文档内容
期中重难点真题特训之压轴满分题型（72题18个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
压轴满分题一、利用二次根式的性质化简
1．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）计算：
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 是整数，求正整数a的值．
2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）求值：
．
3．（2024九年级·江苏南通·专题练习）若 、 、 为正有理数，证明：
(1)若 为有理数，则 、 为有理数．
(2)若 为有理数，则 、 、 为有理数．
4．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
(1)根据上面三个等式，请猜想 的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：设 ，求不超过 的最大整数是多少？
压轴满分题二、复合二次根式的化简
5．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简 ；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ．
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）像 ， …这样的根式叫做复合二次根式．有一些
复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝ ＝ ＝ ＝ ．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ；
(3)若 ，且a，m，n为正整数，求a的值．7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ① ． ② ．
8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ，
，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ，
，
所以 。
问题：
① 填空： ， ；
② 化简： （请写出计算过程）
压轴满分题三、二次根式混合运算9．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式
的代数式相乘，积不含有二次根式，如 ， ．课本中阅读
材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互
为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
(1)化简： ________；
(2)比较大小： ________ ；（用“>”、“=”或“<”填空）
(3)设有理数 满足： ，则 ________；
(4)已知 ，求 的值．
10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是
武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式的学习中也有这种
相辅相成的“对子”，如 ，它们的积是有理数，我们说这两个
含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：
如 ， ．像这样通过分子，分母同乘以一个式子把分
母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
(1)比较大小： ________ （用“ ”“ ”或“ ”填空）；
(2)计算： ；
(3)设实数 满足 ，求 的值．11．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知 ，则a的值为 ．
12．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样
分析与解答的：
，
．
，即 ．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算∶ _____．
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
压轴满分题四、二次根式的应用
13．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它可求一
些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当 时，取等
号．）
【例】：若 ， ， ，求 的最小值．解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ 时， 的最小值为8
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为 的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，
所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为2和3，求四边形
面积的最小值．
(3)
14．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即 ，当且仅当 时
取等号，此时 有最小值为
【实例展示1】已知 ，求式子 最小值．
解： 当且仅当 即 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大
的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大
于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”．
【实例展示2】如： 这样的分式就是假分式；如： 这样的分式就是真分式，假分数可以化成 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知 ，则当 ______时，式子 取到最小值，最小值为______；
(2)分式 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式形式为______；如果分式
的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
(3)用篱笆围一个面积为 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是多少？
(4)已知 ，当x取何值时，分式 取到最大值，最大值为多少？
15．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式：
，当且仅当 时取到等号．
【提出问题】若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？
【分析问题】例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小
值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1） __________ （用“ ”“ ”“ ”填空）；当 ，式子 的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点 ， 、 的面积分别是8和14，求四
边形 面积的最小值．
16．（23-24八年级下·四川乐山·期末）【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它可求一
些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当 时，取等
号．）
【例】：若 ， ， ，求 的最小值．
解：∵ ， ， ∴ ，
∴ ．
∴ 时， 的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为 的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆
的长是多少；
(2)用一段长为 的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，
菜园面积最大？最大面积是多少；
(3)如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为2和3，求四边形
面积的最小值．压轴满分题五、用勾股定理解三角形
17．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，
点 在边 上， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，点 在线段 上，连
接 ，若 ， ， ，则 长为 ．
19．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图1，在 中， ， ，D、E分别在边 ，
上， ，且 ， 与 相交于点F．(1)求证： 为等边三角形；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)如图2，点H在 上， ， 交 于点G，求证： ．
20．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）【方法储备】如图1，在 中， 为 的中线，若
，求 的取值范围．中线倍长法：如图2，延长 至点D，使得 ，连接 ，
可证明，由全等得到 ，从而在 中，根据三角形三边关系可以确定 的范围，进一步
即可求得 的范围．
(1)在上述过程中，证明 的依据是______， 的范围为______；
(2)【思考探究】如图3，在 中， ，M为 中点，D，E分别为 上的点，连接
，若 ，求 的长；
(3)【拓展延伸】如图4，C为线段 上一点， ，分别以 为斜边向上作等腰 和等
腰 ，M为 中点，连接 ．
①求证： 为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰 绕点C转至图5的位置（A，B，C不在同一条直线上），连接 ，M为
中点，且D，E在 同侧，连接 ．若 ，请直接写出 的面积．压轴满分题六、勾股定理与折叠问题
21．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ， ， ，以
为边在 上方作一个等边 ，将四边形 折叠，使 点与 点重合，折痕为 ，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知 ，线段 上有
一点P（不与B、C重合），连接 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 、 ，当 为
等腰三角形时， 的长为 ．
23．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为 ， ，斜边为
）(1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出 结论吗？如果能，请写出证
明过程；
(2)当 ， 时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边
， 分别与 轴、 轴重合（如图3中 的位置）．点 为线段 上一点，将 沿着直线
翻折，点 恰好落在 轴上的 处，
请写出 、 两点的坐标；
若 为等腰三角形，点 在 轴上，请求出符合条件的所有点 的坐标．
24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形 ， ，点P是射线 上的
动点，连接 ， 是由 沿 翻折所得到的图形．
(1)当点Q落在边 上时， _____；
(2)当直线 经过点D时，求 的长；
(3)如图2，点M是 的中点，连接 ．
① 的最小值为_____；
②当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长．压轴满分题七、勾股定理的逆定理
25．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）如图1，在 中， 为
内一点，且 ，求 的度数；
（2）如图2，在四边形 中， ，求证： ．
26．（24-25八年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，
， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的度数；
(3)在（ ）的条件下，求 的面积．
27．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在 中， ， ，点 从点 出发，沿折
线 的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点 的运动时间为 秒 ．
【问题探究】
（1）当 时
①判断 的形状，并说出理由．
②点 在 边上运动，当 时，求 的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点 运动到 的角平分线上时， 的值为_____．
②如图，当点 运动到 边上时，过点 作 ，交边 于点 ，且 是以 为腰的等腰三
角形，那么 的长等于_____．【引发思考】
（3）如图3，以 为边，在 下方作等腰 ， ， 的最大值为_____．
28．（24-25八年级下·河南郑州·期中）探究一：如图 ， 均为正方形．
问题：（ ）若图 中的 为直角三角形， 的面积为 ， 的面积为 ，则 的面积为________；
（ ）若 的面积为 ， 的面积为 ，同时 的面积为 ，则 为________三角形．
探究二：图形变化：
（ ）如图 ，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什
么关系，并说说你的理由；
（ ）如图 ，如果直角三角形两直角边长分别为 和 ，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上
面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
压轴满分题八、勾股定理的实际应用
29．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严
重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心，
为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段 是台风中心从 市向西北方向移动到 市的大致路线，A是某个大型农场，且 ．若A， 之间相距 ，A， 之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为 ，则台风中心的移动速度是多少？
30．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半
径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点
A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，
且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
31．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）综合与实践
（1）如图1，铁路上 、 两点（看作直线上的两点）相距 千米， 、 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为
___________千米（直接填空）；（2）在（1）的条件下，要在 上建造一个供应站 ，使得 ，求 的距离；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 （ ）的最小值为
___________．
32．（24-25八年级下·河北承德·期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长
都为 ，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如
果直角三角形两条直角边长为 ， ，斜边长为 ，则 .
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②， 与 按如图所示位置放置，连接CD，其
中 ，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，其中 ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同
一条直线上），并新修一条路CH，且 .测得 千米， 千米，求新路CH比原路CA
少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值.
压轴满分题九、勾股定理中的最短路径问题
33．（24-25八年级下·江苏无锡浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千
百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发
现了一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置， ，已知 ，， ， ，试证明 ．
【知识运用】
（2）如图2，铁路上 ， 两点（看作直线上的两点）相距24千米， ， 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米
（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，要在 上建造一个供应站 ，使得 ，求 的长．
（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式 的最小值 ．
34．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点
为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18 ，底面周长为12
，在容器内壁离容器底部7 的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1 的
点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
36．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（ ）， ，点 在落
在边 上，此时 ，设 中， ， ， ，用 、 、 分别表示出梯形
、四边形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理．
(1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理；
(2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距 千米，它们到铁路的距离分
别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确
定P的位置，并求出两条公路的总长；
(3)借助上面的思考过程，求代数式 的最大值．
压轴满分题十、平行四边形的判定与性质
37．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 中， ， ，点 为 中点，点
在 边上， ，若 ，判断下列五个结论中
； ； ， 平分 ；
正确的序号有 ．
38．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，平行四边形 中，点 、 分别是 、
的中点， ， ， ，则 的长是 ．39．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知 和 是一对全等的等腰直角三角形，
， ， ，点 在 边上（不与点 重合），延长 到点 ，
使得 ，过点 作 交 于点 ，垂足为 ，连接 ．下列结论正确
的选项是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④
40．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，
， ．
(1)如图1，若 ， ， ，求四边形 的面积．
(2)如图2，点 、点 分别是 、 上的点， ，点 、点 分别为 、 的中点，连接 ，
为 上一点， 为 延长线上一点，连接 、 ，若 ， ，
，证明： ；(3)如图3，过点 作 于点 ， 是 上一点，连接 ，作 于点 ， 交 于点 ，
， ．当点 在直线 上运动时，将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ， ，
，若 ，当 最小时，直接写出 的面积．
压轴满分题十一、平行四边形的存在性问题
41．（23-24八年级下·江苏常州·单元测试）如图四边形 是平行四边形，点P为 边上一动点，连
接 并延长交 的延长线于点M，过M作 ，垂足是 N，连接 ， ，设点 P 运动时间为
t（s）解答下列问题：
(1)若 ， ， ，点 P 从点A 出发沿 方向运动速度为 ．当t为何值时，
四边形 是平行四边形？
(2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形 是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不
存在请说明理由．
42．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ．动点 从原点 出发，
沿 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点 从点 出发，沿 轴负方向以每秒1个单位的速度
运动，以 、 为邻边构造平行四边形 ，在线段 的延长线长取点 ，使得 ，连接 、
．设点 、 运动的时间为 秒．(1)用含t的代数式表示：
点B的坐标为______，点C的坐标为______；
(2)当 时：①四边形 的面积为______；
②在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
43．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在四边形 中， ，点
从点 出发，以 的速度向点 运动，点 从点 出发，以 的速度向 运动，两点同时出发，
当点 运动到点 时，点 也随之停止运动。若设运动的时间为 秒，当 时，在 、 、
、 、 、 六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．
44．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中， 的顶点A在y轴正半轴上，BC
边在x轴上，已知 ， ，且点B点C关于关于y轴对称
(1)如图1，求点A的坐标．
(2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若 ，求OE的长．(3)如图3，在（2）的条件下，点Q是 外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于
G，且 ，请问是否存在点P使得四边形 为平行四边形？若存在
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
压轴满分题十二、三角形的中位线
45．（24-25八年级下·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形 中， ， 是对角线
的中点， 是 的中点， 是 的中点．求证： ．
（2）如图（2），延长图（1）中的线段 交 的延长线于点 ，延长线段 交 的延长线于点 ．
求证： ．
（3）如图（3），在 中， ，点 在 上， ， 是 的中点， 是 的中点，
连接 并延长，与 的延长线交于点 ，连接 ．若 ，试判断 的形状．并进行证
明．
46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形 中， ，且 ，点E是 的中点，
点F为对角线 上的点，且 ，连接线段 ，若 ，求 的长．
小鹏同学考虑到点E是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 ，与 交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在 中， 平分 ，过点A作 延长线的垂线，垂足为点D， ，求证：
．
【学以致用】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接并延长，与 的延长线交于点G，连接 ，若 ，求证： ．
47．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图1，在等腰三角形 中， ， ，点D，E
分别在边 ， 上， ，连接 ，点M，N，P分别为 ， ， 的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段 ， 的数量关系是 ， 的大小为 ；
(2)探究证明
把 绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明
理由；
(3)拓展延伸
把 绕点A在平面内自由旋转，若 ， ，请求出 面积的最大值．
48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）已知在三角形 中， ， ，点D是平面内
一动点（不与点C重合），连接 ，将线段 绕D点顺时针旋转60°，得到线段 （点E不与点B重
合）．连接 ．取 的中点P，连接 ．
(1)如图（1），当点E落在线段 上时，取 的中点G， 的中点H，连接 ，
①求证： ；②求证： ．
(2)当 ， ，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段 的长．
压轴满分题十三、矩形的判定与性质
49．（2025·陕西汉中·二模）如图，在矩形 中， ， ，点M是平面内任意一点，连接
，点N是 的中点，连接 ，若 ，则 的最大值为 ．
50．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）【回归课本】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三
边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长 到点 ，使 ，连接
，证明 ，再证明四边形 是平行四边形，即可得证．
【类比迁移】
（1）如图2， 是 的中线， 交 于点 ，交 于点 ，且 ，试判断线段 和 的
数量关系．小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长 至点 ，使 ，连接 ，易证 ___________，
__________， ，
___________，
和 的数量关系为___________．
【拓展应用】（2）如图3，在四边形 中， ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，
若 ，求 的长．
51．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形 中，
，点 从点 出发，以 的速度向点 运动；点 从
点 同时出发，以 的速度向点 运动 规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点 ， 运动的时间为
(1) 边的长度为___________ ， 的取值范围为___________．
(2)从运动开始，当 取何值时，四边形 为矩形？
(3)从运动开始，当 取何值时， ？
52．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形 中， ，点P在 上，点Q
在 上，且 ，连接 ，则 的最小值为 ．
压轴满分题十四、菱形的判定与性质
53．（2025·陕西西安·一模）如图，菱形 的边长为 ， ，点 为菱形 内一动点，连
接 ， ，点 为 的中点，连接 ，则 的最小值为 ．
54．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）【探究问题】（1）①在正方形 中，设其边长为 ，则
对角线 ， 和 的数量关系有： ___________；
②在菱形 中，设其边长为 ，则对角线 和 的数量关系有：
___________；③在矩形 中，设 ，则对角线 和 的数量关系有：
___________；
【解决问题】（2）如图1，在平行四边形 中，设 ，猜想对角线 和 ， 的
数量关系有： ___________，并证明你的结论；
【知识应用】（3）如图2，在四边形 中， ， ，点
为 的中点，求 的长．
55．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以
线段 为边作一个菱形 ，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
(3)连接 ，若 ， ， ，求 的面积．
56．（24-25八年级下·广西贵港·阶段练习）如图1，在菱形 中， ，点 是菱形内一点，
且 ，延长 交 于点 ，连接 ，设 ．(1)①填空： ________， ________；（用含 的代数式表示）
②求 的度数．
(2)将 沿 翻折得到 ，如图2，连接 ．
①求证： ；
②若 ， ，连接 ，求 的长．
压轴满分题十五、正方形的判定与性质
57．（2025八年级下·江苏常州·专题练习）如图，在正方形 中， ，E是 边上的一点，将
正方形沿 折叠，点D的对应点为点F，点G为 的中点，当点F恰好落在线段 上时．求证：
(1) ；
(2) ．
58．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一
点，且 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)在图1中，若 在 上，且 ，连接 ，求证： ；
(3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：①如图2，在四边形 中， ， ， ， 是 的中点，且
，求 的长；
②如图3，在菱形 中， ， 、 分别在 和 上，且 ，连接 ．若
， ，请直接写出 的长度________．
59．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连
接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，过点 作 ，交边 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．
①求证：矩形 是正方形；
②若正方形 的边长为 ， ，求正方形 的边长；
(3)若正方形 的边长为 ，连接 ，如图③，直接写出 的值．
60．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，点 在正方形 的 边上（不与点 ， 重合），
是对角线，延长 到点 ，使 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ， ．
(1)根据题意补全图形，并证明 ；
(2)①求证： ；②探究线段 ， ， 之间的数量关系．
压轴满分题十六、中点四边形
61．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形
叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填
序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形 是“中方四边形”，观察图形，线段 和线段 有什么关系，并证明你
的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角 的两边为边长 ，分别向外侧作正方形 和正方形 连结
，依次连接四边形 的四边中点得到四边形 ．求证：四边形 是“中方四边
形”．
62．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四
边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做
“中方四边形”．(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________；
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)如图1，以锐角 的两边 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连结
，求证：四边形 是“中方四边形”；
(3)如图2，四边形 是“中方四边形”，若 的值为32，则 的最小值是________．（不需
要解答过程）
63．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形 中， ， 、 、 、 分
别是 、 、 、 的中点，若 ,则 ．
64．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的
新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形
叫做“中方四边形”．
【概念理解】：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性质探究】：
（2）如图1，四边形 是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形 的对角线 ， 的
关系；【问题解决】：
（3）如图2．以锐角 的两边 ， 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连接
， ， ．求证：四边形 是“中方四边形”；
【拓展应用】：
如图3，已知四边形 是“中方四边形”，M，N分别是 ， 的中点．
（4）试探索 与 的数量关系，并说明理由．
（5）若 ，求 的最小值．
压轴满分题十七、平行四边形中的最值问题
65．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图， 是正方形 外一点，连接 ， ，使 是等边
三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点， ， ，连接 、 、 ．
(1)求证： ；
(2)①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
(3)当 的最小值为 时，求正方形 的边长．
66．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）回顾旧知
（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使 最小？将下面解决问题的思
路补充完整．解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点 ，作
点A关于l的对称点 ， 与直线l相交于点C．连接 ，易知 ，从而有
．这样，在 中，根据“ ”可知 与l的交点P即为所求．
解决问题
（2）如图②，在 中， ，E，F为 上的两个动点，且 ，求
的最小值．
变式研究
（3）如图③，在 中， ，点D，E分别为 上的动点，且 ，
请直接写出 的最小值．
67．（2024八年级下·江苏常州·专题练习）如图，菱形 中， ， ，点 为 边上
任意一点（不包括端点），连结 ，过点 作 ，交边 于点 ，点 线段 上的一点．
(1)若点 为菱形 对角线的交点， 为 的中位线，求 的值；
(2)当 的值最小时，请确定点 的位置，并求出 的最小值；
(3)当 的值最小，且 的值最小时，在备用图中作出此时点 ， 的位置，写作法并写
出 的最小值．
68．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形 中， ， ，点 从 点沿 向 点
移动，若过点 作 的垂线交 于 点，过点 作 的垂线交 于 点，则 的长度最小为．
压轴满分题十八、平行四边形的新定义问题
69．（2025·河南平顶山·一模）定义：在凸四边形中，若有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为直角，我
们把这类四边形叫做“奋进四边形”．若“奋进四边形”的另一组邻边也相等，我们把这类四边形叫做
“和谐奋进四边形”．
(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合“奋进四边形”性质的特殊四边形；
(2)如图1，“奋进四边形” 中， ， ．
①当 ，且 时，求 的长；
②当 时，求证：“奋进四边形” 是“和谐奋进四边形”；
(3)如图2，矩形 中， ， ，点 ， 分别为边 ， 上一个动点，且 ，
当四边形 为“奋进四边形”时，直接写出 的长．
70．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义：如图1对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点
得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原
四边形叫做“中方四边形”．问题解决：
如图2，以锐角 的两边 ， 为边长，分别向外侧作正方形 和正方形 ，连接 ，
， ．
（1）连接 ， ，问 ， 的数量关系和位置关系是什么?请说明理由．
（2）四边形 ______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：
（3）如图3，已知四边形 是“中方四边形”，M，N分别是 ， 的中点．试探索 与 的
数量关系，并说明理由．
71．（24-25八年级下·广东梅州·期中）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运
动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定
义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方
形．
(1)操作发现：
如图1，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 的面积为18， ，则此完美长方形
的边长 _____，面积为_____．
(2)类比探究：
如图2，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 的面积为40， ，求完美长方形
的周长．
(3)拓展延伸：
如图3，将 纸片按所示折叠成完美长方形 ，若 ， ，求此完美长方形
的周长与面积．
72．（24-25八年级下·北京西城·期末）对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对
称点 在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”．
在平面直角坐标系 中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．设点，直线 为过点 且与y轴垂直的直线．
(1)若 在点 中，点________是 关于直线 的“镜像点”；
(2)当 时，若x轴上存在 关于直线 的“镜像点”，则t的最小值为________；
(3)已知直线 过点 且与第一、三象限的角平分线平行．
若直线 上存在 关于直线 的“镜像点”，直接写出t的取值范围；
①
已知边长为1的正方形 的对角线的交点为 ，且正方形 的边与坐标轴平行．若正方
②
形 边上的所有点都是 关于直线 的“镜像点”，直接写出t的取值范围．
