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第 77 讲 条件概率与全概率公式
1、.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称 P ( B | A ) ＝ 为 在事件 A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率.
2、两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) .
3、全概率公式
一般地，设A，A，…，A是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω且P(A)>0，i＝1,2，…，n，
1 2 n 1 2 n i
则对任意的事件B⊆Ω，有 P (B ) ＝ ∑ P (A
i
)P (B |A
i
) ，我们称上面的公式为全概率公式．
4. *贝叶斯公式：
一般地，设A，A，…，A是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A＝Ω，且P(A)>0, i＝1,2，…，
1 2 n 1 2 n i
n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0有P(A
i
|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
1、（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 的概率为 ；已知
第一次抽到的是 ，则第二次抽取 的概率为 ．
【答案】 ； ．
【解析】由题意，设第一次抽到 的事件为 ，第二次抽到 的事件为 ，
则 ， （B） ，
，
故答案为： ； ．
2、（2023•甲卷（理））有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【答案】
【解析】根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的 70人中，设某人报足球俱乐部为事件 ，报乒乓球俱
乐部为事件 ，
则 （A） ，
由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由 人，
则 ，
则 ．
故选：
1、 (2022·泰州模拟)足球训练中点球射门是队员练习的必修课，经统计，某足球队员踢向球门左侧时进球
的概率为80%，踢向球门右侧时进球的概率为75%.若该球员进行点球射门时踢向球门左、右两侧的概率分
别为60%，40%，则该球员点球射门进球的概率为( )
A. 77% B. 77.5% C. 78% D. 78.5%
【答案】 C
【解析】 由题意，得该球员进行点球射门时踢向球门左侧时进球的概率为80%×60%，踢向右侧进球的概
率为75%×40%，故该球员点球射门进球的概率为80%×60%＋75%×40%＝78%.
2、 (2022·揭阳高三期末)袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两
个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 记第i次取得白球为事件A(i＝1，2).P(A|A)＝＝÷＝.
i 2 1
3、 (多选)(2022·聊城二模)从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽
出1道题，抽出的题不再放回，则下列说法中正确的是( )
A. “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件
B. “第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立
C. 第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是D. 在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是
【答案】 ACD
【解析】 “第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，它们互斥，故A正
确；“第1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件“第2次抽到几何题”发生的概率有影响，“第1次
抽到代数题”发生时，“第2次抽到几何题”的概率是，“第1次抽到代数题”不发生时，“第2次抽到
几何题”的概率是，它们不独立，故B错误；第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是×＝，故C
正确；抽取两次都是几何题的概率是×＝，因此有代数题的概率是1－＝，在有代数题的条件下，两道题都
是代数题的概率是＝，故D正确．故选ACD
4、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|A)＝0.2，则P(A)＝( )
A. B. C.0.33 D.0.1
【答案】A
【解析】 由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)，可得0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝.
考向一 条件概率
例1、一袋中共有大小相同的5个黑球和5个白球．
(1) 若从袋中任意摸出2个球，求至少有1个白球的概率；
(2) 现从中不放回地取球，每次取 1个球，取2次，已知第一次取得白球，求第二次取得黑球的概
率．
【解析】 (1) 记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，
则P(A)＝1－＝.
(2) 记“第一次取得白球”为事件B, “第二次取得黑球”为事件C，
则P(BC)＝＝，P(B)＝＝，
故P(C|B)＝＝.
变式1、 (1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次
从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条
件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝.
变式2、（1）从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次
抽到偶数的概率为________．
【解析】 设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽到偶数”，则P(A)＝，P(AB)＝
×＝，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为P(B|A)＝＝＝.
(2)某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，
则随后一次击中10环的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，
∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A)＝＝＝.
变式3、某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与
其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
0 1 2 3 4 ≥5
险次数
保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种的一位续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
0 1 2 3 4 ≥5
险次数
概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】 (1) 设该续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，
则P(A)＝1－P()＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.
(2) 设该续保人保费比基本保费高出60%为事件B，
P(B|A)＝＝＝.
(3) 设本年度所交保费为随机变量X.
X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
平均保费E(X)＝0.85a×0.30＋0.15a＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a，
所以平均保费与基本保费比值为1.23.
方法总结：求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的
基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝
考向二 全概率公式
例2、有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率．
【解析】 记事件A为从甲袋中取出的2个球有i个白球，其中i＝0，1，2，记事件B为从乙袋中取到
i
的一球为白球，则P(A )＝＝，P(A )＝＝，P(A )＝＝，P(B|A )＝＝，P(B|A )＝＝，P(B|A )＝＝.
0 1 2 0 1 2
由全概率公式，得P(B)＝P(A )·P(B|A )＋P(A )·P(B|A )＋P(A )·P(B|A )＝×＋×＋×＝.
0 0 1 1 2 2
变式1、 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为 0.9，用未
校正过的枪射击，中靶率为0.4.
(1) 该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
(2) 若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
【解析】 设事件A表示枪已校正，事件B表示射击中靶，
则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0.9，
P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6.
(1) 由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×0.9＋×0.4＝0.7.
(2) 由题意，得
P(|)＝＝＝0.8.
变式2、(1) 某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表
明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被
保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在
一年内发生事故的概率是( )
A. 0.155 B. 0.175
C. 0.016 D. 0.096
【答案】B
【解析】 设事件B＝“被保险人是‘谨慎的’”，事件B＝“被保险人是‘一般的’”，事件B＝“被
1 2 3
保险人是‘冒失的’”，则P(B)＝20%，P(B)＝50%，P(B)＝30%.设事件A＝“被保险人在一年内发生事
1 2 3
故”，则P(A|B)＝0.05，P(A|B)＝0.15，P(A|B)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝∑P(B)P(A|B)＝
1 2 3 i i
0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
(2) 人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如
利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，
在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为 80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为
40%，则该只股票将上涨的概率为 .
【答案】0.64
【解析】 记事件A＝“利率下调”，则事件＝“利率不变”，事件C＝“价格上涨”，由题意知P(A)
＝60%，P()＝40%，P(C|A)＝80%，P(C|)＝40%，所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)＝0.48＋0.16＝0.64.
方法总结：利用全概率公式的思路：
(1) 按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2) 求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3) 代入全概率公式计算1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，
发现该100名患者中有20名的年龄位于区间 内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于
区间 内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内，则此
人患该疾病的概率为（ ）
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
【答案】A
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 内为事件A，此人患该疾病为事件B，则
.
故选：A.
2、（2022·广东揭阳·高三期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次
抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
记第 次取得白球为事件 ，直接根据条件概率计算公式即可得结果.
【详解】
记第 次取得白球为事件 ，
故选：C.
3、（2023·江苏南通·统考一模）（多选题）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､
黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 ，则（ ）
A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
【答案】AC
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】 正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”， 不互斥， 错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为 正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史
知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱
中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙
两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，
两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支
部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲
箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）设 表示“第 次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选
择题”，事件 为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则 ､ ､ 彼此互斥，求出相关的概率，再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设 表示“第 次从乙箱中取到填空题”， ，2，
， ，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件 为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件 为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则 ､ ､ 彼此互斥，且 ，
，
，
，
，
，
，所求概率即是 发生的条件下 发生的概率：
