文档内容
19.3 二次根式的加法与减法
知识点一 同类二次根式
1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识，属于基础知识；判断二次根式能否与 合并，
需将各选项化简，检查化简后的被开方数是否为3．
【详解】解：∵ ，
∴ 与 的被开方数相同，可以合并，故选项A符合题意；
而 ，被开方数为2；
，被开方数为6；
已是最简二次根式，被开方数为30；
均不能与 合并，故选项 不符合题意；
故选： ．2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二
次根式叫做同类二次根式，即可解答．
【详解】解：A、 ，
与 不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、 ，
与 是同类二次根式，故B符合题意；
C、 ，
与 不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、 ，
与 不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简．
要判断二次根式能否合并，需满足被开方数相同．将各选项化简后，观察是否与 的被开方数一致．
【详解】解： 选项A： ，被开方数为 ，与 的被开方数不同，无法合并．选项B： ，被开方数为 ，与 的被开方数不同，无法合并．
选项C： ，化简为 ，与 的被开方数均为 ，是同类二次根式，可以合
并．
选项D： ，被开方数为 ，与 的被开方数不同，无法合并．
故选C．
4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式 与 可以合并，可知
与 是同类二次根式，由此求出m的值，代入 计算即可．
【详解】解：由题意知 与 是同类二次根式，
，
解得 ，
，
故选B．
知识点二 分母有理化
1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式分母有理化即可，掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】解： ，故答案为： ．
2．（24-25八年级下·天津河西·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】该题考查了二次根式的性质，根据分母有理化的方法化简即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）化简 ； ； ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化的计算，掌握二次根式的性质是关键，根据二次根式的
性质，分母有理化的计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为：① ；② ；③ ．
4．（24-25八年级下·海南·期末）化简 的结果是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．分子分母同时乘以 ，然后再进行计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
知识点三 比较二次根式的大小
1．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解： ， ， ，
，
即 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个
数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ， ，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．3．（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键．
先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解： ， ， ，
，
即
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“ ”或“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据 ，可得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
知识点四 二次根式的加减运算
1．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，
先化简原式 ，再根据二次根式的加减法法则计算即可．
【详解】解：原式 .．
2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
．
3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：原式
．
4．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键；
先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：．
知识点五 二次根式的混合运算
1．（24-25八年级下·吉林白山·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，
对于（1），先根据二次根式的除法计算，再根据二次根式的加减法法则计算；
对于（2），先根据乘法分配律计算，再计算二次根式的加减法即可；
对于（3），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可.【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行二次根式计算，再加减运算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
4．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式性质和二次根式加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式性质，平方差公式，二次根式混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
知识点一 已知字母的值，化简求值
1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ．(2) ．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据 ，将 的值代入计算即可得；
（2）根据 ，将 的值代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
．
（2）解：∵ ， ，
∴
．
2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）若 ， ，求代数式 的值．
【答案】13【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先求得 和 的值，再化简 得到 ，
然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
3．（24-25八年级下·山东日照·月考）已知 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得 ，再计算
分式的混合运算，最后代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
，
∴ ，
∴
；；
4．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知 ，将其分母有理化，小明
同学是这样解答的：
．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行分母有理化；
（2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可；
（3）先分母有理化，可得 ，可得 ，然后再进行代值求解．
【详解】（1）解： ；（2）解：
；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
知识点二 二次根式的应用
1．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是 分米．
(1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料 阴影部分 的面积；
(2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说
明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键；（1）依据题意，由铝合金板的长： （分米），可得另一边长为： （分
米），则剩余材料的面积： （平方分米），即可得解；
（2）依据题意，由 ，但 ，即可判断得解．
【详解】（1）解：铝合金板的长： （分米），
另一边长为： （分米），
剩余材料的面积： （平方分米）．
（2）解：不能裁出；理由： （分米）， （分米），
，但 ，
不能裁出．
2．（24-25八年级下·重庆·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高
处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现 （不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从 的高空落到地面的时间；
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J） 物体质量（kg）×高度（m），一串质量为 的钥
匙经过 落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？
(3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要 的能量）
【答案】(1)4
(2)
(3)严禁高空抛物
【分析】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
（1）依据题意，根据公式 ，代入计算即可．（2）依据题意，先根据公式 ，求得高度，再根据公式 物体质量 高度 ，计算能量
即可；
（3）依据题意，根据（2）的结果即可判断得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）解：由题意，结合（2） ，
∴对人构成伤害．
故严禁高空抛物．
3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料：
小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，
善于思考的小甘进行了以下探索：设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有
．∴ ， ．这样小甘就找到了一种把部分形如 的式子
化为平方式的方法．
请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若 ，用含m，n的式子分别表示a，b，得 ______，
______；(2)若 ，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题考查了二次根式的应用．
（1）根据示例作答即可；
（2）根据示例得到 ， ，根据题意得到 或 ，计算即可．
【详解】（1）解：若 ，
则有 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）若 ，
则有 ，
∴ ， 即 ，
∵a，m，n为依次减小的正整数，
∴ 或
当 时， ；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意；
当 时， ；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意．
∴ 或
4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数 ，把 叫做 与 的算术平均数， 叫做
与 的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果 ，那么
，当 时，等号成立．
(1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________；(2)①已知 ，则 的最小值是___________；
②已知 ，且 ，则 的最大值是___________；
(3)已知 ，记 ，求 的取值范围．
【答案】(1)7，
(2)①2；②25
(3)
【分析】本题以算术平均数和几何平均数为背景，主要考查了二次根式和分式的相关运算，正确理解算术
平均数和几何平均数的定义是解题的关键；
（1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解即可；
（2）①根据两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数求解即可；
②根据题意可得 ，代入后再进一步求解即可；
（3）将原式变形为 ，再利用 求解即可．
【详解】（1）解： 2和12的算术平均数是 ，几何平均数是 ；
故答案为：7， ；
（2）解：①根据题意可得： ，当且仅当 时取“=”；
故答案为：2；
②∵ ，且 ，
∴ ，即 ，
∴
则 的最大值是25；
故答案为：25；
（3）解：∵ ，
∴ ，当 即 时取等号，∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
1．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，
此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，
则其面积 ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边 ， ， 时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为 、 ， ，请求出三角形的面积；
(3)若 ， ，求此时三角形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用已知得出 的值，再利用三角形面积公式得出答案；
（2）将 变形为 再代入求值即可；
（3）根据公式计算出 ，再表示成 ，代入公式即可求出解．．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
则： ，
∴；
（2）
，
则三边长依次为 、 ， ，代入 可得：
（3）∵ ， ， ，
∴ ，则 ，
∴，
∴当 时， 有最大值，为 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三
角形的面积．
2．（22-23八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一
种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数 ， ，
称为 ， 这两个数的算术平均数，
称为 ， 这两个数的几何平均数，
称为 ， 这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若 ， ，则 ； ________； _______；
(2)小聪发现当 ， 两数异号时，在实数范围内 没有意义，所以决定只研究当 ， 都是正数时这三种
平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为 的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示 ．①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为 ， 的图形：
②借助图形可知，当 ， 都是正数时， 的大小关系是： ___________（把 从小到大排列，
并用“ ”或“ ”号连接）；
③若 ．则 的最小值为________．
【答案】(1) ；
(2)①见详解② ③
【分析】（1）将 ， 分别代入 求值即可得；
（2）①分别求出 ， ，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①
中的所画的图形可得 ，由此即可得出结论；③由 ，可知当 时， 取最小值，此
时 ，结合已知条件可得 ，即可确定 的最小值．
【详解】（1）解：当 ， 时，
，
．
故答案为： ； ；
（2）① ，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
②由（2）①可知， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ 都是正数，
∴ 都是正数，
∴ ．
故答案为： ；
③∵ ，
∴当 时， 取最小值，
此时 ，即 ，
整理，可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
此时 ，∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公
式进行变形运算是解题关键．
3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式：
，当且仅当 时取到等号．
【提出问题】若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？
【分析问题】例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小
值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1） __________ （用“ ”“ ”“ ”填空）；当 ，式子 的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个
长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ， 、 的面积分别是8和14，求四
边形 面积的最小值．
【答案】（1） ，2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米；（3）四边形 面积的最小值为
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．
（1）当 时，按照公式 （当且仅当 时取等号）来计算即可；当 时， ，
，则也可以按公式 （当且仅当 时取等号）来计算；
（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为 米，另一边为 米，则 ，可得 ，推出篱笆长
，利用题中结论解决问题即可
（3）设 ，已知 ， ，则由等高三角形可知： ，用
含 的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】解：（1）∵ ，且 ，
∴ ；
当 时， ，
故答案为： ，2；
（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为 米，另一边为 米，
则 ，
，
这个篱笆长 米，
根据材料可得， ，当 时， 的值最小，
或 （舍弃），
，
∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米．（3）设 ，已知 ， ，
则由等高三角形可知： ，
，
，
四边形 面积
当且仅当 ，即 时，取等号，
四边形 面积的最小值为 ．
4．（24-25八年级下·江西南昌·月考）【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它可求一
些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当 时，取等
号．）
【例】：若 ， ， ，求 的最小值．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ 时， 的最小值为8
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为 的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，
所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为 米， 米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为 米，则 ， ，所以所
用篱笆的长为 米，再根据材料提供的信息求出 的最小值即可；
（2）设点B到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，又 、 的面积分别是
2和3，则 ， ， ，从而求得 ，然后根据材料提供的信息求
出最小值即可．
【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为 米，
则 ，
∴ ，
∴所用篱笆的长为 米，
，
∵当且仅当 时， 的值最小，最小值为 ，
∴ 或 （舍去），∴这个长方形的两边分别为 米， 米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米；
（2）解：设 的面积为a，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积： ，
∵ ，
∴当 ，即 时，四边形 的面积的最小值为： ．
