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期末复习押题汇编
一、单选题
1．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．当AC=BD时则四边形
EFGH是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的
判定方法是解题的关键；
1 1 1
根据三角形的中位线定理可得EH= BD,EH∥BD，FG= BD,FG∥BD，EF= AC，进而可得
2 2 2
EH=FG,EH∥FG，即可得出四边形EFGH是平行四边形，结合AC=BD可得EH=EF，得到四边形
EFGH是菱形，即得答案．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
1 1 1
∴EH= BD,EH∥BD，FG= BD,FG∥BD，EF= AC，
2 2 2
∴EH=FG,EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
1 1
∵AC=BD，EH= BD,EF= AC，
2 2
∴EH=EF，
∴四边形EFGH是菱形；
故选：B．
2．如图，一次函数y =−x+5与一次函数y =kx+1的图象交于点P(m,4)，则关于x的不等式−x+5>kx+1
1 2
的解集是（ ）A．x>1 B．x>2 C．x<1 D．x<0
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象写出不等式的解集，能够根据图象找出函数的交点坐标并选
取正确的部分是解题的关键．先求得P(1,4)结合两函数图象，在点P的右边y =kx+1的图象都低于
2
y =−x+5的图象，故应选择点P左边的部分，即可写出解集．
1
【详解】解：将P(m,4) y =−x+5得
1
4=−m+5
解得：m=1，
∴P(1,4)
根据函数图象可得：不等式−x+5>kx+1的解集是x<1,
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一点，将△BCE沿CE所在直线折叠，使得点B恰好落在AD边上
点F处．若∠DCF=40°，则∠BCE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据矩形的性质可得∠DCB=90°，根据∠DCF=40°，
可得∠FCB=50°，进而根据折叠的性质，即可求解．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠DCB=90°，
∵∠DCF=40°，
∴∠FCB=50°，
∵将△BCE沿CE所在直线折叠，1
∴∠BCE= ∠FCB=25°，
2
故选：A．
4．如图是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若AE+BE=8，AB=6，则直角△ABE
的面积为（ ）
A．7 B．7.2 C．7.5 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的意义；设AE=b，EB=a,AB=c，根据题意以及勾股
定理可得a+b=8,c=6，a2+b2=c2，根据完全平方公式变形可得(a+b) 2−2ab=c2，代入数据求得
ab=14，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设AE=b，EB=a,AB=c
依题意，a+b=8,c=6，a2+b2=c2
∴(a+b) 2−2ab=a2+b2=c2
∴2ab=82−62=28
∴ab=14
1
直角△ABE的面积为 ab=7，
2
故选：A．
5．2024年9月5日－6日，“行走大运河”中国辉煌足迹大运河龙舟系列活动（河南郑州站）暨郑州市第十
二届运动会全民健身组龙舟比赛在郑州市郑东新区北龙湖举行，其中甲、乙两队在500米的赛道上划行的
路程y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（ ）
①甲队比乙队晚0.25min到达终点；②当乙队划行110m时，仍在甲队后面；
③当乙队划行200m时，已经超过甲队；
④0.5min后，甲队比乙队每分钟慢50m．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了从函数图象获取信息，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问
题叙述的过程．观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义
逐项分析即可．
【详解】解：①由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，此结论正确；
②由图象可得，当划行的路程为110m时，乙用的时间较多，所以当乙队划行110m时，仍在甲队后面，此
结论正确；
③因为函数图象交于点(1,200)，所以两队在1min时划行的路程都是200m，即当乙队划行200m时，此时
正好追上甲队，此结论错误；
④0.5min后，乙的速度是(500−80)÷(2.25−0.5)=240m/min；甲的速度是500÷2.5=200m/min，所以
甲队比乙队每分钟慢40m，此结论错误；
故选：B．
6．已知直线l :y=(k−1)x+k+1和直线l :y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．当k=2，3，4，…，
1 2
2025时，设直线l ，l 与x轴围成的三角形的面积分别为S ，S ，S ，…，S ，则
1 2 2 3 4 2025
S +S +S +⋅⋅⋅+S 的值为（ ）
2 3 4 2025
1012 2024 4048
A． B． C．1 D．
2025 2025 2025
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的
坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键．
先求出两个函数与x轴的交点坐标，从而求出d的值，分别代入k=2,3,4,…,2025，求出S ,S 、
2 3
S ,…,S 值，将其相加即可得出结论．
4 2025
【详解】解：当y=0时，有(k−1)x+k+1=0，
2
解得：x=−1− ，
k−1
( 2 )
∴直线l 与x轴的交点坐标为 −1− ,0 ，
1 k−1
2 )
同理，可得出：直线l 与x轴的交点坐标为(−1 − ,0 ，
2 k2 2 ) 2 2
∴两直线与x轴交点间的距离d=−1− −(−1− = − ．
k k−1 k−1 k
联立直线l ,l 成方程组，
1 2
{y=(k−1)x+k+1)
得： ，
y=kx+k+2
{x=−1)
解得： ，
y=2
∴直线l ,l 的交点坐标为(−1,2)．
1 2
1
∵S= ×2×d=d，
2
2 2 2 2
∴当k=2时，S = − = − ，
2 2−1 2 1 2
2 2
当k=3时，S = − ；
3 2 3
2 2
当k=4时，S = − ；
4 3 4
…;
2 2
当k=2025时，S = − ；
2025 2024 2025
2 2 2 2 2 2 2 2
∴S +S +S +……+S = − + − + − +…+ −
2 3 4 2024 1 2 2 3 3 4 2024 2025
2
=2−
2025
4048
= ，
2025
故选D．
7．将一组数❑√2，2，❑√6，2❑√2，❑√10，2❑√3，…，❑√2n，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个
数是（ ）
第一行 ❑√2
第二行 2 ❑√6
第三行 2❑√2 ❑√10 2❑√3
……
A．7❑√2 B．8❑√2 C．4❑√15 D．2❑√15
【答案】D
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，
则第八行左起第2个数是❑√2×30=2❑√15，
故选：D．
8．图中表示一次函数y=ax+a与正比例函数y=−ax（a是常数，且a≠0）图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图像，
分a>0和a<0两种情况分别确定函数图像所在象限，再判断即可．
【详解】解：当a>0时，一次函数y=ax+a的图像经过第一，二，三象限，正比例函数y=−ax经过第二，
四象限；
当a<0时，一次函数y=ax+a的图像经过第二，三，四象限，正比例函数y=−ax经过第一，三象限，
所以C符合题意．
故选：C．
9．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）
与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ）
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；③乙车出发后5小时追上甲车；
15 25
④甲乙两车相距50千米时，t= 或t= ．
4 4
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利
用方程组求两个函数的交点坐标．
由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判
断，再令两函数解析式的差为50，可求得t可得出答案．
【详解】解：图象可知A、B两城市之间的距离为600km，甲行驶的时间为10小时，而乙是在甲出发2小
时后出发的，且用时6小时，
即比甲早到2小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y =kt，
甲
把(10,600))代入可求得k=60，
∴y =60t，
甲
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y =mt+n，
乙
把(2,0)和(8,600)代入可得
{ 2m+n=0 )
，
8m+n=600
{m=100
)
解得 ，
n=−100
∴y =100t−100，
乙
令y = y 可得：60t=100t−100，
甲 乙
5
解得t= ，
2
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
由题意可知，乙出发前甲、乙两地相距50千米时，
则50=60x，
5
解得x= ，
6
当乙追上甲后，令y −y =50，100t−100−60t=50，
乙 甲
15
解得t= ，
4
当乙到达目的地，甲自己行走时，y=60t=250，25
解得y= ，
6
5 15 25
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，t= 或 或 ，故④错误．
6 4 6
综上可知正确的有①②，共2个．
故选：C．
10．如图是第九届亚冬会期间热销的一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过
调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带A总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，
其中调节扣的长度忽略不计）．对该单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度为xcm，单层部分的
长度为ycm，得到如下数据：
双层部分长度
2 6 10 14 …
x/cm
单层部分长度 116 108 10 92 …
y/cm 0
则y与x之间的关系式为（ ）．
A．y=−x+120 B．y=−x+100 C．y=−2x+120 D．y=−2x+100
【答案】C
【分析】本题考查了表格表示函数关系式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，由表
格数据可知，y与x成一次函数关系，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【详解】解：由表格数据可知，双层部分的长度每增加4cm，单层部分的长度就减少6cm，因此y与x成
一次函数关系，
设y=kx+b(k≠0)，把x=2，y=116，把x=6，y=108代入得：
{2k+b=116)
，
6k+b=108
{k=−2)
解得：
b=120
∴y与x的函数表达式为y=−2x+120．
故选：C．11．如图，一次函数y=kx+b的图象过点(2,−1)，则关于x的不等式kx+b>−1的解集为（ ）
A．x<2 B．x>2 C．x<−1 D．x>−1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】解：由函数图象可知，
当x<2时，一次函数y=kx+b的图象在直线y=−1的上方，即kx+b>−1，
所以不等式kx+b>−1的解集为x<2．
故选：A．
12．如图，▱EFGH的四个顶点分别在▱ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q，过
点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若四边形FBNP面积为a，则▱EFGH的面积为
（ ）
3 5
A． a B．a C． a D．2a
2 2
【答案】B
1
【分析】连接PG，FN，根据平行四边形的性质可得△FPG的面积= ▱EFGH的面积，再利用平行四
2
边形的性质可得作AD ∥ BC，从而可得QF ∥ BC，进而可得△FPG的面积=△FPN的面积，然后再
1
根据作MN ∥ AB，可证四边形FBNP是平行四边形，从而可得△FPN的面积= ▱FBNP的面积，进
2
而可得▱EFGH的面积= ▱FBNP的面积，即可解答．
【详解】解：连接PG，FN，∵ EFGH
四边形 是平行四边形，
1
∴△FPG的面积= ▱EFGH的面积，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥ BC，
∵QF ∥ AD，
∴QF ∥ BC，
∴△FPG的面积=△FPN的面积，
∴MN ∥ AB，
∴四边形FBNP是平行四边形，
1
∴△FPN的面积= ▱FBNP的面积，
2
∴▱EFGH的面积= ▱FBNP的面积，
∵四边形FBNP面积为a，
∴ ▱EFGH的面积为a，
故选：B．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA=12，
S =240，则OH的长为（ ）
菱形ABCD
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直
且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO=BO，AO=OC，求
出AC，根据S =240求出BD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可．
菱形ABCD
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO=BO，AO=OC，
∵OA=12，
∴AC=2OA=24，
∵S =240，
菱形ABCD
1
∴ ×24×BD=240，
2
解得：BD=20，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB=90°，
∵DO=BO，
1
∴OH= BD=10．
2
故选：B．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M，N分别在边AB，BC上，E，F分别
为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．5
【答案】D
1
【分析】连接DM，证明EF是△MND的中位线，则EF= DM，根据题意得到当点M与点B重合时，
2
DM最大，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中
位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：连接DM，∵E，F分别为MN，DN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
1
∴EF= DM，
2
∵点M，N分别在边AB，BC上，
∴当点M与点B重合时，DM最大，
∵∠A=90°，AB=8，AD=6
∴此时DM=❑√AB2+AD2=10，
1
∴EF长度的最大值为 ×10=5，
2
故选：D．
15．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表
刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙
的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为6米，柱身高约16米，
1 1
∴AB=6米，AE= AD= ×16=8（米），
2 2
∴BE=❑√AB2+AE2=❑√62+82=10（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20（米），故选：A．
16．如图，正方形ABCD的边长为❑√2，作正方形A B C D ，使A，B，C，D是正方形A B C D 各边的
1 1 1 1 1 1 1 1
中点；做正方形A B C D ，使A ，B ，C ，D 是正方形A B C D 各边的中点……以此类推，则正
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
方形A B C D 的边长为（ ）
2025 2025 2025 2025
A．21012 B．21013 C．22025 D．(❑√2) 2025
【答案】B
【分析】本题考查了图形规律，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，找出边长的规律是关键．
根据题意，正方形A B C D 的边长为❑√2n+1，由此即可求解．
n n n n
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为❑√2，
∴AB=BC=❑√2，∠ABC=90°，
∵点B是正方形A B C D 边A B 的中点，
1 1 1 1 1 1
∴A B=BB ，∠A A B=90°，
1 1 1
同理，DA=A A ，
1
∴A A=A B，
1 1
∴△A A B是等腰直角三角形，
1
❑√2
∴A A =A B= AB=1，则A B =2A A =2
1 1 2 1 1 1
∴正方形A B C D 的边长为2=❑√4=❑√22，
1 1 1 1同理，△A B B 是等腰直角三角形，
1 2 1
❑√2
∴A B =B B = A B =❑√2，则A B =2A B =2❑√2，
1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2
∴正方形A B C D 的边长为2❑√2=❑√8=❑√23，
2 2 2 2
⋯⋯，
∴正方形A B C D 的边长为❑√2n+1，
n n n n
∴正方形A B C D 的边长为❑√22025+1=❑√22026=❑√(21013) 2 =21013，
2025 2025 2025 2025
故选：B ．
17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，满足DF∥AC，DE∥AB，连接AD．
①当DE⊥AC时，四边形AFDE为矩形；
②当AD平分∠BAC时，四边形AFDE为菱形；
③当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFDE为正方形．
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为
平行四边形得出AFDE为平行四边形，当∠DEA=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角
为直角的平行四边形为矩形可得出①正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内
错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据
邻边相等的平行四边形为菱形可得出②正确；当△ABC为等腰直角三角形时，∠BAC=90°，但AE不一
定等于AF，∴平行四边形AFDE不一定是正方形，③不正确．
【详解】解：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AC；
∴∠DEA=90°，
∴平行四边形AFDE为矩形，选项①正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，又DE∥CA，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE为菱形，选项②正确；
当△ABC为等腰直角三角形时，∠BAC=90°
∴平行四边形AFDE为矩形，但平行四边形AFDE不一定是正方形，选项③错误，
则其中正确的是①②．
故选：A．
18．如图，一次函数y=kx+b(k、b均为常数，且k≠0)与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则关于x、y的
{y=kx+b)
方程组 的解是（ ）
y=x+2
{x=1) {x=4) {x=3) {x=2)
A． B． C． D．
y=2 y=2 y=4 y=4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数y =k x+b ，y =k x+b ，其
1 1 1 2 2 2
{y＝k x+b )
图象的交点坐标(x,y)中x，y的值是方程组 1 1 的解．把P(m,4)代入y=x+2求出m的值即
y＝k x+b
2 2
可求解．
【详解】解：把P(m,4)代入y=x+2，得
4=m+2，
∴m=2 ，
∴P(2,4)，
∵次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(2,4)，
{y=kx+b) {x=2)
∴方程组 的解是 ．
y=x+2 y=4故选|D．
19．两条直线 y =kx+b 与y =−bx+k在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答
本题.本题考查是两条直线相交问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：A、当k>0，b>0时，一次函数y =kx+b的图象经过第一、二、三象限，y =−bx+k的图
1 2
象经过第一、二、四象限，故该选项不符合题意；
B、当k>0，b<0时，一次函数y =kx+b的图象经过第一、三、四象限，y =−bx+k的图象经过第一、
1 2
二、三象限，故该选项不符合题意；
C、当k>0，b>0时，一次函数y =kx+b的图象经过第一、二、三象限，y =−bx+k的图象经过第一、
1 2
二、四象限，故该选项符合题意；
D、当k<0，b>0时，一次函数y =kx+b的图象经过第一、二、四象限，y =−bx+k的图象经过第二、
1 2
三、四象限，故该选项不符合题意；
故选：C
二、填空题
20．如图圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁
正好在杯外壁A，离杯口上沿4cm与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．【答案】5❑√17
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解
题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求．
【详解】解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
1
则A′ A=2×4=8cm,DE=4cm,DC=DE+CE=4+14−5=13cm,A′D= ×32=16cm，
2
连接A′F，当点A′、F、C在同一条直线上时，A′C最短，
则此时AF+CF=A′F+CF=A′C为蚂蚁从外壁A′处到内壁C处的最短距离，即A′C的长度，
∵A′C=❑√A′D2+CD2=❑√162+132=5❑√17(cm)，
∴蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离为5❑√17cm，
故答案为：5❑√17．
21．如图，已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为CB延长线上一点，以BE为边，在直线CE上方作正
方形BEFG，连接DF，取DF的中点M，连接BM．若∠FMB=60°，则BE= ．
【答案】2❑√3【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接BF,DB，根据正方形的性质得出
BD=❑√2BC=6❑√2，求出DF=2BF，根据勾股定理得出BF=2❑√6，再根据勾股定理得出BE=2❑√3．
【详解】解：连接BF,DB，如图，
∵四边形ABCD,BEFG为正方形，
∴∠GBF=45°,∠ABD=45°,BC=CD=6，
∴∠DBF=∠GBF+∠ABD=90°,BD=❑√2BC=6❑√2，
∵M是DF的中点，
∴MF=MB=MD，
∵∠FMB=60°，
∴△FBM是等边三角形，
∴MF=BF,
∴DF=2BF，
在Rt△DBF中，DB2+BF2=DF2，
∴(6❑√2) 2+BF2=(2BF) 2，
∴BF=2❑√6，
❑√2
∴BE= BF=2❑√3，
2
故答案为：2❑√3．
22．如图，菱形ABCD的边长为5，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则
PM+PN的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点间线段最短等知识，利用菱形的对称性是解题的关键；取AD的中点E，连接PE，NE，由菱形的对称性知，PM=PE；由
PM+PN=PE+PN≥NE，当点P在线段NE上时，PM+PN的值最小，最小值为线段EN的长，利用
平行四边形的性质求出EN的长即可．
【详解】解：如图，取AD的中点E，连接PE，NE；
由菱形的对称性知，PM=PE；
∵PM+PN=PE+PN≥NE，
∴当点P在线段NE上时，PM+PN的值最小，最小值为线段EN的长；
∵E、N分别为AD、BC的中点，
1 1
∴AE= AD，BN= BC；
2 2
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=5，AD∥BC，
∴AE=BN，AE∥BN，
∴四边形AENB是平行四边形，
∴EN=AB=5，
即PM+PN的最小值为5；
故答案为：5．
23．已知A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l ，l 表示两人离A地的距
1 2
离s（km）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有 km．
【答案】45
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握函数图象信息，待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质．
根据题意和l 的图象求得乙对应的函数解析式，求出当时间t=2时的路程s的值，即得乙距终点的路程．
2
【详解】解：设乙对应的函数解析式为s=ct+d，
把(0.5,0)，(3.5,90)代入，
{0.5c+d=0
)
得 ，
3.5c+d=90
{ c=30 )
解得 ，
d=−15
即乙对应的函数解析式为s=30t−15，
当t=2时，
s=30×2−15=45，
∴90−45=45（km），
即当甲到达终点时乙距离终点还有45km．
故答案为：45．
24．公元3世纪，我国数学家赵爽在《周髀算经》中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是
由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角
边长为b，大正方形面积为20，且(a+b) 2=32．则小正方形的面积为 ．
【答案】8
【分析】先求出四个直角三角形的面积，再根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形
的面积即可得．本题考查了勾股定理的几何应用，完全平方公式，直角三角形的面积公式等知识点，利用
勾股定理求出大正方形的边长是解题关键．
1
【详解】解：由题意得，四个直角三角形的面积为4× ab=2ab，
2
由勾股定理得，大正方形的边长为❑√a2+b2，
则有(❑√a2+b2
)
2 =20，即a2+b2=20，
∵(a+b) 2=32，
∴a2+2ab+b2=32，即20+2ab=32，
解得2ab=12，
则小正方形的面积为20−12=8，故答案为：8
25．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，M，N分别为BC，CD上的两个动点，∠MAN=60°，
AM，AN分别交BD于点E，F．以下结论：①AM=AN；②CM+CN=2；③BE+FD=2EF；④
2AE+BE的最小值为2❑√3．其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、
全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
连接AC，过点E作EH⊥AB于点H，根据菱形的性质，利用ASA证明△ABM≌△ACN，得出
AM=AN，判断①，得出BM=CN，根据CM+CN=CM+BM=BC=2 ，判断②，根据随着点M离点
B越近，点N离点C越近，则点E离点B越近，点F离菱形的对角线交点越近，则BE+FD越接近等于EF，
判断③，根据含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出
1
AE+ BE=AE+EH的最小值，等于当AM⊥BC时，AM的值，结合勾股定理计算，得出2AE+BE
2
的最小值=2×❑√3=2❑√3，判断④．
【详解】解：如图，连接AC，过点E作EH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，
1
∴AB=BC=CD=DA=2，∠ADC=60°，∠HBE=∠CBD= ∠ABC=30°，
2
1
∴△ABC和△ADC是等边三角形，EH= BE，
2
∴∠BAC=∠ACN=∠ABM=60°，AB=AC，
∴∠BAM+∠CAM=60°，
∵∠MAN=60°，
∴∠CAN+∠CAM=60°，∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，
{∠ABM=∠ACN
)
AB=AC ，
∠BAM=∠CAN
∴△ABM≌△ACN(ASA)，
∴AM=AN，故①正确；
BM=CN，CM+CN=CM+BM=BC=2，②正确；
∵随着点M离点B越近，点N离点C越近，则点E离点B越近，点F离菱形的对角线交点越近，则
BE+FD越接近等于EF，
∴BE+FD=2EF错误，即③错误；
1
∵∠HBE=∠CBD，EH= BE，
2
∴EH=点E到BC的距离，
1
∴AE+ BE=AE+EH的最小值，等于当AM⊥BC时，AM的值，
2
∵当AM⊥BC时，∠BAM=90°−60°=30°，
1 1
∴此时BM= AB= ×2=1，AM=❑√AB2−BM2=❑√22−12=❑√3，
2 2
∴2AE+BE的最小值=2×❑√3=2❑√3，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②④．
26．如图，正方形ABCD的边长为8，点G是边CD的中点，点E是边BC上一动点，连接AE，将△ABE沿AE
翻折得到△FAE，连接GF．则GF的最小值是 ．
【答案】4❑√5−8
【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质和勾股定理可得AG
的长，再由翻折知AF=AB=8，由FG≥AG−AF可知当点G、F、A三点共线时，GF最小．由勾股
定理求出AG的长即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠C=90°，BC=CD=8，
∵点G是边CD的中点，
∴CG=DG=4，
连接AG，
∴AG=❑√AD2+DG2=❑√82+42=4❑√5，
∵将△ABE沿AE翻折得到△FAE，
∴AF=AB=8，
∵FG≥AG−AF，
∴当点G、F、A三点共线时，GF最小，
∴GF的最小值为4❑√5−8．
故答案为：4❑√5−8．
27．如图，正方形ABCD的边长为12，点M在DC上，且DM=3，点N是AC上一动点，则DN+MN的最小
值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到
DN+MN的最小值即为线段BM的长．连结BD，BN，BM，根据轴对称的性质，得到BN=DN，
DN+MN的最小值即BN+MN的最小值，即为线段BM的长，再根据勾股定理，即可求得BM的长，即得答案．
【详解】解：连结BD，BN，BM，
∵ AC
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线 为对称轴的对称点，
∴直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN=DN，
∴DN+MN=BN+MN≥BM，
当点N在BM与AC的交点P处，DN+MN取得最小值，最小值为BM的长，
∵正方形ABCD的边长为12，且DM=3，
∴BC=CD=12，CM=12−3=9，∠BCD=90°，
∴BM=❑√BC2+CM2=❑√122+92=15，
∴DN+MN的最小值为15．
故答案为：15．
三、解答题
28．大理旅游热度持续攀升，为进一步打造宜居大理，某部门准备在海边种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种
绿植的种植费用y（元）与种植面积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平
方米90元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于240平方米，且不超过
乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多
少元？
【答案】(1)当0≤x≤200时，y=120x；当x>200时，y=80x+8000；(2)甲种植面积为400平方米，乙种植面积为200平方米时，总费用最低，最低为58000元．
【分析】（1）当0≤x≤200时，是正比例函数；当x>200时，是一次函数，利用待定系数法解答即可．
（2）设乙种植面积为x平方米，甲的种植面积为(600−x)平方米，根据题意，得240≤600−x≤2x，设
总费用为w元，根据题意，得w=90x+80(600−x)+8000=10x+56000计算即可．
【详解】（1）解：当0≤x≤200时，是正比例函数，
设解析式为y=mx，
把点(200,24000)代入解析式，得24000=200m，
解得m=120，
故解析式为y=120x；
当x>200时，是一次函数，
设解析式为y=kx+b，
把点(200,24000)，(500,48000)代入解析式，
{200k+b=24000)
得 ，
500k+b=48000
{ k=80 )
解得 ，
b=8000
故解析式为y=80x+8000．
（2）解：设乙种植面积为x平方米，甲的种植面积为(600−x)平方米，
根据题意，得240≤600−x≤2x，
解得200≤x≤360，
设总费用为w元，根据题意，得w=90x+80(600−x)+8000=10x+56000，
由一次函数y随x的增大而增大，
故当x=200时，总费用最少，
最少为y=10×200+56000=58000（元），
故甲种植面积为400平方米，乙种植面积为200平方米时，总费用最低，最低为58000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，一次函数的性质，不等式组的应用，熟练掌握性质是
解题的关键．
29．为保障居民的骑行安全，我市深入推进“一盔一带”安全守护行动．某便利店计划购进甲，乙两种头盔进
行销售，已知购进2个甲种头盔与购进5个乙种头盔的费用相同，购进4个甲种头盔和3个乙种头盔共需
390元．
(1)求每个甲种头盔和每个乙种头盔的进价；
(2)便利店计划购进甲，乙两种头盔共50个，其中乙种头盔的数量不少于甲种头盔数量的2倍．若甲，乙
两种头盔分别以100元/个和45元/个的价格全部售出，请帮助便利店设计获得最大利润的进货方案，并
求出最大利润．【答案】(1)甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元；
(2)甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出
相应方程组是解题关键．
（1）设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
50
（2）设甲种头盔购进a个，则乙种头盔购进(50−a)个，根据题意列出不等式求解得出a≤ ，设利润为
3
w元，根据题意列出一次函数解析式，然后求解即可．
【详解】（1）解：设甲种头盔的进价是x元，乙种头盔的进价是y元，
{ 2x=5 y )
由题意得： ，
4x+3 y=390
{x=75)
解得： ，
y=30
答：甲种头盔的进价是75元，乙种头盔的进价是30元；
（2）解：设甲种头盔购进a个，则乙种头盔购进(50−a)个，
由题意得：50−a≥2a，
50
解得a≤ ，
3
设利润为w元，
根据题意得：w=(100−75)a+(45−30)(50−a)=10a+750，
∵10>0，
∴w随a的增大而增大，
∵a为整数，
∴a最大为16，50−a=34，
∴w=10×16+750=910元，
∴甲种头盔购进16个，则乙种头盔购进34个，获得最大利润，利润为910元．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l 交x轴于点A(−3,0)，直线l :y=−2x+6交x轴于点B，两直线
1 2
交于点C(−1,n)．
(1)求点C的坐标．(2)在y轴右侧是否存在一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C(−1,8)
(2)存在，P(1,−8)或P(5,8)
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，点的坐标，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）根据两直线交于点C(−1,n)，则n=−2×(−1)+6=8，即可作答．
（2）先求出B(3,0)，结合以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，根据对角线互相
平分进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把C(−1,n)代入l :y=−2x+6，
2
得n=−2×(−1)+6=8，
∴C(−1,8)，
（2）解：存在，
依题意，l :y=−2x+6交x轴于点B，
2
∴0=−2x+6，
解得x=3，
∴B(3,0)，
由（1）得C(−1,8)，
∵A(−3,0)，且以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当AB,CP为对角线时，
x +x x +x
{ A B= C P )
2 2
则 ，
y + y y + y
A B= C P
2 2
{x =x +x −x )
P A B C
整理得 ，
y = y + y −y
P A B C
{x =−3+3−(−1)=1)
∴ P ，
y =0+0−8=−8
P
∴P(1,−8)；
∴当AC,BP为对角线时，x +x x +x
{ A C = B P )
2 2
则 ，
y + y y + y
A C = B P
2 2
{x =x +x −x )
整理得 P A C B ，
y = y + y −y
P A C B
{x =−3+(−1)−3=−7)
∴ P ，
y =0+8−0=8
P
∴P(−7,8)；
∵点P在y轴右侧，
∴P(−7,8)不符合题意，舍去；
∴当AP,CB为对角线时，
x +x x +x
{ A P= C B )
2 2
则 ，
y + y y + y
A P= C B
2 2
{x =x +x −x )
P C B A
整理得 ，
y = y + y −y
P C B A
{x =−1+3−(−3)=5)
∴ P ，
y =8+0−0=8
P
∴P(5,8)；
综上：P(1,−8)或P(5,8)．
31．某实验基地装有一段笔直的轨道AB，长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动．如图1，滑块首先沿AB
方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，
滑块停顿2s，然后再匀速返回，直到滑块的左端与点A重合时，停止滑动．设时间为t(s)时，滑块左端
离点A的距离为l (m)，右端离点B的距离为l (m)，记d=|l −l )；滑块从点A出发到最后返回点A，整个
1 2 1 2
过程总用时27s（含停顿时间），d关于t的函数图象如图2所示．请你根据所给条件解决下列问题：(1)轨道AB的长度为______m，a的值为______，滑块从右向左匀速滑动的速度为 m/s．
(2)滑块从点A到点B的滑动过程中，求d与t的函数表达式；
(3)在整个往返过程中，若d=36，请直接写出t的值．
【答案】(1)91，19.5，6
d=
{−18t+90(0≤t≤5))
(2)
18t−90(5450，
∴唐老师不能到达景区；
1
（3）当x=600时，y=− ×600+100=−20，
5
唐老师驾驶满电汽车前往距离600km的景区，当到达景区时电量灯恰好变为红色，需要停车充电电量为
10%−(−20%)=30%，
∴充电电量为80×30%=24kwh，
∴充电时间为24÷120=0.2h，
答：在充电站充电的时长为0.2h．
35．电子体重秤的原理是当人站在秤盘上时，压力施加给传感器，传感器发生弹性形变，使阻抗发生变化，输
出一个变化的模拟信号，将该信号进行处理并输出到显示器，显示出体重数据．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R，R(Ω)与踏板上人的质量
m(kg)之间的几组对应值如表：
人的质量
0 30 60 90 120
m(kg)
可变电阻 24 180 12 60 0
R(Ω) 0 0
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，根据点的分布规律，R与m符合初中学习过的某种函数
关系，则可能是________函数关系（选填“一次”“二次”“反比例”） ；
(2)根据以上判断，当0≤m≤120时，求R关于m的函数关系式；
(3)当可变电阻R为100Ω时，求人的质量m．
【答案】(1)一次
(2)R=−2m+240(0≤m≤120)
(3)70kg
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
（1）根据表格中的数据，可以得到R与m符合一次函数关系．
（2）根据（1）中的结果，可以设出相应的函数解析式，然后根据表格中的数据，即可得到关于m的函数
关系式；
（3）将R=100代入(2)中的函数关系式，即可得到人的质量m应为多少kg．
【详解】（1）解：由表格中的数据可得点的坐标，在坐标系中描出点
(0,240),(30,180),(60,120),(90,60),(120,0)，如图所示：由图可知，R与m符合初中学习过的一次函数关系，
故答案为∶一次；
（2）解：设R关于m的函数关系式为R=km+b，
将(0,240),(30,180)代入，
{ b=240 )
得 ，
30k+b=180
{k=−2)
解得 ，
b=240
即R关于m的函数关系式为R=−2m+240(0≤m≤120)
（3）解：当R=100时，100=−2m+240，
解得，m=70，
即当可变电阻R为100Ω时，人的质量m应为70kg．
36．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，过点D作DO⊥BC于点O，过点C作
CE∥AB交DO的延长线于点E，连接BE．
(1)求证：四边形CDBE是菱形；
(2)若四边形CDBE的周长是20，两条对角线的和等于14，求四边形CDBE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定
理，菱形的面积公式，利用完全平方式解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活
应用．
（1）利用直角三角形的性质得出CD=BD，判定出DE是CB的垂直平分线，然后利用等角对等边证出相
等的边，利用四条边相等的四边形为菱形即可求解；
（2）根据菱形的性质得出OC+OD=7，然后利用利用勾股定理得出OC2+OD2=25，借助于完全平方
式即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD．
又∵DO⊥BC于点O，∴CO=BO，
∴DE是CB的垂直平分线，
∴CE=BE．
∵CE∥AB，
∴∠DBC=∠ECB．
∵CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DCB=∠ECB．
∵DO⊥BC于点O，
∴CD=CE，
∴CD=DB=CE=BE，
∴四边形CDBE是菱形．
（2）解：由（1）知四边形CDBE是菱形，周长为20，则CD=5．
∵两条对角线的和等于14，
∴BC+DE=14．
∵BC=2CO，DE=2DO，
∴BC+DE=2(OC+OD)=14，
∴OC+OD=7，①
在Rt△COD中，
由勾股定理得OC2+OD2=CD2=25，
将①式两边同时平方得，
OC2+OD2+2CO⋅OD=49，
∴2CO⋅OD=49−25=24，
1
∴菱形CDBE的面积为 BC⋅DE=2CO⋅OD=24．
2
37．
项目化学习——家庭购车计划分析单
近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A
款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下：
项目
背景
A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养
等费用高．项目 是购买A车还是B车？
问题
项目 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义．
目的
通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据：
数据 A车 B车
收集1
（行 每千米行驶费用 a元 (a+0.45)元
驶费
用）
总行驶费用 7.5元 18.75元
设：小明一家年平均行驶里程为x千米．
数据 A车 B车
收集2
（其
保险 6500元/年 保险 2900元/年
它费
用）
车机服务 1230元/年 保养 0.075x元
项目 求A车、B车的每千米行驶费用；
任务1
项目 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x千米，帮小明家确定购车方案．
任务2
【答案】任务1：纯电动汽车每千米0.3元；燃油车每千米0.75元；任务2：见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用；
7.5 18.75
任务1：根据题意得 = ，解分式方程，即可求解；
a a+0.45
任务2：设纯电动汽车的行驶费用为y 元、燃油车的行驶费用为y 元；求得
1 2
y =0.3x+7730,y =0.825x+2900，分三种情况讨论，即可求解．
1 2
7.5 18.75
【详解】解：任务1：由题意得 = ，
a a+0.45
解得a=0.3，
经检验，a=0.3是分式方程的解，且符合题意，
0.3+0.45=0.75（元），
答：纯电动汽车每千米0.3元；燃油车每千米0.75元；
任务2：设A车的行驶费用为y 元，B车的行驶费用为y 元；
1 2由题意得y =6500+1230+0.3x=0.3x+7730，
1
y =2900+0.75x+0.075x=0.825x+2900，
2
①当y >y 时，0.3x+7730>0.825x+2900，
1 2
解得x<9200，
∴当x<9200时，B车的行驶费用更低；
②当y = y 时，0.3x+7730=0.825x+2900，
1 2
解得x=9200，
∴当x=9200时，两种车的行驶费用相同；
③当y 9200，
∴当x>9200时，A车的行驶费用更低．
38．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是
边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行
四边形．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，BD，
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴______
E,F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC．
∴HG∥EF
同理：HE∥GF ，
∴四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行
四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
(Varingnon，Pierte1654～1722)是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原
四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周
长等于原四边形两条对角线的长度之和．
任务：
(1)上述证明过程中的横线上填的内容是：______．(2)如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于两条对角线AC与BD的长度之和．
请你通过几何推理证明这一结论．
(3)已知四边形ABCD的对角线AC与BD夹角为60°．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形ABCD的
对角线AC、BD及瓦里尼翁平行四边形EFGH，并求∠HEF的度数．
【答案】(1)HG∥AC（三角形的中位线定理）
(2)见解析
(3)∠HEF的度数为60°或120°
【分析】（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得；
1 1
（2）根据三角形的中位线定理可得HG=EF= AC，HE=GF= BD，由此即可得；
2 2
（3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得EF∥AC，HE∥BD，再根据平
行线的性质求解即可得．
【详解】（1）证明：如图2，连接AC、BD，
∵H,G分别为AD,CD的中点，
∴HG∥AC．（三角形的中位线定理）
∵E,F分别为AB,BC的中点，
∴EF∥AC．
∴HG∥EF，
同理：HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：HG∥AC（三角形的中位线定理）．
（2）证明：∵H,G分别为AD,CD的中点，
1
∴HG= AC．
2
∵E,F分别为AB,BC的中点，
1
∴EF= AC．
2
1
∴HG=EF= AC，
2
1
同理：HE=GF= BD，
2
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为：
HG+EF+HE+GF1 1 1 1
= AC+ AC+ BD+ BD
2 2 2 2
=AC+BD．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当∠AO B=60°时，
1
∵E,F分别为AB,BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠BP E=∠AO B=60°，
1 1
∵H,E分别为AD,AB的中点，
∴HE∥BD，
∴∠HEF=∠BP E=60°；
1
②如图2，当∠AO D=60°时，则∠AO B=120°，
2 2
∵E,F分别为AB,BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠BP E=∠AO B=120°，
2 2
∵H,E分别为AD,AB的中点，
∴HE∥BD，
∴∠HEF=∠BP E=120°；
2
综上，瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数为60°或120°．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线
定理是解题关键．
39．如图，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，
∠NPM=120°．【用数学的眼光观察】
（1）求∠PMN的度数．
【用数学的思维思考】
（2）如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点
F,∠AEM=30°，求∠F的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图，在△ABC中，AC3的解集是________．
|x)+1
【答案】(1)见解析
(2)0，6
(3)−13的解集是−10)．过点D作
DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)求证：AE=DF．
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
(3)直接写出当t为何值时，△≝¿为直角三角形．
【答案】(1)证明见解答过程
8
(2)当t= 时，四边形AEFD能够成为菱形．理由见解答过程
3
16
(3) 或 2
5
【分析】（1）利用已知用未知数表示出DF,AE的长，进而得出AE=DF；
（2）首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，
进而得出答案；
（3）分三种情况讨论：①当∠EDF=90°时；②当∠≝=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出
即可．
【详解】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°,DC=2t，
1 1
∴DF= DC= ×2t=t，
2 2
又 ∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）解：四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：
∵AB⊥BC,DF⊥BC，
∴AE∥DF，又∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵BC=4❑√3，AB2+BC2=AC2
∴AB=4,AC=2AB=8，
∴AD=AC−DC=8−2t，
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=8−2t，
8
解得：t= ．
3
8
即当t= 时，四边形AEFD为菱形；
3
（3）解：根据（2）可得四边形AEFD是平行四边形，∠A=90°−30°=60°，
∴AD=EF,AE=DF,∠AED=∠EDF,∠ADE=∠≝¿，
分情况讨论：
①当∠EDF=90°时，∠AED=∠EDF=90°,∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即8−2t=2t， ∴t=2；
②∠≝=90°时，∠ADE=∠≝=90°,∠AED=30°，
1 1 16
∴AD= AE，即8−2t= t， ∴t= ；
2 2 5
16
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．故当t= 或2时，△≝¿为直角三角形，
5
16
故答案为： 或 2 ．
5
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角
形的性质等知识，解答本题的关键要掌握：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；解题
时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
