2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题6.8期中大题易丢分培优训练（期中真题压轴80道，八下人教）
一、解答题
1．（2022秋·湖南永州·八年级统考期中）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD=6cm，
BC=10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其
中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
(1)t取何值时，四边形EFCD为矩形？
(2)M是BC上一点，且BM=4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠ABC=60°，
点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP=4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分
别交AC于点E，F，设CQ=m．
(1)当平行四边形BPDQ的面积为6√3时，求m的值；
(2)求证：△≝≌△QCF；
(3)如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积．
3．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥BC，
∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度
向点D运动；动点Q从点C开始，沿BC边，以3厘米/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问：(1)t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(2)在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
(3)t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
4．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）（1）如图1，点E为▱ABCD中AB边上任意一点，请你仅用无
刻度的直尺在CD上找一点F，使得DF=BE．
（2）如图2，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点(BE>DE)，请你仅用无刻度的直尺画一个菱形，
使得AE为菱形的一边．
5．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）如图1，有一个正方形ABCD，将边CB绕点C旋转得到线段CE，
连接BE，点F是BE的中点，过点A作AG⊥BE交直线BE于点G．
(1)如图2，当点E落在正方形内部时，易得：
①CF与BE的位置关系是 ；
②线段AG与FB的数量关系是 ；
③CF，AG，GF的数量关系是 ．(2)若点E落在正方形外部（点B，C，E不在同一直线上）时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请
证明；若不成立，请直接写出新的结论．
6．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）图1、图2分别是10×6的网格，网
格中每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，A、B两点在格点上，请在下面的网格中
按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
(1)在图1中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，且△ABC的面积为10；
(2)在图2中画一个平行四边形ABEF，使其周长为10+2√13
(3)在图2中连接BF，并直接写出BF的长，BF=_________．
7．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线
MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
8．（2022春·广东肇庆·八年级校考期中）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°,30°,15°等
大小的角，可以采用下面的方法：
第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．(1)请问图中∠1、∠2和∠3有什么关系？证明你的结论．
(2)在第（1）题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形
√5−1
GHCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 ），若已知AB=4，求BC的长．
2
9．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，长方形ABCD沿直线EF翻折，使点C落在点C′处，点B
落在点B′处．
(1)如图1，当延长FC′恰好经过点A时，C′B′交AB于点H，连接C′E．已知H为C′B′中点．
①求证：△AHC′≌△EHB′．
②若HB=11，BC=2√11．求AF的长．
AD 3 OF
(2)如图2，当C′与点A重合时，作AO⊥EF，若 = ，求 的比值．
CF 5 AO
10．（2022秋·江西景德镇·八年级统考期中）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，
折痕两端点分别在AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10．设AE=x．
(1)当BF的最小值等于______时，才能使点B落在AD上一点E处；
(2)当点F与点C重合时，求AG的长．
(3)当AE=3时，点F离点B有多远？
11．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图1矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A
开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q
同时出发，设运动时间为ts.(1)当t=2时，求 PBQ的面积；
(2)当t为何值时，△△DPQ是以PQ为底的等腰三角形；
(3)当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中， DP是否能平分∠ADQ？
若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）▱ABCD中，点E、F分别在
C、AD上，且DF=BE．
(1)如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)如图2，若E为BC中点，连接BF、DE、EF，AE与BF相交于点G，CF与DE相交于点H，在不添加
任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除▱ABCD和▱AECF以外的所有平行四边形．
13．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）▱ABCD中，点E在边AD上，
∠B+∠AEC=180°．(1)如图1，求证：CD=CE；
(2)如图2，延长BA、CE交于点F，点G在线段CE上，连接AG、DG，若∠AGE=∠CDG，求证：
△AFG≌△GCD；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，若DF=DG，∠ADG=2∠BFC，BC=4，求AE的长．
14．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，
BD=4cm，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点
P的运动时间为t秒．
(1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长；
(2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值；
(3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值；
(4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线PQ平分
▱ABCD的面积时，直接写出t的值．
15．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角
形．
(1)初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP=
______时，△ABP与△CBP为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，
求AD的长；
(3)综合应用：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形．
16．（2022春·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考期中）如图，将一张矩形ABCD的纸片沿BD向
上折叠，顶点C落在点E处，BE交AD于F．
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)过D作DG∥BE交BC于G，连接FG，交BD于O．
①判断四边形BFDG的形状；
②若AB=6，AD=8，求FG的长．
17．（2022春·湖南怀化·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm，动点M从点D出
发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度
运动．
(1)若动点M,N同时出发，t秒时，N走过___________cm，M走过___________cm；
(2)若动点M,N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
(3)若点E在线段BC上，且BE=3cm，若动点M,N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点
A,E,M,N组成平行四边形？
18．（2022春·福建厦门·八年级统考期中）如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是
线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．(1)求证：PB=PE；
(2)若正方形ABCD的边长为6．
①过点E作EF⊥AC于点F，如图2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直
接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
②连接BE交AC于点G，在点P运动的过程中，当CE=2，求PG的长．
19．（2022春·山东德州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C
开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，动点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，
另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
20．（2022春·江西赣州·八年级校考期中）如下图所示，在平面直角坐标系中，四边形AOCB的点O在坐
标原点上，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（15，8），点C的坐标为（21，0），动点M从点A沿
AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，动点N从C点沿CO的方向以每秒2个单位长度的速度运动.点
M、N同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒.
(1)当t=2时，点M的坐标为___________，点N的坐标为___________；(2)运动过程中，当t=5时，四边形MNCB时什么四边形？
21．（2022春·贵州黔东南·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=9cm，
BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终
点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
（1）若AB=3cm，求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
探究：
（3）若AB=3cm，在整个运动过程中是否存在一个时间，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出运动
时间；若不存在，请说明理由．
能力提升：
（4）探究：如果要使第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形，则线段AB的长又要等于多少？
22．（2022春·江西赣州·八年级校考期中）阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝
形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中
CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相
交于点O.
简单应用：
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是___________；
(2)当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=___________°；
(3)当图③中的四边形AECF为菱形时，求证OD′CB′为完美筝形.23．（2022春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，O是对
角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．
(1)如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；
(2)如图2，若∠ACB＝45°，试探究AF，FO，EG之间的数量关系，并证明．
24．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，经过折叠使点A落在BC边上
的点E处，折痕为PQ．当点E在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动.规定点P、Q分别在AB，
AD上移动．
(1)当点A落在图1中E点处，如果PA=2，求BE的长为多少？
(2)当点E恰好是BC的中点时，AP和DQ的长分别是多少？
(3)点E在BC边上可移动的最大距离是多少？
25．（2022春·广西玉林·八年级校考期中）在 ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点，E为直
线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥D△E，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
(2)如图2，当点E在线段CA的延长线上时，若BM∥CE交ED的延长线于点M，连接FM，用等式表示
线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
26．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）我们定义：有一组对角相等而另一
组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”， ∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，
∠D的度数．
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现
CB=CD成立，请证明此结论：
②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”，你认为他的猜想
（填正确或不正确）．
(3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线的
长为 ．
27．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，
∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P．
(1)求∠ECP的度数；
(2)求证：AE=EP；(3)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存
在，请说明理由；
(4)如图2，在边长为4的正方形ABCD中，将线段AB沿射线BD平移，得到线段GF，连接CG,CF，则直
接写出CG+CF的最小值是 ．
28．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，∠A=∠B=∠C=∠D=∠=∠F=90°，AB、EF、
CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们
称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图
形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线L是该“L图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN中点O的直线分别
交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“L图形”中，AB=6，BC=10，AF=2．
①若CD=2，在下图中画出与AB平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为 ．29．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图1，△ABC中，AB=AC，点N为AC中点，点D为AB上
一点，连结CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．动点P从点B出发，以1个单位/秒的速度沿线段BA
向终点A运动，设点P运动的时间为t（秒）．
(1)求证：CD⊥AB．
(2)若△BPN为等腰三角形时，求t的值．
1
(3)如图2，动点P出发的同时，另有一点Q从点D出发沿线段DC向终点C运动，速度为 个单位/秒，连结
3
BQ,PQ，将线段BQ,PQ绕点Q分别向顺时针和逆时针方向旋转90∘，得到线段QE和QF，当E,C,F三
点共线时，直接写出t的值为______．
30．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=120°，点P是边BC上一点，连接AP，AP=CP．
(1)如图1，求证：AP⊥AB；
(2)如图2，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，延长AP交CD于点Q，求证：AP=2PQ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BQ，在CP上取一点E，连接AE，使∠CAE=∠DBQ，若AQ=6，
求PE的长．
31．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，
∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是______．（2）如图2，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC,CA,AB上的动点，
①PM+MN的最小值为______；②求PM+MN+NP的最小值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结
DE,DP，求DE+DF的最小值．
32．（2022春·浙江金华·八年级统考期中）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四
边形叫做“准筝形”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=150°，∠D=30°， AB=BC=2，则AD=
___________ ；CD= ___________．
(2)小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”
ABCD，AD=BD，∠BAD=∠BCD=60°，BC=5，CD=3，求AC的长．
小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC．请你
按照小军的思路求AC的长．
(3)如图3，在△ABC中，∠A=45°，∠ABC=120°，BC=2√3，设D是△ABC所在平面内一点，当
四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
33．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）在△ABC中， ∠BAC=90°,AB=AC,D为直线BC上一动点
(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图①,当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关
系.
(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变:
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;
②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
34．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图所示，△ABC是一个边长为4的等边三角形，D是直线
BC上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE=120°，并以AB、AE为边作平行四边形ABFE．
(1)当点D在线段BC上时，AD交BF于点G，求证：△ABD≌△BCF；
(2)求线段BF的最小值： ．
(3)当直线AE与△ABC的一边垂直时，请直接写出▱ABFE的面积．
35．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形ABCD的边长为8，点P、G分别在射线BC、边
AB上，连接PG，点B关于PG的对称点为Q，连接BQ．
(1)如图1，取AD、BC的中点E、F，连接EF，若点Q刚好落在线段EF上，且点P在线段FC上，则∠PBQ的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在AD边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并
说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当PC=2时，求AG的长；
②若线段PQ与CD相交于点N，连接BN，试探索点Q落在不同位置时，∠QBN的度数是否发生变化，若
不变，求出∠QBN的度数；若变化，请说明理由．
36．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三
角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=AD=EA，BC与AD、DE分别交于点F、H，AC和DE交
于点G，连接BD，CE．
(1)若∠BDA=65°，求∠DAC的度数；
(2)如图（2）延长BD，EC交于点M，
①证明：A，M，H在同一条直线上；
②若BC=2CM，证明：BD=HD．
37．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）（1）如图1，四边形ABCD是正四边形，∠EAF在∠BAD的
内部绕点A转动，若AE平分∠BEF．求证：AF平分∠DFE．
（2）如图2，四边形ABCD是正四边形，∠EAF=45°，∠EAF绕点A旋转，∠EAF的边与CB的延长线交于点E，与DC的延长线交于点F，判断BE、EF、DF的数量关系并证明．
38．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）（1）如图1，将长方形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，
折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=58°，则∠DBE= °；
（2）小明手中有一张长方形纸片ABCD，AB=CD=4，AD=BC=9．
【画一画】
如图2，点E在这张长方形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点
M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【算一算】
图3，点F在这张长方形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别
7
落在点A′，B′处，若AG= ，求B′D的长．
3
39．（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）【问题初探】（1）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，
∠BAD=90°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，试判断EF,BE,
DF之间的关系．聪明的小明是这样做的：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ．
【类比探究】（2）如图2在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠B=∠ADC=90°，点E，F
分别在四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小明的发现给你的启示
写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明．40．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形
OABC的顶点A，B的坐标分别为A(9,0)，B(9,4)，AD=1，CE=5，动点P从O点出发，以每秒1个单
位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（0<t<22）．
(1)点D的坐标是 ；点E的坐标是 ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当∠PED为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当△PED是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．
41．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1× =1− ； × = − ； × = − ； × = − ……
2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5
(1)请用含n的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
1 1 1 1
(3)利用等式计算： + + + ；
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4)
1 1 1 1
(4)计算： + + +⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √3+2 3+√10
42．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1
个单位长度到达点B，点A表示−√5，设点B所表示的数为p．
①则p的值 ；
=②若p的小数部分为k，求(k+√5) 2的值．
（2）已知4a2+b2+4ab与√3b+12互为相反数，
①则2a−3b的平方根 ；②解关于x的方程ax2+4b−2=0．
（3）已知正实数x的平方根是m和m+b．
①当b=8时，则m ；②若m2x+(m+b) 2x=32，求x的值．
43．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像√4−2√3，√√48−√45…这样的根式叫做复合二次
根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
√4−2√3＝√3−2√3+1＝√ (√3) 2 −2×√3×1+12＝√ (√3−1) 2＝√3−1．
再如：√5+2√6=√3+2√6+2=√ (√3) 2+2√3×√2+(√2) 2 =√ (√3+√2) 2= √3 +√2
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：√12+2√35；
(2)化简：√17−4√15；
(3)若a+6√5=(m+√5n) 2，且a，m，n为正整数，求a的值．
44．（2022春·山西临汾·八年级统考期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可
以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：
4+2√3=(1+3)+2√1×3=12+2×1×√3+(√3) 2=(1+√3) 2 ，
5−2√6=(3+2)−2√3×2=(√3) 2 −2×√3×√2+(√2) 2=(√3−√2) 2 ．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简√4+2√3=√(1+√3) 2=1+√3，
√5−2√6=√(√3−√2) 2=√3−√2．
(1)请你依上述方法将4−2√3化成一个式子的平方，并直接写出√4−2√3的值．
(2)化简：√4−2√3+√8−2√15+√12−2√35+√16−6√7．
(3)若√a+2√6=√m+√n且a、m、n均为正整数，则a=________．
45．（2022春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方
法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2√3和b＝3√2的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4√2，d＝2√7大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝2√5+√6，n＝2√3+√14之间的大小，并证明．
(3)化简：√4 p−8√p−1+√4 p+8√p−1＝ （直接写出答案）．
46．（2022春·北京·八年级北理工附中校考期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：
4+2√3=1+3+2√3=12+2√3+(√3) 2=(1+√3) 2 ．
这样小明就找到了一种把类似4+2√3的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)结合小明的探索过程填空： + √5=(1+2√5) 2；
(2)7+4√3的算术平方根为 ；
(3)化简：√3−2√2+√5−2√6+√7−2√12+⋯+√2n+1−2√n(n+1) ．( 为正整数)
𝑛
x
47．（2022春·重庆丰都·八年级期中）如果记y= =f (x)，并且f (√1)表示当x=√1时y的值，即
1+x
√1 1 √2 (√1) √1
f (√1)= = ；f (√2)表示当x=√2时y的值，即f (√2)= ；f 表示当x= 时y的值，即
1+√1 2 1+√2 2 2
√1
(√1) 2 1
f = = ；…
2 √1 √2+1
1+
2
（1）计算下列各式的值：
(√1)
f (√2)+f =__________.
2
(√ 1 )
f (√111)+f =__________.
111(√1)
（2）当n为正整数时，猜想f (√n)+f 的结果并说明理由；
n
(√1) (√1) (√ 1 )
（3）求f (√1)+f (√2)+f +f (√3)+f +⋅⋅⋅+f (√100)+f 的值.
2 3 100
1
48．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是
2+√3
这样分析与解答的：
1 2−√3
因为a＝ ＝ ＝2－√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
所以a－2＝－√3.
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
(1)计算： = － .
√2+1
1 1 1 1
(2)计算： + + ＋…＋ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
1
(3)若a＝ ，求4a2－8a＋1的值．
√2−1
49．（2022春·广西崇左·八年级统考期中）先观察下列等式，再回答问题：
√ 1
① 12+2+( ) 2 =1+1=2；
1
√ 1 1 1
② 22+2+( ) 2=2+ =2 ；
2 2 2
√ 1 1 1
③ 32+2+( ) 2=3+ =3 ；…
3 3 3
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
50．（2022春·江西南昌·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
2
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
√3+12 2(√3−1) 2(√3−1)
方法一：
= = =√3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −1
2 3−1 (√3 2 )−1 (√3+1)(√3−1)
方法二： = = = =√3−1
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
2
（1）请用两种不同的方法化简： ；
√5+√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ．
√4+√2 √6+√4 √8+√6 √2020+√2018
51．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）像(√5+2)(√5﹣2)＝1、√a•√a＝a(a≥0)、(√b
+1)(√b﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互
为有理化因式．例如，√5与√5，√2 +1与√2﹣1，2√3+3√5与2√3﹣3√5等都是互为有理化因式．进行二
次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
2
(1)化简： ；
3√3
1 1
(2)计算： + ；
2−√3 √3−√2
(3)比较√2018−√2017与√2017−√2016的大小，并说明理由．
52．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：因为√a×√a=a，(√2+1)(√2−1)=1，所以√a与√a，√2+1与√2−1互为有理化因式．进行二次
根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
√3+2
(1)√3−2的有理化因式是________；化简： =________；
√3−2
1 1 1 1
(2)化简： + + +⋯⋯+
√3+1 √5+√3 √7+√5 √289+√287
(3)拓展应用：已知，a=√2020−√2019，b=√2021−√2020，c=√2022−√2021，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
53．（2022秋·江西鹰潭·八年级校考期中）阅读下列解题过程，并解答问题．
1 1×(√3−√2) √3−√2
①
= = =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2) (√3) 2 −(√2) 2√11−√10 (√11−√10)(√11+√10) 1
②√11−√10= = = ．
1 1×(√11+√10) √11+√10
1
(1)直接写出结果 = ；
√n+1+√n
1 1 1 1
(2)化简： + + +⋅⋅⋅+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
(3)比较大小：√2023−√2022与√2022−√2021．
1 1
54．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知x= ，y=
√5−2 √5+2
(1)求x2+2xy+ y2的值．
(2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求ax+by的平方根．
55．（2022春·广东肇庆·八年级校考期中）先观察下列等式，再回答下列问题：
√ 1 1 1 1 1
① 1+ + =1+ − =1 ；
12 22 1 1+1 2
√ 1 1 1 1 1
② 1+ + =1+ − =1 ；
22 32 2 2+1 6
√ 1 1 1 1 1
③ 1+ + =1+ − =1 ．
32 42 3 3+1 12
√ 1 1
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 1+ + 的结果，并验证；
42 52
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；
√50 1
(3)请利用上述规律来计算 + （仿照上式写出过程）．
49 64
56．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，门上针子P处挂萡一个“欢迎光临”的长方形挂牌
ABCD，则得AB=10cm，AD=24cm．如图1，当挂牌水平悬挂（即BC与地面平行）时，测得挂绳
AP=DP=20cm，此时点P到BC所在直线的距离为______cm．将该门挂的挂绳长度缩短4cm后重新挂上，
此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现AC与地面平行，且点P、D、C三点在同一直线上，则点B
的高度下降了______cm．57．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们
在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结
合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题
途径的目的．
(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=2，求√m2+1+√n2+4的最小值．通过分析，小明想到
了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段
AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．
①用含m的代数式表示CE= ，用含n的代数式表示DE= ；
②据此写出√m2+1+√n2+4的最小值 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式√x2+25+√(x−16) 2+49的最小值是 ；
(3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，画出图形，并写出
√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2的最小值；
②若a，b为正数，写出以√a2+b2，√4a2+b2，√a2+4b2为边的三角形的面积 ．
58．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，CD，BE是△ABC的两条高线，且它们相交于Q，F是BC边的中点，连接DF，DF与BE相交于点P，已知BD=CD．
(1)求证BQ=AC
(2)若BE平分∠ABC．
①求证：DP=DQ；
②若AC=8，求BP的长．
59．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上
的中线．求中线AD的取值范围；（提示：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE）
（2）如图2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边的中点，∠EDF=90°，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF，求证：BE2+CF2=EF2；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且
EF⊥EG，若AF=4，DG=2√3，求GF长．
60．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图1，在等边△ABC的AC、BC边上各取一点D、E，AE、
BD相交于点F，∠BFE=60°．(1)求证：AD=CE；
(2)如图2，过点B作BG⊥AE于点G．
①若BE=2EC=2，求BG的长；
②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE的度数．
61．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2−1，AC=2n.
(1)试判断△ABC的形状，并证明：
(2)当n=2时，点D从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线A→B→C→A运动，设运动时间为t秒，
①当BD平分∠ABC时，求t的值：
②当点D落在边AB的垂直平分线上时，求t的值；
③在整个运动过程中，直接写出△BCD为等腰三角形时t的值.
62．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，则称
△ABC为“方倍三角形”．(1)对于①等边三角形，②直角三角形，下列说法一定正确的是________．
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D.①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=√6，则该三角形的面积为________；
(3)如图，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，
点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2，求AD的长．
63．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，
若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A−B−C−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．
(1)点P运动结束，运动时间t=______；
(2)当点P到边AB、AC的距离相等时，求此时t的值；
(3)在点P运动过程中，是否存在t的值，使得△ACP为等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，请
说明理由．
64．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AE为BC
边上的中线．(1)求AE的长；
(2)动点P的速度为2cm/s，运动时间为t秒．
①如图2，当点P从点B开始沿BC边向点C移动时，若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，请你求出所有
满足条件的t的值．
②如图3，当点P从点C开始沿AC边向点A移动时，将△CPE沿直线PE对折，点C的对称点为C′，当
△C′PE与△AEP重叠部分为直角三角形时，请直接写出t=_____．
65．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边所
在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD=AE，根据
∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE得出
△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD=CE，位置关系为BD⊥CE；
(1)探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且点D在BC边上滑动（点D不
与点B，C重合），连接EC．
①则线段BC，DC，CE之间满足的等量关系式为 ；
②求证：BD2+CD2=2AD2；
(2)拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，
求AD的长．
66．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
(1)动点P运动2秒后，求△ABP的周长．
(2)问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，
当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的
两部分？
67．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
√1
OA2=1+(√1) 2=2，S = ，
2 1 2
√2
OA2=1+(√2) 2=3，S = ，
3 2 2
√3
OA2=1+(√3) 2=4，S = ，
4 3 2
……
(1)OA =_____；
10
(2)用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律：OA2=_____，S =_____；
n n
(3)若一个三角形的面积是√5，则它是第______个三角形；
(4)求出S2+S2+S2+S2+⋯+S2 的值．
1 2 3 4 10
68．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）（1）如图1，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放
入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，
在滑动过程中，你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论；
【变式探究】（2）如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若
∠B=∠FDE=∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；
【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，BA=BC，∠B=45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF=2BD．以DF为腰向右作等腰△≝¿，使得DE=DF，∠EDF=45°，连接CE．
①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知AC=4，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值．
69．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王
老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这
些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；
(2)若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的
32−1 52−1 72−1
小明发现每组第二个数有这样的规律：4= ，12= ，24= ……，则用含a的代数式表示
2 2 2
每组第二个数和第三个数分别为 、 ；
(3)用所学知识加以说明．
70．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）阅读材料：
材料一：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐标分别是P(x ，y )、Q(x ，y )，则 P、Q 这两点
1 1 2 2
间的距离为 |PQ|=√(x −x )2+(y −y )2 .如点P(1,2)，Q(3,4)，则|PQ|=√(1−3)2+(2−4)2=22．
1 2 1 2
材料二：求代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．
解：原式变形为√(x−0)2+(0+2)2+√(x−12)2+(0−3)2，它的几何意义是在 x 轴上的一点M(x,0)
到点A(0,−2)和点B(12,3)的距离之和的最小值．因为 A、B 在 x 轴的两侧，所以当 P、A、B 三点共线
时最小，此时最小值等于线段AB的长度，因为|AB|=√(0−12)2+(−2−3)2=13，所以代数式
√x2+4+√(12−x)2+9的最小值为13．
阅读以上材料，解决下列问题
(1)【材料理解】代数式√(x−1) 2+4+√(x−3) 2+16的值可以看成平面直角坐标系中点M(x,0)与点
A(1,2)、点 B_________的距离之和．（填写点B的坐标，只填写符合题意的一个即可）
(2)【直接运用】 求代数式√x2+25+√x2−8x+17的最小值．
(3)【思维拓展】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，2)，B(0，4)，有一条长度为3的线段CD（点 D 在点C
的右侧）在x轴上运动．连接AC、BD，求AC+BD的最小值．
71．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，
OA=7．
(1)当OA=OB时，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于点M，
BN⊥OQ于点N，若AM=√33，求BN的长．
(2)当点B在y轴正半轴上运动时，分别以OB，AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰
Rt△OBF和等腰Rt△ABE，连结EF交y轴于点P，如图2．试猜想：PB的长是否为定值？若是，请求出
其值；若不是，不必说明理由．
72．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在边AC上运动，点D在
边AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
(1)判断DP与DE的位置关系，并说明理由；(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长；
(3)若AC=6，BC=8，则PE的最小值为 ．（直接写出结果）
73．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件
AB，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成60°角，即∠ACB=60°；在AC的中点D处固定了
一个激光扫描仪，需要对零件AB进行扫描，已知扫描光线的张角恒为60°，即∠EDF=60°．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件AB边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫
到的部分（即线段AE和线段BF）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，AE+BF________EF（填“>”，“<”或
“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当∠ADE=30°时，AE+BF________EF（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当0°<∠ADE<60°时，AE+BF________EF，证明你所得到的结论：
EF
(3)研究特殊关系：如果BF2+EF2=AE2，求出 的值．
AE
74．（2022秋·浙江·八年级期中）如图1，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AE为BC边上的中
线．
(1)求AE的长；(2)动点P的速度为2cm/s，运动时间为t秒．
①如图2，当点P从点B开始沿BC边向点C移动时，若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，请你求出所有满
足条件的t的值．
②如图3，当点P从点C开始沿AC边向点A移动时，将△CPE沿直线PE对折，点C的对称点为C′，当
△C′PE与△AEP重叠部分为直角三角形时，请直接写出t的值为_________
75．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，
见图1、图2．
图1中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm；图2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．
图3是小刘同学所做的一个实验：他将ΔDEF的直角边DE与ΔABC的斜边AC重合在一起，并将△≝¿的直
角边DE与ΔABC的斜边AC重合在一起，并将△≝¿沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在
AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
(1)在△≝¿沿AC方向移动的过程中，小刘同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ；（填“不变”、“变
大”或“变小” )
(2)小刘同学经过进一步研究，编制了如下问题：
问题①：当△≝¿移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△≝¿移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形
是直角三角形？
请你分别完成上述两个问题的解答过程．
76．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，
AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．
(1)当AD=4，BC=5时，求CD的长；(2)当BC=CE时；求证：AE⊥AB；
S 18
(3)设△ACD的面积为S ，△ACE的面积为S ，且 1= ，在点E的运动过程中，是否存在△ACE为等腰
1 2 S 25
2
BE
三角形，若存在，求出相应的 的值，若不存在，请说明理由．
BC
77．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm，
P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从
点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求△PCQ的面积；
(2)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为直角三角形的运动时间．
(3)当两P、Q点其中有一点落在△ABC某内角的角平分线上时，请直接写出满足条件的t的值．
78．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四
1 1
个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4+(b−a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2 ，
2 2
化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双
求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三
边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶
点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
79．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等
腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“美妙线”．
(1)如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“美妙线”，若∠BAD=100°,∠BCD=160°，则
∠ABC=______°；
(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BC2=2AB2，∠A=60°，∠D=150°，试说明四边形ABCD
是“等腰四边形”；
(3)若在“等腰四边形”ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=90°，且BD为“美妙线”，请直接写出
∠ADC的度数______
80．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，
点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE，DE，可知，此时△AED是等腰直角三角形；
【问题提出】(1)如图②，在长方形ABCD中，点P是边CD上一点，在边BC、AD上分别作出点E、F，使得点F、
E、P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且PE=PF，∠EPF=90°
要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
【问题探究】
(2)如图③，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，点B(4,1)，点C在第一象限内，若△ABC是等腰
直角三角形，求点C的坐标；
【问题解决】
(3)如图④，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，点C是y轴上的动点，△ABC是以点C为直角顶
点的等腰直角三角形，连接BO，求BO+BA的最小值．[注：在平面直角坐标系内，A(a,c)，B(b,d)，
则AB=√(a−b) 2+(c−d) 2]
