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19.2 二次根式的乘法与除法（第 3 课时）
知识点1：最简二次根式的概念
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
1
A． √4 B． √5 C． √1.2 D．
√2
【答案】B
【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定
义即可求解．
【详解】解：A、√4=2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、√5是最简二次根式，符合题意；
C、√1.2=
√6
=
√30
，故不是最简二次根式，不符合题意；
5 5
1 √2
D、 = ，故不是最简二次根式，不符合题意；
√2 2
故选：B．
2．下列二次根式不为最简二次根式的是（ ）
A．√5 B．√3 C．√6 D．√12
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．最简二次根式要求被
开方数不含分母且不含平方因子.
【详解】解：∵√12=√4×3=√4×√3=2√3，
∴ √12不是最简二次根式．
故选：D．
3．下列式子：①√
37，②√1
，③√9，④√0.5，⑤√x2+4，⑥√a2+a3b，其中最简二次根式有
5
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的
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学科网（北京）股份有限公司因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件．
【详解】解： ① √ 37 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式；
√1
② 被开方数含分母，故不是最简二次根式；
5
③ √9 被开方数9能开方（√9=3），故不是最简二次根式；
√1
④ √0.5 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式；
2
⑤ √x2+4 被开方数 x2+4 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式；
⑥ √a2+a3b 即 √a2 (1+ab)=|a|√1+ab，被开方数含能开得尽方的因式 a2，故不是最简二次根式；
∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个，
故选：A．
4．若√a是最简二次根式，则a的值可以是（ ）
1
A． B．2 C．4 D．8
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式，
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可．
【详解】解：∵a=
1
时，√a=
√1
，根号下有分母，不是最简二次根式；
2 2
∵a=4时，√4=2，可化简为整数，不是最简二次根式；
∵a=8时，√8=2√2，可化简，不是最简二次根式；
∵a=2时，√a=√2，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式．
故选：B．
知识点2：二次根式的化简
5．√12化为最简二次根式是（ ）
A．2√3 B．6 C．3√2 D．2√2
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数
是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键．
【详解】解：√12=2√3，
故选：A．
6．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．√24
=
√24
B．√3÷√5=5√15
49 7
√4 2 √30
C． = D．√0.3=
7 √7 10
【答案】D
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可．
√24 √24 √24 √4×6 2√6
【详解】解：A、 = = = = ，√24=2√6，未化简，故此选项不符合题意；
49 √49 7 7 7
B、√3÷√5=
√3
=
√3×5
=
√15
≠5√15，故此选项不符合题意；
5 5×5 5
√4 2 2√7 2
C、 = = ， 分母有根号，未化简，故此选项不符合题意；
7 √7 7 √7
√3 √3 √3×10 √30
D、√0.3= = = = ，是最简二次根式，故此选项符合题意．
10 √10 √10×10 10
故选：D．
7．已知b>0，化简√45ab3= ．
【答案】3b√5ab/3b√5ba
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵b>0，
∴√45ab3=√32b2×5ab=3b√5ab，
故答案为：3b√5ab．
8．判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简．
√3
√13， √45， √43， √0.2， ．
4
【详解】解：√13是最简二次根式；
√45不是最简二次根式，化简为3√5；
√43是最简二次根式；
√5
√0.2不是最简二次根式，化简为 ；
5
√3 √3
不是最简二次根式，化简为 ．
4 2
知识点3：二次根式的应用
9．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（ ）
3 / 6
学科网（北京）股份有限公司A．3√2 B．4√2 C．6 D．9
【答案】A
【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边
长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算√18并化简即可．
【详解】解：设边长为a，
∴a2=18，而a>0，
∴a=√18=3√2，
故选：A．
10．如图，正方形ABCD的面积为8，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A左侧），且
AD=AE，则点E所表示的数是 ．
【答案】1−2√2/−2√2+1
【分析】本题考查了算术平方根的意义，二次根式化简，用数轴表示无理数等知识．先根据正方形ABCD的
面积为8，得到正方形的边长AD=2√2，根据点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，即可得到点E所
表示的数是1−2√2．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为8，
∴正方形的边长AD=√8=2√2，
∵点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，
∴点E所表示的数是1−2√2．
故答案为：1−2√2
11．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面h米的高处自由落下，落到地面的时间为t
√h
秒，经过实验，发现t= （不考虑阻力的影响）．
5
(1)求物体从60m的高空落到地面的时间t；（结果保留根号）
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J=10×物体质量（kg）×高度（m），一串质量为0.2kg的钥
匙经过3s落在地上，这串钥匙再下落的过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？你有什么启示？（注：
杀伤无防护人体只需要65J的能量）
【详解】（1）解：当h=60m时，
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学科网（北京）股份有限公司√h √60
t= = =√12=2√3(s)
5 5
答：物体从60m的高空落到地面的时间为2√3s．
（2）解：当t=3s时，√h
=3，解得h=45m，
5
已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）的计算公式为E=10mh，其中m为物体质量（单位：kg），
h为高度（单位：m）
∴E=10×0.2×45=90(J)，
∵90J>65J，
∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物．
12．若√48⋅√2a的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法以及化简等知识根据二次根式的乘法法则计算得到4√6a，再根据已
知条件即可确定正整数a的最小值．
【详解】解：∵√48⋅√2a=4√6a是一个整数，
∴√6a是一个整数，
∴正整数a的最小值为6，
故选D．
13．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给
a+b+c
出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，那么三角形的面积为
2
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题：
已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得AB=8m，AC=7m，BC=9m，求张大爷这块菜地的面积．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵AB=8m，AC=7m，BC=9m，
8+7+9
∴p= =12(m)，
2
∴S=√12×(12−8)×(12−7)×(12−9)=√12×4×5×3=12√5(m2)．
故张大爷这块菜地的面积为12√5m2．
14．化简：①√−2
(b<0)= ；②(a−1)
√−1
= .
b a−1
√−2 √−2b √−2b √−2b √−2b
【详解】解：① = = = = .
b b2 √b2 |b| −b
②(a−1)
√−1
=−
√−1
⋅(a−1)2=− √1− a．
a−1 a−1
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