文档内容
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
例题练习题答案
例1 【答案】解：∵ DE//BC，∠AED = 80∘ ，
∴ ∠ACB = ∠AED = 80∘ ，∠BCD = ∠EDC，
∵
CD平分∠ACB，
1
∴ ∠BCD = ∠ACB = 40∘ ，
2
∴ ∠EDC = 40∘ ．
练1.1 【答案】C
例2 【答案】解：延长CD交AB于点E，如图所示：
∵∠DCB=∠B，
∴BE = EC．
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠CAD=∠EAD，∠ADC=∠ADE=90∘
，
又∵AD = AD，
∴△ADC≌△ADE，
∴CD = DE，AE = AC．
故AB = AE +BE = AC +2CD = 26．
练2.1 【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=30°，
又∵AB⊥AD，
∴∠ADB=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AD=DC=4，
1/163
∵AD=4，∠B=30°，∠BAD=90°，
∴BD=8，
∴BC=BD+DC=8+4=12．
故选：C．
1
例3 【答案】 解：AT = (BD−CD)，理由如下：
2
在BD上截取BF = CD，连接AF、AD，如图所示：
∵
CD⊥BD，
∴ ∠CDE = ∠BAE = 90∘ ，
∵ ∠AEB = ∠DEC ， ∠ABF +∠AEB +∠BAE = 180∘ ，
∠DCE +∠DEC +∠CDE = 180∘ ，
∴ ∠ABF = ∠DCE，
AB = AC
在ΔABF和ΔACD中， ⎧⎪∠ABF = ∠ACD ，
⎨
BF = CD
⎩⎪
∴ ΔABF ≌ ΔACD(SAS)，
∴ AF = AD，∠BAF = ∠DAC，
∵ ∠BAC = ∠BAF +∠FAC = 90∘ ，
∴ ∠DAC +∠FAE = ∠FAD = 90∘ ，
即ΔFAD是等腰直角三角形，
∴∠ADT = 45∘ ，
∵
AT⊥DF，
∴ FT = TD，∠DAT = ∠ADT = 45∘ ，
1 1
∴ AT = TD = DF = (BD−CD)．
2 2
练3.1 【答案】证明：如图，过点A作AF⊥AD交BD与F．
2/163
∴∠1 +∠3 = 90∘ ，
又∵∠BAC = 90∘ ，即∠2 +∠3 = 90∘ ，
∴∠1 = ∠2．
∵∠BAC = 90∘ ，CD⊥BE，
∴∠6+∠4 = ∠5+∠7=90∘ ，
又∵∠4 = ∠5，
∴∠6 = ∠7．
∠1 = ∠2
在△BAF和△CAD中， ⎧AB = AC，
⎨
⎩∠6 = ∠7
∴△ BAF ≌△ CAD(ASA)．
∴AF = AD．
又∵AF⊥AD，
∴∠ADB = 45∘ ．
例4 【答案】证明：连接AP并延长交BC于点D，在BC上取一点E使得BA = BE，
∵ ∠ABC = 60∘ ，
∴△ ABE为等边三角形，
∴ ∠BAE = ∠ABE = ∠AEB = 60∘ ，EA = AB，
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∵ ∠ABC = 60∘ ，∠ACB = 40∘ ，
∴ ∠BAC = 180∘ −∠ABC −∠ACB = 80∘ ．
∵
P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，
1
∴ ∠BAD = ∠DAC = ∠BAC = 40° = ∠ACB，
2
1
∠PCD = ∠ACB = 20°，
2
∴∠DAE = ∠BAE −∠BAD = 20∘ = ∠PCD，AD = CD，
∠DAE = ∠DCP
在△ ADE和△ CDP中， ⎧⎪AD = CD ，
⎨
∠ADE = ∠CDP
⎩⎪
∴△ ADE ≌△ CDP (ASA)
∴ EA = PC，
∴AB = PC．
练4.1 【答案】证明：延长BD至E，使得BA = BE，连接AE、CE．
∵∠ABD = 60∘
∴△ABE为等边三角形，
∴AE = AB = AC = BE，∠AEB = 60∘ ，
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∴∠AEC = ∠ACE，
又∵∠ACD = 60∘ ，
∴∠AEB = ∠ACD，
∴∠DEC = ∠DCE，
∴CD = ED = BE −BD = AB −BD．
例5 【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A=46°，
∴∠ABE=∠A=46°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°，
∠F=90°-∠ABC=23°．
练5.1 【答案】（1）证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE = CE，
又∵OE = OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD = OC，
又∵DE = CE，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）解：OE = 4EF．
证明：由（1）得Rt△ODE≌Rt△OCE，OE是CD的垂直平分线
1
∴∠DOE = ∠COE = ∠AOB=30∘ ，OE⊥CD，
2
∵ED⊥OA，
∴OE = 2DE，∠DOE+∠DEO = 90∘ ，
又∵∠EDF+∠DEO = 90∘
∴∠EDF = ∠DOE = 30∘ ，
∴DE = 2EF，
∴OE = 4EF．
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例6 【答案】证明：（1）如图，过D作DM⊥EF，交EF于M．
∵ED平分∠BEF，
∴BD = DM，
∵BD = CD，
∴DC = DM，
∴FD平分∠EFC；
（2）∵ED平分∠BEF，
∴BD = MD，
BD = MD
在Rt△BDE和Rt△MDE中， ，
{ED = ED
∴Rt△BDE≌Rt△MDE，
∴EB = EM ，
同理可得CF = MF，
∴EF = BE +CF．
练6.1 【答案】A
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】延长DB至E，使BE=AB，连接AE
∵AB+BD=CD
∴BE+BD=CD
即DE=CD，
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∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∴∠C=∠E=25°
∵BE=AB
∴∠ABD=2∠E=50°
故选：C．
2 【答案】D
【解析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE = ∠EBC，∠ECN = ∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC = ∠MEB，∠NEC = ∠ECB，
∴∠MBE = ∠MEB，∠NEC = ∠ECN，
∴BM = ME，EN = CN，
∴MN = ME +EN，
即MN = BM +CN．
∵BM +CN = 9
∴MN = 9，
故选：D．
3 【答案】C
4 【答案】证明：过点A作AF⊥AD交BE于F．
∵∠ADE=45°，
∴△ADF为等腰直角三角形．
∴AD=AF，∠AFE = 45∘ ．
∵AE⊥DE，
7/163
∴∠EAF = ∠AFE = 45∘ ，
∴AE=EF．
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC—∠CAF=∠DAF—∠CAF即∠BAF=∠CAD．
AB = AC
在△BAF和△CAD中， ⎧∠BAF = ∠CAD，
⎨
AF = AD
⎩
∴△ BAF ≌△ CAD（SAS）．
∴BF=CD．
∵BE=BF+EF，
∴BE=CD+AE．
5 【答案】B
6 【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°
∴∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE，
∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中
∠1 = ∠2
⎧⎪AM
= DC ，
⎨
∠AMD = ∠DCE
⎩⎪
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
8/163
7 【答案】D
8 【答案】A
9 【答案】C
10 【答案】A
【解析】如图，过点M作MN⊥AD于N，
∵∠C = 90∘ ，DM平分∠ADC，
∴MC = MN，
∴∠CMD = ∠NMD，
∵M是BC的中点，
∴MB = MC，
∴MB = MN，
又∵∠B = 90∘ ，
∴AM是∠BAD的平分线，∠AMB = ∠AMN，
∵∠CMD = 35∘ ，
1
∴∠AMB = (180∘ −35∘ ×2) = 55∘ ，
2
∴∠MAB = 90∘ −∠AMB = 90∘ −55∘ = 35∘ ．
故选：A．
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】BD=AD+CD
4 【答案】B
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【解析】∵ AB = AC，BD = CD，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴
AD垂直平分BC，∴ A符合题意；
∵ ∠ABC = 60∘ ，AB = AC，
∴
ΔABC是等边三角形，
∴ ∠BAC = 60∘ ，又∠BDC = 120∘ ，
∴ ∠ABC = ∠ACD = 90∘ ，∴ C符合题意；
∵ ∠ABC = 60∘ ，
∴ ∠BAD = 30∘ ，
∴ AD = 2BD，∴ B不符合题意；
在ΔABD和ΔACD中，
AB = AC
⎧⎪BD
= CD，
⎨
AD = AD
⎩⎪
∴
ΔABD ≅ΔACD，∴ D符合题意，
故选：B．
5 【答案】A
【解析】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF = OD = OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC = 100∘ ，
∴∠ABC +∠ACB = 180∘ −100∘ = 80∘ ，
1 1
∴∠OBC +∠OCB = (∠ABC +∠ACB) = ×80∘ = 40， ∘
2 2
在△OBC中，∠BOC = 180∘ −(∠OBC +∠OCB) = 180∘ −40∘ = 140． ∘
故选：A．
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
精选精练
1 【答案】D
【解析】解： ∵△ ABC是等腰直角三角形，∠ACB = 90∘ ，
∴ ∠BAC = ∠ABC = 45∘ ，
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∵ ∠CAD = ∠CBD = 15∘ ，
∴ ∠BAD = ∠ABD = 45∘ −15∘ = 30∘ ，
∴ BD = AD，
∴
D在AB的垂直平分线上，
∵ AC = BC，
∴
C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴ ∠ACD = ∠BCD = 45∘ ，
∴ ∠CDE = ∠CBD+∠BCD = 15∘ +45∘ = 60∘ ，
∵ ∠ADE = ∠DBA +∠BAD = 60∘ ；
∴ ∠CDE = ∠ADE = 60∘ ，
所以①②正确；
∵ CB = CE，
∴ ∠CEB = ∠CBD = 15∘ ，
∴ ∠BCE = 180∘ −15∘ −15∘ = 150∘ ，
∵ ∠ACB = 90∘ ，
∴ ∠ACE = 150∘ −90∘ = 60∘ ，
∴
ΔACE是等边三角形；
所以③正确；
在DE上取一点G，使DC = DG，连接CG，
∵ ∠EDC = 60∘ ，
∴
ΔDCG是等边三角形，
∴ DC = DG = CG，∠DCG = 60∘ ，
∴ ∠GCE = 150∘ −60∘ −45∘ = 45∘ ，
∴ ∠ACD = ∠GCE = 45∘ ，
∵ AC = CE，
∴
ΔACD ≅ΔECG，
∴ EG = AD，
∴ DE = EG+DG = AD+DC，
所以④正确；
正确的结论有：①②③④；
故选：D．
11/163
2 【答案】证明：（1）∵ BA⊥AM，MN⊥AC，
∴ ∠BAM = ∠ANM = 90∘ ，
∴ ∠PAQ+∠MAN = ∠MAN +∠AMN = 90∘ ，
∴ ∠PAQ = ∠AMN，
∵
PQ⊥AB，MN⊥AC，
∴ ∠PQA = ∠ANM = 90∘ ，
∠PAQ = ∠AMN
∴在ΔPQA与ΔANM中， ⎧⎪AQ = MN ，
⎨
∠AQP = ∠ANM
⎩⎪
∴
ΔPQA≌ΔANM(ASA)，
∴ AP = AM，
∴
ΔAPM是等腰三角形；
（2）由（1）知，ΔPQA ≅ΔANM，
∴ AN = PQ，AM = AP，
∴ ∠AMB = ∠APM，
∵ ∠APM = ∠BPC，∠BPC +∠PBC = 90∘ ，∠AMB +∠ABM = 90∘ ，
∴ ∠ABM = ∠PBC，
∵
PQ⊥AB，PC⊥BC，
∴ PQ = PC（角平分线的性质），
∴ PC = AN．
3 【答案】证明：过点D作DF∥AB，并使得DF = AB．连接BF、CF以及BD．
∵DF∥AB，DF = AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AD = BF．
∵DF∥AB，∠AED = 90∘ ，
12/163
∴∠CDF = 90∘ ．
又∵AB = CD，DF = AB，
∴CD = DF，
–
∴△CDF是等腰直角三角形，CF = √2CD．
∵BC +BF ≥ CF（当C、B、F三点共线的时候，取等号），
–
∴BC +BF ≥ √2CD．
4 【答案】A
【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∠PFD = ∠QCD
∵在△PFD和△QCD中，
⎧⎪∠PDF
= ∠QDC，
⎨
PF = CQ
⎩⎪
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
1
∴AE+CD=DE= AC，
2
∵AC=1，
1
∴DE= ．
2
故选：A．
5 【答案】A
【解析】过E作EF⊥AD于F，如图，
13/163
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
1
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
2
故选A．
6 【答案】C
【解析】解：在△ABC与△DCB中，
AB = DC
⎧⎪∠ABC
= ∠DCB，
⎨
BC = CB
⎩⎪
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠MBC=∠MCB，
∴MB=MC；而ME平分∠BMC，
∴ME⊥BC，BE=CE；
故①②正确；
∵∠ABC=∠DCB，∠MBC=∠MCB，
∴∠ABM=∠DCM；在△ABM与△DCM中，
∠ABM = ∠DCM
⎧⎪BM
= CM ，
⎨
∠AMB = ∠DMC
⎩⎪
∴△ABM≌△DCM（ASA），
故④正确，
故选：C．
14/163
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
练1.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】
(3【) 答案】B
例2
(1【) 答案】解不等式−2x < 6，得：x > −3；
解不等式3(x+1) ≤ 2x+5，得：x ≤ 2；
则不等式组的解集为−3 < x ≤ 2.
【解析】解不等式−2x < 6，得：x > −3；
解不等式3(x+1) ≤ 2x+5，得：x ≤ 2；
则不等式组的解集为−3 < x ≤ 2.
(2【) 答案】解不等式3x−1 ≥ x+1得：2x ≥ 2，x ≥ 1；
5x+1
解不等式2x−1 < 得：
2
4x−2 < 5x+1，x > −3；
∴原不等式组的解集为．x ≥ 1.
15/163
练2.1 【答案】 2(x+1) > x①
解： ，
{ 1 −2x ≥ x+7 ②
2
解①得：x > −2，
解②得：x ≤ −1，
故不等式组的解为：−2 < x ≤ −1，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
练2.2 【答案】D
−2−3x
例3 【答案】 > −1①
4
（1）解：原不等式组可化为 ，
−2−3x
{ < 1②
4
2
由①得，x < ；
3
由②得，x > −2，
2
故此不等式组的解集为：−2 < x < ．
3
1 −3x ≥ 4①
（2）原不等式组可化为 ，
{1 −3x ≤ 7②
由①得，x ≤ −1；
由②得，x ≥ −2，
故此不等式组的解集为：−2 ≤ x ≤ −1．
练3.1 【答案】0 ≤ x < 1
【解析】由题意可得：−1 ≤ 2x−1 < 1，解连续不等式得到x的取值范围：0 ≤ x < 1．
例4 【答案】m ⩽ 3
x+8 < 4x−1①
【解析】
{x > m②
∵解不等式①得：x > 3，
不等式组的解集为x > 3，
∴m ≤ 3．
故答案为m ≤ 3．
练4.1 【答案】D
x+9 < 5x+1
【解析】 解： ，由①得，x > 2，
{x > m
∵不等式组的解集是x > 2，
∴ m ⩽ 2．
故选：A
16/163
练4.2 【答案】解不等式x−a > b，得：x > b+a，
a+2b+4
解不等式2x−a < 2b+4，得：x < ，
2
∵不等式组的解集为2 < x < 5，
a+b = 2
∴ ，
a+2b+4
= 5
{
2
a = −2
解得： ．
{ b = 4
b
∴ = −2．
a
m+4
例5 【答案】 解方程2x−m = 4，得：x = ，
2
∵方程的解是非负数，
m+4
∴ ≥ 0，
2
解得：m ≥ −4．
m+4
【解析】 解方程用含m的式子表示x，根据方程的解是非负数得 ≥ 0，解不等式即可得．
2
练5.1 【答案】m ≤ 2
5x+2y = 11a+18,①
练5.2 【答案】
（1）
{ 2x−3y = 12a−8,②
①×3+②×2，得：19x = 57a+38，
解得x = 3a+2，
将x = 3a+2代入①，得：15a+10 +2y = 11a+18
解得y = −2a+4；
3a+2 > 0,
（2）根据题意，得： ，
{−2a+4 > 0.
2
解得：− < a < 2；
3
例6
(1【) 答案】B
(2【) 答案】a ≥ 3
练6.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】A
练6.2 【答案】B
x−a < 1①
【解析】
，
{ x ≥ 1②
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∵解不等式①得：x < 1 +a，
∴不等式组的解集为1 ≤ x < 1 +a，
∵不等式组的整数解有3个，
∴3 < 1 +a ≤ 4，
解得：2 < a ≤ 3，
故选：B．
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
自我巩固答案
1 【答案】A
2
2x−1 ≥ x+1①
(1【) 答案】
①解：
{x+8 < 4x−1②
由①得：x ≥ 2
由②得：x > 3
∴原不等式组的解集是x > 3
x−3 < 0①
②解：
{2(x+1) ≤ x+3②
由①得：x < 3
由②得：x ≤ 1
∴原不等式组的解集是x ≤ 1
2x−5 < 0①
③解：
{x−2(x+1) < 0②
5
由①得：x <
2
由②得：x > −2
5
∴原不等式组的解集是−2 < x <
2
1
x−1 < x①
④解：⎧ 2
⎨2x−4 > 3x+3②
⎩
由①得：x > −2
18/163
由②得：x < −7
∴原不等式组无解
1 −3x
(2【) 答案】 < 2 ①
⎧ ⎪ 5
⎪
解：先写成不等式组的形式
2x−7
⎨
2 ≤ 1 − ②
⎩⎪ ⎪ 3
由①得：x > −3
由②得：x ≤ 2
∴原不等式组的解集是−3 < x ≤ 2
3
(1【) 答案】x < 3； x ≥ −2；
−2 ≤ x < 3； −2,−1,0,1,2
x+2(1 −2x) ≥ −4①
(2【) 答案】
解：原不等式组为⎧ 3 +5x ；
⎨ x−1 < ②
⎩ 2
解不等式①，得x ≤ 2；
5
解不等式②，得x > − ；
3
5
∴原不等式组的解集为− < x ≤ 2；
3
∴原不等式组的所有整数解为−1,0,1,2．
4(x+1) ≤ 7x+10①
(3【) 答案】
解：⎧ x−8 ；
⎨ x−5 < ②
⎩ 3
由①得：x ≥ −2；
7
由②得：x < ；
2
7
∴原不等式组的解集是−2 ≤ x < ；
2
∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2，3．
4 【答案】A
1
【解析】 解不等式 (x+2)−3 > 0，得：x > 4，
2
由不等式组的解集x > 4知m ≤ 4，
故选：A．
5 【答案】D
19/163
x < 3
【解析】
不等式组变形得： ，
{x < m
由不等式组的解集为x < 3，
得到m的范围为m ≥ 3，
故选：D．
6 【答案】A
【解析】∵m+2>m-1，
x > m−1
∴ 的解集为x>m+2，
{x > m+2
∴m+2=-1，
∴m=-3．
7 【答案】B
5
8 【答案】m ≤
2
x ≥ m
【解析】
由不等式组可知⎧ 5 有解；
x ≤
⎨
⎩ 2
5
∴m ≤ ；
2
5
故答案为：m ≤ ．
2
9 【答案】A
10 【答案】B
【解析】∵解不等式x−a > 0得：x > a，
解不等式3x+4 < 13得：x < 3，
∴不等式组的解集为a < x < 3，
x−a > 0
∵关于x的不等式组 有且只有3个整数解，
{3x+4 < 13
∴−1 ≤ a < 0，
故选：B．
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
课堂落实答案
1 【答案】C
20/163
2 【答案】C
【解析】本题考查的是一元一次不等式组的特殊解,首先求出此一元一次不等式组的解,然后再根据
1
x+ 1 ⩾ −3
取值范围以及最大整数解即可确定值. 解不等式组 2 ,得
{x− 2(x− 3) > 0
−8 ⩽ x < 6,则其最大整数解为5.故选C.
3 【答案】C
2x−1 < 3①
【解析】
解：已知
{x < a②
由①得：x < 2，由②得：x < a；
因为不等式组的解集是x < 2；
∴a ≥ 2；
故选：C．
x−a ≥ b−1①
4 【答案】
解： ，
{ 2x+a < 2b②
由①得，x ≥ a+b−1，
1
由②得，x < b− a，
2
1
所以，不等式组的解集是a+b−1 ≤ x < b− a，
2
∵不等式组的解集是1 ≤ x < 3，
a+b−1 = 1 a = −2
3
∴ ，解得 ．
{ b− 1a = 3 { b = 8
2 3
2 8
∴a = − ，b = ．
3 3
x = 2a+1
5 【答案】
解方程组得： ，
{ y = a−2
∵x > y > 0，
2a+1 > a−2
∴ ，
{ a−2 > 0
解得：a > 2.
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
精选精练
1 【答案】B
21/163
2 【答案】5 < x < 10
【解析】根据三角形的三边关系，x+x > 20 −2x，
解得x > 5，
又∵ x+x < 20，
∴ x < 10，
所以，5 < x < 10．
3 【答案】D
x−a > −1
【解析】 解：解 ，得a−1 < x ≤ a+2，
{x−a ≤ 2
x−a > −1
由不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0 ≤ x ≤ 4的范围内，得
{x−a ≤ 2
a+2 < 0或a−1 ≥ 4，
解得a ≥ 5或a < −2．
4 【答案】D
【解析】解：解方程x+2a = 1得：x = 1 −2a，
∵方程的解为负数，
∴ 1 −2a < 0，
解得：a > 0.5，
−1(x−a) > 0①
2
，
{x−1 ≥ 2x+1 ②
3
∵解不等式①得：x < a，解不等式②得：x ≥ 4，
又∵不等式组无解，
∴ a ≤ 4，
∴ a的取值范围是0.5 < a ≤ 4，
∴整数和为1 +2 +3 +4 = 10，
故选：D．
5 【答案】D
x+3y = 3 −2k① 1
【解析】 解： ，①+②得4x+4y = 4 −k，∴ x+y = 1 − k，
{3x+y = 1 +k② 4
x+3y = 3 −2k
∵关于x、y的方程组 的解满足x+y > 0，
{3x+y = 1 +k
1 x−2(x−1) ≤ 3①
∴ 1 − k > 0，得k < 4， ，
4
{
2k+x ≥ x②
3
由①，得x ≥ −1，由②，得x ≤ k，
x−2(x−1) ≤ 3
∵于x的不等式组 有解， ∴ −1 ≤ k，得k ≥ −1，
2k+x ≥ x
{
3
22/163
由 上 可 得 ， −1 ≤ k < 4 ， ∴ 符 合 条 件 的 整 数 k 的 值 的 和 为 ：
−1 +0 +1 +2 +3 = 5，故选：D．
6 【答案】72
a b
【解析】 解：由原不等式组可得： < x < ．
9 8
在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图
a b
根据数轴可得：0 ≤ < 1，3 < ≤ 4．
9 8
a
由0 ≤ < 1，得0 ≤ a < 9，
9
∴符合a的整数共9个．
b
由3 < ≤ 4得24 < b ≤ 32，
8
∴符合b的整数共8个．
9 ×8 = 72（个）．
故适合这个不等式组的整数a，b的有序数对(a,b)共有72个．
故答案为72．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
例题练习题答案
例1 【答案】（1）x = −1；（2）x ≤ −1；（3）x > −1；（4）x ≥ 0
练1.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】D
例2
(1【) 答案】∵直线y = kx+ b经过点A(5,0),B(1,4),
5k+ b = 0
∴ ,
{k+ b = 4
k = −1
解得 ,
{b = 5
∴直线AB的解析式为:y = −x+ 5;
23/163
(2【) 答案】∵若直线y = 2x− 4与直线AB相交于点C,
y = −x+ 5
∴ ,
{y = 2x− 4
x = 3
解得 ,
{y = 2
∴点C(3,2);
(3【) 答案】根据图象可得x ≥ 3.
练2.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】A
例3 【答案】D
x
【解析】根据题意，得4× ＞100．
0.5
练3.1 【答案】B
【解析】解：设打了x折，由题意得，1100 ×0.1x−700 ≥ 700 ×10%，
解得：x ≥ 7．即至多打7折．故选：B．
练3.2 【答案】解：设做对x道，则做错或不做有(25 −x)道，
列式4x−2(25 −x) ≥ 60，
化简得4x−50 +2x ≥ 60，
55
解得x ≥ ．
3
∵x为整数，
∴至少应选对19道题．
答：至少应答对19道题．
例4
(1【) 答案】y = −16x+ 3012;
(2【) 答案】2820元.
练4.1
(1【) 答案】设该商场购进甲商品x件，乙商品y件，
120x+100y = 3600
由题意得， ，
{(138 −120)x+(120 −100)y = 600
x = 20
解得： ，
{y = 12
答：该商场购进甲、乙两种商品分别为20件，12件；
24/163
【解析】设该商场购进甲商品x件，乙商品y件，根据用3600元购进甲、乙两种商品，销售完
后共获利600元，列方程组求解；
(2【) 答案】设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
12(z −100)+2 ×20 ×(138 −120) ≥ 840，
解得：z ≥ 110．
答：乙种商品最低售价为每件110元．
【解析】根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润≥ 840，可以列出一元一次不
等式解决问题．
练4.2 【答案】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
20x+40y = 1520
可得：
{ 20x−20y = 440
x = 40
解得： ，
{y = 18
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为(x+20)本，根据题意可得：
x+x+20 ≥ 72
{40x+18(x+20) ≤ 2000
820
解得：26 ≤ x ≤ ，
29
因为取整数，
所以x取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
例5 【答案】A
【解析】设购买x本笔记本，
根据题意得：2 ×6 +(x−2)×6 ×0.7 < 0.8×6x，
解得：x > 6，
∵x为正整数，
∴最少购买7本笔记本．
故选：A．
练5.1 【答案】解：（1）到甲厂家购买所需费用为800 ×3 +80(x−3 ×3) = (80x+1680元) ；
到乙厂家购买所需费用为(800 ×3 +80x)×0.8 = (64x+1920)元．
（2）当到甲厂家购买划算时，80x+1680 < 64x+1920，解得：x < 15；
25/163
当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80x+1680 = 64x+1920，解得：x = 15；
当到乙厂家购买划算时，80x+1680 > 64x+1920，解得：x > 15．
答：当9 ≤ x < 15时，到甲厂家购买更划算；当x = 15时，到两个厂家购买费用相
同；当x > 15时，到乙厂家购买更划算．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
自我巩固答案
1
(1【) 答案】①x = 2；②x ≤ 2；③x > 2；④x ≤ 0.
(2【) 答案】x > 1.
2 【答案】D
【解析】根据图象得到，3x+1＞0的解集是：x＞﹣ 1 ，
3
第二个不等式的解集是x＜2，
1
∴不等式组的解集是﹣ ＜x＜2．
3
故选：D．
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】B
【解析】设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
mn
去括号得：1﹣n%+m%﹣ ﹣1≥0，
10000
整理得：100n+mn≤100m，
100m
故n≤ ．
100 +m
6 【答案】C
【解析】设小明答对x道题，
依题意，得10x−5(20 −x) > 85．
1
解得x > 12 ．
3
26/163
x取最小整数为13．
答：小明至少答对13道题才能超过85分．
故选：C．
7 【答案】C
7x+3(40 −x) ≤ 226
8 【答案】
依题意有： ，
{4x+10(40 −x) ≤ 250
解得：25 ≤ x ≤ 26.5，
∵x为整数，
∴x取25或26，
该工厂的生产方案有：
方案一：生产A产品25件，B产品15件；
方案二：生产A产品26件，B产品14件；
【解析】本题中的不等式关系为：生产A产品用的甲原料+生产B产品用的甲原料≤ 226，生产A产
品用的乙原料+生产B产品用的乙原料≤ 250，由此可得出不等式组，得出自变量的取值
范围，然后根据自变量的取值范围得出符合条件的自变量的值．
9 【答案】解：（1）设A型号体育器材购进了x件，则B型号体育器材购进了(100 −x)件，根据题
意可得： 18x+15(100 −x) ≤ 1620，解得：x ≤ 40，答：A型号体育器材至多
购进了40件；
（2）由题意可得：
w = m(28 −18)+(100 −m)×(20 −15=) 10m+500 −5m= 5m+500，
∵ 5 > 0， ∴ w随m的增大而增大，又∵ m ≤ 40，
∴ m = 40时，w最大，
则w = 5 ×40 +500 = 700（元)，
答：毛利润w（元)的最大值为700元．
10 【答案】解：（1）甲经销商的费用：(3x×0.8+900 = 900 +2.4x)元．
乙经销商的费用：(3x+900 ×0.6 = 540 +3x)元．故答案是：(900 +2.4x)；
(540 +3x)；
（2）①由题意得：900 +2.4x = 540 +3x，解得x = 600．
所以，当x = 600时，在甲、乙两个经销商处印刷的费用是一样的．
②由题意得：900 +2.4x > 540 +3x，解得x < 600．
所以，当x < 600时，在乙经销商处印刷的费用合适．
③由题意得：900 +2.4x < 540 +3x，解得x > 600．
所以，当x > 600时，在甲经销商处印刷的费用合适．
27/163
综上所述，当x = 600时，在甲或乙处印刷都可以；当x < 600时，在乙经销商处印
刷；当x > 600时，在甲经销商处印刷．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】 4
4 【答案】D
5 【答案】解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20 +22x ⩽ 200，
8
解之得：x ⩽ 7 ，
11
由于x取整数，故x的最大值为7，
答：孔明应该买7个球拍．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
精选精练
1 【答案】−3 < x < −2
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】B
【解析】设甲乙两地距离x千米
依题意得：11 −1.5 < 1.5(x−3)+5 ≤ 11
解得：6 < x ≤ 7
因此甲地到乙地路程的最大值是7千米．
28/163
故选：B．
5 【答案】1 ⩽ 4x+ 2− 6(x− 2) < 6
6 【答案】解：设班级学生的人数为x人，由题意得：
3x+5 < 4(x−1)+4
，
{3x+5
⩾
4(x−1)+1
解得：5 < x ⩽ 8．
因为班级学生的人数是奇数，
所以x = 7，
3x+5 = 26．
答：这些小礼物共有26个．
【解析】该题考查的是列一元一次不等式组解决实际问题．
设班级学生的人数为x人，由题意得，
，
解①得，3x+5 < 4x−4 +4，
解得，x > 5，
解②得，3x+5 ≥ 4x−4 +1，
解得，x ≤ 8，
∴不等式解集得\[5．
因为班级学生的人数是奇数，
∴x = 7，
∴3x+5 = 26．
答：这些小礼物共有26个．
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
例题练习题答案
例1 【答案】解：（1）∵△CAD、△CBE都是等边三角形，
∴∠A = ∠CDA = 60∘ ，AC = CD，CE = CB，∠ACD = ∠ECB = 60∘ ，
∴∠ACD+∠DCB = ∠ECB +∠DCB，
即∠ACB = ∠ECD，
29/163
在△ACB和△DCE中
AC = DC
⎧∠ACB = ∠DCE，
⎨
CB = CE
⎩
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴∠CDE = ∠A = ∠CDA = 60∘ ，
∴∠EDB = 180∘ −60∘ −60∘ = 60∘ ，
（2）∵△ACB≌△DCE，
∴DE = AB，
∵AB = AD+BD，AD = CD．
∴DE = AB = AD+DB = CD+DB．
练1.1 【答案】解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形
∴BD = BE，∠ABC = ∠EBD，BC = AB
∠BAC = ∠ACB = ∠ABC = ∠BDE = ∠BED = ∠EBD = 60∘
∴∠CBD = ∠ABE
在△CBD和△ABE中，
BD = BE
⎧∠CBD = ∠ABE，
⎨
BC = BA
⎩
∴△CBD≌△ABE(SAS)，
∴∠BDC = ∠AEB，
∵∠AEB = 180∘ −∠BED = 120∘
∴∠BDC = ∠AEB = 120∘
∴∠ADC = ∠BDC −∠BDE = 60∘ ；
（2）由（1）得DC = AE，
∴DA −DB = DA −DE = AE = DC．
例2 【答案】证明：（1）可证△AEC≌△ABF（SAS），
∴∠ACE = ∠AFB，
∵∠ACE +∠FMC = ∠AFB +∠CAF，
∴∠FMC = ∠CAF = 90∘ ，
∴EC⊥BF
证明：（2）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD = CD，GD = ED，
∵∠CDG = 90∘ +∠ADG，∠ADE = 90∘ +∠ADG，
30/163
∴∠CDG = ∠ADE，
AD = CD
在△ADE和△CDG中， ⎧∠ADE = ∠CDG ，
⎨
DE = GD
⎩
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE = CG
练2.1 【答案】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC = BC
∵ ⎧∠ACD = ∠BCE，
⎨
CD = CE
⎩
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，
（2）AE⊥BE,
∵△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
即AE⊥BE．
例3
(1【) 答案】提示：①证△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD = BE；
②易证△CGE≌△CFD(ASA)，∴CG = CF，
∵∠GCF = 60∘ ，∴△CGF是等边三角形．
(2【) 答案】 过C分别作AF、BF的垂线段，垂足为G、H，
31/163
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC = CM，CB = CN，∠ACM = ∠BCN = 60∘
∴∠ACM +∠MCN = ∠BCN +∠MCN，
即∠ACN = ∠MCB ，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN = BM，S
ΔACN
= S
ΔMCB
∵CG⊥AN，CH⊥BM，∴CG = CH ，
∴点C在∠AFB的角平分线上，
∴CF平分∠AFB.
练3.1 【答案】①②③④⑤
例4 【答案】证明：过点A作AF⊥AD交BE于F．
∵∠ADE=45°，
∴△ADF为等腰直角三角形．
∴AD=AF．
∵AE⊥DE，
∴AE=EF．
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC—∠CAF=∠DAF—∠CAF即∠BAF=∠CAD．
AB = AC
在△BAF和△CAD中， ⎧∠BAF = ∠CAD，
⎨
AF = AD
⎩
∴△BAF≌△CAD．
∴BF=CD．
∵BE=BF+EF，
32/163
∴BE=CD+AE．
练4.1 【答案】BD=AD+CD
例5
(1【) 答案】 证明：
由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90∘
，
∵∠EAF＝45∘
，
∴∠BAE +∠DAF＝45∘ ，
∴∠BAG+∠BAE＝45∘ ＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中
AG = AF
⎧⎪∠GAE
= ∠EAF
⎨
AE = AE
⎩⎪
∴△AGE≌△AFE(SAS)，
∴GE＝EF，
∵GE＝GB +BE＝BE +DF，
∴EF＝BE +DF；
【解析】利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；
(2【) 答案】 EF＝DF −BE，
证明如下：
如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90∘
到AD，交CD于点G，
同（1）可证得△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF，且DG＝BE，
∴EF＝DF −DG＝DF −BE．
33/163
【解析】把△ABE绕点A逆时针旋转90∘
到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝
DF −BE．
练5.1
(1【) 答案】解：EF = BE +FD；
(2【) 答案】（1）中的结论EF = BE +FD仍然成立．
证明：延长CD到G，使DG = BE，连接AG．
AB = AD
在△ABE与△ADG中，
⎧⎪∠ABE
= ∠ADG，
⎨
BE = DG
⎩⎪
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE = AG，∠BAE = ∠DAG，
1
∵∠EAF = ∠BAD，
2
∴∠EAF = ∠BAE +∠DAF = ∠DAG+∠DAF = ∠GAF，
AE = AG
在△EAF和△GAF中，
⎧⎪∠EAF
= ∠GAF ，
⎨
AF = AF
⎩⎪
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF = GF，
又∵GF = GD+FD．
∴EF = BE +FD；
(3【) 答案】解：结论EF = BE +FD不成立，应当是EF = BE −FD．
证明：在BE上截取BG，使BG = DF，连接AG．
34/163
∵∠B +∠ADC = 180∘ ，∠ADF +∠ADC = 180∘ ，
∴∠B = ∠ADF．
AB = AD
在△ABG与△ADF中，
⎧⎪∠ABG
= ∠ADF，
⎨
BG = DF
⎩⎪
∴△ABG≌△ADF(SAS)．
∴∠BAG = ∠DAF，AG = AF．
1
又∵∠EAF = ∠DAF +∠DAE = ∠BAD，
2
1
∴∠BAG+∠DAE = ∠EAG = ∠BAD，
2
∴∠EAG = ∠EAF．
AG = AF
在△AEG和△AEF中， ⎧⎪∠EAG = ∠EAF，
⎨
AE = AE
⎩⎪
∴△AEG≌△AEF(SAS)．
∴EG = EF，
∵EG = BE −BG，
∴EF = BE −FD．
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】D
【解析】解：∵ ΔABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，
∴
AD⊥BC，而ΔABF和ΔACF有一条公共边，
∴ S ΔABF : S ΔAFC = BD : CD，
∴③正确；
∵ ∠ABC = 45∘ ，
35/163
∴ AD = BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB = ∠ADC = 90∘ ，
∴
ΔBDF ≅ΔADC，
∴ FD = CD，
∴ ∠FCD = ∠CFD = 45∘ ，
∴①正确；
若AE = EC，BE⊥AC，可得AB = BC，与题意不符合，
故②错误．
若BF = 2EC，根据①得BF = AC，
∴ AC = 2EC，
即E为AC的中点，
∴
BE为线段AC的垂直平分线，
∴ AF = CF，BA = BC，
∴ AB = BD+CD = AD+CD = AF +DF +CD = CF +DF +CD，
即ΔFDC周长等于AB的长，
∴④正确．
故选：D．
6 【答案】D
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC = AC ， CE = CD ， ∠BCA = ∠ECD = 60° ，
∴∠BCA +∠ACD = ∠ECD+∠ACD ，
即∠BCD = ∠ACE ，
BC = AC
∴在△BCD和△ACE中 ⎧ ⎪∠ACE = ∠BCD ，
⎨
CD = CE
⎩⎪
∴△BCD≌△ACE （ SAS ），
故A成立，
∴∠DBC = ∠CAE ，
∵∠BCA = ∠ECD = 60° ，
∴∠ACD = 60° ，
∠CAE = ∠CBD
⎧
在△BGC和△AFC中⎪AC = BC ，
⎨
∠ACB = ∠ACD = 60°
⎩⎪
∴△BGC≌△AFC，
36/163
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB = ∠CEA ，
∠CDB = ∠CEA
⎧
在△DCG和△ECF中⎪CE = CD ，
⎨
∠ACD = ∠DCE = 60°
⎩⎪
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】B
【解析】解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C = 90∘ ，BC = CD = 3，
根据折叠的性质得：EG = BE = 1，GF = DF，
设DF = x，
则 EF = EG+GF = 1 +x ， FC = DC −DF = 3 −x ，
EC = BC −BE = 3 −1 = 2，
在Rt△EFC中，EF2 = EC2 +FC2 ，
即(x+1) 2 = 22 +(3 −x) 2 ，
3
解得：x = ，
2
3 3 5
∴DF = ，EF = 1 + = ．
2 2 2
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
课堂落实答案
1 【答案】解：∵△ABC、△CDE是等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
37/163
在△ACD和△BCE中
CD = CE
⎧∠ACD = ∠BCE
⎨
AC = BC
⎩
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠DAC=∠EBC
易得∠DAC+∠BCA=∠EBC+∠BOA
∴∠BOA=∠BCA=60°
2 【答案】C
3 【答案】CE = BD，CE⊥BD
4 【答案】60
5 【答案】B
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
精选精练
1 【答案】C
【解析】解：已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE = ∠BCA = 60∘ ，
∴∠DCB = 60∘ ，
又因为∠DPC = ∠DAC +∠BCA，∠BCA = 60∘ ，
∴∠DPC > 60∘ = ∠DCB，
故DP不等于DC，即不等于DE，选项C错误．
以下证明选项A、B、D正确：
∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB = ∠DCE = 60∘ ，AC = BC，DC = EC，
∴∠ACB +∠BCD = ∠DCE +∠BCD，
∴∠ACD = ∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC = BC
⎧∠ACD = ∠BCE
⎨
CD = CE
⎩
∴△ ACD≌ △ BCE(SAS)，
38/163
∴∠CAD = ∠CBE，
∴∠AOB = ∠CAD+∠CEB = ∠CBE +∠CEB，
∵∠CBE +∠CEB = ∠ACB = 60∘ ，
∴∠AOB = 60∘ ，故D正确；
∵△ ACD≌ △ BCE，
∴∠DAC = ∠EBC，
在△ACP和△BCQ中，
∠PAC = ∠QBC
⎧AC = BC
⎨
∠ACP = ∠BCQ
⎩
∴△ ACP≌ △ BCQ(ASA)，
∴AP = BQ，故B正确；CP = CQ，
又∵∠PCQ = 60∘ ，
∴∠QPC = 60∘ = ∠ACB，
∴PQ // AE，故A正确．
综上，答案为C．
2 【答案】55
3 【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AE=AD、AB=AC，
又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
AE = AD
⎧∠EAC = ∠DAB，
⎨
AC = AB
⎩
∴△EAC≌△DAB（SAS），
即可得出BD=CE．
（2）由（1）得：∠ABD = ∠ACE
易证：∠ABD+∠BAC = ∠ACE +∠BFC
∘
∠BFC = ∠BAC =60
4 【答案】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
39/163
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC∠EDA=180°45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
1
∴AD=CD= AC，
2
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
AE = DE
⎧⎪∠EAB
= ∠EDC，
⎨
AB = DC
⎩⎪
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴BE⊥EC．
【解析】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．
5 【答案】证明：过点A做AH⊥EF垂足为H，
在Rt△ ABE和Rt△ AHE中，
∵ AH = AB，AE = AE，
∴Rt△ ABE≌Rt△ AHE（HL），
∴ ∠BAE = ∠HAE，BE = EH．
同理可证Rt△ DAF≌Rt△ HAF，可得
∠HAF = ∠DAF，HF = FD．
40/163
1
∴∠FAE = ∠BAD = 45∘ ；
2
6 【答案】（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE = ∠AGF = 90∘ ，
∵
AB⊥CE，AD⊥CF，
∴ ∠B = ∠D = 90∘ = ∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵
∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，
∴ AB = AG，AD = AG，
∴ AB = AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ BC = CD = 6，
AE = AE
在RtΔABE和RtΔAGE中， ，
{AB = AG
∴
RtΔABE ≅RtΔAGE(HL)，
∴ BE = BG，
同理：RtΔADF ≅RtΔAGF(HL)，
∴ DF = GF，∴ BE +DF = GE +GF = EF，
设 BE = x ， DF = y ， 则 CE = BC −BE = 6 −x ，
CF = CD−DF = 6 −y，EF = x+y，
在RtΔCEF中，由勾股定理得：(6 −x)2 +(6 −y)2 = (x+y)2 ，
整理得：xy +6(x+y) = 36，
∴ (BE +6)(DF +6) = (x+6)(y +6) = xy +6(x+y)+36 = 36 +36；
= 72
（3）解：如图2所示：
把ΔPQH沿PQ翻折得ΔPQD，把ΔPRH沿PR翻折得ΔPRM，延长DQ、
MR交于点G，
41/163
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR +DQ = QR，MR = HR，
DQ = HQ = 2，
∴ MG = DG = MP = PH = 6，
∴ GQ = 4，
设MR = HR = a，则GR = 6 −a，QR = a+2，
在RtΔGQR中，由勾股定理得：(6 −a)2 +42 = (2 +a)2 ，
解得：a = 3，即HR = 3；
故答案为：3．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 三角形综合
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】①∵t = 1 s，
∴BP = CQ = 3 ×1 = 3 cm，
∵AB = 10 cm，点D为AB的中点，
∴BD = 5 cm．
又∵PC = BC −BP，BC = 8 cm，
∴PC = 8 −3 = 5 cm，
∴PC = BD ．
又∵AB = AC ，
∴∠B = ∠C ，
在△BPD和△CQP中，
PC = BD
⎧⎪∠B
= ∠C
⎨
BP = CQ
⎩⎪
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵v P ≠ v Q ，
∴BP ≠ CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B = ∠C，
42/163
则BP = PC = 4cm，CQ = BD = 5cm，
BP 4
∴点P，点Q运动的时间t = = s，
3 3
CQ 5 15
∴v Q = = = cm/s；
t 4 4
3
(2【) 答案】设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
15
由题意，得 x = 3x+2 ×10，
4
80
解得x = ．
3
80
∴点P共运动了 ×3 = 80cm．
3
△ABC周长为：10 +10 +8 = 28cm，
若是运动了三圈即为：28 ×3 = 84cm，
∵84 −80 = 4cm < AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
80
∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇．
3
练1.1
(1【) 答案】(10 −2t)
【解析】根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC-BP即可得到CP的长；
(2【) 答案】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B = ∠C = 90∘ ，
又∵AB = CD，
∴若BP = CP，则依据SAS判定可证明△ ABP≌ △ DCP，
1
此时BP = CP = BC = 5cm，
2
∵点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，运动时间为t秒，
∴2t = 5，解得t = 2.5，
即当t = 2.5时，△ ABP≌ △ DCP；
(3【) 答案】解：存在，求解过程如下：
①当BP = CQ，AB = PC时，△ ABP≌ △ PCQ，
∵ AB = 6cm，
∴ PC = 6cm，
∴ BP = 10 −6 = 4cm，可得2t = 4，
解得：t = 2，
43/163
∴CQ = BP = 4cm，可得2v = 4，
解得v = 2；
②当BA = CQ，PB = PC时，△ ABP≌ △ QCP，
由（2）知t = 2.5，CQ = AB = 6cm，
可得2.5v = 6，解得v = 2.4．
综上所述：当v = 2或2.4时，△ABP与△PQC全等．
例2
(1【) 答案】设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1 +12 = 2x，
解得：x = 12；
(2【) 答案】设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM = t×1 = t，AN = AB −BN = 12 −2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t = 12 −2t，
解得t = 4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
(3【) 答案】当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN = AM，
∴∠AMN = ∠ANM，
∴∠AMC = ∠ANB，
∵AB = BC = AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C = ∠B，
在△ACM和△ABN中，
44/163
AC = AB
∵
⎧⎪∠C
= ∠B ，
⎨
∠AMC = ∠ANB
⎩⎪
∴△ACM≌△ABN，
∴CM = BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM = y −12，NB = 36 −2y，CM = NB，
y −12 = 36 −2y，
解得：y = 16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N
运动的时间为16秒．
练2.1 【答案】解：（1）∵BQ=2×2=4（cm），BP=AB-AP=16-2×1=14（cm ），∠B=90°，
−−−−−−− −−− −−
∴PQ=√42 +142 =√212=2√53（cm）；
（2）BQ=2t，BP=16-t，
根据题意得：2t=16-t，
16
解得：t= ，
3
16
即出发 秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；
3
（3）①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11秒．
45/163
②当CQ=BC时，如图2所示，
则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12秒．
③当BC=BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
AB ⋅BC 12 ×16 48
则BE= = = ，
AC 20 5
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−− 2
48 36
∴CE= BC2 −BE2 = 122 − = ，
√ ( 5 ) 5
√
∴CQ=2CE=14.4，
∴BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8t，列式求
得t即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得
t；
②当CQ=BC时，则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
例3 【答案】解：（1）设直线AB解析式为y = kx+8，
∵点A(6,0)，在直线AB上，
46/163
∴6k+8 = 0，
4
∴k = − ，
3
4
∴直线AB解析式为y = − x+8；
3
（2）∵点A(6,0)，点B(0,8)，
∴OA = 6，OB = 8，
∴AB = 10，
设点C (0,c)，
∴OC = c，
∴BC = 8 −c，
由折叠得，∠ADC= ∠AOB = 90∘，CD = OC = c，AD = OA = 6，
∴BD = AB−AD = 4，
在Rt△BCD中，CD2 +BD2 = BC2
即：c2 +16 = (8 −c) 2
∴c = 3，
∴点C坐标为(0,3)；
（3）∵△PAB为等腰三角形，
设点P (x,0)，
①当BP = BA，即：BP = 10，
∵OB2 +OP2 = BP2 ，
∴64+x2 = 100，
∴x = 6(舍)或x = −6，
∴P (−6,0)，
②当AP = AB，即：AP = 10，
∵AP = |6 −x|，
∴|6 −x| = 10，
∴x = −4或x = 16，
∴P (−4,0)或(16,0)，
③当PA = PB时，
−−−−−−
∵PB = √64 +x2，PA = |6 −x|，
−−−−−−
∴|6 −x| = √64 +x2 ，
7
∴x = − ，
3
47/163
7
∴P − ,0
( 3 )
7
即：点P的坐标为(−6,0)、(−4,0)、(16,0)、 − ,0 ．
( 3 )
– –
练3.1 【答案】(1,3)或(1,2)或(1,4 +√2)或(1,4 −√2)
−−
例4 【答案】2√29
练4.1 【答案】证明：在BB′ 上取点P ，使∠BPC = 120∘ ． 连 接 AP ， 再 在 PB′ 上 截 取
PE = PC，连接CE．
∠BPC = 120∘ ，
∴ ∠EPC = 60∘ ，
∴
ΔPCE为正三角形，
∴ PC = CE，∠PCE = 60∘ ，∠CEB′ = 120∘ ．
∵
ΔACB′
为正三角形，
∴ AC = B′C，∠ACB′ = 60∘ ，
∴ ∠PCA +∠ACE = ∠ACE +∠ECB′ = 60∘ ，
∴ ∠PCA = ∠ECB′，
∴
ΔACP ≅△B′CE，
∴ ∠APC = ∠B′EC = 120∘ ，PA = EB′，
∴ ∠APB = ∠APC = ∠BPC = 120∘ ，
∴
P为ΔABC的费马点．
∴
BB′ 过ΔABC的费马点P，
且BB′ = EB′ +PB +PE = PA +PB +PC．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 三角形综合
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】因为AB = CD ，若∠ABP = ∠DCE = 90∘ ，BP = CE = 2 ，根据SAS证得
△ABP≌△DCE，
48/163
由题意得：BP = 2t = 2 ，
所以t = 1 ，
因为AB = CD ，若∠BAP = ∠DCE = 90∘ ，AP = CE = 2 ，根据SAS证得
△BAP≌△DCE，
由题意得：AP = 16 −2t = 2 ，
解得t = 7 ．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选：C．
2 【答案】B
【解析】当△APC≌△BQP时，AP = BQ，即18 −x = 2x，
解得：x = 6；
1
当△APC≌△BPQ时，AP = BP = AB = 9米，
2
此时所用时间为9秒，AC = BQ = 18米，不合题意，舍去，
综上，出发6秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．
故选：B．
3
(1【) 答案】解：△BPD≌△CQP，
∵D是AB的中点，∴BD = 14．
又∵BP = 3 ×2 = 6，CQ = 3 ×2 = 6，
∴CP = BC −BP = 20 −6 = 14，
∵AB = AC，∴∠B = ∠C，
BD = CP
在△BPD和△CQP中，
⎧⎪∠B
= ∠C ，
⎨
BP = CQ
⎩⎪
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
(2【) 答案】解：存在，设经过t秒时△BPD≌△CPQ．
依题意BP = 2.5t，CQ = 3.5t，PC = 20 −2.5t．
若△BPD≌△CPQ必须有BP = CP，即2.5t = 20 −2.5t，
解得t = 4．
当 t = 4 秒 时 ， BP = CP = 10,∠B = ∠C,
BD = CQ = 14,∴△BPD≌△CPQ(SAS)．
故当t = 4秒时△BPD≌△CPQ．
49/163
4 【答案】A
【解析】△ABC中，∵∠C = 90∘ ，AC = 8cm，BC = 6cm，
∴AB = 10cm，
∴△ABC的周长= 8 +6 +10 = 24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA +AP = BP +BC = 12cm，
∴t = 12 ÷2 = 6（秒），故①正确；
当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA +AP = 8 +5 = 13(cm)，
∴t = 13 ÷2 = 6.5（秒），
1 1
∴CP = AB = ×10 = 5cm，故②正确；
2 2
依据△BCP为等腰三角形，
当点P在边AC上时，CP = CB = 6cm，
此时t = 6 ÷2 = 3（秒）；
当点P在边AB上时．
①如图1，若CP = CB，作AB边上的高CD，
1 1
∵ AC ×BC = AB ×CD．
2 2
AC ×BC
∴CD = = 4.8，
AB
−−−−−−−−−−
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP = √CP2 −CD2 = 3.6，
∴BP = 2DP = 7.2，AP = 2.8，
∴t = (AC +AP)÷2 = (8 +2.8)÷2 = 5.4（秒）；
②若BC = BP，
∴BP = 6cm，CA +AP = 8 +10 −6 = 12(cm)，
∴t = 12 ÷2 = 6（秒）；
③若PB = PC，
∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，
此时CA +AP = 8 +5 = 13(cm)，
t = 13 ÷2 = 6.5（秒）；
综上可知，当t = 3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．
故选：A．
50/163
5 【答案】A
6 【答案】C
【解析】如上图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
7 【答案】C
【解析】第1个点在AC上，作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，则有PA = PB ；
第2个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP = AB ，交AC延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP = AB ，在上边于CA延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP = BA ，与AC的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以BA长为半径截取BP = BA ，与BC在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以AB长为半径截取AP = AB ，与BC在右边交于点P；
∴符合条件的点P有6个点．
故选：C．
51/163
8 【答案】解：（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）；
（2）设OC=x，则AC=CB=4-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB2 +OC2 =CB2
，
32 +x2 =（4 −x） 2 ，
7
解得x = ，
8
7
∴OC= ；
8
（3）设P点坐标为（x，0），
−−−−−−−
−−−−− 7
当PA=PB时， (x−4) 2 =√x2 +9，解得x= ；
√ 8
−−−−−−−
−−−−−−
当PA=AB时， (x−4) 2 =√42 +32 ，解得x=9或x=-1；
√
−−−−−− −−−−−−
当PB=AB时，√x2 +32 =√42 +32
，解得x=-4．
7
∴P点坐标为（ ，0），（-4，0），（-1，0），（9，0）．
8
【解析】（1）令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）根据x轴上点的坐标特点设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
9 【答案】解：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，
∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，
52/163
故答案为：90°；
2 2 2
②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA +OB =OC ，
如图1，连接OD，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，
∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，
∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，
∴∠DAO=90°，
在Rt△ADO中，∠DAO=90°，
2 2 2
∴OA +OB =OD ，
2 2 2
∴OA +OB =OC ；
（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．
如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，
∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′ =∠ACA′
=60°，
∴O′C = OC，O′A′ = OA，A′C = BC，
∠A′O′C = ∠AOC．
∴△OCO′
是等边三角形，
∴OC = O′C = OO′ ，∠COO′ = ∠CO′O = 60∘ ，
∵∠AOB=∠BOC=120°，
53/163
∴∠AOC = ∠A′O′C = 120∘ ，
∴∠BOO′ = ∠OO′A′ = 180∘ ，
∴四点B，O，O′ ，A′
共线，
∴OA +OB +OC = O′A′ +OB +OO′ = BA时 ′ 值最小；
②∵∠AOB=∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴O为△ABC的中心，
∵四点B，O，O′ ，A′
共线，
∴BD⊥AC，
∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，
∴A′C = AC = BC，
∴A′B = 2BD，
– –
√3 √3
在Rt△BCD中，BD = BC = ，
2 2
–
∴A′B = √3，
–
∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B = √3．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 三角形综合
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】分别利用：①当EB=PC时，△BPE≌△CQP，②当BP=CP时，△BEP≌△CQP，进而求出即
可．
解：①当EB=PC时，△BPE≌△CQP，
∵AB=16cm，AE=6cm，
∴BE=10cm，
∴PC=10cm，
∵CB=12cm，
∴BP=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴时间为：2÷2=1s；
54/163
②当BP=CP时，△BEP≌△CQP，
设x秒时，BP=CP，
由题意得：2x=12﹣2x，
解得：x=3，
故选：C．
2 【答案】解：∵∠CMD = 90∘ ，
∴∠CMA +∠DMB = 90°，
又∵∠CAM = 90∘
∴∠CMA +∠ACM = 90∘ ，
∴∠ACM = ∠BMD，
在△ACM和△BMD中，
∠ACM = ∠BMD
⎧∠A = ∠B
⎨
CM = MD
⎩
∴△ ACM≌ △ BMD(AAS)，
∴AC = BM = 3，
∴他到达点M时，运动时间为3 ÷1 = 3s．
答：这个人运动了3s．
3 【答案】D
【解析】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C
运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20-3x，AQ=2x
即20-3x=2x，
解得x=4．
故选：D．
3 4 12
4 【答案】P 2, 或P ,
( 2) (5 5 )
3
【解析】 解：由直线y = − x+3可知A(4,0)，分类讨论：
4
①如图2， ∵△ OAP为等腰三角形，
∴ OP = PA，
55/163
作PE⊥x轴于点E，则OE = AE = 2，
3 3
把x = 2代入y = − x+3得，y = ，
4 2
3
∴ P点的坐标是(2, )．
2
②如图3， ∵△ OAP为等腰三角形，
∴ OA = PA = 4，
过点P做PM⊥OA于点M，过点O做ON⊥AB于点N，如图4，
OA ⋅OB 12
易得：ON = = ，
AB 5
在△OAP中，由等面积法可得：PM ⋅OA = ON ⋅AP，
12
∴PM = ，
5
12 3 12 3
所以，将y = 代入y = − x+3，得： = − x+3，
5 4 5 4
4
求得：x = ，
5
4 12
此时P点坐标为 ．
(5 5 )
3 4 12
∴若使得ΔOAP为等腰三角形，P(2, )、P ．
2 (5 5 )
56/163
5 【答案】解：如图，将△ ABP绕着点B逆时针旋转60∘ ，得到△ DBE，连接EP，CD，如图
所示：
∴△
ABP≌
△
DBE，
∴ ∠ABP = ∠DBE ， BD = AB = 4 ， ∠PBE = 60∘ ， BE = PE ，
AP = DE，
∴△
BPE是等边三角形，
∴ EP = BP，
∴ AP +BP +PC = PC +EP +DE，
∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA +PB +PC有最小值CD，
∵ ∠ABC = 30∘ = ∠ABP +∠PBC，
∴ ∠DBE +∠PBC = 30∘ ，
∴ ∠DBC = 90∘ ，
−−−−−−−−−−
−−
∴ (PA +PB +PC) = CD = BD2 +BC2 = √41
min √
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 三角形综合
精选精练
1
(1【) 答案】（1）解：BD、CE、DE的数量关系为：DE=BD+CE，理由如下：
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA = ∠CEA = 90∘ ，
∵∠BAC = 90∘ ，
∴∠BAD+∠CAE = 90∘ ，
∵∠BAD+∠ABD = 90∘ ，
∴∠CAE = ∠ABD，
57/163
∠ABD = ∠CAE
在△ADB和△CEA中，
⎧⎪∠BDA
= ∠AEC，
⎨
AB = CA
⎩⎪
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE = BD，AD = CE，
∴DE = AE +AD = BD+CE；
(2【) 答案】（2）解：结论DE=BD+CE成立，理由如下：
∵∠BDA = ∠BAC =α ，
∴∠DBA +∠BAD = ∠BAD+∠CAE = 180∘ −α ，
∴∠CAE = ∠ABD，
∠ABD = ∠CAE
在△ADB和△CEA中，
⎧⎪∠BDA
= ∠AEC，
⎨
AB = CA
⎩⎪
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE = BD，AD = CE，
∴DE = AE +AD = BD+CE．
(3【) 答案】答：点P运动6s或10s时，△PFA与△QAG全等．
2 【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
①当E在E 时，OE=CE，
1
∵∠AOC=∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°-30°-30°=120°；
②当E在E 点时，OC=OE，
2
1
则∠OCE=∠OEC= （180°-30°）=75°；
2
③当E在E 时，OC=CE，
3
则∠OEC=∠AOC=30°；
故答案为：120°或75°或30°．
3 【答案】C
58/163
【解析】如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
4
(1【) 答案】如图1中，作BE⊥x轴于E，AF⊥BE于F．
∵A(0,3) 、B(6,5) ，
∴AF = 6 ，BF = 2 ，
−−−−−−−−−− −−
在Rt△ABF中，AB = √AF2 +BF2 = 2√10．
−−
故答案为2√10．
【解析】如图1中，作BE⊥x轴于E，AF⊥BE于F．构造直角三角形，利用勾股定理解决问题即
可；
(2【)
答案】如图2中，取点A关于x轴的对称点A′ (0,−3)，连接A′B交x轴于点P，连接PA，则
P′A = PA．此时AP、BP与x轴所夹的锐角相等．
作BE⊥y轴于E，则BE = 6，A′E = 8，
∵∠A′EB = 90∘ ，
−−−−−−
∴AB′ = √62 +82 = 10，
∴PA +PB = P′A +PB = A′B = 10，
59/163
即点P与A、B两点的距离之和为10；
【解析】如图2中，取点A关于x轴的对称点A′
(0,−3)，连接AB′交x轴于点P，连接PA，则
PA′ = PA ．此时AP、BP与x轴所夹的锐角相等．作BE⊥y轴于E，构造直角三角
形求出BA即′可；
(3【) 答案】如图3中，
−− −−−−− −− −−
①当AB = AP = 2√10时，OP = √40 −9 = √31，∴P (√31,0)．
3 3 3
−− −−−−−− −−
② 当 BA = BP = 2√10 时 ， OP = 6 −√40 −25 = 6 −√15 或
1
−−
OP = 6 +√15，
4
−− −−
∴P (6 −√15,0)或P (6 +√15,0)．
1 4
③当P A = P B时，设P (x,0)，
2 2 2
则有x2 +32 = (6 −x) 2 +52 ，
13
∴x = ，
3
13
∴P ,0 ．
2
( 3 )
−− −− −−
综上所述，满足条件的点P坐标为(√31,0)或(6 −√15,0)或(6 +√15,0)或
13
,0 ．
( 3 )
【解析】分三种情形分别求解即可解决问题；
5
3
(1【) 答案】 ①将C(2,0)代入y = − x+b，
4
3 3
0 = − ×2 +b，解得：b = ，
4 2
3 3
∴直线l
2
的函数表达式为y = − x+ ．
4 2
4
②证明：当y = x+4 = 0时，x = −3，
3
∴点A(−3,0)，
−−−−−−−−−−
OA 3
∴ tan∠ABO = = ， AB = OA2 +OB2 = 5 ，
OB 4 √
AC = 2 −(−3) = 5 = AB．
60/163
3 3 3
∵当x = 0时，y = − x+ = ，
4 2 2
OE 3
∴ tan∠AOD = = ，
OC 4
∴ ∠ABO = ∠ACD．
∠ABO = ∠ACD
在ΔABO和ΔACD中， ⎧⎪AB = AC ，
⎨
∠BAO = ∠CAD
⎩⎪
∴
ΔABO ≅ΔACD(ASA)，
∴ AO = AD，∠ADC = ∠AOB = 90∘．
AD = AO
在RtΔADE和RtΔAOE中， ，
{AE = AE
∴ RtΔADE ≅RtΔAOE(HL)，
∴ ∠DAE = ∠OAE，
∴
AE平分∠BAC．
(2【) 答案】当点C在点A的右侧时，分两种情况（如图1) :
①当AE = CE时，∵ EO⊥AC，
∴ OC = OA，
∴点C(3,0)；
3 3
②当CA = CE时，设点C(m,0)，则OC = |m|，OE = OC = |m|，
4 4
CA = m+3，
−−−−−−−−−−
5
∴ CE = OE2 +OC2 = |m|，
√ 4
5
∴ m+3 = |m|，
4
4
解得：m = 12或m = − ，
3
4
∴点C(12,0)或(− ，0)．
3
当点C在点A左侧时，如图2，
∵ ∠CAE > 90∘，
∴
ΔACE不能是以CE为一腰的等腰三角形．
综上所述：存在点C，使ΔACE是以CE为一腰的等腰三角形，点C的坐标为
4
(3,0)、(12,0)或(− ，0)．
3
61/163
6 【答案】解：将ΔBCP绕点C顺时针旋转60∘ 得l ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线
1
AD，垂足为D，
∴ AQ = PB = 5，CQ = PC，∠PCQ = 60∘ ，
∴
ΔPCQ是等边三角形，
∴ PQ = PC = 3，∠QPC = 60∘ ，
在ΔPAQ中，∵ PA = 4，AQ = 5，PQ = 3，
∴ AQ2 = PA2 +PQ2 ，
∴ ∠APQ = 90∘ ，
∴ ∠APC = ∠APQ+∠QPC = 150∘ ，
∴ ∠APD = 30∘ ，
1 –
在RtΔAPD中，AD = PA = 2，PD = AP ⋅cos30∘ = 2√3，
2
–
则CD = PC +PD = 3 +2√3，
– –
在Rt △ ACD中，AC2 = AD2 +CD2 = 4 +(3 +2√3)2 = 25 +12√3，则
−−−−−−−−−
–
AC = 25 +12√3．
√
−−−−−−−−−
–
所以，△ABC的边长为： 25 +12√3
√
62/163
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 因式分解高阶
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】B
(3【) 答案】A
练1.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
(3【) 答案】A
例2 【答案】（1）原式= (x−5)(x+3)；
1 2
（2）原式= n − n − ；
( 3)( 3)
（3）原式= (3x−2)(2x+1)；
（4）原式= (3x−1)(3x+9)；
（5）原式= (x+3y)(x−2y)；
（6）原式= x(x−8y)(x+3y)．
练2.1 【答案】（1）原式= x2 +3x−40 = (x−5)(x+8；)
（2）原式= (d −b)(d +7b)；
（3）原式= (a2 −9)(a2 +10)= (a−3)(a+3)(a2 +10)；
（4）原式= (a2 +b2 )(a2 +2b2 )；
（5）原式= (a−5b)(2a+5b)；
（6）原式= (x−y −4)(x−y +2)．
例3 【答案】D
【解析】∵20 = 1 ×20，
20 = (−1)×(−20)，
63/163
20 = 2 ×10，
20 = (−2)×(−10)，
20 = 4 ×5，
20 = (−4)×(−5)，
∴k的值可能为：1 +20 = 21，−1 −20 = −21，
2 +10 = 12，−2 −10 = −12，4 +5 = 9，−4 −5 = −9，
故整数k可以取的值有6个，
故选：D．
练3.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】±10；±25；±14；±11．
例4 【答案】（1）原式= m4 +4n4 +4m2n2 −4m2n2
2
= (m2 +2n2 ) −4m2n2
=(m2 +2n2 −2mn)(m2 +2n2 +2mn)；
2
（2）原式= x4 −2x2 +1 −x2 = (x2 −1) −x2
= (x2 −x−1)(x2 +x−1)；
2
（3）原式= n8 +2n4 +1 −n4 = (n4 +1) −n4
= (n4 −n2 +1)(n4 +n2 +1)；
（4）原式= x4 −2x2y2 +y4 −9x2y2
2
= (x2 −y2 ) −9x2y2
= (x2 −y2 −3xy)(x2 −y2 +3xy)．
练4.1 【答案】（1）原式= x3 −x−4x+4
= x(x2 −1)−4(x−1) = x(x+1)(x−1)−4(x−1)
= (x−1)(x2 +x−4)；
（2）原式= 3a3+3a2 +4a2 −4
= 3a2 (a+1)+4(a2 −1)
= 3a2 (a+1)+4(a+1)(a−1)
= (a+1)(3a2 +4a−4) = (a+1)(a+2)(3a−2；)
（3）原式= x4 +18x2y2 +81y4 −25x2y2
= (x2 +9y2 ) 2 −(5xy) 2
= (x2 +9y2 +5xy)(x2 +9y2 −5xy)；
64/163
（4）原式=4x2 −4x+1 −y2 +4y −4
=(2x−1) 2 −(y −2) 2
=(2x+y −3)(2x−y +1)；
（5）原式= a4 +2a2b2 +b4 −a2b2
= (a2 +b2 ) 2 −(ab) 2
= (a2 +b2 +ab)(a2 +b2 −ab)；
（6）原式= (x4 +2x2 +1)−49x2
= (x2 +1) 2 −(7x) 2
= (x2 +1 +7x)(x2 +1 −7x)；
（7）原式= 2x4 +2x3 +2x2 +2x+x3 +x2 +x+1
= 2x(x3 +x2 +x+1)+(x3 +x2 +x+1)
= (2x+1)(x3 +x2 +x+1)
= (2x+1)(x+1)(x2 +1)；
（8）原式= a2 −2ab+b2 −(4b2 −12b+9)
= (a−b) 2 −(2b−3) 2
= (a+b−3)(a−3b+3)．
例5
(1【) 答案】A
(2【) 答案】根据题意，可得a+b = 5，ab = 6，
∴a3b2 +a2b3 = a2b2(a+b)
= (ab) 2 (a+b) = 36 ×5 = 180．
练5.1
(1【) 答案】证明：∵ a2 +4ac+3c2 −3ab−7bc+2b2 = 0，
∴a2 +(4c−3b)a+3c2 −7bc+2b2 = 0，
∴a2 +(4c−3b)a+(3c−b)(c−2b) = ，0
∴ (a+3c−b)(a+c−2b) = 0．
∵
a，b，c为三角形的三条边，
∴ a+c > b且a，b，c均大于0，
∴ a+c+2c > b，即a+3c−b > 0，
∴ a+c−2b = 0，
∴ 2b = a+c．
65/163
(2【) 答案】解：∵ 2x+2y = 28，
∴ x+y = 14，
∵ x3 +x2y −xy2 −y3 = 0，
∴ x2(x+y)−y2(x+y) = 0
∴ (x+y)(x2 −y2) = 0，
∴ (x+y)2(x−y) = 0，
∴ x−y = 0，
∴ x = y = 7，
∴矩形的面积= xy = 49．
(3【) 答案】C
例6 【答案】（1）证明：设这个奇数为2n +1，n为任意整数，由题意知
m = (2n +1) 2 −1= 4n2 +4n +1 −1 = 4n(n +1 )，
4n(n +1) n(n +1)
= 是整数，
8 2
即4n(n +1)是8的倍数，
∴m是“发达数”；
（2）解：由题意知s = 10y +x，
∴s+t = 10y +x+10x+y= 11y +11x
= 11(x+y)，
又∵1 ≤ x ≤ y ≤ 9，
∴2 ≤ x＋y ≤ 18，
要使11(x+y)是发达数，则x+y是发达数，
∴x+y = 8或x+y = 16，
当x+y = 8时，有：
x = 1，y = 7，t = 17，
x = 2，y = 6，t = 26，
x = 3，y = 5，t = 35，
x = 4，y = 4，t = 44，
当x+y = 16时，有：
x = 7，y = 9，t = 79，
x = 8，y = 8，t = 88，
故所有符合条件的两位正整数t有17，26，35，44，79，88．
66/163
练6.1 【答案】（1）证明：若“矩数”m＝k(k+1)是3的倍数，则k(k+1)是3的倍数，k是正整数．
当k为奇数时，k+1是偶数，则k(k+1)是能被3整除的偶数，
∴k(k+1)是6的倍数；
当k为偶数时，则k(k+1)是能被3整除的偶数，
∴k(k+1)是6的倍数．
综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数．
（2）解：根据题意，得p = t(t+1)，q = s(s+1)，
D(p,q) = t(t+1)−s(s+1)=30，
即t2 +t−s2 −s = 30，
∴(t−s)(t+s+1) = 30．
∵t，s是正整数，t > s，
∴t−s，t+s+1是正整数，且t+s+1 > t−s．
∵30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，
t−s = 1 t−s = 2 t−s = 3
∴ 或 或 或
{t+s+1 = 30 {t+s+1 = 15 {t+s+1 = 10
t−s = 5
，
{t+s+1 = 6
t = 15 t = 8 t = 6 t = 5
解得 或 或 或 ，
{s = 14 {s = 6 {s = 3 {s = 0
∵t，s是正整数，
t = 15 t = 8 t = 6
∴符合条件的是 或 或 ，
{s = 14 {s = 6 {s = 3
s 14 s 6 3 s 3 1
∴ = 或 = = 或 = = ．
t 15 t 8 4 t 6 2
14 3 1
∵ > > ，
15 4 2
s 14
∴ 的最大值为 ．
t 15
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 因式分解高阶
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】∵ (x+a)(x+b) = x2 +(a+b)x+a，b
∴ x2 −12x+32 = x2 +(a+b)x+a，b
67/163
则a+b = −12，
故选：A．
2 【答案】A
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】A
【解析】∵多项式x2 +2mx+16在整数范围内可分解因式，
∴ 16可分解为1 ×16，4 ×4，2 ×8，−1 ×(−16)，−4 ×(−4)，−2 ×(−8)，
∴2 ×8，4 ×4，−2 ×(−8)，−4 ×(−4)符合要求
∴整数m的值有4个
故选：A．
6 【答案】（1）原式=(k+6)(k−1) ；
（2）原式=(c−1)(c−4)；
（3）原式=(x+8)(x−3)；
（4）原式=(x−3)(x+2).
7 【答案】（1）原式= (2x−1)(3x−2)；
（2）原式= (3x+1)(x−3)；
（3）原式= (3x−5)(4x+3)；
（4）原式= (2x+2y +3)(3x+3y −4)．
8 【答案】（1）原式= a3 −a−8a+8
= a(a+1)(a−1)−8(a−1)
= (a−1)(a2 +a−8)；
（2）原式= x4 −9x2 +3x2 −7x−6
= x2 (x+3)(x−3)+(3x+2)(x−3)
= (x−3)(x3 +3x2 +3x+2)
= (x−3)(x3 +2x2 +x2 +3x+2)
= (x−3)[x2 (x+2)+(x+2)(x+1)]
= (x−3)(x+2)(x2 +x+1)
9 【答案】解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵a2 (b−c)+b2(c−a)+c2(a−b) =，0
∴a2b−a2c+b2c−ab2 +c2(a−b) = 0，
∴ab(a−b)−c(a2 −b2 )+c2(a−b) = ，0
68/163
∴ab(a−b)−c(a−b)(a+b)+c2(a−b) =，0
∴(a−b)[a(b−c)−c(b−c)] = 0，
∴(a−b)(b−c)(a−c) = 0，∴a−b = 0或b−c = 0或a−c = 0．
∴△ABC为等腰三角形．
10 【答案】C
【解析】解：(x2 −y2)a2 −(x2 −y2)b2 = (x2 −y2)(a2 −b2)，
= (x−y)(x+y)(a−b)(a+b)
∵
x−y，x+y，a+b，a−b四个代数式分别对应爱、我，二，中，
∴结果呈现的密码信息可能是“爱我二中”，
故选：C．
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 因式分解高阶
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】A
【解析】∵多项式x2 −ax+15在整数范围内可分解因式，
∴ 15可分解为1 ×15，−1 ×(−15)，3 ×5，−3 ×(−5)，
∴整数a的值有4个
故选：A．
4 【答案】（1）原式= (m+2)(m+4)；
（2）原式= a4 +2a2b2 +b4 −a2b2
= (a2 +b2 ) 2 −(ab) 2
= (a2 +b2 +ab)(a2 +b2 −ab)．
5 【答案】解：a2 +5b2 −4ab−2b+1 = (a−2b) 2 +(b−1) 2 = ，0
故b = 1，a = 2，
又△ABC为等腰三角形，
当c = 1时，b+c = a，不符合三角形三边关系，舍去，
当c = 2时，a、b、c满足三角形三边关系，
69/163
∴△ABC的周长为5．
能力强化 / 初二 / 春季
第 6 讲 因式分解高阶
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】(x−2)(x−8)
(3x−1)(x−1)
3 【答案】解：（1）原式= (2x+5)(3x−7)；
（2）原式= (3x−1)(x−3)；
（3）原式= (2x−3)(3x+2)；
（4）原式= (2x+y)(x−y)
4 【答案】（1）原式= (a−b−3c)(a−b−c)；
（2）原式= [(t+1)+1][(t+1)−2]
= (t+2)(t−1)
5 【答案】（1）原式= 9x4 +6x2 +1 −x2
2
= (3x2 +1) −x2
= (3x2 +1 −x)(3x2 +1 +x) ；
（2）原式= (a3 +5a2 )−3a2 −12a+15
= a2 (a+5)−3(a2 +4a−5)
= a2 (a+5)−3(a+5)(a−1)
= (a+5)(a2 −3a+3)
6 【答案】解：（1）原式= (x−2)(x+9)；
（2） 方程分解得：(x−2)(x−4) = 0，
可得x−2 = 0或x−4 = 0，
解得：x = 2或x = 4；
（3）−8 = −1 ×8；−8 = −8 ×1；−8 = −2 ×4；−8 = −4 ×2，
则p的可能值为−1 +8 = 7；−8 +1 = −7；−2 +4 = 2；−4 +2 = −2．
故答案为：（1）(x−2)(x+9)； （2）x = 2或x = 4；（3）7或−7或2或−2．
70/163
能力强化 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】A
【解析】已知点P (3 −m,m−1)在第二象限，
3 −m < 0且m−1 > 0，
解得m > 3，m > 1，
故选：A．
2 【答案】D
【解析】当腰为3cm时，3 +3 = 6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6 −3 < 6 < 6 +3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6 +6 +3 = 15cm．
3 【答案】D
【解析】∵2(x−3)(x+1)
= 2(x2 −2x−3)
= 2x2 −4x−6，
∴b = −4，c = −6；
故选：D．
4 【答案】D
5 【答案】D
1
【解析】 ∵不等式(2 −m)x < 1的解集为x > ，
2 −m
∴ 2 −m < 0，
解得，m > 2．
故选：D．
6 【答案】C
【解析】解：∵直线y = −x+2与y = kx+b(k ≠ 0)的交点的横坐标为1，
∴关于x的不等式−x+2 < kx+b的解集为x > 1，
∵ y = −x+2 = 0时，x = 2，
∴ −x+2 ⩾ 0的解集是x ⩽ 2，
71/163
∴关于x的不等式组0 ⩽ −x+2 < kx+b的解集为1 < x ⩽ 2，
故选：C．
7 【答案】C
8 【答案】C
9 【答案】D
【解析】解：∵∠BAC = 112∘ ，
∴∠C +∠B = 68∘ ，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB = EA，FC = FA，
∴∠FAC = ∠C，∠EAB = ∠B，
∴∠FAC +∠EAB = 68∘ ，
∴∠EAF = 44∘ ．
10 【答案】C
【解析】解：∵ ΔDAC和ΔEBC均是等边三角形，
∴ AC = DC，BC = CE，∠ACE = ∠BCD，
∴
ΔACE ≅ΔDCB，①正确
由①得∠AEC = ∠CBD，
∴
ΔBCN ≅ΔECM，
∴ CM = CN，②正确
假使AC = DN，即CD = CN，ΔCDN为等边三角形，∠CDB = 60∘ ，
又∵ ∠ACD = ∠CDB +∠DBC = 60∘ ，
∴假设不成立，③错误；
∵ ∠DBC +∠CDB = 60∘∠DAE +∠EAC = 60∘ ，而∠EAC = ∠CDB，
∴ ∠DAE = ∠DBC，④正确，
∴正确答案①②④
故选：C．
11 【答案】3(a+2)(a−2)
【解析】3a2 −12，
= 3(a2 −4)，
= 3(a+2)(a−2)．
12 【答案】55∘
13 【答案】7
72/163
【解析】∵(x+5)(x+n) = x2 +(n +5)x+5n，
∴x2 +mx+5 = x2 +(n +5)x+5n
n +5 = m
∴ ，
{ 5n = 5
n = 1
∴ ，
{m = 6
∴m+n = 6 +1 = 7．
故答案是：7．
14 【答案】30∘
15 【答案】3
3x < 2x+4①
【解析】
{ x+6 ≤ 3x②
由①得：x < 4，
由②得：x ≥ 3，
∴不等式组的解集是3 ≤ x < 4，
∴不等式组的最大整数解是3．
16 【答案】3或6
【解析】解：点P为AC中点或点P与点C重合时，△ABC和△PQA全等，理由如下：
∵∠C = 90∘ ，AQ⊥AC，
∴∠C = ∠QAP = 90∘ ，
①当AP = 3 = BC时，
在Rt △ ACB和Rt △ QAP中，
AB = PQ
，
{CB = AP
∴Rt △ ACB≌Rt △ QAP (HL)；
②当AP = 6 = AC时，
在Rt △ ACB和Rt △ PAQ中，
AB = PQ
，
{AC = AP
∴Rt △ ACB≌Rt △ PAQ(HL)，
∵AC = 6，BC = 3，
1
∴AP = AC = 3或AP = AC = 6，
2
故答案为：3或6．
17 【答案】a＜1
【解析】由方程组得3x+3y=6a+3，
73/163
则x+y=2a+1，
所以2a+1＜3，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
18 【答案】15
【解析】如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B = 90∘ ，BD = 3，
∴DB = DQ = 3，
∵AC = 10，
1 1
∴S
ΔACD
= ⋅AC ⋅DQ = ×10 ×3 = 15，
2 2
故答案为：15．
19
(1【) 答案】原式= 3(a2 −2a+1) = 3(a−1) 2 ；
(2【) 答案】原式= (x2 +y2 +2xy)(x2 +y2 −2xy) = (x+y) 2 (x−y)． 2
【解析】原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．
20 【答案】 x−3 +3 ≥ x①
解： 2 ，
{3(x+2) > x+2②
由①得，x ≤ 3，
由②得，x > −2，
故不等式组的解集为：−2 < x ≤ 3，
在数轴上表示为：
．
其整数解为：−1，0，1，2，3．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
74/163
21 【答案】在AC上截取AE = AB，连接DE，易证△ABD≌△AED（SAS），
∴DE = BD，∠B = ∠AED，又∠B = 2∠C，
∴∠AED = 2∠C，又∠AED = ∠EDC +∠C，
∴∠EDC = ∠C，∴DE = EC，∴BD = EC．
∴AC = AE +EC = AB +BD．
22 【答案】（1）∵(x2 −4x+4) 2 ＝(x−2) 4 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
（2）设x2 −2x＝y
原式＝y(y +2)+1
＝y2 +2y +1
＝(y +1) 2
2
＝(x2 −2x+1)
＝(x−1) 4 ．
故答案为：不彻底．
【解析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设x2 −2x＝y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
23 【答案】解：（1）设A商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，由题意得：
60x+30y = 1080
{50x+20y = 880
x = 16
解得： ，
{y = 4
∴A商品的单价为16元，B商品的单价为4元；
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为(2m−4)件，由题意得：
m+2m−4 ≥ 32
，
{16m+4(m−4) ≤ 296
解得12 ≤ m ≤ 13，
∵m是整数，
∴m = 12或13，
故有两种方案：
75/163
①m = 12，2m−4 = 20，即购买A商品的件数为12件，购买B商品的件数为20件；
②m = 13，2m−4 = 22，即购买A商品的件数为13件，购买B商品的件数为22件．
【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品
的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元
分别列出方程，联立求解即可．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m4）件，根据不等关系：①
购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元
可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．
x = m−3
24 【答案】
解：（1）解原方程组得： ，
{y = −2m−4
∵x ≤ 0，y < 0，
m−3 ≤ 0
∴ ，
{ −2m−4 < 0
解得−2 < m ≤ 3；
（2）|m−3|−|m+2| = 3 −m−m−2
= 1 −2m；
（3）解不等式2mx+x < 2m+1
得，(2m+1)x < 2m+1，
∵x > 1，
∴2m+1 < 0，
1
∴m < − ，
2
1
∴−2 < m < − ，
2
∴m = −1．
25
(1【) 答案】
证明：连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C = ∠B = 45∘ ，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD = BD = DC，AD平分∠BAC，
76/163
∴∠DAC = ∠BAD = 45∘ = ∠B，∠ADC = 90∘ ，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF = 90∘ ，
∴∠ADF +∠FDC = 90∘ ，∠FDC +∠BDE = 90∘ ，
∴∠BDE = ∠ADF，
在△BDE和△ADF中
∠B = ∠DAF
⎧⎪BD
= AD ，
⎨
∠BDE = ∠ADF
⎩⎪
∴△BDE≌△ADF，
∴DE = DF．
(2【) 答案】证明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE = AF，
∵∠EDF = ∠ADC = 90∘ ，
∴∠EDA +∠ADF = ∠ADF +∠FDC = 90∘ ，
∴∠EDA = ∠FDC，
在△ADE和△CDF中
∠EDA = ∠FDC
⎧⎪∠EAD
= ∠C ，
⎨
DE = DF
⎩⎪
∴△ADE≌△CDF，
∴CF = AE，
∴EF2 = AE2 +AF2 = BE2 +CF2 ，
即BE2 +CF2 = EF2 ．
【解析】根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE = CF，根据勾股定理求出即可；
(3【) 答案】解：EF2 = BE2 +CF2 = 100，
∴EF = 10，
–
根据勾股定理DE = DF = 5√2，
1 1 – –
△DEF的面积是 DE ×DF = ×5√2×5√2 = 25．
2 2
答：△DEF的面积是25．
26 【答案】解：∵x−y −x2 +2xy −y2 +2 = 0
∴(x−y −2)(x−y +1) = 0
∴x−y −2=0或x−y +1=0
77/163
又∵长方形的周长为16cm
∴x+y = 8
x−y +1=0 x = 3.5
① ，解得：
{x+y = 8 {y = 4.5
x−y −2=0 x = 5
② ，解得：
{x+y = 8 {y = 3
∵x，y是整数
∴x = 5，y = 3
所以，面积为15cm2
27 【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
1
∴BD=AD= AC，
2
∵DE是∠ADB的角平分线，
∴DE⊥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴DE∥BC；
（2）解：∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，
−−−−−−−−−−
∴DE=√AD2 − AE2 =4，
∵DE⊥AB，AD=BD，
∴BE=AE=3，
−−−−−−
–
①DE=EP时，BP=√42 − 32 =√7，
1 1
②DP=EP时，BP= DE= ×4=2，
2 2
③DE=DP时，过点D作DF⊥BC于F，
则DF=BE=3，
−−−−−−
–
由勾股定理得，FP=√42 − 32 =√7，
–
点P在F下边时，BP=4√7，
–
点P在F上边时，BP=4+√7，
– – –
综上所述，BP的值为√7，2，4√7，4+√7．
78/163
1
【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD= AC，再根据等腰三角
2
形三线合一的性质可得DE⊥AB，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；
（2）利用勾股定理列式求出DE的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE，然后
分DE=EP、DP=EP、DE=DP三种情况讨论求解．
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】−3
练1.1 【答案】C
【解析】A、x = 0时，x2 = 0，分式无意义，故本选项错误；
B、x = −2时，x+2 = 0，分式无意义，故本选项错误；
C、对任意实数，|x|+2 ≠ 0，分式有意义，故本选项正确；
D、x = −2时，x+2 = 0，分式无意义，故本选项错误．
故选：C．
例2 【答案】A
练2.1 【答案】B
(x+1)(x−1) 1 1
例3 【答案】
解：（1）原式= ⋅ =
(x−1) 2 x+1 x−1
x2 −4 2 −x
（2）原式= ⋅
x2 −4x+4 x2 +2x
(x−2)(x+2) 2 −x
= ⋅
(x−2) 2 x(x+2)
1
= −
x
a2 c4 a ac3
练3.1 【答案】
解：（1）原式= × × = −
−b a2b2 bc b4
16 −m2 2m+8 m−2
（2）原式= ⋅ ⋅
16 +8m+m2 m−4 m+2
(4 +m)(4 −m) 2(m+4) m−2
= ⋅ ⋅
(m+4) 2 m−4 m+2
79/163
m−2
= −2 ⋅
m+2
2m−4
= −
m+2
例4 【答案】解：（1）最简公分母是12ab(x+2)．
x 3bx 3bx
= = ，
4a(x+2) 12ab(x+2) 12abx+24ab
y 2ay 2ay
= = ；
6b(x+2) 12ab(x+2) 12abx+24ab
（2）最简公分母是(a+3)(a−3)，
a −a(a+3) −a2 −3a
= = ，
3 −a (a+3)(a−3) a2 −9
a−1 a−1 a−1
= = ．
a2 −9 (a+3)(a−3) a2 −9
a−1 1 −a 1 1
练4.1 【答案】
解：将 ， 分别化简可得： 和 ．
(a+1) 2 −4 2 −4a+2a2 a+3 2(1 −a)
最简公分母是2(a+3)(1 −a)，
a−1 1 2(1 −a) 2 −2a
= = = ，
(a+1) 2 −4 a+3 2(a+3)(1 −a) −2a2 −4a+6
1 −a 1 a+3 a+3
= = = ．
2 −4a+2a2 2(1 −a) 2(a+3)(1 −a) −2a2 −4a+6
m+n 2m
例5 【答案】 解：（1） +
m−n n −m
m+n −2m
＝
m−n
n −m
＝
m−n
＝−1
a2
（2） −(a+1)
a−1
a2 −(a+1)(a−1)
＝
a−1
a2 −a2 +1
＝
a−1
1
＝
a−1
x(x+9) (x+3)(x−3)
练5.1 【答案】
解：（1）原式= +
x(x+3) (x+3) 2
(x+9)(x+3)+(x+3)(x−3)
=
(x+3) 2
2(x+3) 2
=
(x+3) 2
= 2
80/163
（ 2 ） 原 式
2n(2n −m) m(2n +m) 4mn
= + +
(2n +m)(2n −m) (2n +m)(2n −m) (m+2n)(2n −m)
4n2 −2nm+2mn +m2 +4mn
=
(2n +m)(2n −m)
(2n +m) 2
=
(2n +m)(2n −m)
2n +m
=
2n −m
x+1 4x2 1 1
例6 【答案】
解：原式= ⋅ − −
x (x+1) 2 (x−1 x+1)
x+1 4x2 x+1 x−1
= ⋅ − −
x (x+1) 2 [(x−1)(x+1) (x−1)(x+1)]
4x 2
= −
x+1 (x−1)(x+1)
4x(x−1) 2
= −
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1)
4x2 −4x−2
=
x2 −1
x2 y x x
练6.1 【答案】
解：原式= ⋅ − ⋅
4y2 2x y2 2y2
x x2
= −
8y 2y4
xy3 −4x2
=
8y4
例7
(1【) 答案】 a−3 (a−3) 2
原式= ÷
a−2 (a−2)(a+2)
a−3 (a−2)(a+2)
= ×
a−2 (a−3) 2
a+2
= ．
a−3
∵分式的分母不能为0，除式不能为0，
∴a ≠ ±2且a ≠ 3．
∴从−2，0，1，2，3中可以选择0和1．
a+2 2
当a = 0时，原式= = − ．
a−3 3
(2【) 答案】1
m2 +4m+4 m+2
【解析】
÷
m m2
(m+2) 2 m2
= ×
m m+2
81/163
= m2 +2m，
因为m2 +2m = 1，
m2 +4m+4 m+2
所以 ÷ 的值为1，
m m2
故答案为：1
1 1
练7.1 【答案】 解：∵ − = 3
x y
∴x ≠ 0，y ≠ 0，
∴xy ≠ 0，
2x+3xy −2y
∴
x−xy −y
2x+3xy−2y
xy
＝
x−xy−y
xy
2 − 2 +3
y x
＝
1 − 1 −1
y x
−2 1 − 1 +3
(x y)
＝
− 1 − 1 −1
(x y)
−2 ×3 +3
＝
−3 −1
3
＝
4
例8 【答案】（1）解：去分母得：2x = 3x−6，
解得：x = 6，
经检验x = 6是分式方程的解．
（2）方程的两边同乘(x−3)，
得：2 −x+4(x−3) = −1，
解得：x = 3，
检验：把x = 3代入(x−3) = 0，
即x = 3不是原分式方程的解.
则原方程无解．
（3）解：方程的两边同乘(x2 −1)，
得：x(x+1)−2 = x2 −1，
解得：x = 1，
检验：把x = 1代入(x2 −1) = 0，
即x = 1不是原分式方程的解.
则原方程无解．
82/163
（4）解：方程的两边同乘(x+3) 2 ，
得：3x = x(x+3)−(x+3) 2 ，
3
解得：x = − ，
2
3
经检验x = − 是分式方程的解．
2
练8.1 【答案】解：（1）方程两边同乘以(x−2)，
得：x−3 +(x−2) = −3，
解得x = 1，
检验：x = 1时，x−2 ≠ 0，
∴ x = 1是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘以(x−1)(x+2)，
得：3 = x(x+2)−x(x−1)，
解得x = 1，
检验：x = 1时，(x−1)(x+2) = 0，
即x = 1不是原分式方程的解.
则原方程无解．
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】D
4
1
(1【) 答案】−
；
2y2
a+2b
(2【) 答案】
．
a−2b
2(a+b) 9a2b
5 【答案】
原式= ⋅
3ab (a+b)(a−b)
6a
= ．
a−b
83/163
6
bx ay
(1【) 答案】
，
abc abc
4x x(x−3)
(2【) 答案】
， ．
2(x+3)(x−3) 2(x+3)(x−3)
a 1
7 【答案】 −
a2 −25b2 2a−10b
a 1
= −
(a+5b)(a−5b) 2(a−5b)
2a−(a+5b)
=
2(a+5b)(a−5b)
1
=
2(a+5b)
8
2(a+2)+(a+2)(a−2) a(a+2) a
(1【) 答案】
原式= = = ；
(a+2)(a−2) (a+2)(a−2) a−2
(x+y)(x−y) x(x+y)−2xy
(2【) 答案】
原式= ÷
(x+y) 2 2(x+y)
(x+y)(x−y) 2(x+y)
= ⋅
(x+y) 2 x(x−y)
2
= ．
x
2x−1 x2 −1 x−1 x 1
9 【答案】
−1 ÷ = ⋅ = ，
( x ) x x (x+1)(x−1) x+1
1 1
把x = 2018代入 得 ．
x+1 2019
10 【答案】解：去分母得4 −(x+2) = 0
解得：x = 2，
经检验：把x = 2代入x2 −4 = 0，
∴x = 2不是方程的解，
∴原方程无解．
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
课堂落实答案
1 【答案】B
84/163
2 【答案】A
3 【答案】A
x 1
4 【答案】 原式= −
(x+3y)(x−3y) 2(x−3y)
2x−(x+3y)
=
2(x+3y)(x−3y)
1
=
2(x+3y)
5 【答案】解：去分母得2(3 −x)+(x+3)(x+2) = (x+3)(x−3，)
解得：x = −7，
检验：把x = −7代入(x+3)(3 −x) ≠ 0，
∴原方程的解是x = −7．
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
精选精练
1
10x−6y
(1【) 答案】 原式=
60x+5y
12x−30y
(2【) 答案】 原式=
20x+15
40x−39y
(3【) 答案】 原式=
25x+20y
10a−8b
(4【) 答案】 原式=
12a+15b
1 1 1 1 1 1
2 【答案】 解：由已知等式得： + = 3， + = 4， + = 5，
a b b c a c
1 1 1
可得 + + = 6，
a b c
abc 1 1
则 = = ．
ab+bc+ac 1 + 1 + 1 6
a b c
4x−3y −6z = 0
3 【答案】
由题意得 ，
{x+2y −7z = 0
x = 3z
解得 ，
{y = 2z
∵x，y，z都不为零，
85/163
2x−3y +z 6z −6z +z 1
∴ = = ．
3x+y −5z 9z +2z −5z 6
4 【答案】（1）真分式；
（ 2 ） 原 式
x2 +2x−2x−1 2x+1 2(x+2)−3 3
= = x− = x− = x−2 + ；
x+2 x+2 x+2 x+2
2(x+1)−3 3
（3）原式= = 2 − ，
x+1 x+1
由x为整数，分式的值为整数，得到x+1 = −1，−3，1或3，
解得：x = −2，−4，0或2，
则所有符合条件的x值为−4，−2，0，2．
【解析】（1）根据真分式的定义即可判断；
（2）根据例题把分式的分子化成x+2的形式，然后逆用同分母的分式的加法法则求
解；
2x−1
（3）分式 化为带分式，把分子化成2(x+1)−3的形式，然后逆用同分母的分
x+1
式的加法法则化成带分式；
2x−1 3
的值为整数，则 的值一定是整数，则x+1一定是3的约数，从而求得
x+1 x+1
x的值．
x(x−1)−(x+3)(x−1)−2x
5 【答案】
原式=
(x+3)(x−1)
x2 −x−(x2 +2x−3)−2x
=
(x+3)(x−1)
3 −5x
=
(x+3)(x−1)
6 【答案】解：方程两边同乘x(x−2)得2(x+1)(x−2)−x(x+2) = x2 −，2
1
解得x = − ，
2
1
检验：x = − 代入x(x−2) ≠ 0，
2
1
∴原方程的解为x = − ．
2
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
例题练习题答案
例1
86/163
(1【) 答案】B
(2【) 答案】B
练1.1
(1【) 答案】D
3 1
(2【) 答案】 解：解分式方程 = ，得x = 3，
2x x−1
经检验x = 3是分式方程的跟，
2 m 2 m 6
将x = 3代入 = ，得 = ，解得m = ，
x+4 x 7 3 7
2
6 6 48
∴m2 −2m＝ −2 × = − ．
(7) 7 49
例2
(1【) 答案】A
(2【) 答案】1或0
练2.1
(1【) 答案】C
1
(2【) 答案】−
2
例3 【答案】−4或6
3x+1 2
练3.1 【答案】 （1）当a = 3时，原方程为 − = 1，
x−1 1 −x
方程两边同时乘以(x−1)得：3x+1 +2 = x−1，
解这个整式方程得：x = −2，
检验：将x = −2代入x−1 = −2 −1 = −3 ≠ 0，
∴x = −2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以(x−1)，
得ax+1 +2 = x−1，
若原方程有增根，则x−1 = 0，
解得：x = 1，
将x = 1代入整式方程得：a+1 +2 = 0，
解得：a = −3．
例4 【答案】解：去分母得：m+3x−6 = x−1，
87/163
由分式方程无解，得到x−2 = 0，即x = 2，
把x = 2代入方程得：m = 1．
练4.1 【答案】D
例5 【答案】解：（1）去分母得：3 −2x+mx−2 = 3 −x，
解得(m−1)x = 2，
3 −2x mx−2
∵ − = −1无解，
x−3 3 −x
∴m−1 = 0或x−3 = 0，
∴m = 1或x = 3，
5
把x = 3代入(m−1)x = 2得m = ，
3
5
∴m = 1或 ．
3
（2）去分母得：2(x+2)+mx = 3(x−2)，
解得(1 −m)x = 10，
2 mx 3
∵ + = 无解，
x−2 x2 −4 x+2
∴1 −m = 0或x2 −4 = 0，
∴m = 1或x = ±2，
把x = ±2代入(1 −m)x = 10得m = −4或6，
∴m = −4或6或1．
1 a 2
练5.1 【答案】 解：方程 − =
x−2 3 −x x2 −5x+6
两边乘(x−2)(x−3)得到，x−3 +a(x−2) = 2
整理得(a+1)x = 5 +2a
若a+1 = 0时，(a+1)x = 5 +2a无解，即a = −1
5 +2a
若a+1 ≠ 0时，即a ≠ −1，x =
a+1
5 +2a
由题意x = 是原分式方程的增根，
a+1
5 +2a
当 =2时，无解
a+1
5 +2a
当 = 3时，解得a = 2
a+1
综上所述，a = −1或2时，原分式方程无解
例6 【答案】解：（1）这个方程无解
x−2 −2
理由：当m＝−1时，方程变为 − = 1
x x+1
去分母得，x2 −x−2 +2x =x2 +x，即−2 = 0
∴当m＝−1时，这个方程无解
88/163
（2）将原式化为整式方程得
2(m+1)x＝m−1
∵这个分式方程有实数解
∴m ≠ −1
∵当x＝0或−1时，这个分式方程无实数解
1
∴m ≠ 1且m ≠ −
3
1
∴m的取值范围是m ≠ ±1且m ≠ −
3
【解析】（1）这个方程有解，
x−2 −2
理由：当m＝−1时，方程变为 − = 1，
x x+1
去分母得，x2 −x−2 +2x＝x2 +x，
∴当m＝−1时，请这个方程无解；
m+x−1 3m+1
（2） − = 1，
x x+1
化为整式方程得，2(m+1)x＝m−1，
∵这个分式方程有实数解，
∴m ≠ −1，
∵当x＝0或−1时，这个分式方程无实数解，
1
∴m＝1或− ，
3
1
∴m的取值范围是m ≠ ±1或− ．
3
练6.1 【答案】解：方程两边同乘(x+3)(x−3)，
得2(x+3)+ax = 3(x−3)，
化简得(a−1)x = −15，
若分式方程无解，得到(x+3)(x−3) = 0或者a−1 = 0，
即x = 3或x = −3或a = 1，
把x = 3代入方程得：a = −4，
把x = −3代入方程得：a = 6，
2 ax 3
∵方程 + = 有解，
x−3 x2 −9 x+3
∴a的取值范围是a ≠ 1且a ≠ −4且a ≠ 6．
例7 【答案】D
180 180
【解析】原来有x人,则现在有(x+ 2)人,原来每人的费用为: 元,现在每人的费用为: 元,
x x+ 2
180 180
则根据题意可得: − = 3.
x x+ 2
89/163
练7.1
(1【) 答案】设第一次购书的单价为x元，根据题意得：
1200 1500
+10 = ．
x (1 +20%)x
解得：x = 5．
经检验，x = 5是原方程的解，
答：第一次购书的进价是5元；
【解析】设第一次购书的单价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本
书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，
列出方程，求出x的值即可得出答案；
(2【) 答案】第一次购书为1200 ÷5 = 240（本），
第二次购书为240 +10 = 250（本），
第一次赚钱为240 ×(7 −5) = 480（元），
第二次赚钱为200 ×(7 −5 ×1.2)+50 ×(7 ×0.4−5 ×1.2) = 4（0元），
所以两次共赚钱480 +40 = 520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【解析】根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价-当次进
价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
例8 【答案】（1）解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产(x−50)台．
600 450
依题意得： = ．
x x−50
解得：x = 200
检验：当x = 200时，x(x−50) ≠ 0
∴x = 200是原分式方程的解．
答：现在平均每天生产200台机器．
3000 3000
（2） − = 20 −15 = 5（天)．
150 200
答：现在比原计划提前5天完成．
练8.1 【答案】解：设港珠澳大桥的设计时速是xkm/h
原来路程行驶的平均时速为(x−40)km/h
50 1 180
由题意得 = ×
x 6 x−40
50 30
=
x x−40
50x−2000 = 30x
90/163
20x = 2000
解得x = 100
经检验，x = 100是原分式方程的解
答：港珠澳大桥的设计时速是100km/h．
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】C
2x+m
【解析】 方程 = 3，去分母得：2x+m = 3x−6，
x−2
解得：x = m+6，
①令x = m+6 > 0，且x ≠ 2，即m > −6，且m ≠ −4时，方程的解是正数，本选
项错误；
②令x = m+6 < 0，即m < −6，方程的解是负数，本选项正确；
③令x−2 = 0，即x = 2，代入整式方程得：4 +m = 0，即m = −4，本选项正
确；
故正确的个数有2个．
故选：C．
6 【答案】A
7 【答案】解：方程两边同乘(x−1)(x+2)得：x(x+2)−(x−1)(x+2) = m，
解得：x+2 = m，
当x = 1或x = −2时，分式方程无解，
∴m = 3或0．
k+1
8 【答案】 解：去分母得x−1 +2x = k，即x = ，
3
由分式方程有解，得到x ≠ 0且x ≠ 1，
91/163
解得k ≠ −1且k ≠ 2．
9 【答案】D
10 【答案】解：（1）该公司平均每天应生产帐篷20000 ÷10 = 2000顶；
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，依题意得：
2000
(10 −1 −3)× ×1.25×(x+50=) 20000 −1 ×2000
x
解得x = 250，
经检验x = 250是方程的解，
答：该公司原计划安排250名工人生产帐篷．
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】A
【解析】解：去分母，得2x+m = 3(x−2)，
2x+m = 3x−6，
解得：x = m+6，
2x+m
∵ = 3的解为正数，
x−2
∴ m+6 > 0
∴ m > −6，
∵ x ≠ 2，
∴ m ≠ −4，
∴ m > −6且m ≠ −4．
故选：A符合.
3 【答案】3
3
4 【答案】 或3
2
5 【答案】C
【解析】设骑车学生的速度为xkm／h，则汽车的速度为2xkm／h，
10 10 1
由题意得， = + ．
x 2x 3
92/163
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
精选精练
x+m 3m
1 【答案】 解：原方程可变形为： − = 3，
x−2 2(x−2)
去分母，得2x+2m−3m＝6x−12，
整理，得4x＝12 −m
12 −m
解得，x =
4
∵方程的解为正实数，
12 −m 12 −m
∴x = > 0且x = ≠ 2
4 4
解得：m < 12且m ≠ 4．
【解析】用含m的代数式表示出分式方程的解，由于分式方程的解为正实数，得关于m的不等式，
求解即可．
2 【答案】解：去分母得：3x+3 −x+1 = x+kx，
由分式方程有增根，得到3x(x−1) = 0，
解得：x = 0或x = 1，
把x = 0代入整式方程得：4 = 0，矛盾，舍去；
把x = 1代入整式方程得：k = 5．
∴增根为x = 1，k = 5．
3 【答案】C
【解析】分式方程去分母得：m（x＋1）－x＝0，即（m－1）x＝－m，
当m－1＝0，即m＝1时，方程无解；
m
当m－1≠0，即m≠1时，解得：x = ；
1 −m
当m＝2时，方程的解为x＝－2，
x＝0是分式方程的增根，所以x≠0，故m≠0．
4 【答案】D
5 【答案】1
【解析】方程去分母得：(x−3)(2 −x) = m(x−2)
解得：x = 3 −m，
∴当x = 2时分母为0，方程无解，
93/163
即3 −m = 2，
∴ m = 1时方程无解．
6 【答案】设购买一件小学生比赛服需x元，则购买一件中学生比赛服需(x+20)元，
960 480
根据题意得： = 1.5× ，
x+20 x
解得：x = 60，
经检验，x = 60是原方程的解，
∴x+20 = 80．
答：购买一件小学生比赛服需60元，购买一件中学生比赛服需80元．
【解析】设购买一件小学生比赛服需x元，则购买一件中学生比赛服需(x+20)元，根据960元购
买的中学生比赛服是480元购买的小学生比赛服数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方
程，解之经检验后即可得出结论．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC +∠C = 180∘ ，
把∠C = 108∘ 代入，得∠ABC = 180∘ −108∘ = 72∘ ．
又∵BE平分∠ABC，
1 1
∴∠ABE = ∠ABC = ⋅72∘ = 36∘ ．
2 2
故选：B．
练1.1 【答案】D
【解析】∵ DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，
∴ ∠ADE = ∠CDE，∠DCE = ∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // DC，AD = BC，CD = AB = 4，
∴ ∠CDE = ∠DEA，∠DCE = ∠CEB，
∴ ∠ADE = ∠AED，∠BCE = ∠CEB，
94/163
∴ AD = AE，BE = BC，
∴ AD+BC = AE +BE = AB = 4，
∴平行四边形ABCD的周长= 2(AB +AD) = 3AB = 12．
例2 【答案】4
【解析】∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB +BC = 10cm；
又△ BOC 的周长比△ AOB 的周长大2cm，
∴BC −AB = 2cm，
解得：AB = 4cm，BC = 6cm．
∵AB = CD，
∴CD = 4cm
故答案为：4．
练2.1 【答案】10
【解析】∵AC，BD相交于点O
∴O为BD的中点
∵OE⊥BD
∴BE = DE
1
∴△ABE的周长= AB +AE +BE = AB +AD = ×20cm = 10cm
2
例3 【答案】解：∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB = 90∘ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴ AD = BC = 8，AB = CD = 10，OA = OC = AC，
2
−−−−−−−−−−
∵ AB = 10，BC = 8，由勾股定理得：AC = AB2 −BC2 = 6，
√
∴ OA = 3；
∴平行四边形ABCD的面积是BC ×AC = 8 ×6 = 48．
答：BC = 8，CD = 10，AC = 6，OA = 3，平行四边形ABCD的面积是48．
练3.1 【答案】C
【解析】∵AB // EF // DC，BC // GH // AD，
∴GH、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，
95/163
∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，
得S = S，（故D正确）
S = S，（故A正确）
S = S ，
++ ++
根据等量相减原理知S紫= S橙，（故B正确）
S与S显然不相等．（故C错误）
例4 【答案】①②③
练4.1 【答案】B
例5 【答案】证明：∵AC // BD，
∴∠C = ∠D，∠CAO = ∠DBO，AO = BO．
∴ΔAOC≌ΔBOD（AAS）．
∴CO = DO．
∵E、F分别是OC、OD的中点，
1 1
∴OF = OD = OC = OE．
2 2
由AO = BO、EO = FO,
得四边形AFBE是平行四边形．
练5.1 【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD = BC,∠A = ∠C.
又∵ AE = CF,
∴△ ADE$$△ CBF (SAS)
∴ ∠AED = ∠CFB,DE = BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ DC // AB.
∴ ∠CFB = ∠ABF.
∴ ∠AED = ∠ABF.
∴ ME // FN.
又∵ M、N分别是DE、BF的中点,且DE = BF,
∴ ME = FN.
∴四边形ENFM是平行四边形.
例6 【答案】证明：连接EN、FM，
∵EM⊥AC，FN⊥AC，
∴∠AME = ∠EMN = ∠FNC = ∠FNM = 90∘ ，
96/163
∴EM∥FN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，
∴∠EAM = ∠FCN，
∵DE = BF，
∴AE = CF，
在△AEM和△CFN中
∠EAM = ∠FCN
⎧⎪∠AME
= ∠CNF
⎨
AE = CF
⎩⎪
∴△AEM≌△CFN (AAS)，
∴EM = FN，
∵EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
∴EF与MN互相平分．
练6.1 【答案】EF = HG，EF∥HG
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，AB∥CD，AB = CD，
∵EF∥AC，
∴四边形EFCA是平行四边形，∴EF = AC，
∵HG∥AC，
∴四边形ACGH是平行四边形，
∴HG = AC，
∴EF = HG，EF∥HG．
例7 【答案】证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
1
∴ED∥BC且ED = BC ，
2
∵F、G分别是OB、OC的中点，
1
∴FG∥BC且FG = BC，
2
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形．
97/163
练7.1 【答案】证明：如图，连接BD．
∵F、G分别是BC、CD的中点，
1
∴FG∥BD，FG= BD．
2
∵E、H分别是AB、DA的中点，
1
∴EH∥BD，EH= BD．
2
∴FG∥EH，且FG=EH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】A
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】B
8
(1【) 答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB = CD,AB // CD.
∴ ∠ABE = ∠CDF.
在△ ABE和△ CDF中,
AB = CD
{∠ABE = ∠CDF,
BE = DF
98/163
∴△ ABE ≅△ CDF (SAS).
∴ AE = CF.
(2【) 答案】∵△ ABE ≅△ CDF,
∴ ∠AEB = ∠CFD,
∴ ∠AEF = ∠CFE,
∴ AE // CF,
∵ AE = CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
9 【答案】解：∵▱ ABCD的周长为36，
∴ 2(BC +CD) = 36，则BC +CD = 18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD = 12，
1
∴ OD = OB = BD = 6．
2
又∵点E是CD的中点，
1
∴ OE是ΔBCD的中位线，DE = CD．
2
1
∴ OE = BC．
2
1 1
∴△ DOE周长= OD+OE +DE = BD+ (BC +CD) = 6 +9 = 1．5
2 2
即△ DOE的周长为15．
10 【答案】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，
∵
M、N分别为AD、BC的中点，
1 1
∴ MG // BD，MG = BD，NG // AC，NG = AC，
2 2
∴ ∠GMN = ∠OFE，∠GNM = ∠OEF，
又∵ AC = BD，
∴ MG = NG，
∴ ∠GMN = ∠GNM，
∴ ∠OEF = ∠OFE，
∴ OE = OF．
99/163
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴ OA = OC，∠OAE = ∠OCF，∠OFC = ∠OEA，
∴
ΔAOE ≅ΔOCF，
1 1
∴ S = S ΔDOF +S ΔCOF = S ΔDOC = S ABCD = ×12 = 3，
4 4
故选：B．
4 【答案】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠E = ∠F = 90∘
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠BAC = ∠DCA
∴∠BAE = ∠DCF
在△ABE和△CDF中
∠E = ∠F
⎧∠BAE = ∠DCF
⎨
AB = CD
⎩
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE = CF
5 【答案】A
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
精选精练
100/163
1 【答案】60；6；9
2 【答案】B
【解析】∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE = ∠BAE，
∵DC // AB ，
∴∠BAE = ∠DFA，
∴∠DAE = ∠DFA，
∴AD = FD，
又∵F为DC的中点，
∴DF = CF，
1 1
∴AD = DF = DC = AB = 2，
2 2
–
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG = √3，
–
则AF = 2AG = 2√3，
∵平行四边形ABCD，
∴AD // BC ，
∴∠DAF = ∠E，∠ADF = ∠ECF，
在△ ADF 和△ ECF 中，
∠DAF = ∠E
⎧⎪∠ADF
= ∠ECF ，
⎨
DF = CF
⎩⎪
∴△ ADF≌ △ ECF (AAS)，
∴AF = EF，
–
则AE = 2AF = 4√3．
故选：B．
3
(1【) 答案】解:四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA = OC,
∵ OE ⊥ AC,
∴ AE = CE
故△ ABE的周长为AB +BC = 10cm,
根据平行四边形的对边相等得,
平行四边形ABCD的周长为2 ×10cm = 20cm.
101/163
(2【) 答案】∵ AE = CE,
∴ ∠EAC = ∠ECA,
∵ ∠ABC = 78∘ ,AE平分∠BAC,
∴ ∠BAE = ∠EAC = ∠ECA,
∵ 3∠ACE + 78∘ = 180∘ ,
∴ ∠ACE = 34∘
∵ AD // BC,
∴ ∠DAC = ∠EAC = ∠ECA = 34∘ .
4
(1【) 答案】证明：∵∠BAC=30°，以斜边AB向外作等边△ABE，
∴∠CAE=∠CAB+∠BAE=90°，AE=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠CAB，
在△AEF和△BAC中，
∠AFE = ∠ACB
⎧⎪∠AEF
= ∠CAB，
⎨
AE = AB
⎩⎪
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴AC=EF．
(2【) 答案】证明：∵以直角边AC向外作等边△ACD，∠BAC=30°，
∴∠DAB=90°，AD=AC，
又∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵AC=EF，
∴AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形．
5
(1【) 答案】证明:如图1,
∵
AF平分∠BAD,
∴ ∠BAF = ∠DAF,
102/163
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD // BC,AB // CD,
∴ ∠DAF = ∠CEF,∠BAF = ∠F,
∴ ∠CEF = ∠F.
∴ CE = CF.
(2【) 答案】解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC = 90∘ ，
∴∠BAD = ∠DCB = 90∘ ，
∵
AF平分∠BAD，
∴ ∠DAF = ∠BAF = 45∘ ，
∵ ∠DCB = 90∘ ，DF//AB，
∴ ∠DFA = 45∘ ，∠ECF = 90∘
∴
ΔECF为等腰直角三角形，
∵
G为EF中点，
∴ EG = CG = FG，CG⊥EF，
∵ ΔABE为等腰直角三角形，AB = DC，
∴ BE = DC，
∵ ∠CEF = ∠GCF = 45∘ ，
∴ ∠BEG = ∠DCG = 135∘
在ΔBEG与ΔDCG中，
EG = CG
∵
⎧⎪∠BEG
= ∠DCG，
⎨
BE = DC
⎩⎪
∴
ΔBEG ≅ΔDCG，
∴ BG = DG，
103/163
∵
CG⊥EF，
∴ ∠DGC +∠DGA = 90∘ ，
又∵ ∠DGC = ∠BGA，
∴ ∠BGA +∠DGA = 90∘ ，
∴
ΔDGB为等腰直角三角形，
∴ ∠BDG = 45∘ ．
(3【) 答案】解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵四边形ABCD为平行四边形，FG // CE，
∴ AD // EC // HF，AB // DF，
∵ ∠ABC = 120∘ ，AF平分∠BAD，
∴ ∠BAD = 60∘ ， ∠DAF = 30∘ ， ∠ADC = 120∘ ， ∠DFA = 30∘ ，
∠CEG = 30∘ ，
∴
ΔDAF，ΔCEF为等腰三角形
∴ AD = DF，CE = CF，
∴
ΔADH，ΔDHF为全等的等边三角形，
∴ DH = DF，∠BHD = ∠GFD = 60∘ ，
∵ FG = CE，CE = CF，CF = BH，
∴ BH = GF，
在ΔBHD与ΔGFD中，
DH = DF
∵
⎧⎪∠BHD
= ∠GFD，
⎨
BH = GF
⎩⎪
∴
ΔBHD ≅ΔGFD，
∴ ∠BDH = ∠GDF，
∴ ∠BDG = ∠BDH +∠HDG = ∠GDF +∠HDG = 60∘ ．
6 【答案】证明：如图所示，连接BD，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵
E、F分别是DC、AB边的中点，
∴
EP是△ BCD的中位线，PF是△ ABD的中位线，
104/163
1 1
∴ PF = AD，PF // AD，EP = BC，EP // BC，
2 2
∴ ∠H = ∠PFE，∠BGF = ∠FEP，
又∵ AD = BC，
∴ PE = PF，
∴ ∠PEF = ∠PFE，
∴ ∠AHF = ∠BGF．
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】4
练1.1 【答案】A
例2
(1【) 答案】①③④
【解析】 解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，
又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB是等边三角形，
105/163
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB＝OA，
∴AC＝2AB，
由垂线段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②错误；
∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∴BO＝BE，
∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，
1
∴∠BOE= （180°﹣30°）＝75°，
2
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；
∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，
∴S ＝S ，故④正确；
△AOE △COE
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
12
(2【) 答案】
5
练2.1
(1【) 答案】18°
(2【) 答案】4.8
例3 【答案】证明：在矩形ABCD中，AC = BD，AD∥BC．
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
∴BD = EC，
∴AC = CE．
练3.1 【答案】OE = 1
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO = OC，BO = OD，AC = BD，
∴OA = OD，
106/163
∵∠AOB = 120∘ ，
∴∠AOD = 60∘ ，
∴△AOD是等边三角形，
∵AD = 2，
∴OA = OD = 2，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO = 90∘ ，
∴∠OAE = 30∘ ，
1
∴OE = OA = 1．
2
例4 【答案】4.8
【解析】如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D = ∠A = ∠C = 90∘ ，AD = BC = 6，CD = AB = 8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP = AP，∠E = ∠A = 90∘ ，BE = AB = 8，
在△ODP和△OEG中，
∠D = ∠E
⎧OD = OE ，
⎨
∠DOP = ∠EOG
⎩
∴△ODP≌△OEG(ASA)，
∴OP = OG，PD = GE，
∴DG = EP，
设AP = EP = x，则PD = GE = 6 −x，DG = x，
∴CG = 8 −x，BG = 8 −(6 −x) = 2 +x，
根据勾股定理得：BC2 +CG2
=
BG2
，
即62 +(8 −x) 2 = (x+2) 2 ，
解得：x = 4.8，
∴AP = 4.8；
故答案为：4.8．
练4.1 【答案】12
107/163
【解析】解：∵△AEF由△AEB折叠而成，
∴△AEF≌△AEB，
∴AF=AB，EF=BE，
∴矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．
故答案为：12．
例5 【答案】解：可以添加条件∠DAB = 90∘ ，
∵AO = CO，BO = DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB = 90∘ ，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB = 90∘ ．
练5.1 【答案】证明：∵AB = AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC = 90∘ ，
∵AE平分∠CAF，
1 1
∴∠DAE = ∠BAC + ∠CAF
2 2
1 1
= (∠BAC +∠CAF) = ×180∘ = 90∘
2 2
∵CE⊥AE，
∴∠AEC = 90∘ ，
∴四边形ADCE是矩形，
∴DE = AC，∴AB = DE．
例6
(1【) 答案】证明：∵点O是AC中点，
∴AO = OC，
∵OE = OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC = 90∘ ，
∴四边形ADCE是矩形；
【解析】根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出
∠ADC = 90∘ ，根据矩形的判定得出即可；
108/163
(2【) 答案】解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC = 16，AB = 17，
∴BD = CD = 8，AB = AC = 17，∠ADC = 90∘ ，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
由勾股定理得：AD = AC2 −CD2 = √172 −82 = 15 ，
√
∴四边形ADCE的面积是AD×DC = 15 ×8 = 120 ．
【解析】求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．
练6.1 【答案】证明：（1）∵ AB = AC,AD是BC的边上的中线,
∴
AD⊥BC,
∴ ∠ADB = 90∘ ,
∵四边形ADBE是平行四边形,
∴平行四边形ADBE是矩形.
−−−−−−−−−−
（2）AD = √AB2 −BD2 = 4 ，
S =3 ×4=12 .
矩形ADBE
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对
角线互相平分、相等；
平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相
等，③平行四边形的对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
2 【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA = OC = OB = OD = 3，
∵∠AOB = 60∘ ，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB = OA = 3，
故选：A．
109/163
3 【答案】D
4 【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴ AO = BO = CO = 4，∠ABC = 90∘
∴ AC = 8
∵ ∠BOC = 120∘ ，AO = BO
∴ ∠OAB = ∠OBA = 60∘
∴
ΔAOB为等边三角形
∴ AB = BO = 4
−−−−−−−−−− –
在RtΔABC中，BC = √AC 2 −AB 2 = 4√3
故选：D．
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】B
【解析】解：
条件为AD=BC，
理由是：∵∠A=∠B=90°，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形．
故选：B．
8 【答案】B
9 【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A = ∠C，
又∵AE = CG，AH = CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH = GF．
在平行四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，
∴AB −AE = CD−CG，AD−AH = BC −CF，
110/163
即BE = DG，DH = BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B = ∠D，∴△BEF≌△DGH．
∴GH = EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD．
设∠A =α ，则∠D = 180∘ −α ．
180∘ −α α
∵AE = AH，∴∠AHE = ∠AEH = = 90∘ − ．
2 2
∵AD = AB = CD，AH = AE = CG，
∴AD−AH = CD−CG，即DH = DG．
180∘ −(180∘ −α) α
∴∠DHG = ∠DGH = = ．
2 2
∴∠EHG = 180∘ −∠DHG−∠AHE = 90∘ ．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．
10 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF = BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB = 90∘ ，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD = 90∘ ，
∴∠BFC = 90∘ ，
在Rt△ADE中，AE=3，ED=BF=4，
∴AD=5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF = ∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA = ∠BAF，
∴∠DAF = ∠DFA，
∴AD = DF，
∴DF = 5，
111/163
∴AB=AE+EB=AE+DF=3+5=8，
∴平行四边形ABCD的面积为 S = AB ⋅DE = 8 ×4=32.
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，AB = DC，
∵CE = BC，
∴AD = CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB = DC，AE = AB，
∴AE = DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
1 1
∴OA = AE，OC = CD，AE = CD，
2 2
∴OA = OC，
∵∠AOC = 180∘ −∠AOD = 180∘ −120∘ = 60∘ ，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC = AC = 4，
∴CD = 8．
5 【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB∥DC
∴ ∠DFA = ∠FAB.
在Rt △ BCF中,由勾股定理,得
−−−−−−−−−−
−−−−−−
BC = FC2 +FB2 = √32 +42 = 5
√
∴ AD = BC = DF = 5
112/163
∴ ∠DAF = ∠DFA
∴ ∠DAF = ∠FAB
即AF平分∠DAB
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】C
4 【答案】①③④．
5 【答案】（1）证明：∵ ABCD是矩形，
∴
AB//CD，
∴ ∠FCH = ∠EAG，
在ΔAGE和ΔCHF中
AG = CH
⎧⎪∠EAG
= ∠FCH
⎨
AE = CF
⎩⎪
∴
ΔAGE ≅ΔCHF(SAS)；
（2）解：连接AF，
∵
GH平分∠FGE，
∴ ∠FGH = ∠EGH，
∵ ∠FHA = ∠EGC,
∴
FH//GE，
∴ ∠FGH = ∠FHG，
∴ FG = FH，∠FGA = ∠FHC，
在ΔFGA和ΔFHC中
AG = CH
⎧⎪∠FGA
= ∠FHC
⎨
FG = FH
⎩⎪
∴
ΔFGA ≅ΔFHC(SAS)，
113/163
∴ FC = FA，
设FC = x，则FA = x，FD = 8 −x，
在RtΔADF中，x2 = (8 −x)2 +42 ，
解得：x = 5，
即CF的长为5．
6 【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
1
∴∠2+∠4= ×180°=90°．
2
即∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
【解析】
能力强化 / 初二 / 春季
114/163
第 12 讲 菱形与正方形初步
例题练习题答案
例1 【答案】D
【解析】∵菱形的性质有对角线互相垂直平分，矩形的性质有对角线互相平分且相等，
∴菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：D．
练1.1 【答案】D
例2
(1【) 答案】4.8
(2【) 答案】B
练2.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】A
(3【) 答案】B
例3
(1【) 答案】OA=OC
(2【) 答案】AB=AD
(3【) 答案】C
练3.1 【答案】（1）证明：∵ EF是对角线AC的垂直平分线，
∴ AO = CO，AC⊥EF，
∵
AD//BC，
∴ ∠AEO = ∠CFO，
在ΔAEO和ΔCFO中，
∠EAO = ∠FCO
⎧⎪∠AEO
= ∠CFO，
⎨
AO = CO
⎩⎪
∴
ΔAEO ≅ΔCFO(AAS)，
∴ AE = CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
115/163
又∵ AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵ ∠B = 90∘ ，AB = 6，BC = 8，
−−−−−−−−−−
∴ AC = AB2 +BC2 = 10，
√
∵四边形AFCE是菱形，
∴ AF = FC，
在RtΔABF中，设AF = x，则BF = 8 −x
∵AB2 +BF2 = AF2 ，
∴ 62 +(8 −x)2 = x2 ，
25
∴ x = ，
4
−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
25 15
∴ OF = CF2 −OC2 = ( )2 −52 = ，
√ √ 4 4
15
∴ EF = 2OF = ．
2
例4
(1【) 答案】B
(2【) 答案】A
练4.1
(1【) 答案】C
–
(2【) 答案】√2a，2：1
例5
(1【) 答案】C
(2【) 答案】①②③⑤
【解析】解：①正确，连接PC，由四边形PECF是矩形，四边形ABCD是正方形，可得
PC = EF，PC = PA，∴ AP = EF；
116/163
② 正 确 ； 延 长 AP ， 交 EF 于 点 N ， 则
∠EPN = ∠BAP = ∠PCE = ∠PFE，可得AP⊥EF；
③正确；∠PFE = ∠PCE = ∠BAP；
– –
④错误，PD = √2PF = √2CE；
⑤正确，PB2 +PD2 = PE2 +BE2 +PF2 +DF2 = 2EF2 = 2PA． 2
练5.1
(1【) 答案】15°
(2【) 答案】解：①证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∴易证△BCP≌△DCP（SAS）；
②
证明：由①知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°−∠1−∠CDP=180°−∠2−∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
③解：与②同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°．
例6
(1【) 答案】证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB = 90∘ ，
117/163
∵∠ACB = 90∘ ，
∴∠ACB = ∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE = AD；
【解析】先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2【) 答案】解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD = BD，
∵CE = AD，
∴BD = CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB = 90∘ ，D为AB中点，
∴CD = BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
【解析】求出四边形BECD是平行四边形，求出CD = BD，根据菱形的判定推出即可；
(3【) 答案】当∠A = 45∘ 时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB = 90∘ ，∠A = 45∘ ，
∴∠ABC = ∠A = 45∘ ，
∴AC = BC ，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB = 90∘ ，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A = 45∘ 时，四边形BECD是正方形．
【解析】求出∠CDB = 90∘ ，再根据正方形的判定推出即可．
练6.1 【答案】解：四边形BDCF是正方形，原因如下：
在△ ABC中，∵AC = BC，AC⊥BC，
118/163
∴△ ABC是等腰直角三角形，
∵D是AB的中点，CF // AB ，
∴∠FCD = ∠CDB = 90∘ ，
∵E是CD的中点，
∴△ AED ≅△ FEC，
∴BD = AD = CF，
∴四边形BDCF是矩形，
∵BD = DC，
∴四边形BDCF是正方形.
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
∵∠B = 60∘ ，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC = AB = BC = a．
∴菱形较短的对角线长等于a．
故选：C．
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】解∵四边形ABCD为菱形,
∴ AC⊥BD,OA = OC,AD = AB = 2,
而∠DAB = 60∘ ,
119/163
∴
△ADB为等边三角形,
–
√3 –
∴ OA = AB = √3,
2
–
∴ AC = 2OA = 2√3,
1 1 – –
菱形的面积= AC ⋅BD = × 2× 2√3 = 2√3.
2 2
6 【答案】C
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】A
【解析】连接CD交OB于P，则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，
−−−−−− −−
∴CD=√22 +62 =2√10，
−−
∴PD+PA=PD+PC=CD=2√10．
−−
∴PD+PA和的最小值是2√10．
10 【答案】证明：（1）连接GE，
∵AB // CD，
∴∠AEG = ∠CGE，
∵GF // HE，
∴∠HEG = ∠FGE，
∴∠HEA = ∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D = ∠A = 90∘ ，
∵四边形EFGH是菱形，
AH = DG
∴HG = HE，在Rt △ HAE和Rt △ GDH中， ，
{HE = HG
120/163
∴Rt
△
HAE≌Rt
△
GDH (HL)，
∴∠AHE = ∠DGH，
又∠DHG+∠DGH = 90∘ ，
∴∠DHG+∠AHE = 90∘ ，
∴∠GHE = 90∘ ，
∴菱形EFGH为正方形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
课堂落实答案
1 【答案】12
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴菱形ABCD的面积= ⋅BD⋅AC = ⋅4 ⋅6 = 12，
2 2
故答案为12．
2 【答案】24; 120．
3 【答案】22
4 【答案】C
5 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90∘ ，
AB = BC = CD = AD，
∵AF = BP = CQ = DE，
∴DF = CE = BQ = AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
AF = DE = CQ = BP
⎧∠A = ∠D = ∠C = ∠B ，
⎨
AP = DF = CE = BQ
⎩
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF = FP = PQ = QE；
（2）∵EF = FP = PQ = QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，
121/163
∴∠AFP = ∠BPQ，
∵∠AFP +∠APF = 90∘ ，
∴∠APF +∠BPQ = 90∘ ，
∴∠FPQ = 90∘ ，
∴四边形EFPQ是正方形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
精选精练
1 【答案】B
【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴OA= AC=4，OB= BD=3，AC⊥BD，
2 2
−−−−−−−−−−
−−−−−−
∴AB=
OA2 +OB2 =√42 +32
=5，
√
1 1
∵菱形ABCD的面积=AB•DE= AC•BD= ×8×6=24，
2 2
24
∴DE= =4.8．
5
2 【答案】1：2，16．
【解析】由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD＝1：2，所以AO：BO＝1：
2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．
3 【答案】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF．
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD = ∠DBF = ∠ABC．
2
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
122/163
∴四边形BEDF为菱形；
（2）如图：过点D作DH⊥BC于点H．
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°＝∠C，
∴DB＝DC＝6．
∵DH⊥BC，∠C＝30°，
∴DC＝2DH＝6，
∴DH＝3．
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠FDC＝90°，且∠C＝30°，DC＝6，
–
∴DC= √3DF，
–
∴DF＝2√3．
∵四边形BEDF为菱形，
–
∴BF＝DF＝2√3，
– –
∴S ＝BF×DH＝2√3×3＝6√3．
四边形BEDF
4 【答案】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，且AB=AC，
∴AE=AB=AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∴△AEB≌△AFC，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
– –
∴BE=√2AC=√2，
–
∴BD=BE-DE=√2-1．
5 【答案】D
123/163
6 【答案】解：（1）垂直，
理由是：
∵四边形ABCD是正方形，
∴ AD = CD = AB，∠BAD = ∠CDA = 90∘ ，
∠ADB = ∠CDB = 45∘ ，且DP = DP，
∴
ΔADP ≅ΔCDP，
∴ ∠DCF = ∠DAP，AP = PC，
又AE = DF，∠BAD = ∠CDA = 90∘ ，AB = CD，
∴
ΔABE ≅ΔDCF，
∴ ∠ABE = ∠DCF，
∴ ∠ABE = ∠DAP，
∵ ∠ABE +∠AEB = 90∘ ，
∴ ∠DAP +∠AEB = 90∘ ，即∠AGE = 90∘ ，
∴
AP⊥BE.
（2）∵ AB = BC = CD = DA，
∴
ΔABD，ΔBCD是等腰三角形，
∵ AP⊥PH，∠ABC = 90∘ ，
∴
A，B，H，P四点共圆，
∴ ∠PAH = ∠DBC = 45∘ ，
∴ ∠PAH = ∠PHA = 45∘ = ∠ANG，
∴ PA = PH，AG = GN，
∴
ΔAPH，ΔAGN是等腰三角形，
∵ AP = PH，AP = PC，
∴ PC = PH，
∴ ΔPHC 是等腰三角形.
能力强化 / 初二 / 春季
第 13 讲 正方形高级技巧
例题练习题答案
–
例1 【答案】解：EA +EB = √2OE
124/163
延长EA到F使AF=BE，连接OF
∵∠AEB = 90∘ ，∠BOA = 90∘
∴∠EBO+∠EAO = 180∘
∵∠FAO+∠EAO = 180∘
∴∠EBO = ∠FAO
又∵OB=OA，AF=BE
∴△EBO≌△FAO（SAS）
∴OE=OF，∠BOE = ∠AOF
∴△OEF是等腰直角三角形.
–
∴EA +EB = EF = √2OE
1
练1.1 【答案】
2
【解析】解：在图1中，∠GBF +∠DBF = ∠CBD+∠DBF = 90∘ ，
∴ ∠GBF = ∠CBD，∠BGF = ∠CDB = 45∘ ，BD = BG，
∴
ΔFBG ≅ΔCBD，
1
∴阴影部分的面积等于ΔDGB的面积，且是小正方形的面积的 ，是大正方形的面积的
4
1
；
8
1 1
设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则有 x2 = y2 ，
4 8
–
∴ y = √2x，
1 1 1
同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的 ，为 y2 = x2 ，
4 4 2
1
∴阴影部分面积是正方形B面积的 ．
2
125/163
例2
(1【) 答案】PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB = 90∘ ，
∴PF = PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE +∠QPE = 90∘∠QPE +∠QPF = 90∘ ，
∴∠BPE = ∠QPF，
∴Rt
△
PQFRt
△
PBE，
∴PB = PQ；
【解析】过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
(2【) 答案】PB = PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB = 90∘ ，
∴PF = PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF +∠QPF = 90∘∠BPF +∠BPE = 90∘ ，
∴∠BPE = ∠QPF，
∴Rt
△
PQFRt
△
PBE，
∴PB = PQ．
126/163
【解析】证明思路同（1）
练2.1 【答案】（1）∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BE，
∴ ∠AOB = ∠BOE = ∠AMB = 90∘ ，
∵ ∠AFO = ∠BFM（对顶角相等），
∴ ∠OAF = ∠OBE（等角的余角相等），
又∵ OA = OB（正方形的对角线互相垂直平分且相等），
∴
ΔAOF ≅ΔBOE(ASA)，
∴ OE = OF．
故答案为：OE = OF；
（2）成立．
理由如下：
∠AOF = ∠BOE = 90∘ ，OA = OB，
∵ ∠ABC = 90∘ ，
∴ ∠EBC +∠ABM = 90∘ ，
∵ ∠ABM +∠BAF = 90∘ ，
∴ ∠EBC = ∠BAF，
又∵ ∠OAB = ∠OBC = 45∘ ，
∴ ∠OAM = ∠OBE，
∴
ΔAOF ≅ΔBOE(ASA)，
∴ OE = OF．
例3 【答案】（1）证明： 过E作EN⊥AM于点N，连接EM，则EN=ED
易证△ANE≌△ADE（HL），∴AN=AD，
127/163
又易证△NEM≌△CEM（HL），∴NM=CM，
∴AM=AN+NM=AD+MC
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = AD = 4，∠B = 90∘ ，
设MC = x，则BM = 4 −x，
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
AM = √AB2 +BM2 = 42 +(4 −x)2 ，
√
∵ AM = AD+MC = 4 +x，
−−−−−−−−−−−
∴ 42 +(4 −x)2 = 4 +x，
√
解得：x = 1，
∴ AM = 5．
练3.1 【答案】证明：如图，过F作FM⊥AB于点M，
∵
AC⊥BD于点E，
1
∴ AE = AC，∠ABD = ∠CBD = 45∘ ，
2
∵
AF平分∠BAC，
∴ EF = MF．
又∵ AF = AF，
∴ RtΔAMF ≅RtΔAEF (HL)，
∴ AE = AM，
∵ ∠MFB = ∠ABF = 45∘ ，
∴ MF = MB，
∴ MB = EF，
1
∴ EF + AC = MB +AE = MB +AM = AB．
2
例4
128/163
(1【) 答案】C
(2【) 答案】(−3,2)
练4.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C (6,2)，D(4,6)．
例5 【答案】1）证明△ABE≌△DAF，则
BE = AF = AE +EF = DF +EF．
2）证明△ABE≌△DAF，则
BE = AF = AE −EF = DF −EF．
3）证明△ABE≌△DAF，则
BE +DF = AF +AE = EF．
练5.1 【答案】16
例6 【答案】如图，作CN⊥DG于N，延长BE交CN于M，
易证四边形CMEF是矩形，∴CF = ME
易证△ BCM △ DAG，∴BE +CF = BE +ME = BM = DG
故BE +CF +DG = 2DG
∴当点P和C点重合时，2DG值最小
–
最小值为√2
练6.1 【答案】解：（1）如图，
过点E作PQ垂直于AB，分别交AB、CD于点P、Q，
∘
∵ ∠QFE +∠QEF = ∠NEP +∠QEF = 90
129/163
∴ QFE = ∠NEP
在ΔEPN和ΔEQF中，
∠FQE = ∠EPN
⎧⎪∠QFE
= ∠PEN
⎨
EF = NE
⎩⎪
∴
ΔEQF ≅ΔEPN(AAS)
∴ ∠BNE = ∠FEQ
∘
∴ ∠BNE +∠CFE = 90；
（2）由ΔEQF ≅ΔEPN得证明方法，
同理可得ΔEPN ≅ΔEQF ≅ΔAMN ≅ΔMDF
∴ EP = FQ = AN = DM，PN = QE = AM = DF
∴ AP = PQ = QD = DA = 4
∴四边形APQD为正方形，
∴ BN +CF = BP +PN +QF +CQ= 4 +(5 −4)+(5 −4) = 6；
（3）∵四边形PBCQ是矩形，
∴点E到BC的距离等于CQ的长为5 −4 = 1；
−−−−−− –
（4）EM的最大值= √42 +42 = 4√2；最小值= 4．
能力强化 / 初二 / 春季
第 13 讲 正方形高级技巧
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD = 90∘ ，
又∵ ∠EPM = ∠EQN = 90∘ ，
130/163
∴ ∠PEQ = 90∘ ，
∴ ∠PEM +∠MEQ = 90∘ ，
∵ ∠NEM = ∠NEQ+∠MEQ = 90∘ ，
∴ ∠PEM = ∠NEQ，
∵ AC是∠BCD的角平分线，∠EPC = ∠EQC = 90∘ ，
∴ EP = EQ，四边形PCQE是正方形，
在ΔEPM和ΔEQN中，
∠PEM = ∠NEQ
⎧⎪EP
= EQ ，
⎨
∠EPM = ∠EQN
⎩⎪
∴
ΔEPM ≅ΔEQN(ASA)
∴ S ΔEQN = S ΔEPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为6，
–
∴ AC = 6√2，
∵ EC = 2AE，
–
∴ EC = 4√2，
∴ EP = PC = 4，
∴正方形PCQE的面积= 4 ×4 = 16，
∴四边形EMCN的面积= 16，
故选：C．
2 【答案】D
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】C
【解析】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，
则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
131/163
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵ ，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
6 【答案】证明：（1）∵∠BAC = 90∘ ，∠ABC = 45∘ ，
∴∠ACB = ∠ABC = 45∘ ，
∴AB = AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD = AF，∠DAF = 90∘ ，
∵∠BAD = 90∘ −∠DAC，∠CAF = 90∘ −∠DAC，
∴∠BAD = ∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
AB = AC
⎧∠BAD = ∠CAF，
⎨
AD = AF
⎩
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD = CF，
∵BD+CD = BC，
∴CF +CD = BC；
（2）CF −CD = BC．
132/163
7 【答案】B
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】（1）证明：∵ EP⊥AE，
∴ ∠AEB +∠GEF = 90∘ ，
又∵ ∠AEB +∠BAE = 90∘ ，
∴ ∠GEF = ∠BAE，
又∵ FG⊥BC，
∴ ∠EGF = 90∘ ，
∠ABE = ∠EGF
在△ABE与△EGF中，
⎧⎪∠BAE
= ∠GEF ，
⎨
AE = EF
⎩⎪
∴△ABE≌△EGF(AAS)，
∴ FG = BE；
（2）解：点F在∠DCG的平分线上，理由如下：
连接CF，如图：
由（1）知：BC = AB = EG，
∴ BC −EC = EG−EC，
∴ BE = CG，
又∵ FG = BE，
∴ FG = CG，
又∵ ∠CGF = 90∘ ，
1
∴ ∠FCG = 45∘ = ∠DCG，
2
∴
CF平分∠DCG．
能力强化 / 初二 / 春季
第 13 讲 正方形高级技巧
133/163
课堂落实答案
1 【答案】(4,6)．
【解析】∵△CDO绕点C逆时针旋转90∘ ，得到△CBD′
，
则BD′ = OD = 2，
∴点D坐标为(4,6)；
故答案为：(4,6)．
2 【答案】D
【解析】解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°﹣45°﹣45°=90°，
即旋转角是90°，
故选：D
3 【答案】A
【解析】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
134/163
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
∠PEM = ∠NEQ
⎧⎪EP
= EQ ，
⎨
∠EPM = ∠EQN
⎩⎪
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S =S ，
△EQN △EPM
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
–
∴AC=√2a，
∵EC=2AE，
–
2√2
∴EC= a，
3
2
∴EP=PC= a，
3
2 2 4
∴正方形PCQE的面积= a× a= a2，
3 3 9
4
∴四边形EMCN的面积= a2，
9
故选：D．
−−
4 【答案】√10
【解析】
如图 ，
由勾股定理，得
−−−−−−−−−−
−−
AB = AC2 +BC2 =√10，
√
−−
故答案为：√10．
5 【答案】C
能力强化 / 初二 / 春季
135/163
第 13 讲 正方形高级技巧
精选精练
1 【答案】25
【解析】解：OM交BC于E，OP交CD于F，连接OB、OC，如图，
∵四边形ABCD和四边形OMNP为正方形，
∴∠BOC = 90∘ ，∠OBC = ∠OCD = 45∘ ，
∠MOP = 90∘ ，OB = OC，
∵∠BOE +∠EOC = 90∘ ，∠FOC +∠EOC = 90∘ ，
∴∠BOE = ∠FOC，
在△BOE和△COF中，
∠OBE = ∠OCF
⎧OB = OC ，
⎨
∠BOE = ∠COF
⎩
∴△BOE≌△COF，
∴S △BOE = S △COF，
1
∴S
四边形OECF
= S
△OBC
=
4
S
正方形ABCD
1
= ×10 ×10 = 25，
4
即这两个正方形重叠部分的面积为25．
故答案为25．
2 【答案】C
3 【答案】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD = 90∘ ，∠ECN = 45∘ ，
∴ ∠EMC = ∠ENC = ∠BCD = 90∘ ，
且NE = NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴ EM = EN，
136/163
∠DEN +∠NEF = ∠MEF +∠NEF = 90∘ ，
∴ ∠DEN = ∠MEF，
又∠DNE = ∠FME = 90∘ ，
在△ DEN和△ FEM中，
∠DNE = ∠FME
⎧⎪EN
= EM ，
⎨
∠DEN = ∠FEM
⎩⎪
∴△ DEN ≅△ FEM(ASA)，
∴ ED = EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）解：CE +CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴ DE = DG，∠EDC +∠CDG = 90∘
∵四边形ABCD是正方形，
∵ AD = DC，∠ADE +∠EDC = 90∘
∴ ∠ADE = ∠CDG，
在△ ADE和△ CDG中，
AD = CD
⎧⎪∠ADE
= ∠CDG ，
⎨
DE = DG
⎩⎪
∴△ ADE ≅△ CDG(SAS)，
∴ AE = CG
– – –
∴ AC = AE +CE = √2AB = √2×4√2 = 8，
∴ CE +CG = 8是定值．
4 【答案】8
【解析】如图，作CM⊥l于M．
137/163
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC，∠ABC = 90∘ ，
∵∠AEB = ∠CMB = 90∘ ，
∴∠ABE +∠EAB = 90∘ ，∠ABE +∠CBM = 90∘ ，
∴∠CBM = ∠EAB，
在ΔABE和ΔBCM中，
∠AEB = ∠CMB
⎧⎪∠EAB
= ∠CBM，
⎨
AB = BC
⎩⎪
∴ΔABE≌ΔBCM，
∴BE = CM = 4，
1 1
∴S
ΔEBC
= ⋅EB ⋅CM = ×4 ×4 = 8．
2 2
故答案为8．
5
(1【) 答案】证明：∵ BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴ ∠BDA = ∠CEA = 90∘
∵ ∠BAC = 90∘
∴ ∠BAD+∠CAE = 90∘
∵ ∠BAD+∠ABD = 90∘
∴ ∠CAE = ∠ABD,
∵在ΔADB和ΔCEA中,
∠ABD = ∠CAE
⎧∠BDA = ∠CEA
⎨
AB = AC
⎩
∴
ΔADB ≅ΔCEA(AAS),
∴ AE = BD,AD = CE,
∴ DE = AE +AD = BD+CE;
(2【) 答案】∵ ∠BDA = ∠BAC = α,
∴ ∠DBA +∠BAD = ∠BAD+∠CAE = 180∘ −α,
∴ ∠CAE = ∠ABD,
∵在ΔADB和ΔCEA中,
∠ABD = ∠CAE
⎧∠BDA = ∠CEA,
⎨
AB = AC
⎩
138/163
∴
ΔADB ≅ΔCEA(AAS),
∴ AE = BD,AD = CE,
∴ DE = AE +AD = BD+CE.
6 【答案】解：（1）如图2，AE = EF，理由为：
证明：在AB上截取AM = EC，连接ME，
∵ AM = EC，AB = BC，
∴ AB −AM = BC −EC，即BM = BE，
∴
ΔMBE为等腰直角三角形，
∴ ∠BME = 45∘ ，
∵
CF为直角∠DCG的平分线，
∴ ∠AME = ∠ECF = 135∘ ，
∵ ∠AEF = 90∘ ，
∴ ∠FEC +∠AEB = 90∘ ，
又∵ ∠EAM +∠AEB = 90∘ ，
∴ ∠EAM = ∠FEC，
在ΔAEM和ΔEFC中，
∠AME = ∠FCE
⎧⎪AM
= EC ，
⎨
∠BAE = ∠FEC
⎩⎪
∴
ΔAEM ≅ΔEFC(ASA)，
∴ AE = EF；
（2）如图3 : AE = EF，理由为：
证明：延长AB到M，使AM = CE，连接ME，
∵ AM = CE，AB = BC，
∴ AM −AB = CE −BC，即BM = BE，
∴ ∠BME = 45∘ ，
∴ ∠BME = ∠ECF = 45∘ ，
又∠AEF = ∠ABE = 90∘ ，
∴ ∠MAE +∠AEB = 90∘ ，∠CEF +∠AEB = 90∘ ，
139/163
∴ ∠MAE = ∠CEF，
在ΔMAE和ΔCEF中，
∠BME = ∠ECF
⎧⎪AM
= CE ，
⎨
∠MAE = ∠CEF
⎩⎪
∴
ΔMAE ≅ΔCEF(ASA)，
∴ AE = EF．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 中点模型
例题练习题答案
例1 【答案】解：（1）证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD，
∵D为BC的中点，
∴DB=CD，
AD=DE
在△ADC和△EDB中
⎧∠ADC=∠BDE，
⎨
DB=CD
⎩
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC，
在△ABE中，∵AB+BE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；
（2）∵AB=5，AC=3，
∴5-3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4．
【解析】倍长中线后通过8字全等倒边，利用三角形三边关系可得.
练1.1 【答案】B
例2 【答案】D
练2.1 【答案】A
【解析】∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG = AC = 3，GF = CF，
∵AB = 4，AC = 3，
140/163
∴BG = 1，
∵AE是中线，
∴BE = CE，
∴EF为△CBG的中位线，
1 1
∴EF = BG = ，
2 2
故选：A．
例3 【答案】 证明：如图，取BE的中点H，连接FH、CH．
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
1
∴FH∥AB且FH = AB，
2
又∵点E是DC的中点，
1
∴EC = DC，
2
∵AB＝DC
∴FH＝EC
又∵AB∥DC，
∴FH∥EC．
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴GF＝GC．
练3.1 【答案】等腰三角形．
设BD的中点为G，连接EG、FG．由三角形中位线的性质可得，
1 1
GE = CD = AB = GF ， EG∥CD ， FG∥AB ， 故
2 2
∠OMN = ∠GEF = ∠GFE = ∠ONM，
可得OM = ON，△OMN为等腰三角形．
例4 【答案】A
141/163
【解析】解：不变．连接OP，
在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，
1
那么OP = AB，
2
由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．
故选：A．
练4.1 【答案】 如图，取AB的中点D，连接OD、CD，
∵△ABC是等边三角形，
−−−−−− –
∴CD = √42 −22 = 2√3，
∵∠MON＝90°，
1 1
∴OD = AB = ×4 = 2，
2 2
由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，
–
最大值为2√3+2．
–
故答案为：2√3+2．
例5 【答案】 EF⊥AC，理由是：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E为BD中点，
1 1
∴AE＝ BD，CE＝ BD，
2 2
∴AE＝CE，
∵F为AC中点，
∴EF⊥AC．
142/163
练5.1
(1【) 答案】 证明：如图，取AB、AC的中点M、N，连接PM、DM，PN、EN，
∵P是BC中点，
∴PM、PN都是△ABC的中位线，
1 1
∴PM∥AC，PN∥AB，PM＝ AC，PN＝ AB，
2 2
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
1 1
∴DM＝ AB，NE＝ AC，
2 2
∴DM＝PN，MP＝NE，
∵∠PMD＝∠BMD+∠BMP＝2∠BAD+∠BAC＝2（90°﹣α）+∠BAC，
∠PNE＝∠CNE+∠CNP＝2∠CAE+∠BAC＝2（90°﹣α）+∠BAC，
∴∠PMD＝∠PNE，
在△PDM和△EPN中，
DM = PN
⎧∠PMD = ∠PNE，
⎨
MP = NE
⎩
∴△PDM≌△EPN（SAS），
∴DP＝EP；
(2【) 答案】 解：设∠PDM＝x，∠DPM＝y，
∵∠ABD＝∠ACE＝α，
∴∠ADM＝∠BAD＝∠AEN＝∠CAE＝90°﹣α，
∴∠ADP＝x+90°﹣α，∠AEP＝y+90°﹣α，
∵PM∥AC，PN∥AB，
143/163
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴∠MPN＝∠BAC，
在四边形ADPE中，（x+90°﹣α）+（x+∠MPN+y）+（y+90°﹣α）+2（90°﹣
α）+∠BAC＝360°，
解得x+y+∠BAC＝2α，
∴∠DPE＝y+∠BAC+x＝2α．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 中点模型
课堂落实答案
1 【答案】1＜AD＜5
【解析】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
AD = DE
⎧⎪∠ADC
= ∠EDB，
⎨
CD = BD
⎩⎪
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
144/163
2 【答案】B
3 【答案】8
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD中点，△ABD≌△CDB，
又∵E是CD中点，
∴OE是△BCD的中位线，
1
∴OE = BC，
2
1
即△DOE的周长= △BCD的周长，
2
1
∴△DOE的周长= △DAB的周长．
2
1
∴△DOE的周长= ×16 = 8cm．
2
故答案为：8．
4 【答案】1.5
【解析】∵AD平分∠BAC ，
∴∠GAF = ∠CAF ，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG = ∠AFC ，
∠GAF = ∠CAF
⎧
在△AGF和△ACF中， ⎪AF = AF ，
⎨
∠AFG = ∠AFC
⎩⎪
∴△AGF≌△ACF （ ASA ），
∴AG = AC = 6 ， GF = CF ，
则BG = AB −AG = 10 −7 = 3．
又∵BE = CE ，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF = 1BG = 1.5．
2
故答案是： 1.5．
5 【答案】1.2km
【解析】∵M是公路AB的中点，
145/163
∴AM = BM，
∵AC⊥BC，
∴CM = AM = BM，
∵AM的长为1.2km，
∴M，C两点间的距离为1.2km．
故答案为：1.2km．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 中点模型
自我巩固答案
1 【答案】∵E是CD中点，∴DE=EC．
∵AD∥BC，∴∠2=∠F．
∠2 = ∠F
在△BCE和△MDE中
⎧⎪
∠4 = ∠3 ，
⎨
CE = DE
⎩⎪
∴△BCE≌△FDE(AAS)．
∴BE=EF．
2 【答案】证明：延长AE到点G，使AE = EG，连接DG，
易证△ACE≌△GDE，
146/163
∴∠EAC = ∠G，DG = AC
又∵DF = AC，
∴DG = DF，
∴∠G = ∠DFE，
又∵DF∥BA，
∴∠DFE = ∠BAE，
∴∠DFE = ∠BAE = ∠G = ∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
3 【答案】延长ED到G，使得DG = ED，易证△ AED ≅△ BGD，∴BG = AE = 6，
∠DBG = ∠A，
−−−−−−
∵∠A +∠ABC = 90∘ ，∴∠CBG = 90∘ ，∴FG = √62 +82 = 10，又FD垂直
平分EG，
∴EF = FG = 10
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】D
7 【答案】9
【解析】取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．
∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，
1 1 9
∴ME // AC，ME = AC，NE // BD，NE = BD = ，
2 2 2
∴∠EMN = ∠FQP，∠ENM = ∠FPQ．
又∵∠FPQ = ∠FQP，
∴∠EMN = ∠ENM．
9
∴ME = NE = ．
2
∴AC = 2ME = 9．
故答案为:9．
147/163
8 【答案】 如图，连接BE，
∵在△BCD中，DB＝BC，E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∵F是AB的中点，
∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，
1
∴EF＝ AB．
2
9 【答案】解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
1
∴DE=BE= AB，
2
∴DC=BE；
（2）∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=66°，则∠BCE=22°．
148/163
【解析】（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性
质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于
1
斜边的一半得到DE=BE= AB，即可得到DC=BE；
2
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得
到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的
度数．
10 【答案】 连接EM、MD，
∵BD，AE是钝角三角形ABC的两条高，
∴∠BEA＝90°，∠BDA＝90°，
∵M，N分别是AB，DE的中点，
1
∴DM＝EM＝ AB，
2
∴△DME是等腰三角形，
∵N是DE中点，
∴MN⊥DE．
能力强化 / 初二 / 春季
第 14 讲 中点模型
精选精练
149/163
1 【答案】倍长AD到M，连接BM；倍长AE到N，连接CN，
则△ADE≌△MDB，△AED≌△NEC，
∴AE = MB，AD = NC，
根据三角形的三边关系可得：
AB +AE > 2AD，AC +AD > 2AE，
∴AB +AC > AD+AE．
2 【答案】倍长AM到N，连接CN，则△MAB≌△MNC，
∴CN = AB = AE，∠NCB = ∠B
∴∠ACN = ∠ACB +∠BCN = ∠ACB +∠B = 180∘ −∠BAC
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠DAE = 180∘ −∠BAC = ∠ACN
∴△ADE≌△CAN，∴DE = AN = 2AM．
3
(1【) 答案】证明：延长DA至点M，使AM=DA，如图1所示：
∵N为DG的中点，
∴AN为△DMG的中位线，
1
∴AN= MG，
2
∵△ACD是等腰直角三角形，
150/163
∴AC=AD=AM，
∵△AFG是等腰直角三角形，
∴AF=AG，
∵∠CAD=90°，
∴∠CAM=90°，
即∠CAG+∠GAM=90°，
又∵∠CAG+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠GAM，
AC = AM
在△CAF和△MAG中， ⎧∠CAF = ∠GAM，
⎨
AF = AG
⎩
∴△CAF≌△MAG（SAS），
∴CF=MG，
1
∴AN= CF，
2
即2AN=CF；
【解析】延长DA至点M，使AM = DA，先证明AN为 △DMG的 中 位 线 ， 得 出
1
AN = MG，由△ACD与△AGF为等腰直角三角形，得出AC = AD = AM，
2
AF = AG，证出∠CAF = ∠GAM，由SAS证明△CAF≌ △MAG ， 得 出
1
CF = MG，得出AN = CF即可；
2
(2【) 答案】证明：延长FC交AN于点P，如图2所示：
∵△CAF≌△MAG，
∴∠CFA=∠MGA，
∵AN∥MG，
∴∠MGA=∠GAN，
∴∠CFA=∠GAN，
∵∠NAF+∠GAN=90°，
151/163
∴∠CFA+∠NAF=90°，
∴∠FPA=90°，
即AN⊥CF．
【解析】延长FC交AN于点P，由△CAF≌△MAG得出∠CFA = ∠MGA，由平行线得出
∠MGA = ∠GAN ， 得 出 ∠CFA = ∠GAN ， 证 出
∠CFA +∠NAF = 90∘ ，即可得出结论．
4 【答案】（1）∵BD⊥AF，
∴∠AFB = ∠MFB = 90∘ ，易证△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB = AB，∴AF = MF，
同理CN = AC，AG = NG，
∴FG是△AMN的中位线，
1
∴FG = MN，
2
1 1
∴FG = (MB +BC +CN) = (AB +BC +AC．)
2 2
1
（2）图2中，有FG = (AB +AC −BC)；
2
1
图3中，有FG = (AC +BC −AB)．
2
1
以图2为例，说明FG = (AB +AC −BC)：
2
如图，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF = ∠MBF，
∴∠BAF = ∠BMF，易证△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB = AB，AF = MF，
同理CN = AC，AG = NG，
1
∴FG = MN，
2
1 1
∴FG = (BM +CN −BC) = (AB +AC −BC．)
2 2
152/163
5
(1【) 答案】 如图2中，延长NP交BM的延长线于G．
∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BG∥CN，
∴∠PCN＝∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
∠PCN = ∠PBG
⎧∠CPN = ∠BPG，
⎨
PC = PB
⎩
∴△PNC≌△PGB，
∴PN＝PG，
∵∠NMG＝90°，
∴PM＝PN＝PG．
(2【) 答案】 如图3中，延长NP交BM于G．
153/163
∵BM⊥AM，CN⊥AM，
∴BM∥CN，
∴∠PCN＝∠PBG，
在△PNC和△PGB中，
∠PCN = ∠PBG
⎧PC = PB ，
⎨
∠CPN = ∠BPG
⎩
∴△PNC≌△PGB，
∴PN＝PG，
∵∠NMG＝90°，
∴PM＝PN＝PG．
(3【) 答案】 如图4中，延长NP交BM于G．
∵∠EAN+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠EAN＝∠ACM，
在△EAN和△ACM中，
∠ENA = ∠AMC = 90∘
⎧∠EAN = ∠ACM ，
⎨
AE = AC
⎩
∴△EAN≌△ACM，
154/163
∴EN＝AM，AN＝CM，
∵EN∥CG，
∴∠ENP＝∠CGP，
在△ENP和△CGP中，
∠ENP = ∠CGP
⎧∠EPN = ∠CPG，
⎨
EP = CP
⎩
∴△ENP≌△CGP，
∴EN＝CG＝AM，PN＝PG，
∵AN＝CM，
∴MG＝MN，
∴PM⊥PN．
6
(1【) 答案】过点M作MP⊥AB于点P，
∵∠ABD＝∠ACE＝90°．
∴MP∥CE∥BD．
∵M为DE的中点，
∴CP＝BP，
∴MP是BC的中垂线，
∴△BCM是等腰三角形，
∴MB＝MC；
(2【) 答案】MB＝MC成立．
取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是△ADE的中
位线，
1 1
∴四边形MFAG是平行四边形，MG＝ AD，MF＝ AE，
2 2
∴∠MFA＝∠AGM，
又∵∠DBA＝∠ACE＝90°，
1 1
∴Rt△ABD斜边中线BF＝ AD＝MG，CG＝ AE＝MF，
2 2
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∴∠BFA＝2∠BDA＝2∠CEA＝∠CGA，
∴∠BFM＝∠BFA﹣∠MFA＝∠CGA﹣∠AGM＝∠MGC，
155/163
∴△BFM≌△MGC，
∴MB＝MC．
能力强化 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】B
2 1 a
【解析】 x+ y， 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
3 2 5 +π
4 5b 1
， ， 分母中含有字母，因此是分式．
x−y 3a xy
故选：B．
2 【答案】C
3 【答案】C
【解析】A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、是整式的乘法，故D错误；
故选：C．
4 【答案】C
156/163
5 【答案】B
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】A
9 【答案】D
【解析】解：∵CE = 5，AC = 12，由勾股定理得：AE = 13．
∵AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，
∴BE = AE = 13．
10 【答案】B
11 【答案】x ≠ 1
12 【答案】x(x−3)(x+1)
【解析】x3 −2x2 −3x
= x(x2 −2x−3)
= x(x+1)(x−3)
3
13 【答案】
2
【解析】延长CM交AB于E，
∵
AM⊥CM，AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠AME = ∠AMC = 90∘ ，∠EAM = ∠CAM，
∵在ΔEAM和ΔCAM中
∠AME = ∠AMC
⎧⎪AM
= AM
⎨
∠EAM = ∠CAM
⎩⎪
∴
ΔEAM ≅ΔCAM(ASA)，
∴ CM = ME，AE = AC = 7，
∵
N是BC的中点，
1 1 1
∴ MN = BE = (AB −AE) = ×(10 −7) = 1.．5
2 2 2
故答案为：1.5．
14 【答案】a+1
a2 1
【解析】
原式= − = a+1．
a−1 a−1
15 【答案】2
157/163
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE = ∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE = ∠DAE，
∴∠BAE = ∠BEA，
∴BE = AB = 4cm，
∵BC = AD = 6cm，
∴EC = BC −BE = 2cm，
故答案为：2．
16 【答案】2
3x−1 m
【解析】 ∵关于x的分式方程 + = 1有增根，
x−1 1 −x
∴x−1 = 0，
解得：x=1，
3x−1 m
方程 + = 1去分母得：3x−1 −m = x−1①，
x−1 1 −x
把x = 1代入方程①得：3 −1 −m = 1 −1，
解得：m = 2，
故答案为：2．
17 【答案】60∘
【解析】∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠EDF = 120∘ ，
∴∠B = 360∘ −90∘ −90∘ −120∘ = 60∘ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC = ∠B = 60∘ ；
故答案为：60∘
．
–
18 【答案】√3
【解析】解：如下图所示：
连接BE，
则BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是一个边长为2的正三角形，AD为它的中线，点E是边AC的中点，
∴CE=1cm，
−−−−−−
–
∴BE=√22 − 12 =√3，
158/163
–
∴PE+PC的最小值是 √3．
–
故答案为：√3．
19 【答案】解：解不等式3(1 −x) > 2(1 −2x)得：x > −1，
1 +x 2x
解不等式 ≥ 得：x ≤ 3，
2 3
则不等式组的解集为−1 < x ≤ 3，
所以不等式组的整数解为0、1、2、3．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集．
20
(1【) 答案】解:原式= (a− b)2 − 1 = (a− b− 1)(a− b+ 1)
(2【) 答案】方程的两边同时乘以x2 − 4得,
(x− 2)2 = (x+ 2)2 + 16,解得x = −2,
经检验x = −2是原分式方程的增根,故原分式方程无解
m− 1 m2 − 1− m+ 1
(3【) 答案】
原式= ÷
m+ 1 m+ 1
m− 1 m(m− 1)
= ÷
m+ 1 m+ 1
m− 1 m+ 1
= ⋅
m+ 1 m(m− 1)
1
= ,
m
–
– √3
当m = √3时,原式= .
3
21 【答案】解：（1）如图所示：
BD即为所求；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°36°）÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
159/163
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴BD=BC，
∴△DBC是等腰三角形．
【解析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这
两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；
（2）由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出
∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．
22 【答案】解：（1）∵ABCD是菱形，
∴ BC // AD，BC = AD．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴CE = AF，CE // AF
∴四边形AECF是平行四边形
∵AB = AC
∴△ ABC是等边三角形
∴AE⊥BC
∴四边形AECF是矩形
（2）∵△ ABC是等边三角形，AB = 8
–
∴BC = 8，AE = 4√3
– –
∴菱形的面积S = 8 ×4√3 = 32√3.
23 【答案】解：设汽车原来的平均速度是xkm/h，
根据题意得：
420 420
− = 2，
x (1 +50%)x
解得x = 70
经检验：x = 70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
【解析】设汽车原来的平均速度是xkm/h，
420 420
根据题意得： − = 2，
x (1 +50%)x
解得：x = 70
160/163
经检验：x = 70是原方程的解．
答：汽车原来的平均速度70km/h．
24 【答案】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
1 1
∴FH∥BM，FH = AB，EH∥CN，EH = CD
2 2
∴∠BME = ∠HFE，∠CNE = ∠HEF，
∵AB = CD，
∴FH = EH，
∴∠HFE = ∠HEF，
∴∠BME = ∠CNE．
25 【答案】证明：解：（1） 逆时针旋转 得到 ，
，
、 、 三点共线，
， ．
，
， ，
，
．
（2）设 ，
，且 ， ，
，
．
在 中，由勾股定理得 ．
即 ，
解得： ，即 ．
．
161/163
解：（1）∵ ΔDAE逆时针旋转90∘ 得到ΔDCM，
∴ ∠FCM = ∠FCD+∠DCM = 180∘ ，
∴
F、C、M三点共线，
∴ DE = DM，∠EDM = 90∘ ．
∴ ∠EDF +∠FDM = 90∘ ，
∵ ∠EDF = 45∘ ，∴ ∠FDM = ∠EDF = 45∘ ，
∴
ΔDEF ≅ΔDMF(SAS)，
∴ EF = MF．
（2）设EF = MF = x，
∵ AE = CM = 2，且BC = 6，∴ BM = BC +CM = 6 +2 = 8，
∴ BF = BM −MF = BM −EF = 8 −x，
∵ EB = AB −AE = 6 −2 = 4．
在RtΔEBF中，由勾股定理得EB2 +BF2 = EF2 ．
即42 +(8 −x) 2 = x2 ，
∴解得：x = 5，即FM = 5．
∴ FC = FM −CM = 5 −2 = 3．
26 【答案】 把BP绕点B旋转60°到BE，连结PE，CE，
易证△ABP≌△CBE（SAS），∴∠APB = ∠CEB，
∴AP = CE，
∵PA = 3，PB = 4，PC = 5，
∴PE = 4，CE = 3，∴PE2 +CE2 = CP2 ，
∴∠PEC = 90∘ ，
∵∠PEB = 60∘ ，∴∠BEC = ∠APB = 150∘ ．
27 【答案】解：（1）由题意可得CD = CD′ = 2，
在RtΔCED′ 中，CD′ = 2，CE = 1，
∴∠CD′E = 30∘
∵CD // EF
162/163
∴α = 30∘
（2）∵G为BC中点
∴CG = CE = 1
由题意得∠D′CE′ = ∠DCG = 90∘ ，CE = CE′ = CG
∴∠GCD′ = ∠DCE′ = 90∘ +α
在ΔGCD′ 和ΔE′CD中
CD′ = CD
⎧∠GCD′ = ∠DCE′
⎨ CG = CE′
⎩
∴△ΔGCD′ ≅ΔE′CD(SAS)
∴GD′ = E′D
（3）能，135∘ 或315∘
163/163
