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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题16.5二次根式的求值问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•灵宝市月考）若a=√5+1，b=√5−1，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式计算．
【解答】解：∵a=√5+1，b=√5−1，
∴ab＝（√5+1）（√5−1）＝4，
a+b＝（√5+1）+（√5−1）＝2√5，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝4×2√5
＝8√5；
（2）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2√5）2﹣12
＝20﹣12
＝8．
2．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+√6，b＝2−√6．
（1）填空：a+b＝ 4 ，ab＝ ﹣ 2 ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2+√6，b＝2−√6，
∴a+b＝（2+√6）+（2−√6）＝4，ab＝（2+√6）（2−√6）＝4﹣6＝﹣2，故答案为：4；﹣2；
（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）
＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1
＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1
＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1
＝42﹣4×（﹣2）+4+1
＝16+8+4+1
＝29．
3．（2022秋•宁德期中）已知：x=√3+√2，y=√3−√2．
（1）填空：|x﹣y|＝ 2√2 ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．
（2）将代数式转化为（x﹣y）2，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（√3+√2）﹣（√3−√2）|
＝|√3+√2−√3+√2|
=2√2．
故答案为：2√2．
（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2，
∵x﹣y＝（√3+√2）﹣（√3−√2）=2√2，
∴（x﹣y）2﹣3xy=(2√2) 2=8．
即代数式x2+y2﹣2xy的值为8．
4．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+√2) 2= 11+ 6√2 ；(1−√5) 2= 6 ﹣ 2√5
．
（2）把4+2√3写成（a+b）2的形式为 （ 1+√3 ） 2 ．
（3）已知a=√7−1，求代数式a2+2a+3的值．
【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；
（2）用完全平方公式可得答案；
（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．
【解答】解：（1）（3+√2）2＝9+6√2+2＝11+6√2，（1−√5）2＝1﹣2√5+5＝6﹣2√5，故答案为：11+6√2，6﹣2√5；
（2）4+2√3=1+2√3+（√3）2＝（1+√3）2，
故答案为：（1+√3）2；
（3）∵a=√7−1，
∴a+1=√7，
∴a2+2a+1＝7，
∴a2+2a+3＝9．
1 1 1 1
5．（2022秋•重庆期中）（1）计算： + + +⋯+ ．
√8+√11 √11+√14 √14+√17 √29+√32
1 1
（2）已知：a= ，求a2+5a− 的值．
√5+2 a
【分析】（1）先分母有理化，再相加合并同类二次根式；
（2）将a的值分母有理化后代入计算即可．
√8−√11 √11−√14 √14−√17 √29−√32
【解答】解：（1）原式= + + +...+
−3 −3 −3 −3
√8−√32
=
−3
2√2−4√2
=
−3
2√2
= ；
3
1
（2）∵a = =√5−2，
√5+2
1
∴a2+5a−
a
1
＝（√5−2）2+5（√5−2）−
√5−2
＝5﹣4√5+4+5√5−10﹣（√5+2）
＝5﹣4√5+4+5√5−10−√5−2
＝﹣3．
2 2
6．（2022秋•济南期中）已知x= ，y= ．
√3+1 √3−1
（1）对x，y进行化简；
（2）求x2+xy+y2的值．【分析】（1）利用分母有理化即可；
（2）先计算出x+y＝2√3，xy＝2，再根据完全平方公式得到x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，然后利用整体代
入的方法计算．
2 2(√3−1)
【解答】解：（1）x= = =√3−1，
√3+1 (√3+1)(√3−1)
2 2(√3+1)
y= = =√3+1；
√3−1 (√3−1)(√3+1)
（2）∵x=√3−1，y=√3+1，
∴x+y＝2√3，xy＝3﹣1＝2，
∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（2√3）2﹣2＝10．
x−y x−2√xy+ y 1
7．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x−√y 5
【分析】利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
x−y x−2√xy+ y
【解答】解： +
√x+√y √x−√y
(√x+√y)(√x−√y) (√x−√y) 2
= +
√x+√y √x−√y
=√x−√y+√x−√y
＝2√x−2√y，
1
当x＝5，y= 时，
5
√1
原式＝2√5−2
5
2√5
＝2√5−
5
8√5
= ．
5
8．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−√3，y＝2+√3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）先估算出2−√3与2+√3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵x＝2−√3，y＝2+√3，
∴xy＝（2−√3）（2+√3）＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+√3−（2−√3）＝2+√3−2+√3=2√3，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×2√3
＝2√3；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴3＜2+√3＜4，
∴2+√3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜√3＜2，
∴﹣2＜−√3＜−1，
∴0＜2−√3＜1，
∴2−√3的整数部分是0，小数部分＝2−√3−0＝2−√3，
∴a＝2−√3，
∴ax+by
＝（2−√3）（2−√3）+3（2+√3）
＝7﹣4√3+6+3√3
＝13−√3，
∴ax+by的值为13−√3．
9．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知 x=√2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根
据x=√2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝
1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
√5−1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x=√3−2，
∴x+2=√3，
∴（x+2）2＝（√3）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
√5−1
（2）∵x= ，
2
∴2x+1=√5，
∴（2x+1）2＝（√5）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
√5−1
= +1
2
√5+1
= ．
2
1 1
10．（2022秋•嘉定区月考）已知m = ，n= ，求m2﹣mn+n2的值．
√3+2 √3−2
【分析】先根据分母有理化化简m与n的值，然后利用配方法即可求出答案．
√3−2 √3+2
【解答】解：由题意可知：m= =2−√3，n= =−√3−2，
3−4 3−4
∴m+n＝﹣2√3，mn＝（2−√3）（−√3−2）＝﹣1，
∴原式＝（m+n）2﹣3mn
＝12﹣3×（﹣1）
＝15．
√a √b
11．（2022秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：a +b 的值．
b a
【分析】根据题意确定a、b的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
√ab √ab
则原式＝﹣a• −b•
b aa b
=−√ab•（ + ）
b a
a2+b2
=−√ab•
ab
(a+b) 2−2ab
=−√ab•
ab
(−4) 2−2
＝﹣1×
1
＝﹣14．
1 1
12．（2022春•彭州市校级月考）已知x = ，y = ，求值：
√7−√5 √7+√5
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【解答】解：（1）xy
1 1
= ×
√7−√5 √7+√5
1
=
7−5
1
= ；
2
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
1 1 1
＝（ + ）2+
√7−√5 √7+√5 2
√7+√5+√7−√5 1
＝（ ）2+
2 2
1
＝（√7）2+
2
1
＝7+
2
1
＝7 ．
2
13．（2022秋•海淀区校级期末）已知x=√3+√2，y=√3−√2，求x2+3xy+y2的值．【分析】把所求的式子变形成（x+y）2+xy的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝（x+y）2+xy，
当x=√3+√2，y=√3−√2时，
原式＝（2√3）2+（√3+√2）（√3−√2）
＝12+3﹣2
＝14．
1 1 √x2−8x+16
14．（2022秋•嘉定区校级月考）已知x = ，求代数式 − 的值．
2−√3 x x2−5x+4
【分析】利用分母有理化把x的值化简，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
1 2+√3
【解答】解：x = = = 2+√3＜4，
2−√3 (2−√3)(2+√3)
1 √(x−4) 2
∴原式= −
x (x−4)(x−1)
1 x−4
= +
x (x−4)(x−1)
1 1
= +
x x−1
1
＝2−√3+
2+√3−1
√3−1
＝2−√3+
2
3−√3
= ．
2
√2−1 √2+1
15．（2022秋•武侯区校级月考）已知a= ，b= ，求下列代数式的值：
√2+1 √2−1
（1）a2﹣ab+b2；
b a
（2） + ．
a b
【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出 a+b，根据二次根式的乘法法则
求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．√2−1 (√2−1) 2 √2+1 (√2+1) 2
【解答】解：a= = =3﹣2√2，b= = =3+2√2，
√2+1 (√2−1)(√2+1) √2−1 (√2+1)(√2−1)
则a+b＝3﹣2√2+3+2√2=6，ab＝（3﹣2√2）（3+2√2）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
b a a2+b2 (a+b) 2−2ab
（2） + = = =34．
a b ab ab
1 1
16．（2022秋•安溪县校级月考）已知x= ，y= ．
2+√3 2−√3
①化简x和y．
②求代数式x2y+xy2的值．
【分析】①利用分母有理化化简x和y；
②先计算出x+y与xy的值，再利用因式分解法得到x2y+xy2＝xy（x+y），然后利用整体代入的方法计算．
1 2−√3
【解答】解：①x = = = 2−√3；
2+√3 (2+√3)(2−√3)
1 2+√3
y= = =2+√3；
2−√3 (2−√3)(2+√3)
②∵x+y＝4，xy＝4﹣3＝1，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×4＝4．
1
17．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a = ．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析
2+√3
与解的：
1 2−√3
∵a = = = 2−√3∴a﹣2=−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简 + + +⋯+ ；
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √50+√49
（2）比较√6−√5 ＞ √7−√6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=√2+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．1
B题：若a = ，则4a2﹣4√3a+7＝ 5 ．
√3−1
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
1 1
（2）先将 和 化简，比较大小，从而可比较√6−√5 和√7−√6；
√6−√5 √7−√6
（3）A题：由a=√2+1，可得a﹣1=√2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；
1 √3+1
B题：由a = ，可得a= ，从而可得2a−√3=1，两边同时作平方，可得4a2−4√3a=−2，
√3−1 2
进一步求解即可．
1 1 1 1
【解答】解：（1） + + +⋯+
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √50+√49
=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√50−√49
=√50−1
=5√2−1；
1
（2） =√6+√5，
√6−√5
1
=√7+√6，
√7−√6
∵√6+√5＜√7+√6，
∴√6−√5＞√7−√6，
故答案为：＞；
（3）A题：∵a=√2+1，
∴a﹣1=√2，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案为：4；
1
B题：∵a = ，
√3−1
√3+1
∴a= ，
2
∴2a−√3=1，∴(2a−√3) 2=1，
即4a2−4√3a+3=1，
∴4a2−4√3a=−2，
∴4a2﹣4√3a+7＝5，
故答案为：5．
18．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣2√3，b＝4+2√3．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算
即可．
【解答】解：（1）∵a＝4﹣2√3，b＝4+2√3，
∴ab＝（4﹣2√3）×（4+2√3）
＝42﹣（2√3）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣2√3）﹣（4+2√3）
＝4﹣2√3−4﹣2√3
＝﹣4√3；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣4√3，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣4√3）2+2×4]﹣4×（﹣4√3）
＝2×（48+8）+16√3
＝2×56+16√3
＝112+16√3．
19．（2022秋•沈阳月考）已知：x=√3+√2，y=√3−√2
（1）填空：|x﹣y|＝ 2√2 ；（2）求代数式x2+y2﹣5xy的值．
【分析】（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．
（2）将代数式转化为（x﹣y）2﹣3xy，再分别求出x﹣y和xy的值，进而可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣y|＝|（√3+√2）﹣（√3−√2）|
＝|√3+√2−√3+√2|
=2√2．
故答案为：2√2．
（2）x2+y2﹣5xy＝（x﹣y）2﹣3xy，
∵x﹣y＝（√3+√2）﹣（√3−√2）=2√2，xy＝（√3+√2）×（√3−√2）＝3﹣2＝1，
∴（x﹣y）2﹣3xy=(2√2) 2 −3×1＝8﹣3＝5．
即代数式x2+y2﹣5xy的值为5．
3−√2 1+√2
20．（2021秋•苏州期中）已知x= ，y= ，求下列各式的值．
2 2
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
3−√2 1+√2
【解答】解：（1）当x= ，y= 时，
2 2
原式＝（x+y）（x﹣y）
3−√2 1+√2 3−√2 1+√2
＝（ + ）×（ − ）
2 2 2 2
＝2×（1−√2）
＝2﹣2√2；
3−√2 1+√2
（2）当x= ，y= 时，
2 2
原式＝（x﹣y）2
3−√2 1+√2
＝（ − ）2
2 2
＝（1−√2）2
＝1﹣2√2+2
＝3﹣2√2．21．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+√2）2−√8（2﹣3√2）；
a2−a a2+8a+16
（2）化简求值：已知a=√5−1，求 − 的值．
√a2−2a+1 a+4
【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
a(a−1)
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式= −（a+4），再利用a的值去绝对
|a−1|
值，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+4√2+2﹣4√2+12
＝18；
a(a−1) (a+4) 2
（2）原式= −
√(a−1) 2 a+4
a(a−1)
= −（a+4），
|a−1|
∵a=√5−1，
∴a﹣1=√5−2＞0，
a(a−1)
∴原式= −a﹣4
(a−1)
＝a﹣a﹣4
＝﹣4．
22．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=√2−1，
√a2−2a+1
求 的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
a2−1
√(a−1) 2 a−1 1
解：原式= = = ．
(a+1)(a−1) (a+1)(a−1) a+1
1 √2
当a=√2−1时，原式= = ．
√2−1+1 2
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性
质，并写出正确的解题过程．(a−1)
【分析】小明错误运用了√a2=|a|这条性质；利用a=√2−1得到a﹣1＜0，则原式=− ，
(a+1)(a−1)
1
约分得到原式=− ，然后把a的值代入计算即可．
a+1
【解答】解：小明错误运用了√a2=|a|这条性质；
√(a−1) 2 |a−1|
正确解法为：原式= = ，
(a+1)(a−1) (a+1)(a−1)
∵a=√2−1，
∴a﹣1＜0，
(a−1)
∴原式=−
(a+1)(a−1)
1
=−
a+1
1
=−
√2−1+1
√2
=− ．
2
23．（2019春•番禺区月考）已知x=√3+1，y=√3−1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2，
y x
（2） −
x y
【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可；
y x (y+x)(y−x)
（2）化简所求式子得到 − = ，再将已知代入．
x y xy
【解答】解：（1）∵x=√3+1，y=√3−1，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（√3+1+√3−1）2＝（2√3）2＝12；
y x y2−x2 (y+x)(y−x) (√3−1+√3+1)(√3−1−√3−1) −4√3
（2） − = = = = =−2√3．
x y xy xy (√3+1)(√3−1) 2
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=√7+2，y=√7−2，求下列各式的值：
1 1
① + ；
x y
②x2﹣xy+y2；（2）若√39−a2+√5+a2=8，则√39−a2−√5+a2= ﹣ 2√6 ．
【分析】（1）①根据x=√7+2，y=√7−2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x=√7+2，y=√7−2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的
值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
1 1 y+x
【解答】解：（1）① + = ，
x y xy
∵x=√7+2，y=√7−2，
∴x+y＝2√7，xy＝3，
2√7
当x+y＝2√7，xy＝3时，原式= ；
3
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x=√7+2，y=√7−2，
∴x+y＝2√7，xy＝3，
当x+y＝2√7，xy＝3时，原式＝（2√7）2﹣3×3＝19；
（2）设√39−a2=x，√5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵√39−a2+√5+a2=8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±2√6，
∵√39−a2−√5+a2＜4＜2√6，
即√39−a2−√5+a2=−2√6，
故答案为：﹣2√6．
√3 √a2−2a+1 1+a
25．（2020春•海陵区校级期中）当a= 时，化简求 + 的值．
2 a2−a a【分析】根据二次根式的性质、分式的混合运算法则计算即可．
√3
【解答】解：∵a= ，
2
∴a﹣1＜0，
√(a−1) 2 1+a
∴原式= +
a(a−1) a
1−a 1+a
= +
a(a−1) a
1 1+a
=− +
a a
＝1．
26．（2019秋•张家港市期末）已知：√a−2+|b−3|=0
1 √6
（1）求 + 的值；
√4a √b
1 1
（2）设x=√b−√a，y=√b+√a，求 + 的值．
x y
1 √6 1 √6
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则 + = + ，然后利用分母有理
√4a √b √4×2 √3
化和二次根式的除法法则运算；
1 1 1 1
（2）由于x=√3−√2，y=√3+√2，则 + = + ，然后分母有理化后合并即可．
x y √3−√2 √3+√2
【解答】解：（1）∵√a−2+|b−3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
1 √6 1 √6 √2 5√2
∴ + = + = +√2= ；
√4a √b √4×2 √3 4 4
（2）∵x=√b−√a=√3−√2，y=√b+√a=√3+√2，
1 1 1 1
∴ + = + =√3+√2+√3−√2= 2√3．
x y √3−√2 √3+√2
27．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，求a2+ab+b2的值；
√y2−4 y+4
（2）已知：y＞√3x−2+√2−3x+2，求 +5﹣3x的值．
2−y
【分析】（1）根据a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；2 √y2−4 y+4
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x= ，进而得出y＞2，据此可得 +5﹣3x的值．
3 2−y
【解答】解：（1）∵a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
{3x−2≥0
（2）∵ ，
2−3x≥0
2
{x≥
3
∴ ，
2
x≤
3
2
∴x= ，
3
∴y＞2，
√y2−4 y+4
∴ +5﹣3x
2−y
√(y−2) 2
= +5﹣3x
2−y
|y−2|
= +5﹣3x
−(y−2)
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
2
＝4﹣3×
3
＝2．
1 1
28．（2022秋•灞桥区校级月考）已知a = ，b = ，求代数式√a2−3ab+b2的值．
√3−√2 √3+√2
【分析】先将a，b分母有理化，再计算出a﹣b与ab的值，最后将所求代数式变形为√(a−b) 2−ab，
进而可得出答案．1 √3+√2
【解答】解：∵a = = =√3+√2，
√3−√2 (√3−√2)(√3+√2)
1 √3−√2
b= = =√3−√2，
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
∴a﹣b=2√2，ab＝1，
∴√a2−3ab+b2=√(a−b) 2−ab=√8−1=√7．
29．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+√1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳
的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2√a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a+√(1−a) 2，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2√(a−3) 2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因
式，例如√a与√a，√2+1与√2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘
√2 √2×√3 √6
以 分 母 的 有 理 化 因 式 的 方 法 就 可 以 了 ， 例 如 ： = = ，
√3 √3×√3 3
2 2(3+√3) 2(3+√3) 2(3+√3) 3+√3
= = = = ．
3−√3 (3−√3)(3+√3) 9−3 6 3
（1）请你写出3+√11的有理化因式： 3−√11 ；
1−b
（2）请仿照上面的方法化简 （b≥0且b≠1）；
1−√b
1 1
（3）已知a = ，b = ，求√a2+b2+2的值．
√3−2 √3+2
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据√a2+b2+2=√(a+b) 2−2ab+2，将
a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+√11）（3−√11）＝9﹣11＝﹣2，
∴3−√11是3+√11的有理化因式，
故答案为：3−√11；
1−b
（2）
1−√b
(1−b)(1+√b)
=
(1−√b)(1+√b)
(1−b)(1+√b)
=
1−b＝1+√b；
1 1
（3）∵a = =−√3−2，b = = 2−√3，
√3−2 √3+2
∴a+b＝﹣2√3，ab＝﹣1，
∴√a2+b2+2
=√(a+b) 2−2ab+2
=√(−2√3) 2−2×(−1)+2
=√16
＝4．
