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专题21.3 一元二次方程应用-几何动态问题（专项训练）
1．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向
点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀
速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
2．（2021秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点
P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点 P的速度为1cm/s，点Q
的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面
积为12cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．6s
3．（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点
P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点 P的速度为1cm/s，点Q
的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为
15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
4．（2020九上·商河月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝
21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是
15cm？
5．如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点
A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如
果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线
段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
4
（3）当t为多少秒时，S＝ S
25 △ABC?
6．（2018九上·宁城期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，
BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于
5cm？
（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有最大面积?
7．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的
速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出
发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
4
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
9
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 √5 ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
8．（2021秋•东台市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A
沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC ＝ cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC ＝
4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
9．（2021秋•莲湖区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开
始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的
速度运动，P，Q两点分别到达 B，C两点后停止移动，求几秒后△PBQ的面积是
8cm2．
10．（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝
7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
11．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从
点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速
度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明
理由．
专题21.3 一元二次方程应用-几何动态问题（专项训练）
1．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向
点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【答案】C
【解答】解：设运动的时间为t，则AP=2t，CQ=3t
∴PC=50-2t
∵∠C=90°，S =300
△PCQ
1
∴ ·PC·CQ=300
2
解得t =5，t =20.
1 2
故答案为：C。
2．（2021秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点
P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点 P的速度为1cm/s，点Q
的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面
积为12cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．6s
【答案】A
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为12cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝12，
解得t ＝2，t ＝6（当t＝6时，BQ＝12，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为12cm2．
故选：A．3．（2020秋•涟源市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点
P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点 P的速度为1cm/s，点Q
的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为
15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t ＝3，t ＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
1 2
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
4．（2020九上·商河月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝
21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运
动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是
15cm？
【答案】9秒或12秒
【解答】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意
有
x2+（21-x）2=152，
解得x=9，x=12．
1 2
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm
5．如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如
果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线
段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
4
（3）当t为多少秒时，S＝ S
25 △ABC?
【答案】（1）S＝20t－4t2 （2） PQ＝10(cm）（3） 2秒或3秒
【解答】（1）解：S＝20t－4t2
（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm)
（3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.
∴t为2秒或3秒时S＝S .
△ABC
6．（2018九上·宁城期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，
BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿
BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于
5cm？
（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有最大面积?
【答案】（1）1 秒（2）2秒 （3）t=2.5时，面积最大
【解答】（1）解：设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，1
则列方程为：（5-t）×2t× =4，
2
解得t =1，t =4（舍），
1 2
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）解：设x秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm，
列方程为：（5-x）2+（2x）2=52，
解得x=0（舍），x=2，
1 2
答：2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm。
（3）解：设面积为Scm2，时间为t，
1
则S=（5-t）×2t× =-t2+5t，
2
当t=2.5时，面积最大.
7．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的
速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出
发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
4
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
9
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 √5 ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
2
【答案】（1） (秒）（2）5/3秒或7/3秒
3
4
【解答】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
9
1 1 4 16
CQ=t;PB=AB-AP=6-2t S = (CQ+PB)BC= (t+6-2t)×2=6-t= ×6×2= .
四边形PBCQ 2 2 9 316 2
t=6- = (秒）
3 3
4
答：（1）两动点运动2/3秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
9
（2）解：设两动点运动t秒使点P与点Q之间的距离为 √5 ，
①当0<t≤3s时，有 (6−3t) 2+4=5 ，
7 5
解得 t = ,t = .
1 3 2 3
②当3<t≤4s时，有 (8−2t) 2+t2=5 ，
得方程5t2-32t+59=0.
△=322-4×5×59=-156<0，
此方程无实根，即点P在BC上运动时，不存在！使点P与点Q之间的距离为 √5 .综
上所得，当点P运动s或了s时，点P与点Q之间的距离为 √5 .
答：两动点经过5/3秒或7/3秒，使得点P与点Q之间的距离为 √5
8．（2021秋•东台市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A
沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以
2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC ＝ cm2；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC ＝
4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【答案】（1）8 （2）P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC ＝4cm2．
（3）﹣10+8 秒钟【解答】解：（1）由题意，得 ×4×4＝8，
答：P、Q同时出发，经过2s，S△QPC ＝8cm2．
故答案是：8；
（2）设P出发ts时S△QPC ＝4cm2，则Q运动的时间为（t﹣2）秒，由题意得：
（6﹣t）•2（t﹣2）＝4，
∴t2﹣8t+16＝0，
解得：t ＝t ＝4
1 2
因此经4秒点P离A点1×4＝4cm，点Q离C点2×（4﹣2）＝4cm，符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S△QPC ＝4cm2．
（3）设经过x秒钟后PQ＝BQ，则PC＝（6﹣x）m，QC＝2xm，BQ＝8﹣2x，
（6﹣x）2+（2x）2＝（8﹣2x）2，
解得x ＝﹣10+8 ，x ＝﹣10﹣8 （不合题意，舍去）
1 2
答：经过﹣10+8 秒钟后PQ＝BQ．
9．（2021秋•莲湖区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开
始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的
速度运动，P，Q两点分别到达 B，C两点后停止移动，求几秒后△PBQ的面积是
8cm2．
【答案】2秒或4秒
【解答】解：设t秒钟后，S△PBQ ＝8，
则 ×2t（6﹣t）＝8，
t2﹣6t+8＝0，
∴t ＝2，t ＝4，
1 2答：2秒或4秒时△PBQ的面积等于8cm2．
10．（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝
7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向
点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于 cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【答案】（1）1秒 （2）3秒 （3）不能
【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，
BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由 ，得 ，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于 ，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为 ；
（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即 ， ，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．
11．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从
点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速
度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）3秒或 秒 （2）不存在
【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD＝2PQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，
∵PD2＝4PQ2，
①0＜t≤5时，
∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，
解得：t ＝3，t ＝7；
1 2
∵t＝7时10﹣2t＜0，
∴t＝3，
②5＜t≤8时，
PD＝ ＝2 ，
∵PD＝2PQ，
∴PQ＝ ，
∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t＝ ，
答：3秒或 秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）不存在，理由如下：
设x秒后△DPQ的面积是22cm2，
∵S△DPQ ＝S四边形ABCD ﹣S△ADP ﹣S△BQP ﹣S△DCQ ．
∴ ×8×2x+ （10﹣2x）•x+ （8﹣x）×10＝80﹣22，
整理得x2﹣8x+18＝0，
∵该方程无解，
∴不存在时间t 使得△DPQ的面积是22cm2．
