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能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
例题练习题答案
例1 【答案】（1）是；（2）否；（3）是；（4）否；（5）否
练1.1 【答案】A
例2 【答案】3x2 −8x−10 = 0，二次项系数3、一次项系数−8，常数项−10
练2.1 【答案】D
例3 【答案】解：∵关于x的方程(a−3)x|a−1| +(a+1)x−3 = 0是一元二次方程
∴a−3 ≠ 0，|a−1| = 2
∴a = −1
练3.1 【答案】C
例4 【答案】解：（1）∵x2 = 12
– –
∴x
1
= 2√3，x
2
= −2√3
1
（2）∵ x2 = 5
3
∴x2 = 15
−− −−
∴x
1
= √15，x
2
= −√15
2
1
（3）∵ x+ = 4
( 2)
1 1
∴x+ = 2或x+ = −2
2 2
3 5
∴x
1
= ，x
2
= −
2 2
2
1
（4）∵ x+3 = 16
(2 )
1 1
∴ x+3 = 4或 x+3 = −4
2 2
∴x
1
= 2，x
2
= −14
练4.1 【答案】解：（1）∵x2 = 25
∴x
1
= 5，x
2
= −5
（2）∵4x2 = 9
9
∴x2 =
4
3 3
∴x
1
= ，x
2
= −
2 2
2
（3）∵(x−1) = 3
1/80
– –
∴x−1 = √3或x−1 = −√3
– –
∴x
1
= 1+√3，x
2
= 1−√3
2
（4）∵(2x+3) = 49
∴2x+3 = 7或2x+3 = −7
∴x
1
= 2，x
2
= −5
例5
(1【) 答案】C
(2【) 答案】D
(3【) 答案】①∵x2 +2x = 0
∴x2 +2x+1 = 1即(x+1) 2 = 1
∴x+1 = 1或x+1 = −1
∴x
1
= 0,x
2
= −2
②∵x2 −4x−1 = 0
∴x2 −4x+4−1 = 4
2
∴(x−2) = 5
– –
∴x−2 = √5或x−2 = −√5
– –
∴x
1
= 2+√5,x
2
= 2−√5
1
③∵ x2 +2x−5 = 0
3
1
∴ (x2 +6x+9) −5−3 = 0
3
1
2
∴ (x+3) = 8
3
– –
∴x+3 = 2√6或x+3 = −2√6
– –
∴x
1
= −3+2√6,x
2
= −3−2√6
④∵3x2 −6x−15 = 0
∴3(x2 −2x+1) −15−3 = 0
2
∴3(x−1) = 18
– –
∴x−1 = √6或x−1 = −√6
– –
∴x
1
= 1+√6,x
2
= 1−√6
练5.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】解：①∵4x2 −8x+1 = 0
2/80
∴4(x2 −2x+1) +1−4 = 0
2
∴4(x−1) = 3
– –
√3 √3
∴x−1 = 或x−1 = −
2 2
– –
2+√3 2−√3
∴x
1
= ,x
2
=
2 2
1
②∵ x2 −3x+4 = 0
2
1 9
∴ (x2 −6x+9) +4− = 0
2 2
1 1
2
∴ (x−3) =
2 2
∴x−3 = −1或x−3 = 1
∴x
1
= 2,x
2
= 4
例6
(1【) 答案】解：m2 +m+1
1 3
= m2 +m+ +
4 4
2
1 3
= m+ +
( 2) 4
3
≥
4
3
∴代数式m2 +m+1的最小值为
4
(2【) 答案】解：4−x2 +2x
= 4−(x2 −2x)
= 4−(x2 −2x+1) +1
2
= 5−(x−1)
≤ 5
∴代数式4−x2 +2x的最大值为5
练6.1 【答案】证明：2x2 −6x+5
9 9
= 2 x2 −3x+ − +5
( 4) 2
2
3 1
= 2 x− +
( 2) 2
1
≥
2
所以不论x为何值，代数式2x2 −6x+5的值总大于0
能力强化 / 初三 / 暑假
3/80
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
【解析】 ，故选C．
3 【答案】B
【解析】一元二次方程有②③，共2个，
故选：B．
4 【答案】A
【解析】由题意得：|m| = 2且m+2 ≠ 0，
由解得得m = ±2且m ≠ −2，
∴m = 2．
故选：A．
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】B
8 【答案】D
9 【答案】B
1
10 【答案】解：方程整理得：x2 −2x = ，
2
3
配方得：x2 −2x+1 = ，
2
3
2
即(x−1) = ，
2
–
√6
开方得：x−1 = ± ，
2
– –
√6 √6
解得：x 1 = 1− ，x 2 = 1+ ．
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】B
4/80
【解析】∵(m+2)xm2
−4 +3x−1 = 0是关于x的一元二次方程，
∴m2 −4 = 2，m+2 ≠ 0，
–
解得：m = ±√6．
故选：B．
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
精选精练
1 【答案】B
2
【解析】−2(x−1) = x+3，
−2(x2 −2x+1) = x+3，
−2x2 +4x−2 = x+3，
−2x2 +4x−2−x−3 = 0，
−2x2 +3x−5 = 0，
2x2 −3x+5 = 0，
则b = −3，c = 5，
故选：B．
2 【答案】6
【解析】∵m是关于x的方程x2 −2x−3 = 0的一个根，
∴m2 −2m−3 = 0，
∴m2 −2m = 3，
∴2m2 −4m = 6，
故答案为：6．
3 【答案】A
【解析】A−B = 10a2 +2b2 −7a+6−a2 −2b2 −5a+1
= 9a2 −12a+7
4 2 2
= 9[a2 − a+(− )2]+7−9×(− )2
3 3 3
5/80
2
2
= 9 a− +3，
( 3)
2
2
∵9 a− ≥ 0，
( 3)
2
2
∴9 a− +3 > 0，即A−B > 0．
( 3)
∴A−B的值是正数．
故选：A．
4 【答案】B
−−−−−−−−−−−−
【解析】∵原式= √27−12a+2a2
−−−−−−−−−−−−−−−
= 2(a2 −6a+9) +9
√
−−−−−−−−−−−
2
= 2(a−3) +9
√
2
∴当(a−3) = 0，即a = 3时
−−−−−−−−−−−− –
代数式√27−12a+2a2 的值最小，为√9即3
故选：B．
5
(1【) 答案】−2；
2；
2；
小；
2．
(2【) 答案】x2 −1−(2x−3)
= x2 −2x+2；
2
= (x−1) +1 > 0，
则x2 −1 > 2x−3．
6 【答案】解：小聪正确．
∵a2 −4a+5
= (a2 −4a+4) +1
2
= (a−2) +1
2
又∵(a−2) ≥ 0
2
∴(a−2) +1 > 0
即该方程的二次项系数不为0
∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程
6/80
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】D
例2 【答案】解：（1）∵x2 −x−2 = 0，
∴a = 1，b = −1，c = −2，
2
∴Δ = (−1) −4×1×(−2) = 9，
–
1±√9
∴x = ，
2
∴x
1
= −1，x
2
= 2；
（2）∵2x2 −5x−1 = 0，
∴a = 2，b = −5，c = −1，
2
∴Δ = (−5) −4×2×(−1) = 33，
−−
5±√33
∴x = ，
4
−− −−
5+√33 5−√33
∴x 1 = ，x 2 = ；
4 4
（3）∵0.3y2 +y = 0.8，
∴a = 0.3，b = 1，c = −0.8，
∴Δ = 12 −4×0.3×(−0.8) = 1.96，
−−−−
−1±√1.96
∴y = ，
0.6
2
∴y = ，y = −4；
1 3 2
–
（4）∵x2 −3√2x+3 = 0，
–
∴a = 1，b = −3√2，c = 3，
– 2
∴Δ = (−3√2) −4×1×3 = 6，
– –
3√2±√6
∴x = ，
2
– – – –
3√2+√6 3√2−√6
∴x 1 = ，x 2 = ．
2 2
−− −−
5+√41 5−√41
练2.1 【答案】
（1）x
1
= ，x
2
=
2 2
−− −−
3+√21 3−√21
（2）x
1
= ，x
2
=
4 4
−− −−
（3）x
1
= −3+√11，x
2
= −3−√11
7/80
–
（4）x
1
= x
2
= √2
例3
(1【) 答案】D
(2【) 答案】解：①∵5x2 = 4x
∴5x2 −4x = 0
∴x(5x−4) = 0
∴x = 0或5x−4 = 0
4
∴x
1
= 0，x
2
=
5
②∵x2 −9 = 0
∴(x+3)(x−3) = 0
∴x−3 = 0或x+3 = 0
∴x
1
= 3，x
2
= −3
③∵x2 +2x+1 = 0
2
∴(x+1) = 0
∴x
1
= x
2
= −1
④∵x2 −x−2 = 0
∴(x−2)(x+1) = 0
∴x−2 = 0或x+1 = 0
∴x
1
= 2，x
2
= −1
⑤∵3x2 −x−4 = 0
∴(x+1)(3x−4) = 0
∴x+1 = 0或3x−4 = 0
4
∴x
1
= −1，x
2
=
3
2
⑥∵2(x+5) = x(x+5)
2
∴2(x+5) −x(x+5) = 0
∴[2(x+5)−x](x+5) = 0
∴x+5 = 0或x+10 = 0
∴x
1
= −5，x
2
= −10
练3.1
(1【) 答案】B
8/80
(2【) 答案】①x
1
= 0，x
2
= 4
1 1
②x 1 = ， x 2 = −
2 2
1
③x
1
= x
2
=
2
④x
1
= −1，x
2
= −3
⑤x
1
= 8，x
2
= −3
9
⑥x
1
= 1，x
2
= −
2
2
⑦x
1
= 1，x
2
=
3
例4
(1【) 答案】D
– –
(2【) 答案】x
1
= √3，x
2
= −√3
−− −−
②x
1
= 7+√57，x
2
= 7−√57
③x
1
= 9，x
2
= −2
④x
1
= 3，x
2
= 9
−− −−
−3+√17 −3−√17
⑤x
1
= ，x
2
=
4 4
– –
√3 −√3
练4.1 【答案】
（1）x
1
= ，x
2
=
2 2
−− −−
（2）x
1
= −3+√10，x
2
= −3−√10
−− −−
5+√13 5−√13
（3）x
1
= ，x
2
=
2 2
（4）x
1
= 6，x
2
= 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】C
【解析】该题考查的是一元二次方程根与判别式的关系．
2
A选项中Δ = (−2) −4 = 0，方程有两个相等的实根，所以A选项正确，
2
B选项中Δ = (2) −4×(−4) = 20 > 0，方程有两个不相等的实根，所以B选择不正
确．
9/80
2
C选项中Δ = (−2) −4×(−5) = 24 > 0，方程有两个不相等的实根，所以C选择不
正确．
2
D选项中Δ = (2) −4×4 = −12 < 0，方程无实根，所以D选择不正确．
所以，本题的正确答案是A．
3 【答案】C
4 【答案】D
5 【答案】B
6 【答案】B
7 【答案】D
8 【答案】C
9 【答案】解：（1）2(x−3)−3x(x−3) = 0，
(x−3)(2−3x) = 0，
x−3 = 0或2−3x = 0，
2
所以x 1 = 3，x 2 = ；
3
（2）x2 −2x = 2，
x2 −2x+1 = 3，
2
(x−1) = 3，
–
x−1 = ±√3，
– –
所以x
1
= 1+√3，x
2
= 1−√3．
【解析】①先移项得到2(x−3)−3x(x−3) = 0，然后利用因式分解法解方程；
②利用配方法解方程．
– –
1+√5 1−√5
10 【答案】
（1）x
1
= x
2
= −5（2）x
1
= ，x
2
=
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】D
10/80
5 【答案】解：（1）x2 +3x+1 = 0
∵a = 1，b = 3，c = 1，
∴Δ = b2 −4ac = 32 −4×1×1 = 5 > 0，
– –
−3±√5 −3±√5
∴x = = ，
2×1 2
– –
−3+√5 −3−√5
∴x 1 = ，x 2 = ；
2 2
2
（2）(x−2) = 3x−6
2
∴(x−2) = 3(x−2)
2
∴(x−2) −3(x−2) = 0
∴(x−2)(x−2−3) = 0
∴x−2 = 0或x−5 = 0，
∴x
1
= 2，x
2
= 5．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1
(1【) 答案】解：∵2x2 −7x+1 = 0，
∴Δ = b2 −4ac = (−7) 2 −4×2×1 = 41，
−−
7±√41
∴x = ，
4
−− −−
7+√41 7−√41
∴x 1 = ，x 2 = ；
4 4
【解析】求出b2 −4ac的值，再代入公式求出即可；
(2【) 答案】∵x(x−3)+x−3 = 0．
∴x(x−3)+x−3 = 0，
∴(x−3)(x+1) = 0，
∴x−3 = 0，x+1 = 0，
∴x
1
= 3，x
2
= −1．
【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
2
11/80
(1【) 答案】解：∵x2 −2x = 0；
∴x(x−2) = 0，
∴x = 0或x−2 = 0，
∴x
1
= 0，x
2
= 2；
【解析】利用因式分解法求解即可；
(2【) 答案】方法一：
∵x2 −6x−1 = 0
∴x2 −6x+9 = 10
2
∴(x−3) = 10
−− −−
∴x−3 = √10或x−3 = −√10
−− −−
∴x
1
= 3+√10，x
2
= 3−√10．
方法二：
∵x2 −6x−1 = 0
∴a = 1，b = −6，c = −1，
2
∴Δ = (−6) −4×1×(−1) = 40，
−−
6±√40 −−
∴x = = 3±√10，
2
−− −−
∴x
1
= 3+√10，x
2
= 3−√10．
3
(1【) 答案】解：∵x2 −10x+9 = 0
∴(x−9)(x−1) = 0
∴x−9 = 0或x−1 = 0
∴x
1
= 9，x
2
= 1
【解析】根据因式分解法，可得答案；
(2【) 答案】∵x2 −3x−1 = 0
∴a = 1，b = −3，c = −1，
∴Δ = b2 −4ac = 9−4×1×(−1) = 13 > 0，
−−
3±√13
∴x = ，
2
−− −−
3+√13 3−√13
∴x 1 = ，x 2 = ．
2 2
【解析】根据公式法，可得答案．
4
12/80
(1【) 答案】∵x(2x−5) = 4x−10
∴x(2x−5)−2(2x−5) = 0
∴(2x−5)(x−2) = 0
∴2x−5 = 0或x−2 = 0
5
∴x
1
= ，x
2
= 2
2
【解析】用因式分解法求解即可；
(2【) 答案】∵2x2 +5x+1 = 0
∴a = 2，b = 5，c = 1
∴Δ = 52 −4×2×1 = 17
−− −−
−5±√17 −5±√17
∴x = =
2×2 4
−− −−
−5+√17 −5−√17
∴x
1
= ，x
2
=
4 4
【解析】用公式法求解即可；
(3【) 答案】∵x2 +5x+7 = 3x+6
∴x2 +2x+1 = 0
2
∴(x+1) = 0
∴x
1
= x
2
= −1
【解析】用因式分解法求解即可．
5
5 【答案】（1）x = ± ；
4
–
（2）x = ±2√2−1 ．
6 【答案】解：∵2x2 +12x+10 = 0
∴x2 +6x+5 = 0
2
∴(x+3) = 4
∴x
1
= −1,x
2
= −5
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
例题练习题答案
例1
13/80
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
(3【) 答案】证明：∵x2 +ax+a−1 = 0是一元二次方程
∴Δ = a2 −4(a−1) = (a−2) 2 ≥ 0，
∴关于x的一元二次方程x2 +ax+a−1 = 0总有实数根．
练1.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C
(3【) 答案】C
例2
(1【) 答案】解：∵x2 +x+a = 0是关于x的方程
∴Δ = 12 −4a
如果方程有两个不等的实数根
则Δ = 12 −4a > 0
1
∴a <
4
②如果方程有两个相等的实数根
则Δ = 12 −4a = 0
1
∴a =
4
③如果方程没有实数根
则Δ = 12 −4a < 0
1
∴a >
4
(2【) 答案】解：∵关于x的方程mx2 +(m−2)x+2 = m有两个相等的实数根
∴m ≠ 0，且Δ = 0
2
又Δ = (m−2) −4⋅m⋅(2−m)
= 5m2 −12m+4
∴5m2 −12m+4 = 0
2
∴m = 2或m =
5
又∵m是整数
∴m = 2
14/80
练2.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
例3 【答案】D
练3.1 【答案】B
例4 【答案】D
练4.1 【答案】C
例5 【答案】4
3
【解析】解：∵x 、x 是方程x2 4x+m=0的两个根，
1 2
b c
∴x +x = =4，x x = =m．
1 2 1 2
a a
∵x +x x x =4m=1，
1 2 1 2
∴m=3．
故答案为：4；3．
7
练5.1 【答案】
2
2
例6
26
(1【) 答案】−
3
18
(2【) 答案】10
(3【) 答案】14
练6.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C
(3【) 答案】C
能力强化 / 初三 / 暑假
15/80
第 3 讲 判别式与韦达定理
自我巩固答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】C
【解析】 ，故选C
7 【答案】D
【解析】 ， ，故选D
8 【答案】D
【解析】 ， ，故选D
9 【答案】A
10 【答案】m = 3
【解析】 ，
整理为 ，解得
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程x2 +2x−3 = 0的二次项系数a = 1，一次项系数b = 2，常数项
c = −3，
∴△= b2 −4ac = 4+12 = 16 > 0，
∴一元二次方程x2 −2x+2 = 0有两个不相等的实数根；
故选：A．
2 【答案】D
3 【答案】B
16/80
4 【答案】D
5 【答案】2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
精选精练
1 【答案】证明：∵x2 −(m−3)x−m = 0
2
∴Δ = [−(m−3)] −4×1×(−m)
= m2 −6m+9+4m
= m2 −2m+9
2
= (m−1) +8
> 0
∴方程有两个不相等的实数根
2
(1【) 答案】解：将x = 1代入原方程，得：1+a+a−2 = 0，
1
解得：a = ．
2
【解析】代入x = 1可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
(2【) 答案】证明：Δ = a2 −4(a−2) = (a−2) 2 +4．
2
∵(a−2) ≥ 0，
2
∴(a−2) +4 > 0，即Δ > 0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
3
(1【) 答案】根据题意得k ≠ 0且Δ = 36+16k ≥ 0，
9
解得k ≥ − 且k ≠ 0．
4
9
即当k ≥ − 且k ≠ 0时，原方程有解；
4
(2【) 答案】根据题意得k ≠ 0且Δ = 36+16k < 0，
9
解得k < − ，
4
9
即当k < − 时，原方程无解．
4
4
17/80
3
(1【) 答案】当k = 0时，x = ，满足题意，
2
当k ≠ 0时，由题意得：Δ = 36−36k ≥ 0且k ≠ 0，
解得：k ≤ 1且k ≠ 0；
综上k的取值范围是k ≤ 1；
(2【) 答案】由题意得：Δ = 36−36k = 0
解得：k = 1
∴原方程化为：x2 −6x+9 = 0
解得：x
1
= x
2
= 3
【解析】只要让根的判别式△=b 2 ﹣4ac=0，求得k的值，进而求得方程的解即可．
5 【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2 +(2k−1)x+k2 +1 = 0有实数根x 1、x 2，
∴x
1
+x
2
= −(2k−1)，x
1
x
2
= k2 +1，
∵x
1
2 +x
2
2 = (x
1
+x
2
) 2 −2x
1
x
2
= 17，
∴[−(2k−1)] 2 −2(k2 +1) = 17，
−− −−
解得：k
1
= 1+√10，k
2
= 1−√10，
又∵方程x2 +(2k−1)x+k2 +1 = 0有两个实数根，
∴Δ = (2k−1) 2 −4(k2 +1) ≥ 0，
3
∴k ≤ −
4
−−
∴k
1
= 1+√10不合题意，舍去；
−−
故符合条件的k的值为1−√10．
【解析】依据根与系数关系，表示出两根的和与两根的积，依据
x 1 2 +x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 −2x 1 x 2，即可得到关于k的方程，即可求得k的值．
6
(1【) 答案】解：∵方程只有一个实根
1
∴1−2k = 0，即k =
2
1 1 1
∴原方程变形一元一次方程−2 +1 x− × = 0
(2 ) 2 2
1
解得：x = −
12
1
【解析】方程只有一个实根，则1−2k = 0，即k = ，于是原方程变形一元一次方程
2
1 1 1
﹣2 +1 x− × = 0，然后解此方程即可；
(2 ) 2 2
(2【) 答案】∵方程有两个不相等的实根
1
∴1−2k ≠ 0，即k ≠ 且Δ > 0
2
18/80
1
2
∴4(k+1) −4(1−2k)× − k > 0
( 2 )
2
∴k > −
5
−2(k+1)
−1k
2
∵x
1
+x
2
= − ，x
1
⋅x
2
=
1−2k 1−2k
1 1 x +x
1 2
而 + = −6，即 = −6
x x x x
1 2 1 2
2(k+1)
∴ = −6，解得k = 2
−1k
2
∴k的值为2
2
【解析】由于方程有两个不相等的实根，Δ > 0，得到k＞− ，然后根据根与系数的关系
5
−2(k+1)
−1k
1 1
2
得到x 1 +x 2 = − ，x 1 ⋅x 2 = ，再有 + = −6变形为
1−2k 1−2k x x
1 2
x +x
1 2
= −6，即可得到关于k的方程，解方程即可．
x x
1 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 平行与比例
例题练习题答案
例1
a d
(1【) 答案】 =
c b
5
(2【) 答案】
3
1
(3【) 答案】
3
(4【) 答案】3
(5【) 答案】2或−1
练1.1 【答案】−13
6或−3
例2 【答案】A
练2.1 【答案】C
【解析】解：A、3×9 ≠ 5×7，故此选项不符合题意；
B、2×8 ≠ 5×6，故此选项不符合题意；
19/80
C、3×18 = 6×9，故此选项符合题意；
D、1×7 ≠ 3×4，故此选项不符合题意．
故选：C．
例3
(1【) 答案】4cm，16cm
(2【) 答案】12.4
练3.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】5
例4
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C
练4.1 【答案】B
【解析】由平行线分线段成比例可知
2 3
=
x 6
∴ x = 4
例5
2
(1【) 答案】
3
(2【) 答案】15
练5.1 【答案】A
例6 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ．
BD EC
AD BF
∵ = ，
BD FC
BF AE
∴ = ，
FC EC
∴EF∥AB，
CE EF 1
∴ = = ，
AC AB 3
AE 2
∴ = ．
AC 3
练6.1 【答案】∵DE∥BC，
20/80
AD AE
∴ = ．
BD EC
AD DE
∵ = ，
BD EF
AE DE
∴ = ，
EC EF
∴AD∥CF．
AE 2
∵ = ，
AC 3
AD AE
∴ = = 2．
FC EC
AE DE
【解析】 提示：由平行线分线段成比例定理和已知条件得出 = ，证出AB∥CF，再由平
AC EF
行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】D
【解析】 由 题 ：
a = k(b+c +d),b = k(a+c +d),c = k(a+b+d),d = k(a+b+c)
全部相加：a+b+c +d = 3k(a+b+c +d)
（1）若a+b+c +d = 0，则k = −1
1
（2）若a+b+c +d ≠ 0，则k =
3
1
∴k = −1或
3
4 【答案】A
【解析】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴ a : b = c : d，
bc
∴ d = ，
a
∵ a = 3cm，b = 4cm，c = 5cm，
bc 4×5 20
∴ x = = = cm．
a 3 3
20
∴线段a，b，c的第四比例项d是 cm．
3
21/80
故选：A．
5 【答案】A
【解析】方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20=20：x，解得x=12.36cm．
方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．
6 【答案】D
7 【答案】C
8 【答案】A
9 【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，
∴DO：BO=CD：AB，即3：5=4：AB，
20
∴AB= ．
3
故选：C．
AF AD
10 【答案】 ∵DF // BE，∴ = ，
FE DB
AF AE AE AD
又 = ，∴ = ，
FE CE CE DB
DE AE
∴DE // BC，∴ = ，
BC AC
AE 2 AE 2
∵ = ，∴ = ，
CE 3 AC 5
DE 2
∴ =
BC 5
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 平行与比例
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，
BD EC
5 3
即 = ，
10 EC
解得EC = 6．
22/80
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 平行与比例
精选精练
1 【答案】 3
a+4 b+3 c +8
2 【答案】 解：令 = = = k．
3 2 4
∴a+4 = 3k，b+3 = 2k，c +8 = 4k，
∴a = 3k−4，b = 2k−3，c = 4k−8．
又∵a+b+c = 12，
∴(3k−4)+(2k−3)+(4k−8) = 12，
∴k = 3．
∴a = 5，b = 3，c = 4．
∴△ABC是直角三角形．
3 【答案】3 : 2
1
4 【答案】
4
5 【答案】解：（1）∵GF∥BC，
DF DG
∴ = ，
FC BG
DF 3
∵ BD = 20， =
FC 2
∴ BG = 8．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB = CD，
DM DG
∴ = ，
AB GB
DM 3
∴ = ，
AB 2
DM 3
∴ = ，
CD 2
CM 1
∴ = ．
CD 2
6 【答案】证明：∵AD∥BC，
AM AO
∴ = ，
NC CO
∵AD∥BC，
AO AD PD MD
∴ = = = ，
OC BC PC NC
23/80
AM MD
∴ = ，
NC NC
∴ AM = MD．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 相似三角形的性质与判定
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】③
(2【) 答案】②
练1.1 【答案】B
例2 【答案】α = 80∘ ；
β = 72∘ ；
x = 12．
练2.1 【答案】24
28
83∘
【解析】由相似四边形对应边成比例可得：
4 6 7
= =
16 x y
∴ x = 24,y = 28
由相似四边形对应角相等可得：
∠α = 360∘ −57∘ −147∘ −73∘ = 83∘
例3
(1【) 答案】C
(2【) 答案】证明：∵∠A = 36∘ ，AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 72∘ ，
又∵BD是∠ABC的角平分线，
1
∴∠CBD = ∠ABC = 36∘ = ∠A，
2
又∵∠C = ∠C，
24/80
∴△BDC∽△ABC．
练3.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】证明：∵∠ACD = ∠B，∠A = ∠A，
∴△ADC∽△ACB．
AD 1
例4 【答案】 证明：∵ = ，
AC 3
AE = EB，
AB = AC = BC，
AE AD 1
∴ = = ．
BC CD 2
又∵∠A = ∠C = 60∘ ，
∴△AED∽△CBD．
练4.1 【答案】证明：∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠ABD = ∠ACE，
又AB2 = BD⋅CE，
AB CE CE
∴ = = ，
BD AB AC
∴△ABD∽△ECA．
例5
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
(3【) 答案】A
(4【) 答案】1 : 4
–
(5【) 答案】√2
练5.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
(3【) 答案】B
25/80
(4【) 答案】 3 : 5
(5【) 答案】 3
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 相似三角形的性质与判定
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】∵四边形EFDC与四边形BEFA相似
AB CE
∴ =
BE EF
3 CE
∴ =
2 3
∴ CE = 4.5
2 【答案】25
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】两边比例相等且夹角相等，故选C．
6 【答案】B
7 【答案】C
8 【答案】D
9 【答案】B
10 【答案】解：依题意，
AE AD
得 = ，
AB AC
AE 3
即 = ，
9 6
9
解得AE = ．
2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 相似三角形的性质与判定
26/80
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】由两个四边形相似，根据相似多边形对应角相等和四边形内角和为360∘ 可求得∠α = 87∘
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】C
【解析】解：∵∠A = 110∘ ，∠C = 28∘ ，
∴∠B = 42∘ ，
∵△ ABC ∽△ DEF，
∴∠B = ∠E．
∴∠E = 42∘ ．
5 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 相似三角形的性质与判定
精选精练
1 【答案】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，
且相似比为1 : 2，
AB AE 1
∴ = = ，
DE DC 2
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD = AB = 4，
4 AE 1
∴ = = ，
DE 4 2
∴DE = 8，AE = 2，
∴AD = AE +DE = 2+8 = 10．
2 【答案】C
3 【答案】B
【解析】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，
当6和8是直角边时，斜边为10，直角三角形的三边为6，8，10
– –
当8为斜边时，两条直角边为2√7和6，此直角三角形的三边为2√7，6，8，
∵另一个直角三角形的边长分别是3和4及x，
27/80
当3和为4直角边时，斜边x=5，直角三角形的三边为3，4，5，
3 4 5
∴ = = ，满足这两个直角三角形相似的条件；
6 8 10
–
当3和x为直角边时，4便是斜边，则：根据勾股定理得，x=√7，
–
∴此直角三角形的三边为√7，3，4，
–
√7 3 4
∴ = = ，
–
2√7 6 8
–
∴x=5或√7．
∴x的值可以有2个．
故选：B．
4 【答案】（1）证明：在△ADC与△ACB中，
∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴AC : AB = AD : AC，
∴AC2 = AB⋅AD，
∵AD=3，AB=7，
∴AC2
=7×3=21，
−−
∴AC=√21．
5 【答案】B
6 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
例题练习题答案
例1 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A = D = 90∘ ．
∵CE⊥EF ，
∴∠AEF +∠DEC = 90∘ ．
又∵∠F +∠AEF = 90∘ ，
∴∠F = ∠DEC．
28/80
∴△ AEF ∼△ DCE．
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC = AB = 4．∵AE = 6，AD = 14，
∴DE = AD−AE = 8．
∵△ AEF ∼△ DCE，
AF AE AF 6 3
∴ = ，即 = = ，
DE DC 8 4 2
∴AF = 12．
例2 【答案】 证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
1
∴DE = CE = AE = AC，
2
∴∠EDA = ∠A．
∵∠EDA = ∠FDB，
∴∠A = ∠FDB．
∵∠ACB = ∠CDB = 90∘ ，
∴∠A = ∠FCD，
∴∠FDB = ∠FCD．
∵△FDB∽△FCD，
FB DB
∴ = ．
FD DC
练2.1 【答案】 (1)∵∠DBC = ∠A，∠C = ∠C，∴△BCD∽△ACB．
–
CD CB CD √6
（2）∵△CBD∽△CAB，∴ = ，即 – =
CB CA √6 3
∴CD = 2．
例3
(1【) 答案】 证明：∵∠ADB = ∠ACB，
∴∠DAC = ∠DBC．
∵∠E = ∠E，
∴△ACE∽△BDE；
(2【) 答案】 ∵△ACE∽△BDE，
AE CE
∴ = ，
BE DE
AE BE
∴ = ．
CE DE
∵∠E = ∠E，
∴△ABE∽△CDE，
29/80
AB BE
∴ = ，
CD DE
∴BE ⋅DC = AB⋅DE．
练3.1
(1【) 答案】解：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE = ∠AGC = 90∘ ，
∵∠EAF = ∠GAC，
∴∠AED = ∠ACB，
∵∠EAD = ∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
(2【) 答案】由（1）可知：△ADE∽△ABC，
AD AF 3
由相似三角形的性质可知 = = ．
AB AG 5
例4
18
(1【) 答案】
5
(2【) 答案】360 cm2
练4.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】B
例5
(1【) 答案】1 : 9
(2【) 答案】4
练5.1
(1【) 答案】2：3
(2【) 答案】D
例6
(1【) 答案】A
(2【) 答案】①如图，四边形OA′B′C′ 为所求．
30/80
②由图可知，A′ (−2,2)，B′ (−4,−2)，C′ (−2,−2)．
练6.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】 如图所示，△A 1 B 1 C 1即为所求；
a b
由作图知，△ABC内一点M (a,b)的对应点的坐标为 , ．
(2 2)
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
自我巩固答案
1 【答案】A
–
【解析】根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′ ，且相似比为：√2 : 1，
2 –
∴△A′B′C′ 的第三边长应该是 – = √2．
√2
故选：A．
2 【答案】A
31/80
AD AE 1
【解析】 ∵ = = ，∠A = ∠A，
AC AB 2
∴△ADE∽△ACB，
∴S
ΔADE
: S
ΔABC
= 1 : 4．
故选：A．
3 【答案】A
【解析】∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线；
∴DE∥BC，BC = 2DE；（故①正确）
∴△ADE∽△ABC；（故②正确）
AE AD AD AB
∴ = ，即 = ；（故③正确）
AC AB AE AC
因此本题的三个结论都正确，故选A．
4 【答案】B
5 【答案】C
【解析】设正方形的边长为xmm，
则AK = AD−x = 80−x，
∵EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
EH AK
∴ = ，
BC AD
x 80−x
即 = ，
120 80
解得x = 48mm，
故选：C．
6 【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD//BC ∴△ DEF ∽△ BCF ∴ DE：BC = EF：FC
∵点E是边AD的中点
1
∴ AE = DE = AD ∴ EF：FC = 1：2
2
∴ S △DEF ：S △BCF = 1 : 4
7 【答案】C
【解析】∵点E、F分别是OA、OB的中点
∴ EF//AB 又AB//CD
∴ EF//CD ∴△ OEF ∽△ ODC
32/80
EF OF 4 2
∴ = ∴ =
CD OC CD 3
∴ CD = 6
8 【答案】D
9 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
–
AC √2
（2） = ．
BC 2
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即：CD∥AE
CD DF
∴ = ，
AE AF
∵DF=AF
∴CD=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AE=AB，
∴BE=2AE，
∵△EAC∽△ECB，
AE CE AC
∴ = = ，
CE BE BC
–
1 CE √2
2 2
∴CE =AE•BE= BE ，即： = ，
2 BE 2
–
AC √2
∴ = ．
BC 2
10
33/80
(1【) 答案】
【解析】位似中心一定在对应点的连线上，那么做两对对应点连线，两直线的交点即为位似中
心；
(2【) 答案】AO : A′O = 6 : 12 = 1 : 2．
【解析】求出AO与A′O边之比即为△ABC与△A′B′C′
的位似比．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】∵四边形EFNM是正方形，
∴EF = MN，
EF 1
∴ = ，
AC 3
1
∴EF = AC，
3
CG 1
∵ = ，
AC 2
1
∴CG = AC，
2
1AC
EF 2
3
∴ = = ，
CG 1AC 3
2
易证：△DEF∽△HCG，
∴S
1
: S
2
= 4 : 9；
故选：D．
2 【答案】B
34/80
【解析】在菱形ABCD中，∠1 = ∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM = ∠AFN = 90∘ ，
∴△AFN∽△AEM，
AN NF
∴ = ，
AM ME
AN 2
即 = ，
AN +2 3
解得AN = 4．
故选：B．
3 【答案】证明：∵△PQR是等边三角形，
∴QR = PQ = PR，∠PQR = ∠PRQ = ∠QPR = 60∘ ，
∴∠AQP = ∠PRB = 120∘ ，
∴∠A+∠APQ = 60∘ ，
又∵∠APB = 120∘ ，
∴∠A+∠B = 60∘ ，
∴∠APQ = ∠B，
∴△AQP∽△PRB，
PQ AQ
∴ = ，QR = PQ = PR，
BR PR
∴QR2 = AQ ⋅RB．
【解析】利用等边三角形性质，进一步证得△AQP∽△PRB，再由三角形相似的性质解答即可．
4 【答案】D
5 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
精选精练
1 【答案】B
35/80
【解析】∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
根据勾股定理得：AB=5，
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE=90°，∠B=∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC : BD = AB : (BC +CE)，又BC=3，AC=4，AB=5，
∴3 : 2.5 = 5 : (3+CE)，
7
从而得到CE= ．
6
故选：B．
1
2 【答案】
7
3
【解析】如图，在AD上取点H，使AH = AD，连接BH交AC于O，
4
AG 1 1
则 = ，即AG = AO，
AO 3 3
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，
∴△AOH∽△COB，
AO AH 3
∴ = = ，
CO CB 4
4
∴CO = AO，
3
1AO
AG AG 1
3
∴ = = = ．
AC AO +CO AO + 4AO 7
3
1
故答案为： ．
7
3 【答案】A
【解析】∵△ABC是等边三角形
∴AB = BC = AC，∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60∘
1 1
∵BD = BC，CE = AC
3 3
∴BD = EC
∴△ABD≌△BCE
36/80
∴∠BAD = ∠CBE，
∵∠ABE +∠EBD = 60∘
∴∠ABE +∠CBE = 60∘
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE = 60∘
∴①是对的；
如图，从CD上截取CM = CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM = CM = EC
1
∵EC = CD
2
∴EM = CM = DM
∴∠CED = 90∘
∴DE⊥AC，
∴②是对的；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD : AD = DF : DB
∴BD2 = DF ⋅DA
∴CE2 = DF ⋅DA
∴③是对的；
在△AFE和△BAE中，∠BAE = ∠AFE = 60∘ ，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF ⋅BE = AE ⋅AC
∴④是正确的．
故选：A．
4 【答案】C
5 【答案】B
【解析】∵ AB//GH ∴△ CGH ∽△ CAB
GH CH GH CH
∴ = ∴ = ①
AB BC 2 BC
∵ GH //CD ∴△ BGH ∽△ BDC
37/80
GH BH GH BH
∴ = ∴ = ②
CD BC 3 BC
GH GH CH BH
①+②,得 + = + = 1
2 3 BC BC
解得GH=1.2
6
(1【) 答案】如图所示，△A 1 B 1 C 1即为所求．
(2【) 答案】点A 1的坐标为(0,4)、B 1的坐标为(−2,0)、C 1的坐标为(4,−2)．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
2 【答案】A
【解析】该题考查的是函数图象．
∵矩形长、宽均为定值，
∴矩形面积是个定值，设为S，
∵矩形被直线分成面积为x、y的两部分，
∴S = x+y，变形得y = S −x（S为常量），
∵面积x > 0，y > 0，
∴y与x之间函数关系式为y = S −x（S为常量，x > 0，y > 0），
∴函数图象为A．
故本题答案为A．
3 【答案】D
4 【答案】D
AD BC
【解析】根据AB∥CD∥EF得到： = ．
AF BE
38/80
5 【答案】D
6 【答案】D
7 【答案】B
8 【答案】B
【解析】∵ DE//BC
AD AE
∴ =
BD CE
2 3
∴ =
6−2 CE
即CE=6
9 【答案】D
10 【答案】B
11 【答案】直角
12 【答案】16
【解析】该题考查的是相似三角形问题．
相似三角形的面积比是相似比（边长比）的平方，本题中相似比为2 : 1，所以
S △ ABC
= 4 : 1，S △ ABC = 4S △ DEF = 16，所以△ABC的面积为16
S △ DEF
–
13 【答案】√2 : 1
【解析】设AE＝ED＝a，AB＝b，
∵每一个小长方形与原长方形相似，
b b
∴ = ，
a 2a
2 2
∴b ＝2a ，
∵a，b均为正数，
–
∴b = √2a，
AD 2a 2a –
∴ = = – = √2，
AB b √2a
–
∴原长方形的长与宽之比为√2 : 1．
14 【答案】a < 1
【解析】该题考查的是一元二次方程根与参数的关系．
2
当方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0，即Δ = (−2) −4a > 0，化简得a < 1．
1
15 【答案】
3
16 【答案】51
39/80
17 【答案】（1）x
1
= 1,x
2
= −5; （2）x
1
= 3,x
2
= 1.
– –
18 【答案】（1）x
1
= −1,x
2
= 2；（2）x
1
= √5+2,x
2
= −√5+2．
– –
√6 √6
19 【答案】
（1）x
1
= −6,x
2
= 1；（2）x
1
= +1,x
2
= − +1．
2 2
2
20 【答案】（1）x 1 = 1;x 2 = ；
3
（2）x
1
= 10,x
2
= −12．
21
(1【) 答案】∵关于x的方程x2 −2(m+1)x+m2 +2 = 0总有两个实数根，
∴△= [−2(m+1)] 2 −4(m2 +2) = 8m−4 ≥ 0，
1
解得：m ≥ ．
2
(2【) 答案】∵x 1、x 2为方程x2 −2(m+1)x+m2 +2 = 0的两个根，
∴x
1
+x
2
= 2(m+1)，x
1
x
2
= m2 +2．
∵(x
1
+1)(x
2
+1) = 8，
∴x
1
x
2
+(x
1
+x
2
)+1 = 8，
∴m2 +2+2(m+1)+1 = 8，
整理，得：m2 +2m−3 = 0，即(m+3)(m−1) = 0，
解得：m
1
= −3（不合题意，舍去），m
2
= 1，
∴m的值为1．
22 【答案】解：设AB = xm，则BC = (50−2x)m．
根据题意可得，x(50−2x) = 300，
解得： x 1 = 10，x 2 = 15，
当x
1
= 10，BC = 50−10−10 = 30m > 25m，
故x
1
= 10，不合题意，舍去；
当x
2
= 15，BC = 50−15−15 = 20m < 25m，符合题意．
答：AB的长为15米．
23 【答案】解：x2 −9x+20 = 0，
解得x
1
= 4，x
2
= 5，
∵等腰三角形底边长为8，
∴当x = 4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，
∴等腰三角形腰长为5．
【解析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x = 4时，4，4，8的三条线段不能组成
三角形，确定等腰三角形腰长为5．
40/80
24 【答案】如图，BD和AC的交点为E
由题得∠ECB+∠EBC = 90∘ = ∠EBA+∠EBC
∴∠ECB = ∠EBA，∴△CBA∽△BAD
−−−−−−−−−
AC BC BA BC BA −−
∴ = = = ⋅ = √k
BD BA AD √BA AD
1
25 【答案】（1）PC = PD，∠PDC= ∠AOB．
2
（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图．
∵OP平分∠AOB，
∴PE = PF．
在四边形EOFP中，
∵∠AOB = 60∘ ，∠PEO = ∠PFO = 90∘ ，
∴∠EPF = 120∘ ，即∠EPC +∠CPF = 120∘ ．
又∠CPD = 120∘ ，即∠DPF +∠CPF = 120∘ ．
∴∠EPC = ∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC = PD，
180∘ −∠CPD
∴∠PDC = = 30∘ ．
2
∵∠AOB = 60∘ ，
1
∴∠PDC = ∠AOB ．
2
1
（3）①成立，PC = PD，∠PDC = ∠AOB；
2
1
②∵∠PDC = ∠AOB ，
2
1
∠POD = ∠AOB，
2
41/80
∴∠PDC = ∠POD．
又∠DPG = ∠DPO，
∴△PGD∽PDO．
PD PO
∴ = ．
PG PD
PD
又 = 2，
PG
PD 1
∴ = ．
PO 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】③；k = 1．
(2【) 答案】−1
(3【) 答案】解：∵由题意得：xy = 1200，
1200
∴y = ，
x
∴y是x的反比例函数．
练1.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】m = 2
300
(3【) 答案】反，y =
x
例2
42/80
(1【) 答案】如图．
(2【) 答案】B
练2.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
例3
(1【) 答案】B
(2【) 答案】C
(3【) 答案】>
练3.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】m < −2
(3【) 答案】>
1
例4 【答案】y = −
2x
练4.1 【答案】C
例5
(1【) 答案】解：作图如下，根据反比例函数的几何意义，
S = 4．
矩形ABOC
43/80
(2【) 答案】1
练5.1
3
(1【) 答案】y = − （x＜0）
x
(2【) 答案】D
(3【) 答案】由反比例的几何意义，S
ΔOAM
= 3；
因为A、B关于坐标原点中心对称，
S
ΔABM
= 2S
ΔAOM
= 6．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】B
3 【答案】D
【解析】解：A、根据题意，得S=a 2 ，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选
项错误；B、根据题意，得l=4a，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；
故本选项错误；C、根据题意，得S=20a，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函
40
数关系；故本选项错误；D、根据题意，得b= ，所以正方形的面积S与边长a的关系是
a
反比例函数关系．
44/80
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】D
3
【解析】∵y = − ，
x
∴xy＝-3，
A、∵1×3＝3≠-3，
3
∴点（1，3）不在反比例函数y = − 图象上，故本选项错误；
x
B、∵3×1＝3≠-3，
3
∴点（3，1）不在反比例函数y = − 图象上，故本选项错误；
x
3
C、∵2× ＝3≠-3，
2
3 3
∴点（2， ）不在反比例函数y = − 图象上，故本选项错误；
2 x
3
D、∵− ×2＝-3，
2
3 3
∴点（− ，2）在反比例函数y = − 图象上，故本选项正确．
2 x
8 【答案】C
9 【答案】C
10 【答案】解：设点A的坐标为(x,y)，则点B坐标为(−x,−y)，
所以AC = 2y，BC = 2x，
所以Rt △ ACB的面积为
1 1
AC ⋅BC = ×2x×2y = 2xy = 2|k|= 24．
2 2
【解析】该题考查的是反比例函数的应用．
12
将点A(2,y)代入反比例函数解析式y =
x
得A(2,6)，
由题意可知，点B与点A关于原点对称，B(−2,−6)
得C (2,−6)
1 1
S = ×BC ×AC = ×4×12 = 24
ΔABC
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
45/80
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】C
k k
5 【答案】解：由图象可知，k > 0，则S △AOB =
2
，∴
2
= 2，∴k = 4，∴反比例函数的解析式
4 4
是y = ，将A(4,m)代入y = ，可得m = 1．
x x
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
精选精练
1 【答案】D
【解析】解：由题意得：m（m3）≠0，
解得：m≠0且m≠3，
故选：D．
2 【答案】C
3 【答案】－2
4 【答案】解：y = (2m−3)x|m|−5 是反比例函数，
|m|−5 = −1，m = ±4，
2m−3 = 5，2m−3 = −11，
图象分布在第一、第三象限，
5
2m−3 = 5，m = 4，y = ．
x
5 【答案】D
k
【解析】 ∵反比例函数y = 的图象经过点A(−1,−2)，
x
k
∴−2 = ，
−1
∴k = 2，
2
∴y = ，
x
当x = 1，y = 2，
当x > 1时，函数值的范围为0 < y < 2．
46/80
故选：D．
6 【答案】C
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1
3 4 3 4 3
(1【) 答案】①sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，
5 5 4 5 5
4
tanB = ；
3
5 12 5 12 5
②sinA = ，cosA = ，tanA = ， sinB = ，cosB = ，
13 13 12 13 13
12
tanB = ．
5
(2【) 答案】A
−− −−
√10 3√10 1
(3【) 答案】
sinB = ，cosB = ，tanB = ．
10 10 3
4 4
(4【) 答案】cosA = ，tanB = ，AB = 15
5 3
练1.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】C
(3【) 答案】D
15
(4【) 答案】 ,34
8
例2
(1【) 答案】C
47/80
【解析】如图，取格点D，连接BD，
∵AC和BD都是刚好穿过每个小正方形的对角顶点，
∴BD⊥AC，
–
AD √5
∴cos∠A = =
AB 5
3
(2【) 答案】
4
练2.1
(1【) 答案】2
–
√2
(2【) 答案】
2
4 3
例3 【答案】答案：（1）sinA = ，cosA = ，
5 5
sin2A+cos2A = 1；
12 5
sinD = ，cosD = ，
13 13
sin2D+cos2D = 1.
规律：对应任意锐角α，有sin2α +cos2α = 1.
4 sinA 4
（2）tanA = ， = ；
3 cosA 3
12 sinD 12
在图2中，tanD = ， = ；
5 cosD 5
sinα
规律：对应任意锐角α，有tanα = .
cosα
练3.1 【答案】10
3sinα +cosα
【解析】 = 3tanα +1=10．
cosα
例4
(1【) 答案】D
(2【) 答案】B
(3【) 答案】D
1
(4【) 答案】
2
48/80
练4.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
(3【) 答案】C
(4【) 答案】C
例5 【答案】∠C = 105∘
【解析】 ∣ √2 – ∣ √3 – 2 √2 –
已 知 ∣sinA− ∣ + −cosB = 0 ， 所 以 sinA− = 0 ， 且
∣ 2 ∣ ( 2 ) 2
–
√3
−cosB = 0，
2
– –
√2 √3
所以sinA = ，且cosB = ，又知∠A、∠B都是锐角，所以∠A = 45∘ ，
2 2
∠B = 30∘ ，
所以∠C = 105∘ ．
练5.1 【答案】A
–
例6 【答案】（1）1+√3；
1
（2） ；
4
–
√3+1
（3） ；
2
（4）0．
练6.1 【答案】B
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】D
【解析】如图，∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
3
所以，tan∠ABC = ．
4
49/80
4 【答案】D
5 【答案】A
6 【答案】A
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】D
【解析】等式右边为0，由平方与绝对值的性质可得， ， ，解得
，∴三角形为等腰直角三角形，选D
–
10 【答案】 –
√2
（1）原式= 3+√2−1−2× = 2
2
– – –
√2 √2 −− √3
（2）原式= × +√12 × −2×1
2 2 2
1 3
= +3−2 =
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】D
–
√3 1
5 【答案】
（1） − ；（2）7．
2 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
精选精练
50/80
1 【答案】D
–
√3
【解析】 ∵cos30∘ = ，sin80∘ = cos10∘ ，余弦函数随角增大而减小，
2
∴10∘ < A < 30∘ ．
故选：D．
2 【答案】B
【解析】解：∵ CD⊥AB，BE⊥AC，则易证ΔABE ∽ ΔACD，
AD AC
∴ = ，
AE AB
又∵ ∠A = ∠A，
∴ ΔAED ∽ ΔABC，
AD DE 2
∴ = = ，
AC BC 5
设AD = 2a，则AC = 5a，
−−
根据勾股定理得到CD = √21a，
−−
CD √21
因而sinA = = ．
AC 5
故选：B．
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】−2
练1.1
(1【) 答案】a ≠ 2
(2【) 答案】0
51/80
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】C
(3【) 答案】5
【解析】解：∵y=(2-m)x |m|-3 是二次函数,∴|m|-3=2,解得m=5或m=-5,
∵抛物线图象开口向下,∴2-m<0,解得m>2,∴m=5,
故答案为：5．
(4【) 答案】a > a > a
1 2 3
练2.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】C
(3【) 答案】A
例3 【答案】
y = x2 +2 y = x2 −2
开口方向 向上 向上
对称轴 x = 0 x = 0
顶点坐标 (0,2) (0,−2)
当x < 0时，y随x增大而减小； 当x < 0时，y随x增大而减小；
增减性
当x ≥ 0时，y随x增大而增大 当x ≥ 0时，y随x增大而增大
52/80
最值 x = 0时，有最小值，最小值为2 x = 0时，有最小值，最小值为−2
【解析】解析解析解析
练3.1 【答案】(0,−1)；x = 0；> 0；< 0；0 ；大；−1
例4 【答案】D
【解析】与抛物线y = −x2 +1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线
y = −x2 +1只有二次项系数不同．
即y = x2 +1，
故选：D．
练4.1 【答案】A
例5 【答案】
2 2
y = (x+3) y = (x−3)
开口方向 向上 向上
对称轴 x = −3 x = 3
顶点坐标 (−3,0) (3,0)
当x < −3时，y随x增大而减小； 当x < 3时，y随x增大而减小；
增减性
当x ≥ −3时，y随x增大而增大 当x ≥ 3时，y随x增大而增大
最值 x = −3时，最小值为0 x = 3时，最小值为0
练5.1 【答案】C
例6 【答案】D
练6.1 【答案】D
53/80
2
【解析】对于函数y = −2(x−m) 的图象，
∵a = −2 < 0，
∴开口向下，对称轴x = m，顶点坐标为(m,0)，函数有最大值0，
故A、B、C正确，
故选：D．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】A
4 【答案】C
5 【答案】B
6 【答案】B
【解析】（1）y = 2x2 开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y = −2x2 开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y = 2x2 +1开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为(0,1)．
故选：B．
7 【答案】D
8 【答案】A
9 【答案】A
2
【解析】y = (x+2) 的对称轴为x = −2，A正确；
y = 2x2 −2的对称轴为x = 0，B错误；
y = −2x2 −2的对称轴为x = 0，C错误；
2
y = 2(x−2) 的对称轴为x = 2，D错误．
故选：A．
1
10 【答案】函数y = x2 −3的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0,−3)；
3
1
函数y = x2 的对称轴为x = 0，顶点坐标为(0,0)．
3
54/80
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】D
【解析】∵ y = −x2 +2，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)，在对称轴的右侧，y随x的增大而减
小，
∴ A、B、C都不正确，
∵Δ = −4×(−1)×2 = 8 > 0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴ D正确．
5 【答案】A
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
精选精练
55/80
1 【答案】0
2 【答案】−1
【解析】∵m2 −m = 2
∴m = 2或m = −1
∵m−1 ≠ 0
∴m ≠ 1
∴当m = 2或−1时，这个函数都是二次函数，
∵m−1 < 0，m < 1
∴m = −1．
3 【答案】C
【解析】A、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a > 0，则a的取值互相矛盾，
故本选项错误；
B、根据一次函数得出a > 0，b < 0，根据二次函数得出a > 0，则ab < 0，故本选项错
误；
C、根据一次函数得出a < 0，b < 0，根据二次函数得出a < 0，则ab > 0，故本选项
正确；
D、根据一次函数得出a < 0，b > 0，根据二次函数得出a < 0，则ab < 0，故本选项
错误；
故选：C．
4 【答案】C
【解析】解：当a < 0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a > 0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
5 【答案】D
【解析】A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2 < 0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m > 0，由直线可知，−m > 0，错
误；
C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m < 0，错
误；
D、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m < 0，由直线可知，−m > 0，正
确，
故选：D．
56/80
6 【答案】D
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
例题练习题答案
例1 【答案】开口向上，对称轴为x = 1，
顶点坐标为(1,2)；
x < 1时，递减；
x > 1时，递增；
x = 1时，有最小值为2．
练1.1 【答案】C
【解析】∵a = 2 > 0，
∴抛物线开口方向向上；
2
∵二次函数解析式为y = 2(x+2) −1，
∴顶点坐标为(−2,−1)，对称轴x = −2．
故选：C．
例2 【答案】C
【解析】①③④正确，故选C
练2.1 【答案】B
2
【解析】∵y = 3(x−4) −2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为x = 4，故B正确；
当x = 4时，y有最小值−2，故C不正确；
57/80
当x < 3时，y随x的增大而减小，故D不正确；
故选：B．
例3 【答案】y = 2(x−1) 2 −3；(1,−3)；x = 1.
练3.1 【答案】D
【解析】∵y = x2 −4x+7 = (x−2) 2 +3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．
例4 【答案】(1)开口向上，对称轴为x = −3，顶点坐标为(−3,−10)；
(2)x > −3；
(3)x = −3，y有最小值，最小值为−10．
2
【解析】把函数变形为y = 4(x+3) −10即可求出．
练4.1 【答案】向下;
x = 2；
(2,3)
x < 2
例5
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
(3【) 答案】C
练5.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】D
(3【) 答案】C
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
自我巩固答案
1 【答案】D
58/80
2 【答案】A
2
【解析】由y = 2(x−3) +1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)．
故选：A．
3 【答案】D
【解析】A、a = 2 > 0，则函数开口向上，故正确；
B、对称轴是x = 1，故正确；
C、顶点坐标是(1,−3)，故正确；
D、最小值是−3，故错误．
4 【答案】C
2
【解析】∵二次函数y = 2(x−3) −2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(3,−2)，对称轴为x = 3，
∴当x ≤ 3时，y随x的增大而减小，
故①、②、④正确，
令x = 0可得y = 16，故图象与y轴的交点坐标为(0,16)，
故③不正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
5 【答案】B
6 【答案】A
7 【答案】C
1 1
8 【答案】∵y = x2 −4x+5 = (x−4) 2 −3，
2 2
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x = 4，顶点坐标是(4,−3)．
【解析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
9 【答案】C
10 【答案】A
【解析】开口判断 ；对称轴 ，则 ；令 ， ；故选A
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
课堂落实答案
59/80
1 【答案】C
2
【解析】二次函数y = (x−1) +1的图象的顶点坐标是(1,1)．
故选：C．
2 【答案】D
3 【答案】D
4 【答案】解：y = −2x2 +8x−8，
∵a = −2 < 0，
∴抛物线开口向下．
∵y = −2x2 +8x−8 = −2(x2 −4x+4) = −2(x−2) 2 ，
∴对称轴为直线x = 2，顶点坐标为(2,0)．
【解析】根据二次项系数得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐
标．
5 【答案】C
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】C
1 1
【解析】由解析式可知y = (x−h) 2 +k的顶点坐标为(h,k)；y = (x−m) 2 +n的顶点坐
4 2
标为(m,n)．
A、由于两抛物线有相同的对称轴，可得h = m命题正确，故本选项错误；
B、由两抛物线顶点位置可知，k > n命题正确，故本选项错误；
C、由两抛物线顶点位置可知，k = n命题错误，故本选项正确；
1
2
D、由y = (x−h) +k的位置可知，h > 0，k > 0命题正确，故本选项错误；
4
故选C．
3 【答案】B
【解析】∵开口向上，
∴a > 0，
∵与y轴交于负半轴，
60/80
∴c < 0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b > 0，
∴bc < 0，
∴一次函数y = ax+bc的图象不经过第二象限．
故选：B．
4 【答案】A
b
【解析】 A、由抛物线可知，a < 0，x = − < 0，得b < 0，由直线可知，a < 0，b < 0，
2a
故本选项正确；
B、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a < 0，故本选项错误；
b
C、由抛物线可知，a > 0，x = − > 0，得b < 0，由直线可知，a > 0，b > 0，
2a
故本选项错误；
D、由抛物线可知，a > 0，由直线可知，a < 0，故本选项错误．
故选：A．
5 【答案】D
【解析】①如图，∵二次函数y = ax2 +bx+c(a ≠ 0)的图象与x轴的两个交点分别为
(−1,0)，(3,0)，
b
∴该抛物线的对称轴是x = − = 1，
2a
∴b+2a = 0．
故①错误；
②∵抛物线开口方向向上，∴a > 0．
∴b = −2a < 0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c < 0，
∴abc > 0．
故②错误；
③由图示知，当x = −2时，y > 0，即4a−2b+c > 0．
故③错误．
综上所述，正确的结论的个数是0个．
故选：D．
61/80
6 【答案】C
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a < 0；
b
∵抛物线的对称轴为直线x = − = 1，
2a
∴b > 0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c > 0，
∴abc < 0，所以①错误；
当x = −1时，y < 0，即a−b+c < 0，
∴b > a+c，所以②不正确；
当x = 2时，y > 0，即4a+2b+c > 0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x = 1，
∴x = 1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c > am2 +bm+c(m ≠ 1)，
∴a+b > m(am+b)，所以④正确．
故选：C．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】y = −3x2 +12x−9，对称轴x = 2．
(2【) 答案】y = 2x2 −3x+5．
62/80
3 9
练1.1 【答案】y = 2x2 −3x，顶点坐标为 ,−
(4 8)
例2
5 5 3
(1【) 答案】y = − x2 − x+
4 2 4
1 8 7
(2【) 答案】y = x2 − x+
3 3 3
1 3 7
练2.1 【答案】y = − x2 − x+
4 2 4
1 81
例3 【答案】y = x2 −x−20，顶点 ,− ．
(2 4 )
【解析】两点 和 ，解析式可设为 ，再将点 代入得解析式为
，顶点
练3.1 【答案】A
例4
(1【) 答案】D
(2【) 答案】b = 2，c = 0．
【解析】把y = x2 −2x−3向上移动3个单位，再向左平移2个单位长度得到
y = x2 +2x．
练4.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】C
例5
(1【) 答案】y = 2x2 +4x+3
(2【) 答案】y = −2x2 +4x−5
练5.1
(1【) 答案】y = x2 −2x−7
(2【) 答案】y = 2x2 +12x+19
能力强化 / 初三 / 暑假
63/80
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】A
【解析】设抛物线解析式为y = a(x+1)(x−3)，
把(0,3)代入得a⋅1⋅(−3) = 3，解得a = −1，
所以抛物线解析式为y = −(x+1)(x−3)，
即y = −x2 +2x+3．
故选：A．
5 5 15
6 【答案】y = − x2 + x+ ．
4 2 4
7 【答案】A
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】A
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】y = x2 −6x+5．
4 【答案】A
5 【答案】B
能力强化 / 初三 / 暑假
64/80
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
精选精练
1 1 1 3
1 【答案】y = x2 − x+2 或 y = − x2 + x+2
8 4 8 4
【解析】∵点C在直线x = 2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1或x = 3，
当对称轴为直线x = 1时，设抛物线解析式为y = a(x−1)2 +k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
a+k = 2
则 ，
{9a+k = 3
a = 1
8
解得 ，
{k = 15
8
1 15 1 1
所以，y = (x−1)2 + = x2 − x+2；
8 8 8 4
当对称轴为直线x = 3时，设抛物线解析式为y = a(x−3)2 +k，
将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，
9a+k = 2
则 ，
{a+k = 3
a = −1
8
解得 ，
{k = 25
8
1 25 1 3
所以，y = − (x−3)2 + = − x2 + x+2，
8 8 8 4
1 1 1 3
综上所述，抛物线的函数解析式为y = x2 − x+2或y = − x2 + x+2．
8 4 8 4
2
(1【) 答案】y = −x2 +2x+3
1 5
(2【) 答案】y = x2 −3x+
2 2
3 【答案】解：
2
（1）∵顶点为A(1,2) ，设抛物线为y = a(x−1) +2，
∵抛物线经过原点，
2
∴0 = a(0−1) +2，
∴a = −2 ，
∴抛物线解析式为y = −2x2 +4x ．
（2）∵抛物线经过原点，
∴设抛物线为y = ax2 +bx ，
b
∵h = − ，
2a
65/80
∴b = −2ah ，
∴y = ax2 −2ahx ，
∵顶点A(h,k)，
∴k = ah2 −2ah2 = −ah2 ，
抛物线y = tx2 也经过A(h,k)，
∴k = th2 ，
∴th2 = −ah2 ，
∴t = −a．
4 【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为y轴，
∴b = 0.
又∵抛物线过点(0,−4)，
∴c = −4.
∴抛物线的解析式为y = x2 −4；
（2）当x = −2时，y = x2 −4 = 0，
1
当x = 3时，y = x2 −4 = 5，
2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为＜．
【解析】（1）利用对称轴方程可得b=0，利用抛物线与y轴的交点可得到c的值，于是可确定抛物线
解析式；
（2）把点（2，y ）与（3，y ）都代入（1）中的解析式计算出y 和y 的值，然后比较
1 2 1 2
大小．
5 【答案】解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，
∴点B的坐标为(1,0)，
∴当x = 1时，0 = a(1+2)2 −5，
5
∴a = ．
9
（2）设抛物线C 3解析式为y = a′(x−h)2 +k，
∵抛物线C 2与C 1关于x轴对称，且C 3为C 2向右平移得到，
5
∴a′ = − ，
9
∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为(−2,−5)，
∴点M的坐标为(2,5)，
5 5 20 25
∴抛物线C 3的解析式为y = − (x−2)2 +5 = − x2 + x+ ．
9 9 9 9
【解析】该题考查的是二次函数综合．
66/80
（1）∵ 点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，
∴ 点B的坐标为(1,0)．----------------------------------- 1分
5
2
∴ 当x = 1时，0 = a(1+2) −5． ∴ a = ．------ 2分
9
（2）设抛物线C 3解析式为y = a′(x−h) 2 +k，
∵ 抛物线C 2与C 1关于x轴对称，且C 3为C 2向右平移得到，
5
∴ a′ = − ．------------------------------------------ 4分
9
∵ 点P、M关于点O对称，且点P的坐标为(−2,−5)，
∴ 点M的坐标为(2,5)---------------- 6分
5 5 20 25
∴ 抛物线C 3的解析式为y = − (x−2) 2 +5 = − x2 + x+ ． --- 7分
9 9 9 9
6
16+4b+c = 3
(1【) 答案】 将 (4,3) ， (3,0) 代 入 y = x2 +bx+c ， 得 ， 解 得 ：
{9+3b+c = 0
b = −4
；
{c = 3
(2【) 答案】二次函数y = x2 −4x+3 = (x−2) 2 −1，则顶点坐标为(2,−1)，对称轴是直
线x = 2，如图，
2
【解析】把二次函数的解析式配成顶点式y = (x−2) −1，然后确定顶点坐标和对称轴，
再画出函数图象；
(3【) 答案】将该函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y = x2 的图象．
【解析】把顶点(2,−1)移到原点即可．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
例题练习题答案
67/80
例1
(1【) 答案】①②⑤
(2【) 答案】C
练1.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】B
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】36∘ ，54∘ ．
练2.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】29∘ ，58∘ ．
例3 【答案】B
练3.1 【答案】D
例4
(1【) 答案】D
(2【) 答案】D
练4.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】D
例5
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
练5.1 【答案】D
【解析】解：连接OC，根据题意，
1
CE= CD=6，BE=2．
2
68/80
2
在Rt△OEC中，
设OC=x，则OE=x2，
故：（x−2） 2 +62 =x2
解得：x=10
即直径AB=20．
故选：D．
例6 【答案】D
练6.1 【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OB，OD．
∵AB∥CD，
∴E，O，F三点共线，
∴EF即为所求的AB与CD之间的距离．
1 1
由垂径定理得BE = AB，DF = CD，
2 2
∴在Rt△OBE中，OB = 13cm，BE = 12cm，
∴OE = 5cm，
1
在Rt△ODF中，OD = 13cm，DF = CD = 5cm，
2
∴OF = 12cm，
∴EF = OE +OF = 17cm，即AB与CD之间的距离为17cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
自我巩固答案
69/80
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】B
【解析】 ，故选B
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】D
7 【答案】A
8 【答案】B
9 【答案】D
10 【答案】解：过圆心O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA和OC.
∵AB∥CD，
∴E，O，F三点共线．线段EF的长即为弦AB与CD之间的距离．
①当弦AB和CD在圆心的异侧时，如图所示，
∵AB = 16cm，CD = 12cm，
1 1
由垂径定理得AE = AB = 8cm，CF = CD = 6cm，
2 2
又∵OA = OC = 10cm，
∴OE = 6cm，OF = 8cm，
∴EF = OE +OF = 14cm；
②当弦AB和CD在圆心的同侧时，同理可得OE = 6cm，OF = 8cm，
∴EF = OF −OE = 2cm；
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
课堂落实答案
70/80
1 【答案】D
【解析】A.等弧一定长度相等，但是只有同一个圆或者等圆中长度相等的弧才是等弧，故A错误
B.同一个圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，故B错误
C.不同的圆中，也可能有相等的弦，故C错误
D.直径是一个圆中最长的弦，故D正确
答案选D
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】 解：如图，过圆心O作OE⊥AB于E，延长OE交CD于F，连接OA和OC．
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
1 1
∴CF＝DF＝ CD＝ ×16＝8cm，
2 2
∵OE⊥AB，
1 1
∴AE＝BE＝ AB＝ ×30＝15cm，
2 2
在Rt△OCF中，OC＝17cm，
−−−−−−−−−−
∴OF＝
OC2 −CF2
＝15cm，
√
在Rt△OAE中，OA＝17cm，
−−−−−−−−−−
∴OE＝
OA2 −AE2
＝8cm，
√
∴EF＝OF −OE＝7cm，
即AB与CD之间的距离为7cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
精选精练
71/80
1 【答案】A
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】2.5
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 圆中的角
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】30∘
(2【) 答案】12.5∘
(3【) 答案】30∘
(4【) 答案】40∘
练1.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】44∘
(3【) 答案】40∘
(4【) 答案】5
例2
(1【) 答案】A
(2【) 答案】120∘
(3【) 答案】30∘ 或150∘
练2.1
72/80
(1【) 答案】
120∘
(2【) 答案】100∘
(3【) 答案】60∘ 或120∘
例3 【答案】解：（1）如图，连接OB，OC．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC = 90∘ ，
1
∴∠BPC = ∠BOC = 45∘ ；
2
（2）由（1）得∠BOC = 90∘ ，则在Rt△BOC中， OB2 +OC2 = BC2 ，
又∵OB = OC = 8，
–
∴BC = 8√2．
–
∴正方形ABCD的边长为8√2．
练3.1 【答案】解：如图，连接OB，OA．
∵∠BCA = 45∘ ，
∴∠BOA = 90∘ ，
∴在Rt△BOA中，OB2 +OA2 = AB2 ，
又∵OB = OA，AB = 2，
–
∴OB = OA = √2．
–
∴⊙O的半径为√2．
例4
(1【) 答案】70∘
(2【) 答案】证明：∵ AB = BC = CD，DE = EF = FA
73/80
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴AB +AF = CD+DE
1
= ×360∘ = 120∘
3
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
即BF = CE = BC +EF = 120∘
⌢ ⌢
∴BDF = CAE = 240∘
∴∠BAF = ∠CDE = 120∘
练4.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】AD = BC
例5 【答案】证明：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC = 90∘ ，
∴∠BAE +∠CAE = 90∘ ，
∵AD⊥BC，
∴∠ACD+∠CAE = 90∘ ，
∴∠BAE = ∠ACD，
∵AE = BE，
∴∠BAE = ∠ABE，
∴∠ABE = ∠ACD，
⌢ ⌢
∴AB = AF．
1
练5.1 【答案】45∘ − α
2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 圆中的角
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】B
【解析】A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
74/80
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；
⌢ ⌢
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
5 【答案】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = ∠ADB = 90∘ ，
∵AB = 10，AC = 6，
−−−−−−−−−−
∴BC = AB2 −AC2 = 8．
√
∵CD平分∠ACB，
⌢ ⌢
∴AD = BD，AD = BD．
−−−−−
AB2
–
∴AD = BD = = 5√2．
√ 2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 圆中的角
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】C
【解析】连结CB，可知 ，由直径所对应的圆周角等于180°，可知弦BC为直径，可知
，故选C．
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】C
7 【答案】A
【解析】∵∠ACB = 90∘ ，∠A = 56∘ ，
∴∠ABC = 34∘ ，
∵CE = CD，
ˆ ˆ
∴2∠ABC = ∠COE = 68∘ ，
又∵∠OCF = ∠OEF = 90∘ ，
∴∠F = 360∘ −90∘ −90∘ −68∘ = 112∘ ．
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故选：C．
8 【答案】C
9 【答案】A
10 【答案】证明：如图，连接CO．
⌢ ⌢
∵AC = CB，
∴∠AOC = ∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB，
∴∠CDO = ∠CEO = 90∘ ．
又∵CO = CO，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD = OE，
又∵AO = BO，
∴AO −OD = BO −OE，即AD = BE．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 圆中的角
精选精练
1 【答案】75
2 【答案】B
3 【答案】D
4 【答案】B
5 【答案】B
6 【答案】∠AOB=∠COD
7 【答案】B
能力强化 / 初三 / 暑假
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第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C
【解析】过圆心的弦才是直径，故AD错误
半圆是弧，但弧不一定是半圆，故B错误，C正确
答案选C
2 【答案】D
【解析】因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．
3 【答案】C
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】B
7 【答案】D
8 【答案】A
9 【答案】30∘
–
10 【答案】√5
11 【答案】6
12 【答案】40∘
13 【答案】(−1,−5)
14 【答案】301
–
15 【答案】2−√3
3 –
1− √2
4
16 【答案】方程可化为(x+4)(x−3) = 0，
解得x
1
= −4，x
2
= 3．
17 【答案】
作OE⊥AB于点E．
则CE = ED，又∵OA = OB，
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∴AE = BE，
∴AE −CE = BE −ED，即AC = BD．
⌢ ⌢
18 【答案】∵BC=BC
∴∠BDC = ∠BAC，
∵∠ABC = ∠BDC = 60∘ ，
∴∠ABC = ∠BAC = 60∘ ，
∴∠ACB = 60∘ ，
∴∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60∘ ，
∴△ABC为等边三角形．
∵AC = 3，
∴△ABC的周长为3×3=9．
19 【答案】解：∵AD = 4，BD = 8，
∴ AB = AD+BD = 12．
又∵DE∥BC，DE = 5，
AD DE 4 5
∴ = 即 = ，
AB BC 12 BC
解得BC = 15．
20 【答案】（1）证明：因为∠A = ∠A，∠ACD = ∠B，∴△ADC∽△ACB；
（2）解：根据相似三角形的对应边成比例得出AC : AB = AD : AC，
即AC2 = AB⋅AD，
−−
将数值代入计算即可求出AC = √10的长．
21 【答案】（1）解：根据等腰三角形的性质由BC = DC得到∠CBD = ∠CDB = 39∘ ，
再根据圆周角定理得∠BAC = ∠CDB = 39∘ ，∠CAD = ∠CBD = 39∘ ，
所以∠BAD = ∠BAC +∠CAD = 78∘ ；
（2）证明：根据等腰三角形的性质由EC = BC得∠CEB = ∠CBE，
再利用三角形外角性质得∠CEB = ∠2+∠BAE，
则∠2+∠BAE = ∠1+∠CBD，
又∠BAE = ∠CBD，所以∠1 = ∠2．
22 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C +∠B = 180∘ ，∠ADF = ∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE = 180∘ ，∠AFE = ∠B，
∴∠AFD = ∠C．
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在△ADF与△DEC中，
∠AFD = ∠C，
{∠ADF = ∠DEC，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
AD AF
∴ = ，
DE CD
–
AD⋅CD 6√3×8
∴DE = =
–
= 12．
AF 4√3
易证△ADE是直角三角形，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
−−−−−−−−−−−
AE = √ − D − E −− 2 − − −− A − D −− 2 = 122 −(6√3 – ) 2 = 6．
√
【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理
求出线段AE的长度．
23 【答案】（1）连接AP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠APB = ∠FOB = 90∘ ，
∴∠ABP = ∠FBO，
∴△ABP∽△FBO，
BP AB
∴ = ．
OB BF
−−−−−−−−−− −−−−−− –
∵BF = √OF2 +OB2 = √22 +42 = 2√5，
BP 8
∴ = –，
4 2√5
–
16√5
∴BP = ；
5
（2）连接BC．
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−−−−−−−−−−
–
∵OC⊥AB，BC = OC2 +OB2 = 4√2，
√
⌢ ⌢
∴AC = BC，
∴∠CPB = ∠EBC．
∵∠BCP = ∠BCE，
∴△BCP∽△ECB，
BC CP
∴ = ，
CE BC
∴BC2 = CP ⋅CE = 32；
AP
（3） 的值不变．
DH
理由：连接PC、AC．
∵OH∥AP，
1
∴∠APD = ∠OHP = ∠AOD = 45∘ ，
2
∴∠CPA = ∠OHD = 135∘ ．
又∵∠CAP = ∠ODH，
∴△CAP∽△ODH，
–
AP AC 4√2 –
∴ = = = √2，
DH OD 4
AP –
∴当点P在弧AC上运动时， 的值保持不变且始终为√2．
DH
80/80
