文档内容
一、单选题
1．小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，
那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（ ）
A． B． C． D．选择哪块都行
2．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是
（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
3．如图，已知 ，要说明 ，还需从下列条件① ，② ，③
，④ 中选一个，则正确的选法个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论不正确的结论是（ ）
A．CD=DN； B．∠1=∠2； C．BE=CF； D． ACN≌△ABM．
△
5．如图， ， ， ， ，垂足分别是点 、 ， ， ，则
的长是（ ）A． B．2 C．4 D．6
6．两个三角形有以下元素对应相等，则不能确定全等的是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSA; D．SSS
7．如图，过正方形 的顶点 作直线 ，点 、 到直线 的距离分别为 和 ，则 的长为( )
A． B． C． D．
8．如图，点E，点F在直线AC上，DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是
（ ）
A．∠B＝∠D B．AD＝CB C．AE＝CF D．∠A＝∠C
9．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F.若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，则(
)
A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
则下列结论中错误的是（ ）A．AE＝BE B．DE⊥CE C．CD＝AD+BC D．CD＝AD+CE
二、填空题
11．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=_______．
12．如图，BE⊥AC，垂足为D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝54°，则∠E＝________°.
13．如图，在 ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE= ______ ．
△
14．如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，若BC＝AE＝4，DE＝7，则EC＝_____．
15．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件______，使得
ABC≌△DEF．
△
16．如下图，已知S =12，AD平分 BAC，且AD BD于点D，则S 的值是_______________
ABC ADC
△ △
∠ ⊥三、解答题
17．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
18．如图，点 、 、 、 在同一直线上，点 和点 分别直线 的两侧，且 ， ，
，求证：
19．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
20．如图，点E，H，G，N在一条直线上，∠F=∠M，EH=GN，MH∥FG．求证： EFG≌△NMH．
△
21．如图，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC．
(1)如图 1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE 平分∠DAB；
(2)如图 2，若 DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．22．如图所示，在 ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
(1)求证: ABD≌△△CFD；
(2)已知B△C=7，AD=5，求AF的长．
23．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D 是 AC 边上一动点， CE⊥BD 于 E．
(1)如图（1），若 BD 平分∠ABC 时，①求∠ECD 的度数；②求证：BD＝2EC；
(2)如图（2），过点 A 作 AF⊥BE 于点 F，猜想线段 BE，CE，AF 之间的数量关系并证明你的猜想．
24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：
（1）当直线l绕点A旋转到如图1位置时，试说明：DE=BD+CE．
（2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE=BD﹣CE．
（3）若直线l绕点A旋转到如图3位置时，试问：BD与DE，CE具有怎样的等量关系？请写出结果，不必证明．
25．如图，在 ， ， ，分别过 、 作直线 的垂线，垂足分别为 、 ．
A B l M N求证： ；
≌
若 ， ，求 的长．
AB参考答案
1．C
【解析】
【分析】
本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
A块和B块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
C块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．则应带C去．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定的应用，这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学
的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
2．D
【解析】
【分析】
利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CED全等，即可解答．
【详解】
∵∠B＝∠E＝90°，
∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，
∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，故D错误；
∴∠A＝∠2，故B正确；
∴∠A+∠D＝90°，故A正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的
条件∠A＝∠2是解题的关键．
3．C
【解析】【分析】
欲使△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD公共，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证
明即可.
【详解】
解：∵∠1=∠2，AD公共，
①如添加∠ADB=∠ADC，利用ASA即可证明△ABD≌△ACD；
②如添加∠B=∠C，利用AAS即可证明△ABD≌△ACD；
③如添加DB=DC，因为SSA，不能证明△ABD≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
④如添加AB=AC，利用SAS即可证明△ABD≌△ACD；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判
定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，
必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
4．A
【解析】
【分析】
利用“角角边”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAF，然后求出∠1=∠2，全
等三角形对应边相等可得BE=CF，AB=AC，再利用“角边角”证明△ACN和△ABM全等．
【详解】
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AB=AC，故C选项结论正确；
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
即∠1=∠2，故B选项结论正确；
在 ACN和 ABM中，
△ △
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故D选项结论正确；CD与DN的大小无法确定，故A选项结论错误．
故选A．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的
关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出 CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
【详解】 △
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在 CEB和 ADC中，
△ △
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选B．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
6．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】
∵全等三角形的判定定理有：SAS，AAS及SSS，
∴不存在SSA．
故选C．
【点睛】考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF=4，在Rt△ABE中利用勾股定理可得AB=5，由此可得AC长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠ABC=90°．
∵∠ABE+∠EAB=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF．
又∠AEB=∠CFB=90°，
∴△ABE≌BCF（AAS）．
∴BE=CF=4．
在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB= ＝ =5．
则AC= AB=5 ．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是通过全等转化线段使其
划归于一直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．
8．B
【解析】
【分析】
在 ADF与 CBE中，DF=BE，∠AFD=∠CEB，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．
【△详解】 △
解：A、添加∠B=∠D，由全等三角形的判定定理ASA可以判定 ADF≌△CBE；
B、添加AD=CB， SSA不能判定 ADF≌△CBE； △
C、添加AE=CF，可以得到AF=CE△，由全等三角形的判定定理SAS可以判定 ADF≌△CBE；
D、添加∠A=∠C，由全等三角形的判定定理AAS可以判定 ADF≌△CBE；△
故选：B． △
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角
必须是两边的夹角.
9．D
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定，根据图形，猜想全等三角形，即△ABC≌△ADE，根据条件证明三角形全等．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠E＝∠C，AE＝AC，
∴△ABC≌△ADE．
故选D．
10．D
【解析】
【分析】
根据直角梯形、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质进行分析、 判断,可得正确的选择.
【详解】
解:B, AD//BC, ∠ADC+∠BCD=180,
ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,
∠EDC= ∠ADC, ∠DCE= ∠DCB,
∠EDC+∠DCE= 180 =90 ,
∠DEC=180 -90 =90 ,
故B选项不符合题意；
A、C选项,延长DE交CB的延长线于点F.
AD//BC, DE是∠ADC的角平分线,
∠CDF=∠ADE=∠DFC ,
CD=CF,△CDF 是等腰三角形;
又由前面得DE⊥EC,
DE=FE,
又 ∠AED=∠BEF,
△BEF≌△AED,
AE=EB,
故A选项不符合题意；
AD=BF,又 CD=CF，
CD=CF=BC+BF=AD+BC,
故C选项不符合题意,
无法得出D选项，
故本题答案：D
【点睛】
本题考查了角平分线性质,平行线性质,及三角形全等的判定与性质,考查学生综合运用性质进行推理的能力.
11．3
【解析】
∵AB//CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌ CFE，
∴AD=CF=5， △
∵AB=8，∴BD=AB-AD=8-5=3，
故答案为3.
12．27
【解析】
∵BE⊥AC，AD=CD，
∴AB=CB，即△ABC为等腰三角形，
∴BD平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE= ∠ABC=27°，
在△ABD和△CED中，
,
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E=∠ABE=27°.
故答案是：27.13．7
【解析】
【分析】
根据垂直的定义与直角三角形的两个锐角互余的性质可以推知△ACD≌△CBE（ASA）；最后根据全等三角形的
对应边相等知CE=AD=3，由BE=CD=CE+ED求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CD，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE（等量代换）；
∴在△ACD和△CBE中，
AC=BC，
∠ADC=∠BEC=90°，
∠ACD=∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴CE=AD=3（全等三角形的对应边相等），
∴BE=CD=CE+ED=3+4=7；
故答案为7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应
线段相等．
14．3.
【解析】
【分析】
先根据已知条件证明两直角三角形全等, 再根据全等的性质定理得到相等的边,结合已知条件求得结果.
【详解】
解: AC⊥BC, DE⊥AC
∠ACB=∠DEA=90
∠B+∠BAC=90
AD⊥AB
∠BAC+∠DAE=90
∠B=∠DAE
BC＝AE，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，△ABC≌△DAE
AC=DE=7
CE=AC-AE=3.
故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的性质和判定, 需着重理解两全等三角形的对应关系.
15．∠A=∠D(答案不唯一)
【解析】
试题解析：添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
考点：全等三角形的判定．
16．6
【解析】
【分析】
延长BD交AC于点E，则可知 ABE为等腰三角形，则S =S ，S =S ，可得出S = S ．
ABD ADE BDC CDE ADC ABC
△ △ △ △ △ △
△
【详解】
如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，在 ABD和 AED中，
△ △
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S =S ，S =S ，
ABD ADE BDC CDE
△ △ △ △
∴S +S =S +S =S ，
ABD BDC ADE CDE ADC
△ △ △ △ △
∴S ═ S = ×12=6，
ADC ABC
△ △
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S =S ，S =S 是解题的关键．
ABD ADE BDC CDE
△ △ △ △
17．（1）证明见解析
（2）等腰三角形，理由见解析
【解析】
【详解】
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2） OEF为等腰三角形
理由如△下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
18．见解析
【解析】
【分析】
根据ASA即可证明全等三角形.
【详解】
∵ ， ，∴∠BCA=∠EFD，∠A=∠D，
∵ ，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF
∴△BCA≌ EFD
∴ △
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.
19．见解析
【解析】
【分析】
欲证明AB=DE，只要证明 ABC≌△DEF即可．
【详解】 △
∵AF=CD，
∴AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE，
在 ABC和 DEF中，
△ △
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．
20．见解析
【解析】
试题分析：根据已知条件可得EG=NH，∠EGF=∠NHM，再利用AAS证得△EFG≌△NMH．
试题解析：
证明：∵EH=GN，
∴EG=NH，
∵MH∥FG，
∴∠EGF=∠NHM，
∴在 EFG和 NMH中， ，
△ △
∴△EFG≌△NMH．21．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）延长 DE 交 AB 的延长线于 F，易得AB∥CD，∠CDE＝∠F，又E 是 BC 的中点，可得E 是 BC 的中
点，△CDE≌△BFE，可得DE＝FE，由已知DE 平分∠ADC，可得∠CDE＝∠ADE，∠ADE＝∠F，AD＝AF，可
得结论.
（2）在 DA 上截取 DF＝DC，连接 EF, 同理可得△CDE≌△FDE，可得CE＝FE，∠CED＝∠FED，又E 是
BC 的中点，可得FE＝BE，可证得∠AEF＝∠AEB，可得
△AEF≌△AEB 可得AF＝AB，AD＝AF+DF＝AB+CD．
【详解】
解：（1）如图 1，延长 DE 交 AB 的延长线于 F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E 是 BC 的中点，
∴E 是 BC 的中点，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即 E 为 DF 的中点，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE 平分∠DAB；
（2）如图 2，在 DA 上截取 DF＝DC，连接 EF，∵DE 平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE， 又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED， 又∵E 是 BC 的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB， 又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键.
22．（1）证明见解析；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）易由 ，可证△ABD≌△CFD（ASA）；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：运用全等三角形的判定和性质.
23．(1)①22.5°;②见解析;(2) BE﹣CE＝2AF,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45 ,再利用角平分线的定义解答即可;
②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE,再利用AAS证明ΔABD≌ΔACG,利用全等三角形的性质解答即可;
(2)过点A作AH⊥AE,交BE于点H,证明ΔABH≌ΔACE,进而得出CE=BH,利用等腰直角三角形的判定和性质解答
即可.
【详解】
解：（1）①∵在 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠CBA＝45°，△
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBA＝22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠ECD+∠CDE＝90°，∠DBA+∠BDA＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°；
②延长 CE 交 BA 的延长线于点 G，如图 1：∵BD 平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE＝GE，
在 ABD 与 ACG 中，
△ △
,
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD＝CG＝2CE；
（2）结论：BE﹣CE＝2AF．
过点 A 作 AH⊥AE，交 BE 于点 H，如图 2：
∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC＝∠HAC+∠CAE，
∴∠BAH＝∠CAE，
在 ABH 与 ACE 中，
△ △
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE＝BH，AH＝AE，
∴△AEH 是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝HF，
∴BE﹣CE＝2AF．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质,正确的构建出与所求和已知相关的全等三角形,是解答本题的关键.
24．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）DE=CE﹣BD
【解析】
【分析】
(1) 利用条件证明△ABD≌△CAE, 再结合线段的和差可得出结论;
(2) 同 (1) 可证明△ABD≌△CAE, 再结合线段的和差可得出结论;
(3) 同理可证明△ABD≌△CAE, 再结合线段的和差可得出结论.【详解】
（1）证明：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE﹣AD，
∴DE=BD﹣CE．
（3）DE=CE﹣BD
如图3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD﹣AE，
∴DE=CE﹣BD．
【点睛】
本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质.
25．（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
根据 ， ， ，可得 ，再根据AAS即可判定 ≌ ；
根据 ≌ ，即可得出 ，再根据 中，AC的长，即可得出等腰直角三角形
ABC中AB的长．
【详解】
， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ；
≌ ，
，中， ，
， ， ，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题时注意：两角及其中一个角的对
边对应相等的两个三角形全等．
