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专题 06 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、平行四边形中的折叠问题......................................................................................................................1
题型二、矩形中的折叠问题..................................................................................................................................4
题型三、菱形中的折叠问题................................................................................................................................10
题型四、正方形中的折叠问题............................................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行四边形中的折叠问题
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在 中，点 在边 上，将 沿 折叠，点 的对应
点 恰好落在边 上；将 沿 折叠，点 的对应点 恰好落在 上．若 ，则
．（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形 是平行四边形，得
， ，由折叠性质可知，
， ， ，故有 ，根据
平行线的性质得 ， ，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用
是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由折叠性质可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P是平行四边形纸片 的 边上一点，以过点P的直线
为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上 处，折痕与 边交于点M；再以过点P的直线为
折痕折叠纸片，使点B恰好落在 边上 处，折痕与 边交于点N．若 ，则
°．
【答案】16
【分析】本题主要折叠的性质，掌握折叠前后的线段、角对应相等是解题的关键．
由折叠的性质可求得 ， ，再结合 、 、 在一条直线上，可求得答案．
【详解】解：∵点 落在纸片所在平面上 处，折痕与 边交于点 ，
故答案为：16．
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）在平行四边形 中，点 ， 在 边上，把 沿直线AE
折叠， 沿直线 折叠，使点 ， 落在对角线 上的点 处，若 ，则 的度数为
．
【答案】 /75度
【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
利用平行四边形的性质和折叠的性质得到线段之间的关系，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质，得
出角之间的数量关系，求解即可．【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ 沿直线 折叠， 沿直线 折叠，点 ， 落在对角线 上的点 处，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（2025·山东泰安·二模）如图，将平行四边形 进行折叠，折叠后 恰好经过点C得到 ，若
，则线段 的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等，由平行四边形的性质可得
，由折叠可得 ，由勾股定理求出
，得出 ，最后用勾股定理解 即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将平行四边形 进行折叠，折叠后 恰好经过点C得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：12．题型二、矩形中的折叠问题
5．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，四边形 是矩形，点A的坐标为 ，点C的坐标为
，把矩形 沿 折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】先证明 ，由勾股定理可求 ，由面积法可求 的长，即可求解．
【详解】解：设 与 交于点 ，作 于点 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
由翻折变换的性质可知， ，
，
，
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
解得 ，即 ，
，
在 中， ， ，
由 得 ，
，在 中，由勾股定理得 ，
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
6．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使 到 ， 到 ，且
点 恰好在同一条直线上． 均为折痕．若 ，则 的度数为 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得
，结合平角的定义即可得出 ，即可
得出 ，由此即可求解.
【详解】解：∵由折叠的性质可得 ，
∴点 恰好在同一条直线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿
边 ， 向点 运动， ， 关于直线 的对称点分别为 ， ，连接 ．
（1）如图，当 在边 上且 时， 的度数是 ．
（2）当直线 恰好经过点 时， 的长是 ．【答案】 3或1.5
【分析】（１）画出图形，证明 是等腰直角三角形，得到 ，由对称性知
，最后根据 即可求解；
（２）分类讨论①当 在边 上时，根据轴对称的性质知，点 在 上，利用三角形全等求解，②点
在边 上时，利用勾股定理，列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ， ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
由对称性知 ，
∴ ；
（2）①如图2，当 在边 上时，根据轴对称的性质知，点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图3，点 在边 上时，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中，设 ，则 ，
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为3或1.5．
8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形 中， ， ．按下列要求折叠，试求
出所要求的结果．
(1)如图（1）所示，把长方形 沿对角线 折叠得 ， 交 于点F，求 ：
(2)如图（2）所示，折叠长方形 ，使 落在对角线 上，求折痕 的长；
(3)如图（3）所示，折叠长方形 ，使点D与点B重合，求折痕 的长．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问
题的关键是运用勾股定理列方程．
（1）可推出 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理得出
，求得x的值，进一步得出结果；
（2）可求得 ， 的值，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理列出
，求得x的值，进一步得出结果；
（3）由（1）的结论可知： ， ，从而 ， ，利用勾股
定理即可求得 的值．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
由 得， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由 得，
，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）解：作 于点 ，
则 ，
∴四边形 是矩形，
∵点D与点B重合，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
由（1）知： ，又点O是长方形 中心，
∴ ，
同（1） ，
∴ ， ，
∴ ．
题型三、菱形中的折叠问题
9．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形 中， ，E是 上一点．将 沿 折
叠后得到 ，若 ，则折痕 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C作 交
AB的延长线于点G，由 ，且根据折叠的性质可知 ，可得 ．再在菱形
ABCD中， ，可得出 ，可得 ，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作 交 的延长线于点G，
∵ ，且根据折叠的性质可知 ，
∴ ．
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）数学实验课上，小聪将菱形纸片 沿 折叠，其中点E、F
分别在边 、 上．当点B落在 上的点 处且 时，恰有 ，则 ，
此时 ．
【答案】
【分析】第一空，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
第二空，延长 ， 相交于点P，设 ，根据菱形的性质及等腰直角三角形的判定与性质，
可逐步求得 ，进而可求得 和 的长，即得答案．
【详解】解： ， ，由折叠可知 ，
∴ ，
．
故答案为： ．
延长 ， 相交于点P，设 ，
，
，
将菱形纸片 沿 折叠，点B落在 上的点 处，
，
，
四边形 是菱形，
， ，
， ， ，
，
，
，
同时可得 ，
，
，
将菱形纸片 沿 折叠，
，
，
，
，
，
．
11．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形纸片 中，点E在边 上，将菱形沿 折叠，点A、B分别落在 ， 处， ，垂足为F．若 ， ，则 ，
．
【答案】 /30度
【分析】根据菱形的性质得到 ，结合折叠得到 ，
， ，根据三角函数得到 ， ，结合角度关系得到
，进而可求出 的度数，证明 ．在 中，求出 ，得
出 ，在 中，求出 ，进而得出 即可求解．
【详解】解：如图，∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ，
∵菱形沿 折叠，点A、B分别落在 、 处，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ．
12．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在上的点 处，折痕为 ，若 ， ， ，则 ，四边形 的面积是
．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂直平分线的判定及性质，
熟悉掌握辅助线的作法是解题的关键．
利用菱形的性质得到 ，利用勾股定理求出 的长即可求出 的长；连接 交 于点 ，
证出 ，利用勾股定求出 的长，再利用面积公式运算求解即可．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ；
连接 交 于点 ，如图所示：
∵折叠，
∴ ， ， ，
∴ 垂直平分 ，
在 中， ，
∴ ，∴ ；
故答案为; ； ．
题型四、正方形中的折叠问题
13．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点 的坐标是 ，
为边 上一点， ，沿 折叠正方形 ，折叠后，点 落在平面内的点 处，则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活
运用勾股定理．
过点 作 ，因为 ， ，所以 ， ，根据勾股定理
得 ，故 ，即 点的坐标即可求解．
【详解】解：过点 作 ，如图所示：
四边形 是正方形，点 的坐标是 ，
， ，
，
，
由折叠的性质可得： ，
，
，
在 中，根据勾股定理得 ，
，即 点的坐标为 ，
故答案为： ．
14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一张正方形纸片 折叠， 、 为折痕，点B、D
折叠后的对应点分别为点 、 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
设 ， ， ，由折叠性质得 ， ，
根据 和 求解即可．
【详解】解：由题意知 ，
设 ， ， ，
， ，
由折叠性质得： ， ，
∵ ，
，
，
又 ，
，
，
，
解得： ，
故答案为： ．
15．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形 折叠，使顶点 与 边上的点 重合
（ 不与端点 重合），折痕交 于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ，设正方形
的周长为 ， 的周长为 ，则 的值为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接 、 ，作 于点
M， ，推出 ，再证明 ，推出 ，据此求解
即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，作 于点M．
∵正方形 的周长为 ，
∴正方形 的边长为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长
．∴ 的值为 ．
故答案为： ．
16．（24-25八年级下·吉林白山·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数
学活动．
【操作判断】操作一：
如图1，正方形纸片 ，将 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 的内部，得到折痕 ，
点B的对应点为M，连接 ；将 沿过点A的直线折叠，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展
平，连接 ．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，则
① ____________°；
②线段 之间的数量关系为_______________．
【深入探究】操作二：
如图2，将∠C沿 所在直线折叠，使点C落在正方形 的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，
连接 ．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在 边上某一位置时
（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕 上，此时 交 于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 ，请判断该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片 的边长为3，当点N落在折痕 上时，直接写出线段 的长．
【答案】（1）①45；② ；（2）结论成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）①由正方形的性质得出 ，由折叠的性质可得： ，
，即可求解；
②由折叠的性质即可求解；
（2）根据正方形的性质和折叠的性质得到 是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解
即可；
（3）证明 是等腰直角三角形，求出 ，再由含 角的性质以及勾股定理求解 ，
然后设 ，则 ，在 中， ，代入数值计算，解得，由（2）得 ，则 ．
【详解】解：（1）①∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ，
∴ ，即 ；
②由折叠的性质可得： ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）结论： 成立，理由如下：
将 沿 所在直线折叠，使点 落在正方形 的内部，点 的对应点为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵点 落在折痕 上，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
由（2）得 ，
∴ ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·山东·期末）如图，四边形 是正方形， 是 的中点，将正方形折叠，使点
与点 重合，折痕为 ，若正方形的边长为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理；设 ，则 － ， ，由折叠
可得 ，在 中用勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：四边形 是正方形，正方形的边长为 ，∴ ，
∵ 是 的中点，
∴
设 ，则 － ，
由折叠可得 ，
在 中，
解得 ．
故选：C．
2．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，将 纸片折叠(折痕为 )，使点A落在 上，记作①；
展平后再将 折叠(折痕为 )，使点D落在 上，记作②；展平后继续折叠 ，使 落在
直线 上，记作③；重新展平，记作④．若 ，则图④中线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】图 中，连接 ，延长 交 于 ；由题意易知： ， ， 是
的中位线， ，则可求出 的长度，即可解决问题．
【详解】解：如图 中，连接 ，延长 交 于 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由折叠得： ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，由折叠知：G、H分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
， ， ，
∴ ，
， ，
是 的中位线，
；
故选： ．
3．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，把一张矩形纸片 按如下方法进行两次折叠：第一次将
边折叠到 边上得到 ，折痕为 ，连接 ，第二次将 沿着 折叠， 边恰
好落在 边上．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股
定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
由第一次折叠可知 ， ，则四边形 为正方形， ，
，由第二次折叠可知 ，利用平行线的性质得 ，于是可得
，由等边对等角得 ，以此即可求解．
【详解】解： 四边形 为矩形，
．
由第一次折叠可知， ，
四边形 为正方形，
，
．
由第二次折叠可知， ，
，
，
，
，．
故选：D．
4．（2025·浙江·模拟预测）将边长为a的菱形 分别沿着 和 折叠（E，F，G，H分别在边 ，
上），使点A和点C在折叠后均落在 边上的点M处．若
于点F，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理.
根据折叠的性质得 ，可得 ，再根据菱形的性质得 ，然后
由折叠的性质得 ，进而根据勾股定理求出 ，进而求出 ，则此题可解.
【详解】解：根据题意，得 ，
∴ .
∵菱形 的边长为a，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
故选：C.
二、填空题
5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形 中， ，将 沿 所在直线
折叠，使点A落在E处，则 ．【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后 是解
题的关键．
由长方形的性质可得 ，易得 的度数，再根据折叠方法可得 ，然后用
即可解答．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的方法可得： ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，若
，则 的度数是 ．
【答案】 /80度
【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，
首先根据平行的性质得到 ，由折叠得 ，然后求出 ，然后根据等边对等角和平行
线的性质求解即可．
【详解】∵四边形 是菱形
∴
由折叠可得，
∴
∴
∵四边形 是菱形
∴∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，正方形 中，将边 折叠至 ，连接 、 ，若
， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识得到
是关键．
根据正方形与折叠可证 ， ，由此得到 ，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
如图所示，过点 作 ，
∵折叠，
∴ ，则 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，在 中， ，
∴ ，
解得， （负值舍去），
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片 折叠，折痕为 ，折叠后，点
的对应点为点 ， 交 于点 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的
性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
作 ，交 的延长线于点H，求出 得 ，由勾股定理求出 ，由
折叠的性质得， ， ，得出 ，设 ，根据 求
出 ，进而可求出 的长．
【详解】如图，作 ，交 的延长线于点H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
由折叠的性质得， ， ，
∴ ， ，∴ ．
设 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
9．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片 ， ，折叠该纸片，使得点A， 均与
点 重合，折痕分别为 ， ，设两条折痕的延长线交于点 ．
(1)请在图②中将图形补充完整，并求 的度数；
(2)四边形 是菱形吗？请说明理由．
【答案】(1)补充图形见解析，
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】本题主要考查了翻折变换、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质等知识点，灵活运用折
叠的性质是本题的关键．
（1）由菱形的性质可得 ，即 ，由折叠的性质可得 ，即
，再根据四边形的内角和定理求解即可；
（2）由题意可证 ，可证四边形 是平行四边形，由“ ”可证
，可得 ，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，延长 交于点O．∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
∵折叠菱形纸片 ，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵折叠菱形纸片 ，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为 ，
∴ ， ， ， ．
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ， ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
10．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸
张 ， ， ，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．小组 探究内容 图形
第一 把 沿 折叠，与 重叠部分记为
小组 ．
步骤1：把矩形 沿 折叠，使得 与 重
第二 合，点 ， 分别为 ， 上的点．
小组 步骤2： 为边 上动点（与点B，C不重合），
沿 折叠得到 ．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
(1)根据第一小组探究内容，求证： 是等腰三角形．
(2)根据第二小组探究内容，当 ， ， 三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度．
【答案】(1)见解析
(2) 或 ，图见解析
【分析】（1）首先根据矩形的性质得到 ，进而得到 ，然后根据折叠的性质得
，即可证明出 是等腰三角形；
（2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到 ，然后进一
步得到 ，利用勾股定理得到 ，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵把 沿 折叠到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：如图所示，当点P在线段 上时，
∵把矩形 沿 折叠，使得 与 重合，∴ ，
由题意可得，四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
由（1）可得， ，
∴ ；
如图所示，当点P在线段 上时，
同理可得， ， ， ，
∴ ，
由（1）可得， ，
∴ ；
综上所述，BP的长度为 或 ．
11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行
四边形纸片 中，已知 ， ， 的面积为120．点 为 边上任意一点，将
沿 折叠，点 的对应点为 ．
(1)如图1，若点 恰好落在 上时，求证：四边形 为平行四边形．
(2)如图2，若 时，连接 ，并延长交 于点 ．求线段 的长．
(3)改变 点的位置，将 沿 折叠，连接 ，当 为直角三角形时，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或 或【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到 ，推出 ，即可
证明四边形 是平行四边形；
（2）延长 交 于点H，由折叠的性质先证明 是等腰三角形，得到 ，根据
平行四边形的性质得到 ，易证利 是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出
，进而得到 ，利用勾股定理即可解答．
（3）分 和 两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，延长 交 于点H，
由折叠的性质可得： ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．（3）解：①当 时，延长 交 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
如图，当 重合时，记 ， 的交点为 ，
∵当 时， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴当 重合时， ，
由折叠可得： ；
②当 时，如图，设 与 交于点 ，作 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 或 ．
12．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图：
(1)【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，把纸片展平；
第二步：在 上选一点P，沿 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，根据以上
操作，当点M在 上时，如图①，连接 ，判断 的形状并证明．
(2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为 正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片
按照（1）中的方式操作，并延长 交 于点Q，连接 ，当点M在 上时，求 与
的数量关系是 （用数学式子表示）；
(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 折叠纸片，
如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，并延长 交 于点Q，连接 ．当
时，请求出 的长．
【答案】(1)等边三角形，证明见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）由折叠的性质得 ， ，从而得到 是等边三角形即可求解；
（2）根据正方形的性质得出 ， ，根据折叠得出 ，
垂直平分 ， ，根据余角的性质证明 ，证明 ，
得出 ，即可证明 ；
（3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方
程即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵沿 折叠纸片，使点 落在矩形内部的点 处，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
根据折叠可知： ， 垂直平分 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示：
∵正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
设 ，由折叠知 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 ；
当点Q在点F的上方时，如图，
则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 ；
综上可知， 的长为 或 ．
13．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折
叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动．
(1)操作与证明：
①如图①所示，小华将矩形 沿 折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若 ，
则 _______ ， _______ ；
②如图②所示，张三将矩形 沿对角线 折叠后，使得点C与点E重合， 与 交于点F，过点
D作 交BC于点G，求证：四边形 是菱形；
(2)迁移应用：
如图③所示，李四将矩形 沿对角线 折叠后，使得点C与点E重合， 与 交于点F，连接，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)①60，60；②见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前
后对应边相等，对应角相等，是解题的关键．
（1）①由折叠得 ，由 得 ，结合 即可求解；
②由 ， ，证明四边形 是平行四边形，同①证明 ，推出 ，
即可证明四边形 是菱形；
（2）由折叠得 ， ， ，用含30度角的直角三角形的
性质和勾股定理解 和 ，最后用勾股定理解 即可．
【详解】（1）解：①由折叠得 ，
，
，
矩形 中 ，
，
故答案为：60，60；
② 四边形 是矩形，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
，
，
由折叠得 ，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是矩形，
， ， ，
中， ， ，
，
，
由折叠得 ， ， ，
，又 ， ，
，
如图，过点E作 于点G，
，
，
，
．
14．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
(1)操作一：
如图1，正方形纸片 ，将 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 的内部，得到折痕 ，
点B的对应点为M，连接 ；将 沿过点A的直线折叠，使 与 重合，得到折痕 ，将纸片展
平，连接 ．
根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段 ， ， 之间的数量关系为 ．
(2)【深入探究】
操作二：
如图2、将 沿 所在直线折叠，使点C落在正方形 的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，
连接 、 ．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在 边上某一位置时
（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕 上，此时 交 于点P，如图3所示．①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 ，请证明该结论是否成立，并说明理由．
②【拓展应用】若正方形纸片 的边长为3，当点N落在折痕 上时，求出线段 的长．
【答案】(1)①45；②
(2)①成立，见解析；②
【分析】（1）①由正方形的性质得出 ，由折叠的性质可得： ，
，即可求解；
②由折叠的性质即可求解；
（2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到 是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求
解即可；
②证明 是等腰直角三角形，求出 ，再由含 角的性质以及勾股定理求解 ．
【详解】（1）解：①∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ，
∴ ，即 ；
②由折叠的性质可得： ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）①结论： 成立，理由如下：
将 沿 所在直线折叠，使点 落在正方形 的内部，点 的对应点为 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由折叠的性质可得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵点 落在折痕 上，
∴ ， ， ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
15．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片 ，
要求同学们在对角线 上取一点 ，连接 ，将 沿 折叠，得到 ．
(1)同学甲发现 （图 ），通过探索发现点 落在线段 上，从而可证明 ．
请你完整证明： ；
(2)同学乙取 ，折叠后发现 （图 ），通过探索可得出 为常数，请求出 的值；
(3)同学丙通过折叠发现 ，测得 ， ，连接 ，发现 的长度可求，求出此时
的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
（ ）先推出 是 的平分线，进而得出 ，推出 ，再根据即可证明结论；
（ ）根据折叠的性质，结合 推出四边形 是菱形，结合 得出 ，然后根据勾
股定理求出 与 的数量关系即可；
（ ）根据菱形的性质，结合 求出 及 的数量关系，然后由折叠的性质求出 和
的数量关系，再通过勾股定理求出 和 的长度，最后由勾股定理求出 的长度．
【详解】（1）证明: 由折叠性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据折叠的性质， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：根据折叠的性质， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
连接 交 于点 ，如图，
根据菱形的性质，线段 和 互相垂直平分，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，设 ，则 ， ，
根据勾股定理， ， ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 交 于点 ，
根据菱形的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
根据折叠的性质得： ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
在 中， ．
