文档内容
第十九章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案
一、温故知新（导）
做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常
必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，如何从中选择最佳方案？这是今天我们要
学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1、 会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想.
2、学会综合运用一次函数与方程（组）、不等式（组）等知识解决方案设计问题.
学习重难点
重点：用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；
难点：综合运用一次函数与方程（组）、不等式（组）等知识解决方案设计问题.
二、自我挑战（思）
1、问题1 怎样选取上网收费方式？
表19-13给出A、B、C三种上宽带网的收费方式.
表19-13
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
选取哪种方式能节省上网费？
（1）哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
A、B会变化，C不变
（2）方案C上网费是多少钱？
120元
（3）方式A，B中，上网费由哪些部分组成？
当上网时间不超过规定时间时，费用=月费；
当上网时间超过规定时间时，费用=月费+超时费（超时使用价格×超时时间）
（4）设月上网时间为xh，则方案A，B的收费金额y ，y 都是x的函数.要比较它们，需在x＞0的
1 2
条件下，考虑何时①y=y，②y＜y，③y＞y.
1 2 1 2 1 2
方 案 A 的 收 费 函 数 解 析 式 为 ：y
={30， 0≤x≤25，
1 30+0.05×60(x−25)， x>25.
化简，得
y
={30， 0≤x≤25，
1 3x−45， x>25.
这个函数的图象如图19.3-1所示.
（5）类比方式A，你能得出方式B，C的收费金额y，y 关于上网时间x的函数解析式吗？
2 3
y
={50， 0≤x≤50，
2 50+0.05×60(x−50)， x>50.
化简，得
y
={50， 0≤x≤50，
2 3x−100， x>50.
y =120 x≥0
3
（6）在同一坐标系画出y、y，y 的图象（如下图），结合函数图象与解析式，填空：
1 2 32
当上网时间 不超过 31 时，选择方式A省钱；
3
2 1
当上网时间 超过31 ，不超过73 时，选择方式B省钱；
3 3
1
当上网时间 超过 73 时，选择方式C省钱.
3
2、问题2 怎样租车？
某学校计划在总费用 2 300 元的限额内，租用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆
汽车上至少要有 1 名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
甲种客车 乙种客车
载客量/(单位：人/辆) 45 30
租金/(单位：元/辆) 400 280
（1）一共需要租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案？
① 要保证 240 名师生都有车坐，汽车总数不能小于 6 辆；要使每辆汽车上至少有 1 名教师，
汽车总数不能大于 6 辆.
②设租车费用为y元，租用x辆甲种客车，则乙车(6‒x)辆.
则y=400x+280(6‒x)，
化简，得 y=120x+168 0 .③要保证 240 名师生都有车坐，则45x+30(6‒x)≥240，解得 x ≥ 4 ；
1
总费用不超过2300元，则120x+1680≤2300，解得 x ≤ 5 .
6
1
④由②、③可得：y=120x+1680（4≤x≤5 ）
6
你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方
案？试说明理由.
1
因为4≤x≤5 ，x为整数，所以x=4和5，
6
因此，共有两种那种方案：
方案一：4辆甲种客车，2辆乙种客车；
方案二：5辆甲种客车，1辆乙种客车.
费用：
方案一的费用：y=120×4+1680=2160（元）；
方案二的费用：y=120×5+1680=2280（元）.
因为2160（元）＜2280（元），所以为节省费用应选择方案一.
三、互动质疑（议、展）
1、在问题2中，哪个方案最省钱能否用一次函数的性质来判断？
1
能，租车费与甲种客车的函数关系为：y=120x+1680（4≤x≤5 ），∵k=120>0，
6
∴y随x的增大而增大，
∴方案一最省钱.
即y最省钱=120×4+1680=2160(元)
2、归纳总结
（1）建立函数模型解决实际问题：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，
从中选取一个取值能影响其他变量的值作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函
数，以此作为解决问题的数学模型.
（2）应用一次函数性质选择最佳方案的一般步骤
特别提醒：对于方案的比较问题，既可以用分类讨论的思想列不等式求解，也可以根据在同一平面
直角坐标系中它们所对应的函数图象的情况得出结论.
3、实例：
例1 在加快“复工复产”的行动中，某通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方
案：
方案A：按流量计费，0.1元/M；
方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分另外计费（见图
象），如果用到1000M时，超过1000M的流量不再收费；
方案C：120元包/月，无限制使用．
用x表示每月上网流量（单位：M），y表示每月的流量费用（单位：元），方案 B和方案C
对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：（1）写出方案A的函数解析式 ，并在图中画出其图象；
（2）若小明奶奶每月使用流量在 300-600M之间，请通过计算给出经济合理的选择方案．
（3）小明爸爸根据自己平时使用流量的情况，决定采用最经济的方案是 C，则他每月使用流
量最可能的范围是 ．（直接写出答案）
解：（1）由题意可得，
方案A的函数解析式为y=0.1x,图象如右图所示；
故答案为：y=0.1x；
（2）方案B：设500≤x≤1000时，y=kx+b,
{ 500k+b＝20
，
1000k+b＝130
{k=0.22
解得， ，
b=−90
500≤x≤1000时，y=0.22x-90，
{ 20(0≤x≤500)
∴方案B对应的函数解析式是y= ，
0.22x−90(500≤x≤1000)
130(x＞1000)
令0.1x=20，得x=200，
0.1x=0.22x-90，得x=750，
当0.1x=120时，x=1200，
故若小明奶奶每月使用流量在 300-600M之间，选用方案B比较合算；
（3）小明爸爸根据自己平时使用流量的情况，决定采用最经济的方案是 C，则他每月使用流
量最可能的范围是1200M以上．
故答案为：1200M以上．
例2 某工程机械厂根据市场要求，计划生产 A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所
筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号
的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价
如下表所示：
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台 A型挖掘机的售价将会提高m
万元（m＞0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机100-x台，由题意得22400≤200x+240（100-x）≤22500，
解得37.5≤x≤40．
∵x取非负整数，
∴x为38，39，40．
∴有三种生产方案
①A型38台，B型62台；
②A型39台，B型61台；
③A型40台，B型60台．
（2）设获得利润W（万元），由题意得W=50x+60（100-x）=6000-10x
∴当x=38时，W最大=5620（万元），
即生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．
（3）由题意得W=（50+m）x+60（100-x）=6000+（m-10）x
∴当0＜m＜10，则x=38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；
当m=10时，m-10=0则三种生产方案获得利润相等；
当m＞10，则x=40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、疫情的发生，各地积极响应政府“管住门，看住人”的要求，温华物业管理有限公司，对管
辖的各小区实行门绳拦截管理，对符合 3天出门一次采购生活用品的人员才能签证放行，为
此，他们要把长19米的绳子剪成2米或1米的绳子，分发给各小区，请帮助公司设计有（
）裁剪方案．
A．10 B．9 C．8 D．7
{ x≥0
1、解：设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为（19-2x）根，根据题意得： ，
19−2x≥0
19
解得：0≤x≤ ，
2
∵x必须取整数，
∴x=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，
∴有10种裁剪方案，A选项符合题意．故选：A．
2、小华去商店购买A、B两种玩具，共用了12元，A种玩具每件1元，B种玩具每件3元．
若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量不少于B种玩具的数量，则小华的购买方案有（
）
A．7种 B．6种 C．4种 D．3种
12−x
2、解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为 件，根据题意得，
3x≥1
{
12−x
≥1，
3
12−x
x≥
3
解得，3≤x≤9，
12−x
∵x为整数， 也为整数，
3
∴x=3或6或9，
∴有3种购买方案．故选：D．
3、小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们一共点了10份盖饭，
6杯饮料．若A、B、C套餐均至少点了两份，则点餐方案有 种．
A套餐：一份盖饭加一杯饮料
B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜
C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
3、解：∵他们一共点了10份盖饭，6杯饮料，且只有B套餐不含饮料，
∴他们一共点了10-6=4（份）B套餐．
设他们点了x份A套餐，则点了（10-x-4）份C套餐，
{ x≥2
依题意得： ，
10−x−4≥2
解得：2≤x≤4，
又∵x为正整数，
∴x可以为2，3，4，
∴点餐方案共有3种．
故答案为：3．
4、某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共 100台．据了解，
生产2台A型号大型挖掘机和3台B型号的大型挖掘机，需要资金1120万元；生产1台A型
号大型挖掘机和4台B型号的大型挖掘机，需要资金1160万元．
（此两型挖掘机的售价如下表，注：利润=售价-成本）
型号 A B
售价（万元/台） 250 300
（1）求A、B两种型号的大型挖掘机每台的成本价；
（2）若该厂所筹生产资金不少于 22200万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生
产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，则该厂对这两型挖掘机有几
种生产方案？
（3）在（2）的前提下，根据市场调查，每台 B型挖掘机的售价不会改变，每台 A型挖掘机
的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？直接写出生产方案．
4、解：（1）A、B两种型号的大型挖掘机每台的成本价分别为a元、b元，
{2a+3b＝1120
依题意得 ，
a+4b＝1160
{a＝200
解得 ，
b＝240
∴A、B两种型号的大型挖掘机每台的成本价分别为200元、240元；
（2）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100-x）台，
由题意得22200≤200x+240（100-x）≤22500，解得37.5≤x≤45．
∵x取非负整数，
∴x为38，39，40，41，42，43，44，45．
∴有8种生产方案；
（3）设获得利润W（万元），由题意得W=（250-200+m）x+（300-240）（100-x）
=6000+（m-10）x,
当0＜m＜10，则x=38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；
当m=10时，m-10=0，则8种生产方案获得利润相等；
当m＞10，则x=45时，W最大，即生产A型45台，B型55台．
答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m=10时，8种方案获利一样；
当m＞10时，生产A型45台，B型55台获利最大．
六、用
（一）必做题
1、某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，
要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不
同的购买方案种数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1、解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50-x）本，
由题意得：
{x≤3(50−x)，
x≥2(50−x)
1 1
解得：33 ≤x≤37 ，
3 2
∵x为正整数，
∴x的取值为34，、35、36、37，
则不同的购买方案种数为4种，故选：D．
2、某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克10元，售价每
千克16元；乙种蔬菜进价每千克14元，售价每千克18元，该超市决定每天购进甲、乙两种
蔬菜共100千克，准备投入资金不少于1180元，要求利润也不少于500元，设购买甲种蔬菜
x千克（x为整数），则有（ ）不同的购买方案．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
2、解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，
依题意得：
{ 10x+14(100−x)≥1180 ，
(16−10)x+(18−14)(100−x)≥500
解得：50≤x≤55，
又∵x为整数，
∴x可以为50，51，52，53，54，55，
∴共有6种不同的购买方案，
故选：D．3、为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种
园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，
搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有 种．
3、解：设可以搭配成x个A种造型，则可以搭配成（50-x）个B种造型，
依题意得：{70x+40(50−x)≤2660，
30x+80(50−x)≤3000
解得：20≤x≤22．
又∵x为整数，
∴x可以为20，21，22，
∴符合要求的搭配方案有3种．
故答案为：3．
4、某商店准备购进 A、B两种商品，A商品每件的进价比 B商品每件的进价多 20元，已知进
货 30 件 A 商品和 30 件 B 商品一共用去用 2400 元，商店将 A 种商品每件售价定为 80 元，B
种商品每件售价定为45元．
（1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过 1520元的资金购进 A、B两种商品共 40件，其中 A种商品的数量不
低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
4、解：（1）设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为（x+20）元，
由题意，得30（x+20）+30x=2400，
解得x=30，
∴A商品每件的进价为30+20=50（元），
答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
（2）设A种商品的数量a件，B种商品的数量（40-a）件，
{ 1
由题意，得 a≥ （40−a） ，
2
50a+30(40−a)≤1520
1
解得13 ≤a≤16，
3
∵a为正整数，
∴a为14，15，16，
∴B种商品的数量为26，25，24，
所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；
第二种：进A商品15件，B商品25件；
第三种：进A商品16件，B商品24件；
（3）令所获利润为W元，则W=（45-30）（40-a）+（80-50）a,
∴W=15a+600，
∵k=15＞0，
W随a的增大而增大，
∴a=16时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
W =840元，
最大
答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元．
（二）选做题5、为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模
型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
（2）现计划用19320元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模
2
型的数量不少于甲种模型数量的 ，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时
3
总费用最少？
5、解：（1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则由题意可得：
{ 3x＝2y
，
x+2y＝80
{x＝20
解得： ．
y＝30
答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元．
（2）设甲种模型数量为m,则乙种模型数量为（800-m），由题意可得：
{20m+30(800−m)≤19320
，
2
800−m≥ m
3
{m≥468
解得： ，
m≤480
∴468≤m≤480，
∵m为整数，
∴一共有13种选购方案，
设总费用为W元，
W=20m+24000-30m=24000-10m,
∴当m越大，总费用越少，
当m=480套时，
乙种为：800-480=320（套）．
答：乙种模型选购320套时，总费用最少．
6、为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购
买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价
比A种品牌足球的单价高30元．
（1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进A、B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促
销”活动，A 种品牌的足球单价优惠 4 元，B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买
A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种
购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？
6、解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
{30x+20 y＝3100
根据题意得： ，
y−x＝30{x＝50
解得： ．
y＝80
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50-m）个A种品牌的足球，
根据题意得：
{(50−4)(50−m)+80×0.8m≤2750，
m≥24
解得：24≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以为24，25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50-4）
×26+80×0.8×24=2732（元）；
方案2：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50-4）
×25+80×0.8×25=2750（元）．
∵2732＜2750，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足
球．
