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专题 07 直角三角形中的锐角平分线模型
解题思路
【模型】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，已知 AC=6，BC=8，
AD是△ABC的角平分线，求DC的长.
【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则△ACD≌△AED(AAS)，
∴AE=AC=6.
在Rt△ABC中，由勾股定理
得 =10
易知EB= 设DC=x，
则DE=x，DB=8 - x，
在Rt△DEB中，由勾股定理
解得x=3，∴DC=3.【典例分析】
【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿
过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能
求出BD的长吗？请写出求解过程．
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则AB的长度为 cm．
【变式1-2】如图，直角三角形纸片的两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿
AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．
【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边
AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 ．【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿
AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终
点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；
（3）当AP＝CQ时，求t的值？
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发
沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【夯实基础】
1．（2022•雁塔区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．4
2．（2021秋•定州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角
平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2022秋•海曙区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂
足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC＝9，AB＝
15，则CE的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边
的高线，则BD的长为 ．5．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交
AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周
长是 ．
6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC
＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则△ADE的周长是 ．
7．（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝
12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 F，与BC交于点E，则
BE的长是 ．
8．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，
AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t
（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
9．（2021秋•揭东区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB
上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
【能力提升】
10．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
11．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC
中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．
（1）求BF的长；
（2）直接写出DE的长．
