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专题4.15 线段几何模型-双（多）中点模型（专项练习）
【模型一】线段单中点
如图一，点P为线段AB中点，则有如下结论：
（1）：PA=PB;
（2）：AB=2AP=2PB；
（3） 图一
【模型二】线段双中点
（1）线段上的双中点
图二
（2）线段延长线上的双中点模型
图三
一、单选题
1．把根绳子对折成一条线段 ，在线段 取一点 ，使 ，从 处把绳子
剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为 ，则绳子的原长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从
有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）
A．37 B．36 C．35 D．343．点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若
，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若
点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③
若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的
延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，B在线段AC上，且BC=2AB，D，E分别是AB，BC的中点．则下列结论：
①AB= AC；②B是AE的中点；③EC=2BD；④DE= AB．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC
中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
7．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：
①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；
④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
8．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中
点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的
是( ).
A．CD2BD C．BD>AD D．
BC>AD10．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段
AM和AN的中点 ；第二次操作：分别取线段 和 的中点 ；第三次操
作：分别取线段 和 的中点 ；……连续这样操作10次，则每次的两个中点
所形成的所有线段之和 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，点C、D在线段AB上，且C为AB的一个四等分点，D为AC中点，若BC
＝2，则BD的长为_________.
12．如图，C、D是线段AB上的两点，CD=1cm，点M是AD的中点，点N是BC的
中点，且MN=3.5cm，则AB=______cm.
13．如图，已知直线 上两点 、 （点 在点 左边），且 ，在直线 上增
加两点 、 （点 在点 l左边），A作线B 段 A点中点B 、作线段AB=点1中0c点m ；若线段l
C ，D则线段C _D_____ ． AD M BC N
MN=3cm CD= cm
14．若点C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，点D为直线AB上一点，M、N分别
是AB、CD的中点，若MN=10，则线段AD的长为______．
15．如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为 ，动点P从O点出发，按以下规
律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点 处，第2次从 点跳动到 的中点 处，第
3次从 点跳动到 的中点 处，…，第n次从 点跳动到 的中点 处，按照这样的规律继续跳动到点 ， ， ，…， （ ，n是整数）处，那么 点所表示的
数为_________．
16．在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点P表示的数是x，
（I）若A、B两点间的距离表示为AB，则AB=_________；
（Ⅱ）若点P为线段AB的中点，点P表示的数x=__________；
（Ⅲ）若E，F，Q为数轴上的三个点，点Q表示的数为1，点F在点E的右侧，若
EF=2则EA+EB+EQ+FA+FB+FQ的最小值为________
17．线段 ，在直线 上截取线段 ， 为线段 的中点， 为线段
的中点，那么线段 __________．
18．已知线段 和 在同一直线上，如果 ， ，则线段 和
的中点之间的距离为______________ ．
19．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点.设 ， ，则线
段BC的长为________（用含a，b的代数式表示）
20．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若
AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为__________________
三、解答题
21．已知如图，点 是线段 上的两点，点 和点 分别在线段 和线段
上．已知 ， ， ， 时，求 的长度．22．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求
MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中
的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，
请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即 ， ，求MN的
长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即 ， ，则MN＝
___________；
23．点 在线段 上， ．
(1) 如图1， ， 两点同时从 ， 出发，分别以 ， 的速度沿直线 向
左运动；①在 还未到达 点时， 的值为 ；
②当 在 右侧时(点 与 不重合)，取 中点 ， 的中点是 ，求 的值；
(2) 若 是直线 上一点，且 ．则 的值为 ．
24．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式 ，则 ＝
．25．【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的
长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ c
m；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向
点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出
发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、
P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
26．如图，点A,B在数轴上表示的数分别为-4和+16，A,B两点间的距离可记为AB
(1) 点C在数轴上A,B两点之间，且AC=BC,则C点对应的数是_________
(2) 点C在数轴上A,B两点之间，且BC=4AC,则C点对应的数是_________
(3) 点C在数轴上,且AC+BC=30，求点C对应的数?
(4) 若点A在数轴上表示的数是a,B表示的数是b,则AB=_________参考答案
1．C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种
情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
解：如图
∵ ，
∴2AP= ＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+ ×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12× cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点拨】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现
思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
2．B
【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，
可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可
求出绳子被剪出的段数．解：∵绳子长72cm，
∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个
记号，
每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个
记号，
∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：
72÷12−1＝5（个），
∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，
∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以
作几个记号，有多少的记号重合．
3．D
【分析】分两种情况分析：点C在AB的 处和点C在AB的 处，再根据中点和三等
分点的定义得到线段之间的关系求解即可.
解：①当点C在AB的 处时，如图所示：
因为 ，E是线段BC的中点，
所以BC=12,
又因为点C是线段AB上的三等分点，
所以AB＝18；
②当点C在AB的 处时，如图所示：
因为 ，E是线段BC的中点，
所以BC=12,
又因为点C是线段AB上的三等分点，所以AB＝36.
综合上述可得AB=18或AB=36.
故选：D.
【点拨】考查了线段有关计算，解题关键根据题意分两种情况分析，并画出图形，从
而得到线段之间的关系.
4．C
【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确
结论即可.
解：（1）如图1所示：
∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝BC＝ ，
又∵AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∴结论①正确；
（2）如图2所示：
∵AC ＝1，AB＝4，
1
∴ ，
∴点C 为线段AB的四等分点
1
又∵AC ＝1，
2
∴
又∵点C 在AB的反向延长线上，
2
∴点C 不是线段AB的四等分点，
2
∴结论②错误；
（3）如图3所示：点C为线段AB上的一动点，
∴AB＝AC+BC，
又∵AB＝4cm，
∴AC+BC＝4cm，
∴结论③正确；
（4）如图4所示：
若点C在AB的延长线上时，
AC +BC ＞AB，
1 1
∵AB＝4，
∴AC +BC ＝AB+2BC ＞4cm，
1 1 1
若点在AB的反向延长线上时，
AC +BC ＞AB，
2 2
∵AB＝4，
∴AC +BC ＝AB+2AC ＞4cm，
2 2 2
∴结论④正确；
（5）如图5所示：
若点C在线段AB的延长线时，且AC ＝6cm，有
1
AC +BC ＝8cm，
1 1
若点C在线段AB的反向延长线时，且AC ＝2cm，有
2
AC +BC ＝8cm，
2 2
∴结论⑤错误．
综合所述；正确结论是①、③、④，
故选：C．
【点拨】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，
熟练掌握各定义和运算法则是关键.
5．D
【分析】根据线段中点的性质进行分析即可.
解：①、由BC=2AB，AC=AB+BC，得：AC=3AB，故正确；②、由E分别是BC的中点，BC=2AB，得BE=AB，故正确；
③、由D，E分别是AB，BC的中点，得：EC=BE=AB=2BD，故正确；
④、由上述结论，得：DE=DB+BE= AB+AB= AB，故正确．
故选D．
【点拨】考核知识点：线段中点.
6．D
【分析】先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝
CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．
解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝ AC＝4cm，CF＝ BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为2.5cm或5.5cm
故选D．
【点拨】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC
上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
7．D
【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-
DN)；
由④知，AB-
CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-
DN)；
④AB-
CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
8．D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可
得到答案．
解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = ．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AM﹣AC= = ．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AM AB= ，
∴MC=AC+AM= = ．综上所述：MC的长为 或 （a＞b）或 （a＜b），即MC的长为
或 ．
故选D．
【点拨】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间
的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
9．D
【分析】根据点C是线段AD的中点，可得AD=2AC=2CD，再根据2BD>AD，可得
BD> AC= CD，
再根据线段的和差，逐一进行判即可．
解：∵点C是线段AD的中点，
∴AD=2AC=2CD，
∵2BD>AD，
∴BD> AC= CD，
A. CD=AD-AC> AD－ BD，该选项错误；
B. 由A得AD－ BD CD，则AD BD+CD=BC,则AB=AD+BD BC+ BD
2BD，该选项错误；
C.由B得 AB 2BD ，则BD+AD 2BD,则AD BD,该选项错误；
D. 由A得AD－ BD CD，则AD BD+CD=BC, 该选项正确
故选D．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此
题的关键．
10．A
【分析】根据 ， 分别为 的中点，求出 的长度，再由
的长度求出 的长度，找到 的规律即可求出 的值.
解：∵ ， 分别为 的中点，
∴ ，∵ 分别为 的中点，
∴ ，
根据规律得到 ，
∴ ，
故选A.
【点拨】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，
相对较难.
11．5
解：先根据四等分点的定义求出AB=4BC=8，由AC=AB-BC求出AC8-2=6，再根据中
点的定义可得CD= AC =3，而BD=CD+BC =3+2=5．
故答案为5．
点睛：此题主要考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段CD的长是
解决本题的突破点．
12．8
【分析】先根据已知条件求得AM+CN＝4.5，再由AB＝AM+CN+MN代入计算即可.
解：因为点M是AD的中点，点N是BC的中点，
所以AM＝MD，CN＝BN，
又因为CD＝1，
所以MC＝MD－CD＝AM－1，
因为MN＝MC+CN＝3.5，
所以MN＝AM－1+CN＝3.5，
所以AM+CN＝4.5，
所以AB＝AM+NB+MN
＝AM+CN+MN
＝4.5+3.5
＝8.
故答案是：8.【点拨】考查了线段中点的性质，解题关键是求得AM+CN＝4.5，利用了整体思想.
13．16或4
解：如图，把直线 放到数轴上，让点A和原点重合，则点A所对应的数为0，点B
所对应的数是10，设点C所对应的数为 、点D所对应的数为 ，
∵则点M是线段AD的中点，点N是线段BC的中点，
∴点M所对应的数是 ，点N所对应的数是 ，
∵MN=3，
∴（1）如图1，当点M在点N的左侧时，MN= ，化简得：
，由点C在点D的左侧可得：CD= ；
（2）如图2，当点M在点N的右侧时，MN= ，化简得： ，由
点C在点D的左侧可得：CD= .
【点拨】（1）在数轴上任意两点A、B，若它们在数轴上所对应的数是 ，则线段
AB的中点所对应的数是： ；（2）在本题中，只限定了点C在点D的左侧，没有说
明点M和点N的位置关系，因此要分点M在点N左侧和右侧两种情况讨论，不要忽略了
其中任何一种情况.
14．16或24
根据线段的和、差及中点定义并利用分类讨论思想即可得出答案.
解：有三种情况：
①当点D在线段AB上时，如图所示，MN≠10，与已知条件不符，故此种情况不成立；
②当点D在线段AB的延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN-MC=10-2=8，
∵N是CD的中点，
∴CD=16,
∴AD=CD+AC=16+8=24;
②当点D在线段AB的反向延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN+MC=10+2=12，
∵N是CD的中点，
∴CD=24,
∴AD=CD-AC=24-8=16.
故线段AD的长为16或24.
点睛：本题主要考查线段和、差及中点定义，利用分类讨论思想正确作图是解题的关
键.15．
【分析】根据题意找出规律 ， ， ，…， ，求出
的长即可得到结果．
解：∵A表示的数是 ，
∴
∵ 是AO的中点，
∴ ，
同理 ， ，…， ，
∴ ，
∵ 在负半轴，
∴ 点所表示的数是 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查找规律，解题的关键是根据数轴上中点的性质找出点表示的数的规
律．
16． 8 1 18
【分析】（I）根据数轴的定义即可得；
（Ⅱ）根据数轴的定义、线段中点的定义即可得；
（Ⅲ）先找出所求式子取最小值时，点E、F的位置，再根据数轴的定义求解即可得．
解：（I） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）由题意得：当点E在点A、Q之间，点F在点B、Q之间时，
取得最小值，此时 ，
，
，
，
即 的最小值为18；
故答案为：8，1，18．
【点拨】本题考查了数轴、线段中点的定义，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
17．1或2
【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①点C在线段AB上；②点C在线段
AB的延长线上；分别作出图形，求出答案，即可得到DE的长度.
解：根据题意，
①当点C在线段AB上时；如图：
∵ ， ，
又∵ 为线段 的中点， 为线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
②当点C在线段AB的延长线上时；如图：
与①同理，可求 ， ，
∴ ；
∴线段DE的长度为：1或2；
故答案为：1或2.
【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关
键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.
18．4 cm或1.6 cm．
【分析】此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离；②当B在线段AC上时，那么AB=AC-
CB，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离．
解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC+BC=8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 cm；
②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC-BC=2.8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 cm．
故答案为：4 cm或1.6 cm．
【点拨】本题考查了比较线段的长短的知识，本题渗透了分类讨论的思想，要防止漏
解．
19．2b-a或2b+a或a-2b
【分析】由于点A. B、C三点都在直线l上, 点P是线段AC的中点，故分点B在A的
右侧，点B在AP之间, 点B在PC之间,点B在C的左侧四种情况进行讨论.
解：当点B在A的右侧，如图
∵ ，
∴AP=b-a
∵点P是线段AC的中点
∴PC=AP=b-a
∴BC=BA+AP+PC=a+（b-a）+（b-a）=2b-a
当点B在AP之间, 如图
∵ ，
∴AP=b+a∵点P是线段AC的中点
∴PC=AP=b+a
∴BC=BP+ PC=b+（b+a）=2b+a
当点B在PC之间, 如图
∵ ，
∴AP=a-b
∵点P是线段AC的中点
∴PC=AP=a-b，
∴BC= PC-PB=（a-b）-b=a-2b
当点B在C的左侧，如图
∵ ，
∴AP=a-b
∵点P是线段AC的中点
∴AC=2AP=2a-2b，
∴BC= AB-AC=a-（2a-2b）=2b-a
综上所述： BC=2b-a或 BC =2b+a，或BC=a-2b
故答案为：2b-a或2b+a或a-2b
【点拨】本题考查了线段的中点，注意图形不确定时需要进行分类讨论是解题的关键.
20．8、16、20、
【分析】分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论.
解：分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论：
（1）点P是靠近点A的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP= =4，因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB+BQ=12+4=16；
②当点Q在点B左侧时，
此时AP= =4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB-BQ=12-4=8；
（2）点P是靠近点B的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP= =8，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=8，
所以AQ=AB+BQ=12+8=20；
②当点Q在点P左侧时，
此时AP= =8，BP=4，
因为AQ=AP-PQ=PQ+BQ=BP+2PQ，
即8-PQ=4+2PQ，
解得PQ= ，
所以AQ= AP-PQ =8- = ；
故答案为8、16、20、
【点拨】此题考查了线段的和差计算，对点P的位置以及点Q的位置分类讨论是解答此题的关键.
21．4.5cm
【分析】先求出BM+CN的长度，再根据BC=MN-（BM+CN）即可得出结果．
解： ，
．
,
，
．
【点拨】本题考查线段的和差定义、两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)6(2)① ；② ；③
【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中
点，即得CM= AC=4，CN= BC=2，故MN=CM+CN=6；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM= AC，CN= BC，即得MN= AC+
BC= AB，故MN= a；
②由AM= AC，BN= BC，知CM= AC，CN= BC，即得MN=CM+CN= AC+
BC= AB，故MN= a；
③由AM= AC，BN= BC，知CM= AC，CN= BC，即得MN=CM+CN=
AC+ BC= AB，故MN= a．
(1)解：∵AB=12，AC=8，
∴BC=AB-AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= AC=4，CN= BC=2，
∴MN=CM+CN=6；
故答案为：6；
(2)解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM= AC，CN= BC，
∴MN= AC+ BC= AB，
∵AB=a，
∴MN= a；
故答案为： a；
②∵AM= AC，BN= BC，
∴CM= AC，CN= BC，
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
∵AB=a，
∴MN= a；
③∵AM= AC，BN= BC，
∴CM= AC，CN= BC，
∴MN=CM+CN= AC+ BC= AB，
∵AB=a，
∴MN= a，
故答案为： a．
【点拨】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
23．（1）① ；② ;（2） 或 或 或
【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；
（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧
时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时，④当D在B的右侧时求解即可．
解：（1）①AP=AC-PC，CQ=CB-QB，
∵BC=2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，
∴QB=2PC，
∴CQ=2AC-2PC=2AP，
∴
②设运动 秒
，
分两种情况
A: 在 右侧，
， 分别是 ， 的中点
， ，
∴
B: 在 左侧，
， 分别是 ， 的中点
， ，∴
（2）∵BC=2AC．
设AC=x，则BC=2x，
∴AB=3x，
①当D在A点左侧时，
|AD-BD|=BD-AD=AB= CD，
∴CD=6x，
∴ ；
②当D在AC之间时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x+CD-x+CD= CD，
x=- CD（不成立），
③当D在BC之间时，
|AD-BD|=AD-BD= CD，
∴x+CD-2x+CD= CD，
CD= x，
∴ ；
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
CD=
∴；
④当D在B的右侧时，
|AD-BD|=BD-AD= CD，
∴2x-CD-x-CD= CD，
CD=6x，
∴ ．
综上所述， 的值为 或 或 或
【点拨】题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分
类讨论是解决本题的关键．
24．（1）①AD＝7；②AD＝ 或 ；（2） 或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝
3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等
分点时，可求得CE＝ DE＝ 或CE＝ DE＝ ，则CD＝ 或 ，由线段的和差即可得
到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝
y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝ x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝
1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝ DE＝ 或CE＝ DE＝ ，
∴CD＝ 或CD＝ ，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣ ＝ 或12- = ；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵ ，
∴ ，
∴y＝ x，
∴CD＝1.5x﹣ x＝ x，
∴ ；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵ ，BE＝EC+BC＝x+y，
∴ ，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴ ，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图
分类讨论DE的位置是解题的关键．
25．(1)是(2)6或4或8c(3)t为3或 或 或 或 或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝ ＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，
CN＝ ＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝ ＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
(1)解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
(2)解：①当N为中点时，CN＝ ＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝ ＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝ ＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
(3)解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝ ；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝ AQ，即t＝ （15﹣2t），
解得t＝ ；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝ ；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝ AQ，即15﹣2t＝ t，
解得t＝ ．
综上所述，t为3或 或 或 或 或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外
两点为端点的线段的和谐点．
【点拨】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利
用分类讨论的思想求解．26．（1）6；（2）0；（3）21或-9；（4） .
【分析】设点C对应的数为x．
（1）根据AC=BC列出方程，解方程即可；
（2）根据BC=4AC列出方程，解方程即可；
（3）分C在A的左边或C在B点右边两种情况进行讨论，根据AC+BC=30列出方程
即可求解；
（4）根据数轴上两点之间的距离公式列出代数式.
解：设C表示的数为x,
（1）根据题意得x-（-4）=16-x，解得x=6，答C点对应的数为6；
（2）根据题意得4[x-（-4）]=16-x，解得x=0，答C点对应的数为0；
（3）当C在A左侧时AC+BC=30,则-4-x+16-x=30，解得x=-9
当C在B右侧时，x-16+x-（-4）=30解得x=21，所以C点对应的数为-9或21.
（4） .
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，本题解题关键为数轴
上两点之间的距离等于两点表示的数的差的绝对值（适用于不知两点之间的位置关系），
或等于右边的数减去左边的数（适用于知道两点之间的位置关系）.
