文档内容
人教版八年级数学期末押题卷 03
考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：八上全部内容
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2020年春季，全球发生了新型冠状病毒疫情，病毒直径约在100﹣300纳米之间，我们知道，1
纳米＝10﹣7cm，用科学记数法表示直径为150纳米的病毒相当于（ ）
A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm
C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：150纳米＝150×10﹣7cm＝1.5×10﹣5cm，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日﹣2月20日在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届
冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形，分别判断得出答案．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
【分析】首先设第三根木棒长为x cm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值
范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就
能够组成三角形．
4．（3分）如图所示，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗
框不变形，这样做的数学依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳
定性．
故选：C．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．（3分）下列各式中最简分式是（ ）
A． B．C． D．
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此求解可得．
【解答】解：A、 ，不是最简分式；
B、 是最简分式；
C、 ，不是最简分式；
D、 ，不是最简分式；
故选：B．
【点评】本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2x3﹣x3＝x3，故本选项不合题意；
C．x3•x4＝x7，故本选项符合题意；
D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算，掌握幂的运算
法则是解答本题的关键．
7．（3分）若a＝0.32，b＝﹣32，c＝（﹣3）0，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【分析】先化简各式，然后再进行比较，即可解答．
【解答】解：∵a＝0.32＝0.09，b＝﹣32＝﹣9，c＝（﹣3）0＝1，
∴1＞0.09＞﹣9，
∴c＞a＞b，故选：B．
【点评】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，有理数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，
④符合高线的定义．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之
间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．
9．（3分）等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角是（ ）
A．55°或70° B．55° C．35°或55° D．35°
【分析】本题可先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为70°，
∴与它相邻的三角形的内角为110°；
①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和＝220°＞180°，不合题意，舍去；
②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
因此等腰三角形的底角为35°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．求角的度数常常要用
到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
10．（3分）在平面上给出七点A，B，C，D，E，F，G，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点
固定，且令∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ，在图（b），（c）中，A，B，C，G四点固定，D，E，E变动，
此时，令∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ，α则下述结论中正确的是（ ）
βA． ≥ B． ＝
C．α＜β D．α比β 有时大有时小
E．无α 法β确定 α β
【分析】根据多边形内角和的计算方法分别求出各个图形中的 、 ，再比较大小即可．
【解答】解：如图a，连接BE、AF， α β
∵四边形BCDE的内角和为360°，
∴∠BEF+∠ABE+∠DEF+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
又∵∠BEF+∠ABE＝∠BAF+∠AFE，而∠GAF+∠GFA+∠G＝180°，
∴∠ABC+∠C+∠D+∠GAB+∠DEF+∠EFG+∠G＝360°+180°＝540°，
即 ＝540°，
如图α b，连接BE，
∵五边形ABEFG的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
又∵∠CBE+∠BED＝∠C+∠D，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
即 ＝540°，
如图β c，连接AE，
由图b可得，∠GAB+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，
即 ＝540°，
∴β＝ ，
故α选：βB．【点评】本题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为 500o，则多加的这
个内角的大小为 140 ° ．
【分析】首先设多边形的边数为n，多加的内角度数为 ，则可得方程（n﹣2）•180°＝500°﹣ ，由于
多边形内角和应是180°的倍数与500°＝2×180°+140°，即α可求得答案． α
【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为 ，则
（n﹣2）•180°＝500°﹣ ， α
∵500°＝2×180°+140°，α多边形内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个内角为140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°
的倍数是解题的关键．
12．（3分）若分式 的值为零，则m，n满足的条件是 m ＝ n 且 m 、 n 均不为零 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：∵分式 的值为零，
∴m﹣n＝0且m+n≠0．
解得：m＝n且m、n均不为零．
故答案为：m＝n且m、n均不为零．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．
13．（3分）若2x+y＝4，x﹣ ＝1，则4x2﹣y2＝ 8 ．
【分析】利用平方差公式分解因式，进而把已知代入求出答案．【解答】解：∵x﹣ ＝1，
∴2x﹣y＝2，
则4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）
＝4×2
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．（3分）如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADC，还需添加条件： AB ＝ AC ．（填写一个你认为正
确的即可）
【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC＝AC，然后即可得到使得△ABC≌△ADC需
要添加的条件，本题得以解决．
【解答】解：由已知可得，
∠1＝∠2，AC＝AC，
∴若添加条件AB＝AC，则△ABC≌△ADC（SAS）；
若添加条件∠ACB＝∠ACD，则△ABC≌△ADC（ASA）；
若添加条件∠ABC＝∠ADC，则△ABC≌△ADC（AAS）；
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）已知△ABC与△A′B′C′关于直线L对称，∠A＝60°，∠B′＝50°，则∠C＝ 70 ° ．
【分析】根据成轴对称的两个图形全等求得未知角即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′＝50°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
16．（8分）计算题：
（1）（﹣2m﹣1）（3m﹣2）．
（2）（4a3b﹣6a2b2+12ab3）÷2ab．
【分析】（1）利用多项式的乘法进行计算即可；
（2）利用多项式除以单项式的除法运算法则进行运算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣6m2+4m﹣3m+2＝﹣6m2+m+2；
（2）原式＝4a3b÷2ab﹣6a2b2÷2ab+12ab3÷2ab
＝2a2﹣3ab+6b2．
【点评】考查了多项式的除法及乘法的运算，解题的关键是了解有关运算方法并正确的运算，难度不大．
17．（8分）化简求值：（ ﹣ ）÷ ；其中a2﹣a﹣1＝0．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式＝ ，然
后把a2＝a+1代入计算即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ •
＝ ，
∵a2﹣a﹣1＝0．
∴a2＝a+1，
∴原式＝ ＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结
果要化成最简分式或整式．18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A OB ，并直接写出点A 和点B 的坐标；（不写画法，保留
1 1 1 1
画图痕迹）
（2）在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A 和点B 的坐标，然后描点即可；
1 1
（2）先作A点关于x轴的对称点A′，然后连接BA′交x轴于P点，由于PA＝PA′，则PA+PB＝PA′
+PB＝BA′，所以利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AOB的面积．
【解答】解：（1）如图，△A OB 为所作，A （1，2），B （﹣2，1）；
1 1 1 1
（2）如图，点P为所作；
（3）△AOB的面积＝3×2﹣ ×2×1﹣ ×2×﹣ ×3×1＝2.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图
形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学
等式，例如图1可以得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：（1）观察图2，写出所表示的数学等式： （ a + 2 b ）（ a + b ） ＝ a 2 + 3 a b + 2 b 2 ．
（2）观察图3，写出所表示的数学等式： （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c ．
（3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2
＝37．请利用（2）中的结论求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据大矩形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（3）先求出（a+b+c）2的值，再根据（2）中关系式求得结果．
【解答】解：（1）大矩形的面积＝（a+2b）（a+b），
各部分面积和＝a2+3ab+2b2，
∴（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（a+b）；a2+3ab+2b2；
（2）正方形的面积可表示为（a+b+c）2；
各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∵（a+b+c）2＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2＝1，
∴1＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a2+b2+c2＝37，
∴1＝37+2（ab+bc+ac），
∴2（ab+bc+ac）＝﹣36，
∴ab+bc+ac＝﹣18．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，以及完全平方公式在几何图形相关计
算中的应用，本题具有一定的综合性，难度中等略大．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，AD平分∠CAB，AD交BC于点D．（1）求作AB的垂直平分线MN；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若MN交AD于点E，连接BE．求证：DE＝DB．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可作AB的垂直平分线MN；
（2）在（1）的条件下，根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而证明∠BED＝∠EBD，进而可得
DE＝DB．
【解答】解：（1）如图，
MN即为所求；
（2）证明：∵∠C＝90°，∠ABC＝54°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝ BAC＝ 36°＝18°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝18°，
∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE＝54°﹣18°＝36°，又∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED＝∠BAD+∠EBA＝18°+18°＝36°，
∴∠BED＝∠EBD，
∴DE＝DB．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是
掌握线段垂直平分线的准确画法．
21．（9分）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老
师家距离学校的路程是9千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的 3倍，所以
黄老师每天上班要比开车早出发20分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求黄老师驾车的平均速度；
（2）据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为 2.4千克，按这样计算，求
黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
【分析】（1）可设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解；
（2）先根据黄老师开车的平均速度求出与离学校的距离求出一天开车的时间，即可求出减少碳排放量
多少千克．
【解答】解：（1）设黄老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则驾车的平均速度是 3x千米/小时，
依题意有：
﹣ ＝ ，
解得x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解．
3x＝54，
答：黄老师驾车的平均速度是54千米/小时；
（2）由（1）可知黄老师开车的平均速度是54千米/小时，
×2×2.4＝0.8（千克）．
答：黄老师一天可以减少的碳排放量0.8千克．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，根据时间的等量关系列出方程是解决问题的关键．
五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
22．（12分）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，直线l经过点A，作BD⊥l于D，CE⊥l于E．
（1）当直线l在∠BAC外部时（图（a）），求证：BD+CE＝DE；（2）当直线l在∠BAC内部时（图（b）），猜想线段BD，CE与DE之间又有怎样的关系．证明你的
结论；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若BD＝5，CE＝3，求四边形ABEC的面积．
【分析】（1）由平行线的判定与性质可得∠ABD＝∠CAE．再根据全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）由平行线的判定与性质可得∠ABD＝∠CAE．再根据全等三角形的判定与性质可得结论；
（3）连接BE．根据三角形的面积之间关系可得答案．
【解答】（1）证明：∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE．
∵AD+AE＝DE，
∴BD+CE＝DE．
（2）解：BD﹣CE＝DE．理由如下：
∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°．∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE．
∵DE＝AE﹣AD，
∴BD﹣CE＝DE．
（3）解：连接BE．
由（2）知，AE＝BD＝5．
∵CE＝3，BD＝5，
∴S四边形ABEC ＝S△ABE +S△AEC ＝ AE•BD+ AE•EC＝20．
【点评】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此
题的关键．
23．（12分）问题提出：
（1）如图1，已知Rt△ACB和Rt△ADB，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，其中CA＝CB，∠DAB＝30°，
AB＝4 ，求△ACB和△ADB的面积分别是多少？
问题探究：
滨河学校初二年级小张是一名特别爱好专研数学的学生，他在数学老师的帮助下发现：对于任意三角形，其中一个内角和其对边都为定值时，当另两边相等时，该三角形面积达到最大．例如，如图 2，在
△ABC中，已知三角形内角B和其对边AC都为定值，当BA＝BC时，△ACB的面积达到最大．请利用
小张同学的发现完成以下问题．
（2）如图3，在△ACB中，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，AD＝4，当△ABD面积最大时，求线段
AB的值．
问题解决：
（3）如图4，已知等边△ACB，∠ADB＝30°，CD＝4，求四边形ADBC的面积的最小值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得CA＝CB＝2 ，再由含130°角的直角三角形的性质得BD＝
AB＝2 ，然后由勾股定理得AD＝6，最后由三角形面积公式求解即可；
（2）延长AD到M，使AD＝MD，连接BM，证△ACD≌△MBD（SAS），得∠MBD＝∠ACB，则
∠ABM＝60°，当△ABD面积最大时，△MBD面积最大，则△ABM面积最大，当AB＝BM时，△ABD
面积最大，由等边三角形的性质即可求解；
（3）将△CBD绕点C顺时针旋转60°，得到△CAP，连接CP，证△CDP是等边三角形，得PD＝CD＝
4，求出∠PAD＝90°，则AP＝AD时，△PAD面积最大，当△PAD面积最大时，四边形ADBC的面积的
最小值，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴Rt△ACB是等腰直角三角形，∴CA＝CB＝ AB＝ ×4 ＝2 ，
∵Rt△ADB，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，
∴BD＝ AB＝2 ，
由勾股定理得：AD＝ ＝ ＝6，
∴S△ACB ＝ AC•BC＝ ×2 ×2 ＝12，
S△ADB ＝ AD•BD＝ ×6×2 ＝6 ；
（2）延长AD到M，使AD＝MD＝AD＝4，连接BM，如图3所示：
则AM＝2AD＝8，S△ABD ＝S△MBD ＝ S△ABM ，
∵点D为BC的中点，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积，CD＝BD，
在△ACD和△MBD中，
，
∴△ACD≌△MBD（SAS），
∴∠MBD＝∠ACB，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
当△ABD面积最大时，△MBD面积最大，则△ABM面积最大，
∴AB＝BM时，△ABM面积最大，
即AB＝BM时，△ABD面积最大，
∵∠ABM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴AB＝AM＝8，
∴当△ABD面积最大时，线段AB的值为8；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
将△CBD绕点C顺时针旋转60°，得到△CAP，连接CP，如图4所示：由旋转的性质得：CD＝CP，∠DBC＝∠PAC，∠BCD＝∠ACP，S△CBD ＝S△CAP ，
∴∠DCP＝∠DCA+∠ACP＝∠DCA+∠BCD＝∠ACB＝60°，
∴△CDP是等边三角形，
∴PD＝CD＝4，
∵∠PAD＝360°﹣∠DAC﹣∠PAC＝360°﹣∠DAC﹣∠DBC＝∠ADB+∠ACB＝30°+60°＝90°，
∴AP＝AD时，△PAD面积最大，
∵S四边形ADBC ＝S△CBD +S△ACD ，
∴S四边形ADBC ＝S△CDP ﹣S△PAD ，
∴当△PAD面积最大时，四边形ADBC的面积的最小值，
此时，AD＝AP＝ PD＝ ×4＝2 ，
S四边形ADBC ＝S△CDP ﹣S△PAD ＝ CD2﹣ AD2＝ ×42﹣ ×（2 ）2＝4 ﹣4，
∴四边形ADBC的面积的最小值为4 ﹣4．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、含 30°角的直角三角形的性质以及三角形面
积等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及等边
三角形的判定与性质是解题的关键．
