文档内容
人教版初中数学八年级下册
20.2.1 数据的波动程度(1) 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．已知一组数据：3，2，4，3，3，这组数据的方差是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．
【解答】解：平均数为： ，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了求方差，掌握求方差的方法正确计算是解题的关键．
2．市农科所收集统计了甲、乙两种甜玉米各 块试验田的亩产量后，得到方差分别是
、 ，则（ ）
A．甲比乙的亩产量稳定 B．乙比甲的亩产量稳定
C．甲、乙的亩产量稳定性相同 D．无法确定哪一种的亩产量更稳定
【答案】A
【分析】根据方差越小越稳定，方差越大越不稳定进行求解即可
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴甲比乙的亩产量稳定，
故选A．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟知方差的意义是解题的关键：方差反映一组数据在其
平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳
定．
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩是0.9环．方差分别
0.56、0.78、0.42、0.63，这四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据方差的意义可作出判断．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴丙的方差最小，
∴成绩最稳定的是丙，故C正确．
故选：C．【点睛】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波
动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越
小，数据越稳定．
4．若数组3，3，x、4，5的平均数为4，则这组数中的（ ）
A． B．中位数为4 C．众数为3 D．方差为4
【答案】B
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数、众数和
方差，即可得到正确的选项．
【详解】解：根据平均数的定义可知， ，故选项A不符合题意；
这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，这组数据的中位数是4，故选项
B符合题意；
众数是3和5，故选项C不符合题意；
方差为 ，故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方
差的定义和计算方法是解题的关键．
5．为了考察甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图
所示，若 和 分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A． ＝ B． ＜ C． ＞ D．不确定
【答案】B
【分析】根据方差的意义即方差越小，数据波动越小即可得出答案．
【详解】解：由图可知，甲的麦苗高的数据波动小，所以甲的方差小，
，
故选：B．【点睛】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组
数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．
6．在一次射击练习中，甲、乙两人前后5次射击的成绩如下表（单位：环）：
甲 7 8
乙 7 9 9
则这次练习中，甲、乙两人成绩的方差大小（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】先求出平均数，然后根据方差公式进行计算，对比即可．
【详解】解：
甲的平均数为：
甲的方差为：
乙的平均数为：
乙的方差为：
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的计算；熟记方差的运算公式正确计算是解题的关键．
7．某班级举办了一次背诵古诗竞赛，满分100分，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下
（单位：分）：甲：40，60，70，90，90，100；乙：60，60，80，80，80，90其中90分
以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）
A．甲组平均成绩高于乙组
B．甲组成绩比乙组更稳定
C．甲组成绩中位数与乙组相同
D．乙组成绩优秀率更高
【答案】C
【分析】分别求出甲、乙两组学生成绩的平均数、方差、中位数以及优秀率即可．
【详解】解：甲组平均成绩为： （分），
乙组平均成绩为： （分），
∴甲组平均成绩等于乙组，A选项说法错误，不符合题意；
甲组成绩的方差为： ，乙组成绩的方差为： ，
∴乙组成绩比甲组更稳定，B选项说法错误，不符合题意；
甲组成绩中位数为： ，
乙组成绩中位数为： ，
∴甲组成绩中位数与乙组相同，C选项说法正确，符合题意；
甲组成绩优秀率为： ，
乙组成绩优秀率为： ，
∴甲组成绩优秀率更高，D选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数以及优秀率，掌握各自的定义以及计算公式是
解题的关键．
二、填空题：
8．从甲、乙两实验田随机抽取部分玉米苗进行统计，获得苗高（单位：6 ）平均数相等，
方差为： ， ，则水稻长势比较整齐的是___________．（填“甲”或
“乙”）．
【答案】甲
【分析】根据方差越小，长势越整齐进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴水稻长势比较整齐的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方
差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比
较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
9．一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，众数为5，则方差为__________．
【答案】
【分析】先由平均数，众数计算出 ，b的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】解：∵4，5，6，a，b的众数为5
∴a，b至少有一个是5，
设
数据4，5，6， ，5平均数为5，
，
解得： ，这组数据的方差是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查方差和平均数，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，
反之也成立．平均数是所有数据的和除以数据的个数．
10．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两
选手成绩的方差分别记为 、 ，则 ______ ．（填“ ”“<”或“=”）
【答案】
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【详解】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为： ．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明
这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194．现用
一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高
平均数________，方差________．（变大、变小、不变）
【答案】 变小 变小
【分析】根据平均数的定义可分别求出原数据和新数据的平均数；根据方差公式求出变化
前后的方差比较即可．
【详解】解：原数据的平均数为： =188（cm），
新数据的平均数为： =187（cm），
∵188>187，∴平均数变小；
换人前身高的方差为： ×
= ．
换人后身高的方差为： ×
= ；
∵ > ，
∴方差变小；
故答案为：变小；变小．
【点睛】本题考查了平均数的定义和方差公式，熟练掌握平均数和方差的定义和公式是解
题关键．
12．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，为此某校不定期组织学生进行
不同类型的体育比赛，上周八年级甲、乙两个班进行了一场篮球比赛，已知甲、乙两支篮
球队队员的平均身高相等，均为 ，甲队5名队员身高的方差为2，乙队5名队员的身
高依次为 ，那么两队中身高更整齐的是____________队．
（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【分析】先计算出乙队队员身高的方差，再根据方差的意义求解即可．
【详解】解：乙队5名队员身高的方差为：
，
∵甲队5名队员身高的方差为2，
∴乙队5名队员身高的方差小于甲队，
∴两队中身高更整齐的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则数
据的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
三、解答题：
13．某校对甲，乙两人的射击成绩进行了测试，测试成绩如表：
第二 第四
第一次 第三次 第五次
次 次
甲命中环
7 8 8 8 9
数乙命中环
10 6 10 6 8
数
(1)分别求出甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；
(2)现要从甲，乙两人中选拔一人参加比赛，你认为挑选哪一位较合适，请说明理由．
【答案】(1)甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，甲的方差是 ，乙的方差是 ；
(2)推荐甲参加比赛较合适．理由见解析
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可得甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；
（2）根据甲、乙两名运动员的方差，即可判断出荐谁参加省比赛更合适．
【详解】（1）解：甲的平均成绩是： ，
乙的平均成绩是： ，
甲的方差是： ，
乙的方差是： ；
（2）解：推荐甲参加比赛较合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的五次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛较合适．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明
这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．武侯区某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动，随机选取了该校八年
级的50名学生进行测评，统计数据如下表：
测评成绩（单位： 9
80 85 95 100
分） 0
1
人数 5 10 20 5
0
(1)这50名学生的测评成绩的平均数是 分，众数是 分，中位数是 分，方差是 分2；
(2)若该校八年级共有学生300名，测评成绩在90分以上（包含90分）为优秀，试估计该
校八年级优秀学生共有多少名？
【答案】(1)91；95；92.5；30.8
(2)210人
【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50名学生总分，然后除以50即可求出平均数；
将50名学生数学成绩按照从小到大顺序排列，求出众数、中位数、方差即可；
（2）由优秀的百分比乘以300即可得到结果；【详解】（1）解： (分)；
这50名学生的测评成绩出人数有20个，是最多的，所以众数是95分，
将50名学生数学成绩按照从小到大顺序排列，第25个成绩是90分，第26个成绩是95分，
∴中位数是 (分)，
（ ）；
（2）解：该校八年级优秀学生共有 人，
答：估计该校八年级优秀学生共有210名．
【点睛】本题考查了加权平均数、众数以及中位数、方差，用样本估计总体的知识，解题
的关键是牢记概念及公式．
15．刚刚举行的九年级体育模拟中，甲、乙两位同学在进行投篮测试，测试共五组，每组
投10次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，9，6，7；乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 8 b 9 d
乙 a 9 c 4.4
(1) ， ；
(2)试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；
(3)如果你是体育老师，请你从平均成绩和成绩的稳定性两个方面分析哪位同学的成绩更好？
（请说明理由）
【答案】(1)9，9
(2)8，1.6
(3)甲，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据平均数和方差的定义求解即可；
（3）通过比较平均数和方程，在平均数相同的情况下，选择方差较小的参加．
【详解】（1）解：∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9，位置在
最中间的是9，
∴这组数据的中位数为9，
∴ ，
∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多，
∴乙组数据的众数为：9；
∴ ．（2）解：乙的平均数为 ，
甲的方差 ；
（3）解：选择甲选手参加比赛．
理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，但甲的方差 乙的方差4.4，
∴在平均数相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的计算方法，并利用以上指标对数据进
行判断．
16．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的
决赛成绩如图所示．
(1)根据图示填写下表：
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 _______ 85 _______
B校 85 _______ 100
(2)结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
(3)若A校的方差为70分2，计算B校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较
为稳定．
【答案】(1)85；85；80
(2)在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些
(3)B校的方差为160，A校代表队选手成绩较为稳定
【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义
回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
（3）分别求出A校、B校的方差即可．
【详解】（1）A校平均数为： （分），众数85（分）；
B校中位数80（分）．
填表如下：
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85 85 85
B校 85 80 100
故答案为：85；85；80．
（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．
（3）B校的方差
∴ ，
因此，A校代表队选手成绩较为稳定．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按
从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据
中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和
再除以数据的个数．
能力提升篇
一、单选题:
1．在一次“讲文明，树新风”文明礼仪知识竞赛中，6位学生的成绩分别为75分，75分，
80分，85分，90分，95分，统计时误将一位学生的成绩75分记成了70分，则其中不受
影响的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】由于中位数体现数据的中间值的大小，75分和70分都不是中间数，不受影响，
由此得出答案．
【详解】解：统计时误将一位学生的成绩75分记成了70分，则其中不受影响的统计量是
中位数.
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：
环）统计如下表：甲 乙 丙 丁
平均数 （单位：
9.7 m 9.3 9.6
环）
方差 0.25 n 0.28 0.27
根据表中数据，可以判断乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，则m、n的值可以是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方差和平均数的意义求解即可．
【详解】∵乙选手是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，
∴ ，
∴符合此条件的是 ，
故选B．
【点睛】本题考查了平均数和方差的意义，掌握平均数反应一组数据的一般情况和平均水
平；方差是反映一组数据稳定程度的量，方差越大，说明相对于平均水平的波动越大，越
不稳定，方差越小，说明相对于平均水平的波动越小，越稳定是解题关键．
3．若样本 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，则对于样本 ， ， ，
，下列结论正确的是（）
A．平均数为 ，方差为 B．平均数为 ，方差为
C．平均数为 ，方差为 D．平均数为 ，方差为
【答案】A
【分析】根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都增加n，
所得到的新一组数据的平均数就增加n，而方差不变．
【详解】解∶样本 ，对于样本 来说，
每个数据均在原来的基础上增加了3，根据平均数、方差的变化规律得∶平均数较前增加
3，而方差不变，即平均数为 ，方差为2．
故选∶A．
【点睛】本题考查平均数和方差，本题解题的关键是看出两组数据之间的关系，特别是系
数之间的关系，本题是一个基础题．
二、填空题:
4．已知一组数据： 、 、 ，小明用 计
算这一组数据的方差，那么 ______ .
【答案】【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
【详解】解：由 ，可知这 个数据的平均数为 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数
据个数．
5．某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计
如表：
9 9
成绩/分 91 93 94 95 96 97 98 100
2 9
1
人数 1 2 3 5 7 7 12
0
其中有两个数据被遮盖，关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖
的数据无关的是___．（填写序号即可）
【答案】③
【分析】通过计算成绩为91、92的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因
此不影响众数，即可进行选择．
【详解】解：由表格数据可知，成绩为91、92的人数为
（人），
成绩为100出现次数最多，因此成绩的众数是100，
所以众数与被遮盖的数据无关，而平均数和方差都与被遮盖的数据有关，
故答案为：③．
【点睛】本题考查众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，
以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
6．目前，做核酸检测是排查新冠肺炎确诊病例的有效手段．下表是某市一院与二院在 2
月3 日至 2 月 9 日做核酸的人数表：
1
一院/百人 7 8 8 9 7 7
0
二院/百人 8 9 7 7 6 9 10
设一院做核酸人数的方差为 ，二院做核酸人数的方差为 ，则__医院做核酸的人数
更稳定．（填“一院”或“二院”）．
【答案】一院
【分析】分别求出 和 ，再根据方差越小越稳定，即可进行解答．【详解】解：一院平均每天做核算人数： （百人），
一院平均每天做核算人数： （百人），
∴ ，
，
∴ ，即“一院”医院做核酸的人数更稳定，
故答案为：一院．
【点睛】本题主要考查了根据方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差的计算方差，
以及方差越小越稳定．
三、解答题:
7．某校八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛，并从其中分别随机抽取了20名学生的
成绩（用x表示），共分成四组： ， ， ，
．其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，
100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．九年级20名学生的成绩在C
组中的数据是：90，91，92，92，93，94．根据以上信息，解答下列问题：
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年
90 90
级
九年
90 100
级
(1)直接写出上述a、b、c的值： ___________， __________， __________．
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1000人参加了此次航天科普知识竞赛活动，参加此次活动成绩优秀
的九年级学生大约有多少人？
【答案】(1)40，96，92.5(2)九年级的成绩相对更好，理由见解析
(3)估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数为700人
【详解】（1）解：由题意知，
九年级成绩为C的学生所占百分数为： ，
因此 ；
八年级20名学生的成绩中96出现的次数最多，因此 ；
将九年级20名学生的成绩从低到高排序，第10位和第11位分别为92，93，
因此 ；
故答案为：40，96，92.5．
（2）解：九年级的成绩相对更好．理由如下：
九年级测试成绩的众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级．
（3）解： （人），
答：估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数为700人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识
点，难度不大，解题的关键是熟练掌握中位数、众数的定义，理解方差的意义．
8．甲、乙两台机床同时加工直径为 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随
机抽出6件进行测量，测得数据如下表（单位： ）：
9
甲机床 100 98 100 100 103
9
9 10
乙机床 100 99 100 100
9 2
(1)分别计算两组数据的平均数与方差；
(2)根据（1）的计算结果，你能知道哪一台机床加工这种零件更符合要求吗？
【答案】(1) ， ； ，
(2)乙机床加工这种零件更符合要求
【分析】（1）根据平均数的公式和方差的公式求解即可；
（2）根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也
成立，方差小的机床加工这种零件更符合要求．
【详解】（1） ，，
，
；
，
；
（2）由（1）可知， ，而 ，
∴乙机床加工这种零件更符合要求．
【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设 个数据， ， ，… 的平均数为 ，
则方差 ，它反映了一组数据的波动大小，方差
越大，波动性越大，反之也成立．
