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第 13 章 三角形能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，已知FE⊥EG，
∠EFG=62°，则∠BEG的度数是（ ）
A．62° B．38° C．28° D．34°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知
识．利用三角形内角和求出∠EGF，再结合平行线性质即可求出∠BEG．
【详解】解：∵FE⊥EG，∠EFG=62°，
∴∠EGF=180°−90°−62°=28°，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=28°，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠A=29°，D为AB延长线上一点，过点D作DE∥BC．若
∠D=46°，则∠C的度数是（ ）
A．13° B．15° C．17° D．23°
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质定理和外角的性质定理，熟记性质定理是解题关键．
根据DE∥BC，可得∠CBD=∠ADE=46°，根据外角的性质，可得∠C=∠CBD
－∠A=17°．
【详解】解：∵ DE∥BC，∴∠CBD=∠ADE=46°，
∵∠CBD是△ABC的外角，∠A=29°，
∴∠C=∠CBD－∠A=17°．
故选：C．
3．如图，△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于
点F，若S =1，则PE+PF=（ ）
△ABC
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键．
1 1
根据题意得到S +S = AB·PE+ AC·PF=1，由此即可求解．
△ABP △ACP 2 2
【详解】解：如图所示，连接AP，
∵PE⊥AB,PF⊥AC,AB=AC=2,S =1，
△ABC
1 1
∴S +S = AB·PE+ AC·PF=1，
△ABP △ACP 2 2
1
AB(PE+PF)=1，
2
∴PE+PF=1，
故选：A ．
4．如图，在△ABC中，D为BC边上的点，满足AB=AC=BD，且∠DAC=30°，则
∠B的度数为（ ）A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角是解答此题的关键．
先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠B=∠C，
∠BAD=∠BDA=30°+∠C，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵AB=AC=BD
∴∠B=∠C，∠BAD=∠BDA=∠DAC+∠C=30°+∠C，
∴∠BAD=∠BDA=30°+∠B
∵∠BAD+∠BDA+∠B=180°
∴30°+∠B+30°+∠B+∠B=180°
∴∠B=40°．
故选：C．
5．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若AB=5, AD=3，则AC的取值范围为（ ）
A．1”、“<”或“=”）．
【答案】(1)见解析
(2)∠CEF=60°
(3)=
【分析】（１）∠ACB=90°，CD为AB边上的高，得∠A+∠ABC=90° ，
∠BCD+∠CBD=90°，即得∠A=∠BCD；
（２）根据∠A=30°， ∠ABC=60°，∵BE平分∠ABC，可得
∠CEF=∠A+∠ABE=60°；
（３）根据∠CBE+∠CEB=90°. ∠FBD+∠BFD=90°. ∠CBE=∠FBD，
∠BFD=∠CFE，即得∠CFE=∠CEF．
【详解】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD为AB边上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠BCD；
（2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠A=60°，
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=30°，
2
∴∠CEF=∠A+∠ABE=60°；
（3）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠CEB=90°.∵CD⊥AB，
∴∠FBD+∠BFD=90°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBD，
∴∠CEB=∠BFD.
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠CEB=∠CFE，
即∠CFE=∠CEF．
故答案为：=．
【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，
余角性质，三角形外角性质，是解题的关键．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠ACB>90°．
(1)请在图中画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)已知E为边AB上一点．
①若CE是中线，BC=12,AC=10，则△BCE与△ACE的周长差为_____________；
②若∠1=∠2=35°,∠3=∠4，求∠EAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②40°
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三
角形外角的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
（1）过点A作AD⊥BC交BC延长线于D，则AD即为所求；
（2）①由三角形中线的定义得到BE=AE，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；
②由三角形外角的性质可得∠3=∠4=∠1+∠2=70°，再由三角形内角和定理可得
答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC延长线于D，则AD即为所求；（2）解：①∵CE是中线，
∴BE=AE，
∴BC+BE+CE−(AC+CE+AE)
=BC+BE+CE−AC−CE−AE
=BC−AC
=12−10
=2，
∴△BCE与△ACE的周长差为2；
②∵∠1=∠2=35°，
∴∠3=∠1+∠2=70°，
∴∠3=∠4=70°，
∴∠EAC=180°−∠3−∠4=40°．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
(1)若∠C=70°，∠B=30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠C−∠B=20°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)20°
(2)10°
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质．
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出
∠CAE的度数即可；根据AD⊥BC及三角形内角和定理可求出∠CAD的度数，再由
∠DAE=∠CAE−∠CAD即可求出∠DAE的度数；
（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用∠B、∠C表示出∠CAE的度数，
再根据直角三角形的性质用∠C表示出∠CAD的度数，∠DAE=∠CAE−∠CAD，化简即可求出∠DAE的度数．
【详解】（1）解：∵在△ABC中∠C=70°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−70°−30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠CAE= ∠BAC= ×80°=40°；
2 2
∵AD⊥BC，∠C=70°，
∴∠CAD=90°−∠C=90°−70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=40°−20°=20°；
（2）解：∵AE平分∠BAC，
1
∴∠CAE= (180°−∠C−∠B)，
2
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°−∠C，
∴
1 1
∠DAE=∠CAE−∠CAD= (180°−∠C−∠B)−(90°−∠C)= (∠C−∠B)=10°
2 2
19．（8分）【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A=80°，则
∠P=______；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数
量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间
的数量关系．
1
【答案】（1）130°，∠A=2∠M；（2）∠N=90°− ∠A
2
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之
间的数量关系是解题的关键．（1）如图 ，由角平分线可得
①
1 1
∠ABP=∠CBP= ∠ABC，∠ACP=∠BCP= ∠ACB，由三角形内角和可求
2 2
∠ABC+∠ACB=180°−∠A，根据
1
∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°− (∠ABC+∠ACB)，计算求解即可；如
2
图 ，由角平分线与外角可得2∠DCM=∠A+2∠CBM=2(∠M+∠CBM)，整
理②即可；
1 1
（2）由角平分线可得∠CBN=∠EBN= ∠CBE，∠BCN=∠FCN= ∠BCF，
2 2
由∠ABC+∠ACB=180°−∠A，可得∠CBE+∠BCF=180°+∠A，则根据
∠N=180°−(∠CBN+∠BCN)，计算求解即可；
【详解】解：（1）如图 ， BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
1 ① ∵ 1
∠ABP=∠CBP= ∠ABC，∠ACP=∠BCP= ∠ACB，
2 2
∴
∠ABC+∠ACB=180°−∠A=100°，
∵ 1
∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°− (∠ABC+∠ACB)=130°；
2
∴
如图 ， BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，
② ∵ 1 1
∠CBM=∠ABM= ∠ABC，∠DCM=∠ACM= ∠ACD，
2 2
∴
∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCM=∠M+∠CBM，
∵2∠DCM=∠A+2∠CBM=2(∠M+∠CBM)，
∴整理得，∠A=2∠M，
故答案为：130°；∠A=2∠M．
（2） BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
∵ 1 1
∠CBN=∠EBN= ∠CBE，∠BCN=∠FCN= ∠BCF，
2 2
∴
∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵
∠∴ CBE+∠BCF=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−(∠ABC+∠ACB)=180°+∠A
1 1
∠N=180°−(∠CBN+∠BCN)=180°− (∠CBE+∠BCF)=90°− ∠A，
2 2
∴1
∠N=90°− ∠A；
2
∴
20．（8分）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB=5，
CD⊥AB于点D，求CD的长；
（2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=2，求△ABC的高CD与AE的比；
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，点D，P分别在边AB，AC上，且BP=AP，
DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F．若BC=10，求DE+DF的值．
12
【答案】（1）CD= ；（2）CD:AE=1:2；（3）10．
5
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面
积法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用面积法求出CD即可．
（2）利用面积法求出高CD与AE的比即可．
（3）利用面积法求出DE+DF=BC，可得结论．
【详解】（1）解：∵CD⊥AB，
1 1
∴S = ⋅AC⋅BC= ⋅AB⋅CD，
△ABC 2 2
4×3 12
∴CD= = ；
5 5
1 1
（2）解：∵S = AB⋅CD= BC⋅AE，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×4×CD= ×2×AE，
2 2
∴2CD=AE，
∴CD:AE=1:2；
1 1 1
（3）解：∵S = AP⋅BC，S = AP⋅DF，S = BP⋅DE，
△ABP 2 △ADP 2 △BDP 2
∵S =S +S ，
△ABP △ADP △BDP1 1 1
∴ S = BP⋅DE+ AP⋅DF= AP⋅BC，
△ABP 2 2 2
又∵BP=AP，
1 1 1
∴ AP⋅DE+ AP⋅DF= AP⋅BC，
2 2 2
即DE+DF=BC=10．
21．（10分）如图1，MN，EF是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线
AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则一定有∠1=∠2．光线CD是由镜面EF反
射得到．
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)调整后镜面EF的位置如图2，光线m射到平面镜MN上，被MN反射到平面镜EF
上，又被镜面EF反射得到n，若m∥n，且∠3=35°，求∠4和∠5的度数；
(3)在（2）的条件下，增添镜面PQ，放在恰当位置，使光线n的反射光线平行于镜面
MN，直接写出镜面PQ与镜面MN的夹角（夹角为锐角）．
【答案】(1)AB∥CD，理由见解析
(2)∠4=70°，∠5=90°
(3)17.5°或72.5°
【分析】此题考查了平行线性质的应用，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质
和准确作图是关键．
（1）证明∠ABC=∠BCD，即可得到结论；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理进行求解即可；
（3）分两种情况画图进行解答即可．
【详解】（1）AB∥CD，
证明∶ ∵MN∥EF，
∴∠2=∠BCE，
∵∠1=∠2，∠BCE=∠DCF，∴∠1=∠2=∠BCE=∠DCF，
∵∠1+∠2+∠ABC=180°，∠BCE+∠BCD+∠DCF=180°，
∴∠ABC=∠BCD，
∴AB∥CD；
（2）如图，
∵∠TGN=∠3=35°，
∴∠HGT=180°−∠TGN−∠3=110°，
∵m∥n，
∴∠4=180°−∠HGT=70°，
1
∵ ∠GTN=∠RTF= (180°−∠4)=55°，
2
∴∠5=180°−∠TGN−∠GTN=90°；
（3）如图，过点T作TX∥MN，
∵反射光线UV∥MN，
∴UV∥MN∥TX，
∴∠XTG=∠TGN=35°,∠W =∠VUQ，
∴∠XTR=∠4−∠XTG=35°，
∴∠VUT=180°−∠XRT=145°，
1
∴∠VUQ=∠TRW = (180°−∠VUT)=17.5°，
2∴∠W =∠VUQ=17.5°，
即此时镜面PQ与镜面MN的夹角为17.5°，
如图，可知，∠VUT=∠XTU=35°，
1
∴∠TUW =∠UVP= (180°−∠TUV)=72.5°，
2
∵MN∥UV，
∴∠PWN=∠PUV =72.5°，
即此时镜面PQ与镜面MN的夹角为72.5°，
综上可知，镜面PQ与镜面MN的夹角（夹角为锐角）为17.5°或72.5°．
