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第二十章 数据的分析
第1课时 20.2数据的波动程度
一、温故知新（导）
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据
波动（离散）程度的量，其中最重要的就是方差，本节我们将在实际问题情境中，了解方差的统计
意义并运用方差解决实际问题，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1. 了解方差的定义和计算公式、理解方差概念的产生和形成过程；
2. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小；
3. 经历探索方差的应用过程，体会数据波动中方差的求法，积累统计经验；
4.培养学生的统计意识，形成尊重事实，用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义.
学习重难点
重点：方差产生的必要性的理解及公式运用；
难点：理解方差公式、能够运用方差判断波动程度.
二、自我挑战（思）
1、问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是
农科院所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用 10块自然条件相同的
试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如表20-8所示.
表20-8
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?
（1）甲、乙两种甜玉米种子的平均产量：x =7.537；x =7.515
甲 乙
这说明什么问题？
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.可以估计这个地区种植两种甜玉米的平均
产量相差不大.
（2）为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的分布情况，把这两组数据画成下面的图.观察产量分布图，谁的波动较大？
根据图象，点偏离平均线的距离判断，甲种甜玉米的波动较大，乙种甜玉米的波动较小.
2、方差
统计中常采用下面的做法：设有n个数据x， x ，…，x，各数据与它们的平均数 的差的平方分
1 2 n
别是 ， ， … ， ，我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2.
注意：方差越 大 ，数据的波动越大；方差越 小 ，数据的波动越小．
3、上面问题中，根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?
显然 ，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．
据样本估计总体的统计思想，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，种乙种甜玉米
产量较稳定．
三、互动质疑（议、展）
1、方差的意义
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；(越不稳定)
方差越小，数据的波动越小． (越稳定)
2、实例：
例1. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身
高(单位：cm)如表所示.
甲 163 164 164 165 165 166 166 167
乙 163 165 165 166 166 167 168 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是
方差分别是
由S 2 ＜ S 2 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
甲 乙
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、数据2，4，6，8，10的方差是（ ）
A．2 B．2√2 C．8 D．40
1、解：平均数为：（2+4+6+8+10）÷5=6，
1
S2= ×[（2-6）2+（4-6）2+（6-6）2+（8-6）2+（10-6）2]
5
1
= ×（16+4+0+4+16）
5
=8，
故选：C．
2、对一组数据：5，-5，9，7，9，描述正确的是（ ）
A．中位数是9 B．平均数是5 C．众数是7 D．方差是7
2、解：将该组数据按从大到小的顺序排列为：9，9，7，5，-5，
∴中位数是7，故A错误，不符合题意；
9+9+7+5+(−5)
平均数是 ＝5，故B正确，符合题意；
5
众数是9，故C错误，不符合题意；
(9−5) 2+(9−5) 2+(7−5) 2+(5−5) 2+（−5−5））2
方差是 ＝27.2，故D错误，不符合题意．
5
故选：B．
3、从甲，乙，丙，丁四人中选一人参加区里举办的垃圾分类知识大赛，经过三轮初赛，他们
的平均成绩都是92.5分，方差分别是s 2=3.4，s 2=2.1，s 2=2.5，s 2=2.7．你认为最合适
甲 乙 丙 丁
的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3、解：∵ ＝3.4， ＝2.1， ＝2.5， ＝2.7，
s2 s2 s2 s2
甲 乙 丙 丁
∴ ，
s2 <s2 <s2 <s2
乙 丙 丁 甲又∵他们的平均成绩都是92，
∴我认为最合适的选手是乙．
故选：B．
4、一组数据2、4、5、6、x的平均数是4，则这组数据的方差是 ．
4、解：∵数据2、4、5、6、x的平均数是4，
2+4+5+6+x=4×5，
x=3，
1
则组数据的方差s2= ×[（2-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（6-4）2+（4-4）2]=2．
5
故答案为：2．
5、甲、乙两名学生参加学校举办的“安全知识大赛”．两人 5次成绩的平均数都是95分，方差
分别是s 2＝2.5，s 2＝3，则两人成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
甲 乙
5、解：∵两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S 2=2.5，S 2=3，
甲 乙
∴s2 ＜s2 ，
甲 乙
∴成绩比较稳定的是甲；
故答案为：甲．
6、某校开展演讲比赛，经历初赛、复赛、决赛三个环节．九（1）、九（2）班各选出5名选
手参加复赛，成绩如图所示．
（1）求出九（1）班选手成绩的方差；
1
（2）你认为选哪个班代表九年级参加学校的决赛比较好，说明理由．（参考信息：S2＝
n
[(x −x)2+(x −x)2+⋯⋯+(x −x)2]）
1 2 n
1
6、解：（1）x ＝ (85+75+80+85+100)＝85，
1班 5
1
∴s2 ＝ [(85−85)2+(75−85)2+(80−85)2+(85−85)2+(100−85)2]＝70；
1班 5
1
（2）x ＝ (70+100+100+75+80)＝85
2班 5
1
s2 ＝ [(70−85)2+(100−85)2+(100−85)2+(75−85)2+(80−85)2]＝160，
2班 5
由（1）知： ＝85， =70，
x s2
1班 1班
∴x =x ，1班的方差小于2班方差，
1班 2班
∴九（1）班比九（2）班成绩更平稳一些，
∴选九（1）班代表九年级参加学校的决赛比较好．六、用
（一）必做题
1、对于一组统计数据：2，2，3，4，4．下列说法错误的是（ ）
A．平均数是3 B．方差是0.8 C．中位数是3 D．众数是4
1、解：数据2，2，3，4，4由小到大排列为：2，2，3，4，4，
所以数据的众数为2和4，故选项D符合题意；
中位数为3，故选项C不符合题意；
1
平均数为 ×（2+2+3+4+4）=3，故选项A不符合题意；
5
1
方差S2= ×[2×（2-3）2+（3-3）2+2×（4-3）2]=0.8，故选项B不符合题意．
5
故选：D．
2、甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人 20次射击成绩的平均数x（单位：
环）及方差s2如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 9 9 8 8
s2 1.8 0.6 5 0.6
根据表中数据，要从中选择一名运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2、解：∵甲和乙射击成绩的平均环数较大，且乙的方差小，
∴乙成绩好且发挥稳定．
故选：B．
3、若一组数据x ，x ，x ，…，x 的方差为2，则数据x +3，x +3，x +3，…，x +3的方差是
1 2 3 n 1 2 3 n
（ ）
A．2 B．5 C．6 D．11
1
3、解：设一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x，则方差为 [(x −x)2+(x −x)2+...+(x −x
1 2 3 n n 1 2 n
)2]=2，
1
∴数据x +3，x +3，x +3，…，x +3的平均数为（x+3），方差为 [(x +3−x−3)2+(x +3−x
1 2 3 n n 1 2
1
−3)2+...+(x +3−x−3)2]= [(x −x)2+(x −x)2+...+(x −x)2]=2．
n n 1 2 n
故选：A．
4、端午小长假小明统计了同组同学学习时长的数据并利用数据编制了思考小问题：已知学习
时长数据（单位：小时）4，x,5，7，9的众数等于中位数，则这组数据的方差为 ．
4、解：若x=4，则这组数据为4，4，5，7，9，其众数为4，中位数为5，不符合题意；
若x=5，则这组数据为4，5，5，7，9，其众数为5，中位数为5，符合题意；
4+5+5+7+9
这组数据的平均数为 =6，
5
1
其方差为 ×[（4-6）2+2×（5-6）2+（7-6）2+（9-6）2]=3.2；
5若x=7，则这组数据为4，5，7，7，9，其众数为7，中位数为7，符合题意；
4+5+7+7+9
这组数据的平均数为 =6.4，
5
1
其方差为 ×[（4-6.4）2+（5-6.4）2+2×（7-6.4）2+（9-6.4）2]=3.04；
5
若x=9，则这组数据为4，5，7，9，9，其众数为9，中位数为7，不符合题意；
综上，这组数据的方差为3.2或3.04．
5、已知数据x ，x ，…，x 的方差是3，则一组新数据2x +4，2x +4，…，2x +4的方差是
1 2 n 1 2 n
．
5、解：∵数据x ，x ，…，x 的方差是3，
1 2 n
∴数据2x +4，2x +4，…，2x +4的方差为：22×3=12．
1 2 n
故答案为：12．
6、在党的二十大胜利召开之际，某中学举行“同声放歌心向党，携手欢庆二十大”歌唱大赛，
向党的二十大献礼，八年级和九年级根据级部初赛成绩，各选出 5名选手参加复赛，两个年
级各选出的5名选手的复赛成绩（单位：分）如下表：
八年级 80 75 85 100 85
九年级 75 100 70 100 80
（1）八年级复赛成绩的中位数是 分，九年级复赛成绩的众数是 分；
（2）计算两个年级复赛成绩的方差，并说明哪个年级的复赛成绩较稳定．
6、解：（1）把八年级成绩从小到大排列为：75，80，85，85，100，处在最中间的为85，
∴八年级复赛成绩的中位数是 85分；
∵九年级复赛成绩中100分出现了两次，出现的次数最多，
∴九年级复赛成绩的众数是100分，
故答案为：85；100；
75+80+85+85+100
（2）八年级复赛成绩的平均成绩为 ＝85分，
5
(75−85) 2+(80−85) 2+2×(85−85) 2+(100−85) 2
∴八年级复赛成绩的方差为 ＝70；
5
75+80+70+100+100
九年级复赛成绩的平均成绩为
5
＝85分，
(75−85) 2+(80−85) 2+2×(100−85) 2+(70−85) 2
∴九年级复赛成绩的方差为 ＝160；
5
∵160＞70，即 ＜ ，
s2 s2
八年级 九年级
∴八年级的复赛成绩较稳定．
（二）选做题
7、为了进一步丰富社区文化体育活动，强健民众体质，某社区组织篮球爱好者分甲、乙两组
各推选10名队员进行投篮比赛．按照比赛规则，每人各投 10个球，将两组队员的进球数绘
制成如下统计图、表：
甲、乙两组投篮进球情况分析表
进球数
10 9 8 7 4 3
（个）
人数（人） 1 1 2 4 1 1甲、乙组投篮进球个数统计表
平均数 中位数 方差
甲组 7 7 1.2
乙组 a b 4
（1）分别求出表格中a和b的值；
（2）从平均数、方差的角度看， 组发挥得更稳定；
（3）如果从这两组中选出一组代表社区参加市级的投篮比赛，要争取个人进球数进入市级前
列，你认为应该选择哪一组，请说明理由．
1
7、解：（1）a＝ (10×1+9×1+8×2+7×4+4×1+3×1)＝7，
10
乙组中进球数从小到大排列后处在第5，6位的数都是7，
∴中位数是7，
∴b=7；
（2）由表知，甲组与乙组的平均数相等，而甲组的方差小于乙组，
所以甲、乙组的平均成绩相等，而甲组发挥的更稳定，
故答案为：甲；
（3）应该选择乙组．
理由：∵乙组个人成绩在8分以上的人数较多，出现高分的可能性较大，
∴应该选择乙组．
8、公司生产A、B两种型号的洗碗机，为了解它们的用水量，工作人员从某月生产的A、B
型洗碗机中各随机抽取10台，保证洗碗数、脏污度等相同的情况下，记录下它们的用水量的
数据（单位：L），并进行整理、描述和分析（用水量用x表示，共分为三个等级：合格
15≤x＜20，良好10≤x＜15，优秀0＜x≤10），下面给出了部分信息：
10台A型洗碗机的用水量：10，13，13，13，10，16，15，8，11，9．
10台B型洗碗机中“良好”等级包含的所有数据为：12，11，11，12，14．
抽取的A、B型洗碗机用水量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分百
A a 12 13 7.924 20%
B 12.5 b 10 10.25 30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，m= ；
（2）这个月公司预计销售A型洗碗机1500台，估计该月A型洗碗机“合格”等级的台数；
（3）根据以上数据，请你为该公司接下来的生产计划提出一条建议，并说明理由．1
8、解：（1）a＝ (10+13+13+13+10+16+15+8+11+9)＝11.8，
10
将B型洗碗机中“良好”等级包含的所有数据从小到大排序为：11，11，12，12，14，
11+12
∴中位数为 ＝11.5；
2
由扇形统计图可得，10台B型洗碗机中“良好”等级的占50%，“优秀”等级的占30%，
∴m%=1-50%-30%=20%，
故答案为：11.8；11.5；20；
（2）1500×20%=300（台），
答：该月A型洗碗机“合格”等级的台数为300台；
（3）可以加大A型洗碗机的生产量，因为其平均用水量较低，同时方差较小，说明用水量比
较稳定．（答案不唯一）
