部分和小数部分，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·江苏盐城·七年级校考阶段练习）面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪
个范围内（ ）
A． B． C． D．
5．（2021下·四川凉山·八年级校考期中）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角
相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2022上·河北保定·八年级校考期末）下图是嘉嘉的试卷，答对1题得5分，答错或者不答不得
分，则嘉嘉的得分是（ ）．
姓名：嘉嘉 得分：________
判断正误（每小题5分，共25分）
①实数与数轴上的点一一对应；（√）
②9的算术平方根是3；（×）
③ ；（×）
④1是1的平方根；（√）
⑤用四舍五入法把数1.538精确到0.01所得的近似数是1.54（√）
A．15分 B．20分 C．25分 D．10分
7．（2023下·广东东莞·七年级统考期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即 ，在数轴（如题图2）上最接近 的点是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，
则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）如果函数满足关系式
，并且要求 表示当 时 的值，即 ，那么
的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）如图所示为一金字塔运算程序，其中箭头为数字的移
动方向，字母表示限制条件，序号为运算方式，已知 ： ；①： ； ： ；②： ；
： ；③： ； ： ；④： ； ： ； ： ，若某层中的数字达到限
制条件，就可以通过相应的运算方式进入新一层，安安将输入的数字定为2，则最后输出的结果为(
)A． B． C． D．无法得到
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2018下·七年级课时练习）3－ 的相反数是 ．
12．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）计算： ．
13．（2024上·江苏泰州·八年级统考期末）已知 是 的整数部分， 是它的小数部分，则
的值为 ．
14．（2024·全国·八年级竞赛）计算： ．
15．（2023上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在如图所示的数轴上，点 与点
关于点 对称，A，B两点对应的实数分别是 和1，则点 所对应的实数是 ．
16．（2021上·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）在
中，有理数有m个，自然数有n个，整数有p个，分数有k个，负数有t个，则m－n－k+t+p=
．
17．（2023下·北京怀柔·七年级校考阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，
则最后输出的结果是 ．18．（2023上·福建漳州·八年级统考期中）将 、 、 、 ……按如图方式排列．若规定
表示第x排从左向右第y个数，若 在 ，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·江苏盐城·八年级统考期末）
（1）计算： ； （2）求式中x的值： ．
20．（8分）（2024上·河北唐山·八年级统考期末）如图，数轴上有 、 、 三点，表示1和
的对应点分别为 、 ，点 到点 的距离与点 到原点 的距离相等，设 、 、 三点表示的
三个数之和为 ．
(1)求 的长；
(2)求 ；
(3)点 在点 的左侧，且 ，若以点 为原点，直接写出点 表示的数．21．（10分）（2024上·江西抚州·八年级统考期末）已知 的立方根是3， 的算术平
方根是4，c是 的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
22．（10分）（2023上·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长为1，阴影部分
是一个正方形．
(1)图中阴影正方形的面积是________，边长是________．
(2)已知x为阴影正方形的边长的小数部分，y为 的整数部分．求：
①x，y的值；
② 的相反数．
23．（10分）（2020上·江苏苏州·八年级阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通
过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，
学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值．
解：由题意得 ，
∵a，b都是有理数，∴ 也是有理数，
∵ 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值．
24．（12分）
（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）观察下列各式：
第一个式子： ；
第二个式子： ；
第三个式子： ；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求 ＋…＋ 的值．参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：① 以
及含的式子（例 ）、带根号且开不尽方的数（例 ）、无限不循环小数 （例（每两个1
之间0的个数增加1））．
根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 2是有理数，不符合题意；
B. 是无理数，符合题意；
C. 0是有理数，不符合题意；
D. 是有理数，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】根据无理数的概念判断， ， 是无理数，再比较大小即可．
【详解】解：∵ ，而 ， 是有理数， ， 是无理数，
∴比3大的有理数是 ；
故选：D．
【点睛】本题考查的是有理数与无理数的识别，实数的大小比较，熟记无理数的概念是解本题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了与无理数整数部分，小数部分有关的计算．
先估算出 ，进而得到 ，由此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分 ，小数部分 ，∴ ．
故选：B
4．B
【分析】根据题意可得 ，从而可得 ，然后估算出 的值的范围，即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
∴ （负值舍去），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴a的值在 范围内．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
5．B
【分析】根据题意，分别写出各个命题的逆命题，即可判断．
【详解】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，则这两个数相等，不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假、逆命题的概念，熟练掌握平行线的性质，实数的性质，对顶角的定义
是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根与算术平方根、近似数等知识点，运用以上知识点逐个判断
嘉嘉是否答对，从而确定答对题数，最后求出成绩；掌握平方根和算术平方根的区别是解题的关键．
【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；说法正确，嘉嘉答对；
②9的算术平方根是3；说法正确，嘉嘉答错；③ ；说法错误，嘉嘉答对；
④1是1的平方根；说法正确，嘉嘉答对；
⑤用四舍五入法把数1.538精确到0.01所得的近似数是1.54，说法正确，嘉嘉答对；
所以嘉嘉答对了4题，得分20分．
故选B．
7．C
【分析】先估算出 的取值范围，然后再进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
而点 对应的数在0和1之间，
所以，最接近 的点是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，确定 是解答本题的关键．
8．C
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无数的估算，由大正方形的面积可求大正方形的边长为 ，用
逐步逼近法可估算 ，由 即可求解；掌握估算方法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
大正方形的面积为 ，
大正方形的边长为 ，
，
，更接近于 ，
故选：C．
9．C
【分析】根据 ， ，⋯， ，代入求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
⋯，
，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，理解题意得出 ， ，⋯，是解题的关键．
10．D
【分析】根据题意，进行计算即可求解．
【详解】解：输入是数字是 ，符合条件 ： ，进入第二层，
由① 得，则 ，符合条件 ： ，进入第三层，
由② 得， ，符合条件 ： ，回到第一层，
第二次输入的数字是 ，符合条件 ： ，进入第二层，
则 ，符合条件 ： ，进入第三层
由② 得， ，符合条件 ： ，返回第二层，
由③ 得， ， ，进入第三层
由② 得， ，符合条件 ： ，返回第二层，
由③ 得， ， ，进入第三层
由② 得， ，符合条件 ： ，返回第二层，
由③ 得， ， ，进入第三层
……
观察发现，数字越来越大，在第二、三层循环，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的混合运算与程序设计，根据题意列出算式进行计算是解题的关键．
11． -3
【分析】先判断出 是负数，再根据绝对值的性质解答．【详解】 ，
.
故答案为 .
【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质，判断出 是负数是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先求出立方根，再计算加减即可，熟练掌握实数的混合运算法则是
解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，利用完全平方数和算术平
方根估算无理数的大小，是解答本题的关键．
根据题意，得到 ，进而得到 ， ，代入 中，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
，
的整数部分 ，小数部分 ，
，
故答案为： ．
14． /
【分析】本题考查了实数的混合运算，先逐项化简再算加减即可．
【详解】解：原式 ．15． /
【分析】本题考查了实数及数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键.设点
C所对应的实数是x.根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可.
【详解】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得
，解得 ，
故答案为： .
16．12
【分析】根据实数分类，分别求出 、 、 、 的值是多少，再应用代入法求值即可．
【详解】由题意可得 有理数8个，即 ，自然数2个，即 ，分数3个，即 ，整数5个，即
，负数有4个，即
故 ．
【点睛】本题主要考查有理数的分类，以及有理数的乘方，有理数的减法的运算方法，熟练掌握实数的定
义和分类是解答此题的关键．
17． /
【分析】将开始输入的值 代入计算，知道所得计算结果大于9时输出即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
输入 ，则 ，
输入 ，则 ，
输入 ，则 ，
故输出 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．27
【分析】观察式子，得到如下规律，第 排的个数为 个，前 排的总数为 个，奇数排是从左到右
依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可．
【详解】解：观察式子可得，
第1排的个数为 ，前1排的总数为 ，
第2排的个数为 ，前2排的总数为 ，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为 ，前3排的总数为 ，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为 ，前4排的总数为 ，从右到左依次增大排列，
……
第 排的个数为 个，前 排的总数为 个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依
次增大排列，
因为 ， ，
所以 是在第45排，即 ，
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为 ，所以 ，
将 ， 代入 得
故答案为：27．
【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，
正确找出数字的规律．
19．（1）6；（2） ，
【分析】本题考查了实数的混合运算和利用平方根解方程，
（1）先计算二次根式、立方根和负整数指数幂，再进行加减运算即可；
（2）先将原方程整理成 ，再直接求解即可；
熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
【详解】（1）原式；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， .
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查数轴上的点，实数的计算．
（1）根据题意列出 的算式即为本题答案；
（2）根据题意先计算出 表示的数，即可计算本题答案 ；
（3）根据题意先表示出点 的点，即可得到 表示的数．
【详解】（1）解：∵1和 的对应点分别为 、 ，
∴ ；
（2）解：∵点 到点 的距离与点 到原点 的距离相等，
∴ ，
∵点 在原点左侧，
∴点 表示的数为： ，
∵设 、 、 三点表示的三个数之和为 ，
∴ ；
（3）解：∵点 在点 的左侧，且 ，∴点 表示的数是 ，
∵以点 为原点，
∴即点 加上 ，
∵由（2）知点 表示的数是 ，
∴点 表示的数为 ，
综上所述点 表示的数为 ．
21．(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值；
（2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】（1）解： 的立方根是3，
，解得 ，
的算术平方根是4，
．把 代入可得 ，
是 的整数部分，
；
．
（2）解：把 代入 得：
，
的平方根是 ．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等
知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．
22．(1)13，
(2)① ，y=3；② 的相反数为【分析】本题主要考查了估算无理数的大小、算术平方根、相反数等知识点，熟练掌握估算无理数的大小
是解题的关键．
（1）根据题意可得阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小三角形的面积，再根据算术平方根的定
义即可解答；
（2）①根据估算无理数大小估计可得： 、 ，再结合题意即可得出 和 的值；
②代入计算并根据相反数的定义即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得： ，
则阴影部分正方形的边长为： ．
故答案为：13， ．
（2）解：①∵ 、 ，
， ，
， ；
②∵ ，
∴ 的相反数为 ．
23．8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵ ，
∴（x2-2y-8）+（y-4） =0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求
式子的值．
24．(1)
(2) （n为正整数）
(3)
【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是：
（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
（2）利用（1）中的发现即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论即可解决问题．
【详解】（1）解：观察题中所给式子可知，
第四个式子为： ．
故答案为： ．
（2）由（1）中的发现可知，
第 个式子为： ．
故答案为： 为正整数）．
（3）原式
．
