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专题4.16 线段几何综合题（专项练习）
1．已知点C在线段AB上， ，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
若 ， ，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上， ， ，求AD的长．
2．已知C，D是线段AB上两点， ，D为AB的中点．
（1）如图1，若 ，求线段CD的长；
（2）如图2，若E为AC的中点， ．
①求AE：AB的值；
②求线段AB的长．
3．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15 ，点P从点A出发，以每秒
1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒 ．
(1) 当 时，用含t的式子填空： ， ；
(2) 当 时，求 PQ的值．
4．如图①、②所示，线段 ，线段 ，点E是BC的中点，设 ．
(1)当 时，则DE的长为______．
(2)在图①中，计算DE的长度（用含a的式子表示）
(3)将图①中的线段CD向右移动到图②的位置．
①直接写出线段AC与线段DE满足的数量关系．
②在线段AC上有点F，满足 ，求AF的长度（用含a的式子
表示）
5．某操作车间有一段直线型向左移动的传输带， ， 两位操作工人站于传输带同侧
且相距16米，操作组长 也站在该侧，且到 ， 距离相等，传输带上有一个8米长的工
具筐 ．(1)如图1，当 位于 ， 之间时， 发现工具筐的 端 离自己只有 1米，则工具
筐 端离 米，工具筐 端离 米．
(2)工具筐 端从 点开始随传输带向左移动直至工具筐 端到达以A点为止，这期间
工具筐 端到 的距离 和工具筐 端到 的距离 存在怎样的数量关系，并用等式表
示，（你可以在图2中先画一画，再找找规律）
6．如图，在数轴上有 、 两点（点 在点 的右边），点 是数轴上不与 、 两
点重合的一个动点，点 、 分别是线段 、 的中点．
(1)如果点 表示 ，点 表示8，则线段 ；
(2)如果点 表示数 ，点 表示数b ，
①点 在线段 上运动时，求线段 的长度（用含 和 的代数式表示）；
②点 在点 右侧运动时，请直接写出线段 的长度：___________________（用含
和 的代数式表示）．
7．如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽
路不计），使绳子与自身一部分重叠若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处．
(1) 如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN= cm；
(2) 如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
(3) 若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
8．如图，已知线段AB=10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
(1) AO＝_____CO；BO＝______DO；
(2) 求线段CD的长度；
(3) 小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是
AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度．
9．如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点MN分别是AC、BC的中点．
(1) 求线段MV的长．(2) 若C为线段AB上任意一点，满足 ，其他条件不变，你能猜想出
MN的长度吗？并说明理由．
(3) 若C在线段AB的延长线上，且满足 ，从M分别为AC、BC的中点
你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
10．点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，
线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
(1) 如图①，若点C为线段AB的“雅点”， ，则AB＝______；
(2) 如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射
线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请
写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）
11．（1）已知：如图1，点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是
AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝
a，求MN的长度；
（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．
12．在如图所示的数轴上，点P为原点．点A、点B距离－2都为6个单位长度，且点
A在点B的左侧，若现在有点C、点D两点分别从点P、点B同时向点A移动，且已知点
C、点D分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度移动了t秒．
请回答下列问题：
(1) A点表示数为____________，B点表示数为____________；
(2) 当 时，CD的长度为多少个单位长度？
(3) 当D在线段BP上运动时，线段AC、CD之间存在何种数量关系式？
13．如图，点 、 、 是线段 上依次排列的三个点， ， ．
(1) 若 ， ，求线段 的长；
(2) 若点 、 、 在线段 上运动，始终保持 ， ．请问 的值是否发生改变？若不变，求出这个值；若改变，请说明理由．
14．如图， ， ， ， 四点在同一条直线上．
(1) 若 ，且 ， ，则 ______cm；
(2) 若线段 被点 ， 分成了 三部分，点 ， 分别是线段 ， 的中
点，且 ，求 的长．
15．已知：如图1， 是定长线段 上一定点， 两点分别从 ， 出发以
， 的速度沿 向左运动，运动方向如箭头所示（ 在线段 上， 在线
段 上）
(1) 若 ，当点 运动了 ，求 的值；
(2) 若点 运动时，总有 ，试说明 ；(3) 如图2，已知 ， 是线段 所在直线 上一点，且 ，
求 的值．
16．已知A，B，C，O，M五点在同一条直线上，且AO＝BO，BC＝2AB．
（1）若AB＝a，求线段AO和AC的长；
（2）若点M在线段AB上，且AM＝m，BM＝n，试说明等式MO＝ |m﹣n|成立；
（3）若点M不在线段AB上，且AM＝m，BM＝n，求MO的长．
17．如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC＝BD，E是线段BC的中点．
（1）点E是线段AD的中点吗？说明理由；
（2）当AD＝10，AB＝3时，求线段BE的长度．18．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．
（1）如图1，若AB=6cm，BC=4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
（2）如图2，若BD= AB= CD，E为线段AB的中点，EC=12cm，求线段AC的长度．
19．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD＝2BD，E为线段
AC上一点，CE＝2AE
(1) 若AB＝18，BC＝21，求DE的长；
(2) 若AB＝a，求DE的长；(用含a的代数式表示)
(3) 若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，则 的值为 ．
20．已知:如图，点 为线段 的中点，点 为线段 上的点，点 为线段 的中
点，（1）若线段 ， ， ，求 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段 的长；
（3）如图2，若 ， ，求线段 的长.
21．（1）如下图，已知点C在线段 上，且 ，点 分别是
的中点，求线段 的长度．
（2）在（1）中如果 ，其它条件不变，你能猜出 的长度吗？请用含
的代数式表示发现的规律， 的长度是：__________．
（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段 ，点C在
直线 上，点 分别是 的中点，求 的长度．”直接写出结果：_________．22．如图，已知点A，B在直线 上，且线段 ．
（1）如图1所示，当点C在线段AB上，且 ，点M是线段AC的中点，求线
段AM的长；
（2）若点C在直线AB上，且 ；
① 线段 ______cm；
② 若点M是线段AC的中点，则线段 ______cm；
（3）若点C在直线AB上，且 ，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的
中点，则线段 ______cm．
23．如图，点 ， 是线段 上的点，点 为线段 的中点． 在线段 的延
长线上，且 ．
(1) 求作点 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 若 ， ， ，求线段 的长度；
(3) 若 ，请说明：点 是线段 的中点．
24．如图，在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB＝40cm，BC＝280cm．点P、点
Q分别由A点、B点同时出发向点C运动，运用时间为t（单位：s），点P的速度为3cm/s，点Q的速度为1cm/s
(1) 请求出线段AC的长；
(2) 若点D是线段AC的中点，请求出线段BD的长；
(3) 请求出点P出发多少秒后追上点Q？
(4) 请计算出点P出发多少秒后，与点Q的距离是20cm？
参考答案
1．(1)7(2)3或5
【分析】（1）由 ， ，可求出 ， ．再根据E为BC中
点，即得出 ，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线
段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
解：(1)∵ ， ， ，
∴ ， ，
如图，
∵E为BC中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)分类讨论：①如图，当点E在点F的左侧时，
∵ ， ，
∴点F是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，当点E在点F的右侧，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述：AD的长为3或5；
【点拨】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
2．（1）4；（2）① ；②35
【分析】（1）根据 ，可得 ，再由 ，即可
得到 ，则 ，由D为AB的中点， ，再根据 进
行求解即可；
（2）①由E为AC的中点，得到 ，再由 ， ，
可得 ，由此进行求解即可；
②由D是AB的中点，得到 ，再由 ，则 ，
由此即可得到答案．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵D为AB的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）①∵E为AC的中点，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵D是AB的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了线段的和差计算，解题的关键在于能够根据题意得到线段之
间的关系．
3．(1) ， ；(2)8
【分析】（1）根据P、Q的移动速度求出AP的距离，OQ的距离，进一步可求出
BP、AQ；
（2）当 时，求出OQ，OP，利用 计算即可．
(1)解：∵ ，
∴P在AB之间， ，Q在OA之间， ，
∴ ，(2)解：当 时，
，点P在线段 AB 上；
，点Q在线段OA上，如图所示 ．
此时 ．
【点拨】本题考查数轴上的动点，会表示数轴上两点之间的距离，根据数形结合正确
找出P、Q点的位置是解题的关键．
4．(1)2(2) (3)①AC=2DE，②
【分析】（1）先求出BC的长，然后根据中点定义求CE，最后根据DE=CD-CE计算
即可；
（2）解题的方法和步骤和（1）相同；
（3）①先根据线段的和差关系和中点定义用a表示出DE，结合AC=a，即可求出结果；
②整理 得到 ，再化简即可用含a的代数式
表示出AF．
(1)解：BC=AB-AC=20-4=16，
∵E是BC的中点，
∴CE= BC=8，
DE=CD-CE=10-8=2；
(2)解：BC=AB-AC=20-a=20-a，
∵E是BC的中点，
∴ ，
∴ ；
(3)解：① ,
∵AC=a，∴AC=2DE；-
② ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了线段的和与差和线段中点的有关计算，解题的关键是熟练运用线
段的和差关系和中点的定义求线段长．
5．(1)7，1(2)EF−BE＝8或EF＋BE＝8或BE−EF＝8
【分析】（1）根据线段的和差可得答案；
（2）分三种情况：当点C在线段BF上时或当点C在线段AF上时或当点C在线段BA
的延长线上时，正确画出图形即可得到结论．
(1)解：由题意得，AB＝16m，
∵F到A，B距离相等，
∴AF＝BF＝8m，
∵CE＝8 m，CF＝1m，
∴EF＝8−1＝7m，BE＝8−7＝1m．
故答案为：7，1；
(2)①当点C在线段BF上时，如图，
设BC＝x，则BE＝8−x，EF＝16−x，
∴EF−BE＝（16−x）−（8−x）＝8；
②当点C在线段AF上时，如图，
设BC＝x，则BE＝x−8，EF＝16−x，
∴EF＋BE＝（16−x）＋（x−8）＝8；
③当点C在线段BA的延长线上时，如图，设BC＝x，则BE＝x−8，EF＝x−16，
∴BE−EF＝（x−8）−（x−16）＝8；
综上，EF−BE＝8或EF＋BE＝8或BE−EF＝8．
【点拨】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键．
6．(1)12(2)① ；②
【分析】（1）结合数轴根据两点距离求解即可；
（2）①由点 、 分别是线段 、 的中点，得 ，进而根据
求解即可；
②同理可得 ．
解：(1) 点 表示 ，点 表示8，
故答案为：
(2)如果点 表示数 ，点 表示数b，
① 点 在线段 上，点 、 分别是线段 、 的中点，
， ， ，
；
②点 在点 右侧运动时，设 点表示的数为 ,
点 、 分别是线段 、 的中点，
， ， ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了数轴上两点距离，线段段中点的性质，线段和差的计算，数形结
合是解题的关键．
7．(1)30(2)40(3) 或
【分析】（1）由题意可得：AM＝MO＝ AO，ON＝BN＝ OB，再结合图形可求得
答案；
（2）先结合图形可求得AA′+BB′＝40 cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
（3）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧
时．
(1)解：∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点
O处，
∴AM＝MO＝ AO，ON＝BN＝ OB，
∴MN＝MO+ON＝ （AO+OB）＝ AB＝30；
故答案为：30．
(2)解：∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝ ，BN＝ ，
∴AM+BN＝
＝ ＝ cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40 cm．
∴MN的长度为40cm．
(3)解：如∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′＝ ，BN＝B′N＝ ．当点A′落在点B′的左侧时，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝ AA′+A′B′+ B′B＝ （AA′+A′B′+B′B）+ A′B′＝
（AB+A′B′）＝（30+ n）cm；
当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．
∴AM+BN＝ ＝ ＝ cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝ cm．
综上所述，MN的长度为 cm或 cm．
【点拨】本题考查了线段中点定义，折叠性质，两点间距离，线段和差倍分的计算，
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系从而转化线段．
注意分类思想的运用．
8．(1)2，2(2)CD=5(3)图见解析；CD=5
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得 ， 的长，根据线段的和差，可得答
案；
（3） 是 延长线上的一点，由 、 分别是线段 ，
的中点可得出 ， 分别是 ， 的一半，因此， ，
的差的一半就等于 ， 差的一半，因为，
， ，根据上面的分析可得出
．因此结论是成立的．
(1)解： 点 、 分别是 、 的中点
， ；
故答案为： ； ．
(2)解： 点 、 分别是 、 的中点
， ，，
；
(3)解：仍然成立，
如图：
理由：
点 、 分别是 、 的中点
，
．
【点拨】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段
的和差得出答案．
9．(1) (2) ，理由见解析(3)画图见解析， ，理由见解析
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，
再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度；
（2）与（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于AC与BC长
度和的一半；
（3）根据中点定义可得：AM=MC= AC，CN=BN= CB，再根据线段之间的和差
关系进行转化即可．
解：(1)∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC＝ ×8cm＝4cm，NC ＝BC＝ ×6cm＝3cm，
∴MN＝MC+NC＝4cm+3cm＝7cm；
(2)MN＝ acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC，NC＝ BC，
∴MN＝MC+NC＝ AC+ BC＝ AB＝ acm(3)解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC，NC＝ BC，
∴MN＝MC﹣NC＝ AC﹣ BC＝ （AC﹣BC）＝ bcm．
【点拨】本题考查了线段的中点线段的加减，熟练掌握线段中点的定义，弄清线段之
间的和差倍分关系是解决这类题的关键．
10．(1)18(2) 或 或8.5或16．
【分析】（1）由BC=2AC即可得答案；
（2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅
点”伴侣线段，分种情况讨论即可．
解：(1)∵点C为线段AB的“雅点”，AC=6（AC＜BC），
∴BC=2AC，
∵AC=6，
∴BC=12，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为：18；
(2)点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅
点”伴侣线段，分以下四种情况：
①G在线段EF上，EG=2FG，如图1：
∵EG=2FG，EG+FG=5，
∴EG= ，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+ = ，
②G在线段EF上，且FG=2EG，如图2：∵FG=2EG，EG+FG=5，
∴EG= ，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+ = ，
③G在线段EF外，且EF=2FG，如图3：
∵EF=2FG，EF=5，
∴FG=2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5=8.5，
④G在EF外，且FG=2EF，如图4：
∵FG=2EF，EF=5，
∴FG=10，
∴G表示的数为1+5+10=16，
总上所述，G表示的数为： 或 或8.5或16．
【点拨】本题考查数轴相关知识，解答需要分类，解题的关键是读懂“雅点”、“雅
点”伴侣线段的定义．
11．（1）10；（2） a；（3）7.5
【分析】（ 1）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长；
（2 ）根据线段中点的定义可得MC和NC，进而可得MN的长；
（3 ）根据线段中点的定义可得MC＝7.5，NC＝2.5，进而可得MN的长．
解：（ 1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝ AC＝ =7.5，NC＝ ＝2.5，∴MN＝MC+NC＝7.5+2.5＝10；
（2 ）∵点M、N分别是AC，BC中点，
∴MC＝ AC，NC= BC，
∴MN＝MC+NC＝ AC+ = （AC+CB）＝ a；
（3 ）如图3，
∵点M、N分别是AC，BC中点，
∴MC＝ AC＝7.5，NC= BC＝2.5，
∴MN＝MC﹣NC＝ AC﹣ CB=7.5-2.5=5．
【点拨】本题考查了线段的中点，求两点之间的距离的应用，主要考查学生的计算能
力，解此题的关键是分别求出MC、NC的长度．
12．(1)-8；4(2)2个单位长度(3)
【分析】（1）利用把表示 的点往左，往右移动6个单位长度即可得到答案；
（2）分别求解当 时 对应的数，再利用两点之间的距离公式计算即可；
（3）先表示运动中点 对应的数为 点D对应的数为 结合D在线
段BP上运动，再求解 ，从而可得答案.
(1)解： 点A、点B距离－2都为6个单位长度，且点A在点B的左侧，
A点表示数为 ， B点表示数为 ；
故答案为：
(2)解：如图，当 时，
点 对应的数为 点D对应的数为(3)解：如图，
运动中点 对应的数为 点D对应的数为
D在线段BP上运动，
，
【点拨】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，同时考查了有理
数的加减运算，乘法的分配律的应用，线段的和差倍分关系，掌握“数轴上的两点之间的
距离公式”是解本题的关键.
13．(1) (2) 的值不变，为 ，理由见解析
【分析】（1）根据 ， ，可得DE=6，从而得到BD= 8，进而得到
，再由 ，即可求解；
（2）设 ，则 ，可得 ，根据 ，可得 ，从
而得到 ，然后根据 ，可得 ，即可求解．
(1)解：∵ ， ，
∴DE=6，
∴BD=DE+BE=8，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
(2)解： 的值不变，理由如下：
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段之间的数量关系是
解题的关键．
14．(1)8(2) 的长为12cm
【分析】(1)根据线段之间的关系，可求得CD的长，AC+CD=AD，可得答案．
（2）根据线段的比例关系，设x，用x表示出MN的长，列方程求解，即可得到答案．
(1)解：8．
由 且 ， ，可得BC=4cm， =2cm，
所以AD=AC+CD=8cm．
(2)解：设 ，则 ，
由题意，得
解得
答： 的长为12cm．
【点拨】本题考查线段有关的知识点，明确中点的概念，根据题意合理利用方程求解是解题的关键．
15．(1)2cm(2)见解析(3) 或
【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出 ， ，
即可得出 ，再由 ，即得出AC+MD的值；
（2）根据题意可得出 ， ．再由 ，可求出
，从而可求出 ，即证明 ；
（3）①分类讨论当点 在线段 上时、②当点 在线段 的延长线上时和③当点
在线段 的延长线上时，根据线段的和与差结合 ，即可求出线段MN和
AB的等量关系，从而可求出 的值，注意舍去不合题意的情形．
解：（1）∵时间 时，
， ，
∴
；
（2）∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①如图，当点 在线段 上时，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
②如图，当点 在线段 的延长线上时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
③如图，当点 在线段 的延长线上时，
，这种情况不可能，
综上可知， 的值为 或 ．
【点拨】本题考查线段的和与差、与线段有关的动点问题．利用数形结合和分类讨论
的思想是解答本题的关键．
16．（1） ；3a或a；（2）见解析；（3）
【分析】（1）分情况讨论当点C 在点B右侧和左侧时，根据已知等量关系即可求解；
（2）由题意知点M在线段AB上，分别将M点在O点左右两侧时MO的长度用m、n
表示出来，再讨论 和 时，MO的值即可；
（3）当点M不在线段AB上，则M在A左边或B右边，根据题干数量关系分别求出
两种情况时MO的值即可．
解：∵AO＝BO，AB＝a，
∴ ，
当点C在点B右侧时，如下图所示：∵BC＝2AB，AB＝a，
∴ ，
当点C在点B左侧时，如下图所示：
∵BC＝2AB，AB＝a，
∴ ，
∴线段AO的长为 ，线段AC的长为3a或a；
（2）当M点在O点左侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴
,
∵ ，
∴ ，
当M点在O点右侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴ ，
，∵ ，
∴ ，
综上，当 即 时， ，
当 即 时， ，
∴ ；
（3）当点M在A点左侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
当点M在B点右侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，∴ ，
综上， ．
【点拨】本题考查两点间距离，利用线段中点的性质、线段的和差分情况讨论是解题
关键．
17．（1）点E是线段AD的中点，理由见解析；（2）线段BE的长度为2．
【分析】（1）由于AC=BD，两线段同时减去BC得：AB=CD，而点E是BC中点，
BE=EC，AB+BE=CD+EC，所以E是线段AD的中点．
（2）点E是线段AD的中点，AD已知，所以可以求出AE的长度，而AB的长度已知，
BE=AE-AB，所以可以求出BE的长度．
解：（1）点E是线段AD的中点，
∵AC=BD，
∴AB+BC＝BC+CD，
∴AB＝CD，
∵E是线段BC的中点，
∴BE＝EC，
∴AB+BE＝CD+EC，即AE＝ED，
∴点E是线段AD的中点；
（2）∵AD=10，AB=3，
∴BC＝AD-2AB＝10-2×3=4，
∴BE＝ BC＝ ×4＝2，
即线段BE的长度为2．
【点拨】本题考查了线段的和差，线段中点等知识，解题的关键是根据题意和题干图
形，得出各线段之间的关系．
18．（1）1cm；（2）18cm
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
解：（1）如图1所示：∵AC=AB+BC，AB=6cm，BC=4cm
∴AC=6+4=10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC= AC= ×10=5cm
∴DB=DC-BC=6-5=1cm
（2）如图2所示：
设BD=xcm
∵BD= AB= CD
∴AB=4BD=4xcm，CD=3BD=3xcm，
又∵DC=DB+BC，
∴BC=3x-x=2x，
又∵AC=AB+BC，
∴AC=4x+2x=6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE= AB= ×4x=2xcm
又∵EC=BE+BC，
∴EC=2x+2x=4xcm
又∵EC=12cm
∴4x=12
解得：x=3，
∴AC=6x=6×3=18cm．
【点拨】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线
上两点之间的距离公式计算方法．
19．(1)12；(2) ；(3)
【分析】（1）利用CD=2BD，CE=2AE，得出AE= AC= （AB+BC），进一步利用
BE=AB-AE，DE=BE+BD得出结论即可；（2）利用（1）的计算过程即可推出；
（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC、EB、ED、EC、BD、BC、DC共10条，求
出所有线段的和用AC表示即可．
解：（1）∵CD=2BD，BC=21，
∴BD= BC=7，
∵CE=2AE，AB=18，
∴AE= AC= （AB+BC）= ×（18+21）=13，
∴BE=AB﹣AE=18﹣13=5，
∴DE=BE+BD=5+7=12；
（2）∵CD=2BD，
∴BD= BC，
∵CE=2AE，AB=a，
∴AE= AC，
∴BE=AB﹣AE=AB﹣ AC，
∴DE=BE+BD=AB﹣ AC+ BC=AB﹣ （AC﹣BC）=AB﹣ AB= AB，
∵AB=a，
∴DE= a；
（3）设CD=2BD=2x，CE=2AE=2y，
则BD=x，AE=y，
所有线段和AE+AB+AD+AC+EB+ED+EC+BD+BC+DC=4y+3（2y﹣3x）+2x+2x+3
（2y﹣3x）+2x+2x+2x+2x+2x=7（y+2y﹣3x+x），
y=2x，
则AD=y+2y﹣3x+x=3y﹣2x=4x，AC=3y=6x，
∴ ＝ .
【点拨】考查学生对两点间距离的理解和掌握，解题关键是通过条件CD=2BD，
CE=2AE，建立线段间联系.20．(1)20；(2)6；(3)5.1.
【分析】(1)因为 ，根据绝对值和平方的非负性可以得出 ，
即可求出 的值.
(2)由(1)知，AB=16，CE=4，点 为线段 的中点，则能求出AC,AE, 点 为线段
的中点,即可求出DE.
(3)因为 ，设BE=x，即可以表示出AD=2x=DE，所以列方程即可以求解.
解：(1)∵
∴ ，
， ， .
(2) 由(1)知： ，
∵点 为线段 的中点
∴
又∵点 为线段 的中点
∴ .
∴
(3)由题知：设BE= ，则AD=DE =2x
【点拨】本题主要考查的是线段中点的性质，正确的计算和熟练地运用数形结合的思
想推出线段之间的关系.
21．（1）5 （2） （3）5和1
【分析】(1)根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出CM、CN的长度，则
MN=CM+CN；
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM= AC= x，CN= BC= y，
MN=CM+CN= x+ y= (x+y)；(3)分点Ｃ在线段AB上、点Ｃ在线段AB延长线上、当点Ｃ在线段BA延长线上，三种
情况讨论．
解：(1) ∵AC= 6cm，点M是AC的中点，
∴CM= AC=3cm
∵BC=4cm，点N是BC的中点，
∴CN= BC=2cm，
∴MN=CM+CN=2+3=5(cm)，
∴线段MN的长度为5cm；
(2) ∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM= AC= x，CN= BC= y，
∴MN=CM+CN= x+ y= (x+y)，
直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
(3) ①当点Ｃ在线段AB上，
∵AC= 6cm，点M是AC的中点，
∴CM= AC=3cm
∵BC=4cm，点N是BC的中点，
∴CN= BC=2cm，
∴MN=CM+CN=2+3=5(cm)，
∴线段MN的长度为5cm；
②当点Ｃ在线段AB延长线上，
∵AC= 6cm，点M是AC的中点，
∴CM= AC=3cm∵BC=4cm，点N是BC的中点，
∴CN= BC=2cm，
∴MN=CM-CN=3-2=1(cm)，
∴线段MN的长度为1cm；
③当点Ｃ在线段BA延长线上，
则AC＜BC，这种情况不存在．
【点拨】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离，明确线段中点的定义是
解题的关键．
22．（1）5cm；（2）①12或20，②6或10；（3）8
【分析】（1）根据线段的和差和线段中点的定义求解即可；
（2）①分点C在点B左侧和点C在点B右侧两种情况，根据线段的和差解答即可；
②分点C在点B左侧和点C在点B右侧两种情况，根据线段中点的概念解答即可；
（3）分点C在点B左侧和点C在点B右侧两种情况，根据线段中点的概念和线段的
和差解答即可
解：（1）因为 ，点C在线段AB上，且 ，
所以AC=AB-BC=10cm，
因为点M是线段AC的中点，
所以 cm；
（2）①当点C在点B左侧时，AC=AB-BC=12cm，
当点C在点B右侧时，AC=AB+BC=20cm；
故答案为12或20；
②当点C在点B左侧时， cm，
当点C在点B右侧时， cm；
故答案为：6或10；
（3）当点C在点B左侧时，如图，由①得AM=CM=6cm，
因为点N是线段BC中点，所以CN= cm，
所以MN=CM+CN=6+2=8cm；
当点C在点B右侧时，如图，由②得AM=CM=10cm，
因为点N是线段BC中点，
所以CN= cm，
所以MN=CM-CN=10-2=8cm；
故答案为：8
【点拨】本题考查了线段的中点及其有关计算，难度一般，掌握线段中点的定义、灵
活应用数形结合思想和分类思想是解题的关键．
23．(1)图见解析(2) (3)说明过程见解析
【分析】（1）先以点 为圆心、 长为半径画弧，交 延长线于点 ，再以点
为圆心、 长为半径画弧，交 延长线于点 ，然后以点 为圆心、 长为半径画弧，
交 延长线于点 即可得；
（2）先根据线段的和差可得 ，再根据线段中点的定义可得 ，
然后根据 可得 ，从而可得 ，最后根据线段的和差即可得；
（3）先根据 ， 可得 ，再根据线段中点的
定义可得 ，从而可得 ，据此可得
．
(1)解：如图，点 即为所作．
(2)解： ，，
点 为线段 的中点，
，
，
，
，
，
；
(3)解： ， ，
，即 ，
点 为线段 的中点，
，
，
，即 ，
故点 是线段 的中点．
【点拨】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的和差运算是解
题关键．
24．(1)320cm(2)120cm(3)20秒(4)10或30秒
【分析】（1）根据AB＋BC＝AC，已知AB＝40cm，BC＝280cm，代入数据，即可解
得线段AC的长；
（2）根据线段的中点定理可得 ，而BD＝AD﹣AB，即可求出线段
BD的长；
（3）这属于追击问题，设点P出发t秒后追上点Q，即当追上时有 ，可
方程 3t＝t＋40，即可得本题之解；（4）设点P出发t秒，点Q的距离是20cm；分两种情况，①是当P在Q的左侧时，
3t＝40＋t＋20；②是当P在Q的右侧时，3t＝40＋t＋20，分别解这两个方程，即可得出本
题答案．
(1)解：∵AB＋BC＝AC，
∴AC＝320cm；
(2)解：∵D是线段AC的中点，
∴ ，
∴BD＝AD﹣AB＝120cm；
(3)解：设点P出发t秒后追上点Q，
依题意有：3t＝t＋40，
解得t＝20．
答：点P出发20秒后追上点Q．
(4)解：当P在Q的左侧时，
此时3t＋20＝40＋t，
解得：t＝10；
当P在Q的右侧时，
此时3t＝40＋t＋20，
解得：t＝30．
答：点P出发10或30秒后，与点Q的距离是20cm．
【点拨】本题主要考查了线段的有关计算，一元一次方程的应用等知识．
