文档内容
人教版初中数学七年级下册
5.3.3 命题、定理与证明 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列语句是命题的是（ ）
A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗
C．延长线段 到C，使得 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【分析】根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、画出两个相等的角，没有做错判断，不是命题；
B、所有的直角都相等吗，没有做错判断，不是命题；
C、延长线段 到C，使得 ，没有做错判断，不是命题；
D、两直线平行，内错角相等，是命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键．
2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ）
A．垂直 B．两条直线互相平行
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．
【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是
“两条直线互相平行”．
故选：D．
【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．
3．下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（ ）
①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式；
②该命题的条件是两个角互为补角；
③该命题是真命题
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个
角相等”的形式，故①正确；
该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确；
互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误，
综上所述判断正确的为：①②，共2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键．
4．命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（ ）
A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角D．如果两个角互余，那么这两个角相等
【答案】B
【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个
角相等”写在那么的后面即可．
【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么
这两个角相等”．
故选B．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果 ，那么 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题；
②两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题；
③等角的余角相等，原说法正确，是真命题；
④如果 ，那么 ，原说法错误，是假命题，即真命题的个数为1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．下列选项中，可以用来证明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a=1，b=0 B．a=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义逐项代入验证，即可得出答案．
【详解】解：A、当a＝1，b＝0时，有a>b，且|a|>|b|，不能证明题中命题是假命题；
B、当a＝－1，b＝2时，有a＜b，且|a|＜|b|，不能证明题中命题是假命题；
C、当a＝－2，b＝1时，有a＜b，且|a|>|b|，不能证明题中命题是假命题；
D、当a＝1，b＝－3时，有a>b，且|a|＜|b|，能证明题中命题是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要
说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．5 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【详解】解：∵5不是偶数，且也不是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例，故A错误；
∵12是偶数，且是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例，故B错误；
∵14是偶数但不是4的倍数，
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C正确；
∵16是偶数，且也是4的倍数，
∴不能作为假命题的反例，故D错误.
故选：C.
二、填空题：
8．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？
（1）作 ，（ ） （2）两个锐角互余．（ ）
（3）直线a与b有可能垂直．（ ） （4）作射线 ．（ ）（5）作直线 ．（ ） （6）整数一定是有理数．（ ）
【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是
【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答．
【详解】解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．
（3）直线a与b有可能垂直，不是命题；故答案为：不是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．
（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是．
【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键．
9．一个角的补角大于这个角，这个命题的条件是______ ，结论是______ ．
【答案】 一个角是已知角的补角； 则大于已知角
【分析】任何一个命题都可以写成，如果…那么…”的形式．
如果是条件，那么是结论．
【详解】一个角的补角大于这个角，这个命题的条件是一个角是已知角的补角，结论是则大于已知角．
【点睛】本题考查的是命题的组成，比较简单，需同学们熟练掌握．
10．指出命题“对顶角相等”的题设和结论，题设_____，结论_____．
【答案】 两个角是对顶角， 这两个角相等．
【分析】根据命题的定义即可解答.
【详解】对顶角相等．
题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等；
故答案为两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】本题考查命题，熟悉命题的设定过程是解题关键.
11．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题
是_________（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以
写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；
而题设成立，不保证结论成立的为假命题．
【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么
这两个角相等；这个命题正确，是真命题，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要
说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．写出一个能说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例____.
【答案】（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足结论的
a，b的值即可.
【详解】当 时，满足 ，
∵-5<1，不满足 ，
∴ 可作为说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例.
故答案为：a=-5，b=1（答案不唯一）
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题；经过推理论证的真命题称为定理．
13．下列命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只
有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④如果直
线 ， ，那么 ．其中是真命题的有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离定义等分析判断即可．
【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，为真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，为真命题；
④如果直线 ， ，那么 ，原命题为假命题．
综上所述，真命题有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题关键是理解平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线
的距离定义等知识．
三、解答题：
14．把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)等角的补角相等；
(2)直角都相等；
(3)不相等的角不是对顶角；
(4)一个锐角的补角大于这个锐角的余角；
(5)等角对等边；(6)异号两数相加和为零．
【答案】(1)见解析；(2) 见解析；(3) 见解析；(4) 见解析；(5) 见解析；(6) 见解析.
【分析】分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面即可．
【详解】(1)如果两个角为相等角的补角，那么这两个角相等；
(2)如果一些角都是直角，那么这些角都相等；
(3)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；
(4)如果两个角分别为一个锐角的补角和余角，那么补角大于余角；
(5)在三角形中，如果两条边所对的角相等，那么这两条边相等；
(6)如果两个数的符号相反，那么这两个数的和为0.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命
题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．判断下列命题的真假，是假命题的举出反例．
①两个锐角的和是钝角；
②一个角的补角大于这个角；
③不相等的角不是对顶角．
【答案】见解析
【详解】试题分析：利用反例可判断①②为假命题；根据对顶角的定义可判断③为真命题．
试题解析：①假命题.反例为： 与 的和为
②假命题.反例为： 的补角为
③真命题.
16．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
(1)写出命题的题设和结论；
(2)画出符合命题的几何图形；
(3)用几何语言叙述这个命题；
(4)说明这个命题是真命题的理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答
案；
（2）先画AB CD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可；
（3）根据图形用字母表示叙述即可；
（4）根据平行线的性质得∠BGM=∠CMG，再由GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，可得
∠HGM=∠NMG，即可得答案．
（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行；
（2）如下图所示：
；
（3）如上图，已知AB CD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
求证：GH MN；
（4）真命题，理由：
∵AB CD，
∴∠BGM=∠CMG，
又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
∴∠HGM= ∠BGM，∠NMG= ∠CMG，
∴∠HGM=∠NMG，
∴GH MN．
【点睛】本题考查了命题、作图、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质并灵活运
用．
17．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB CD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD EF（ ）．
∴AB EF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角
互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴AB CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CD EF（同位角相等，两直线平行），
∴AB EF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．
18．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结
论所组成的命题中．(1)真命题的个数为______；
(2)选择一个真命题写出理由．
【答案】(1)3
(2)证明见解析（答案不唯一）
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质分别判断得出命题的正确性；
（2）由∠1=∠2可得∠D=∠4，再由∠C＝∠D得到∠4=∠C，即可证明∠A＝∠F．
（1）
解：条件：①②，结论：③，为真命题；
条件：①③，结论：②，为真命题；
条件：②③，结论：①，为真命题，
所以，真命题的个数为3．
故答案为：3．
（2）
解： 命题一：条件：①②，结论：③
证明：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB EC，
则∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DF AC，可得：∠A=∠F，
即 ．
命题二：条件：①③，结论：②，
证明：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB EC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF AC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即 ．
命题三：条件：②③，结论：①，
证明：当③∠A=∠F，
故DF AC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DB EC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即 ．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．下列命题：①已知直线a、b，若 ， ，则 ：②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知直线a，b，如果 ， ，那
么 ，其中正确的命题是（ ）
A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④
【答案】A
【分析】根据平行线的定义和平行公理及推论和垂直的性质判断即可．
【详解】①∵直线a、b，若直线a b，b c，则a c．故①错误．
②∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②正确．
③∵过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故③错误．
④∵已知直线a、b，如果a b，b c，那么a c，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的定义和平行公理推断以及垂直的性质，熟悉掌握掌握这些性质是解决本题
的关键．
2．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤同角或等角的余角相等；⑥经过一点，有
且只有一条直线与这条直线平行，其中假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判
断；根据垂线段公理对④进行判断；根据余角的定义对⑤进行判断；根据平行公理对⑥进行判断．
【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故该命题为假命题；
②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角，故该命题为真命题；
③两直线平行，同旁内角互补，故该命题为假命题；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故该命题为真命题；
⑤同角或等角的余角相等，故该命题为真命题；
⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故该命题为假命题，
综上所述，假命题为：①、③、⑥，有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了判断真假命题、对顶角、余角和补角的定义、平行线的性质、垂线段公理、平行公理，
解本题的关键在熟练掌握相关的定义、公理．3．下列命题中真命题的个数有（ ）
（1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直
（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离
（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质与垂线的性质依次判断即可．
【详解】解：（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题为假命题，不符合题意；
（2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题为假命题，不符合题意；
（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，，原命题为假命题，不符合题意；
（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，原命题为假
命题，不符合题意；
（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题为真命题，符合题意；
故选A．
【点睛】题目主要考查平行线与垂线的性质，熟练掌握平行线与垂线的性质是解题关键．
二、填空题：
4．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．
反例：_________________；
(2)“如果a2＝b2，则a＝b”是一个假命题．
反例：_____________．
【答案】 3×0＝(－2)×0 32＝(－3)2
【详解】试题解析：
(2).
故答案为
5．给出下列命题：
①一个锐角的余角小于这个锐角；②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；
③如果|a|=|b|，那么a=b；
④若a2+b2=0，则a，b都为0．
其中是假命题的是_____．(填序号）
【答案】①③
【分析】利用余角的定义、平行线的性质、绝对值的性质以及平方的非负性分别判断后即可得到结论．
【详解】①一个锐角的余角小于这个锐角，错误，是假命题；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，正确，是真命题；
③如果 ，那么a=±b，故错误，是假命题；
④若a2+b2=0，则a，b都为0，正确，是真命题．
故答案为①③．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、平行线的性质、绝对值的性质以
及平方的非负性等知识，难度不大．
三、解答题：
6．如图，已知直线 ，给出下列信息：
① ；② 平分 ；③ ．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件
是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若 比 的 倍少 度，求 的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得 ，再根据等角的余角相等可得出 ，
再由平行线的性质可得 ，从而结论得证；
（2）由（1）得： ，根据 比 的 倍少 度，可得关系式
，求得 ， ，再根据 即可得到 的度数．
（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得： ，
∵ 比 的 倍少 度，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数 ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平
行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
