文档内容
22.3 实际问题与二次函数（2）
教学目标：
1．复习用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系
式。
2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关
系式。
重点难点：
根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也
是难点。
教学过程：
一、复习巩固
1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?
2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，
(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略
(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?
[对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]
二、范例
例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求
这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式
称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点
坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求
1出a的值。
练习：练习1．(2)。
例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二
次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图
象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对
称轴是直线x＝2，可以得
解这个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－
5。
解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的
图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到 解这个方程组，得：
所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，
即y＝－2x2＋8x－5。
例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为
4，求函数的关系式。
解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－
2)2－4
因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，
于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x
－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得解这个
方程组， 得：
所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。
三、课堂练习
1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求
二次函数的关系式。
2解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，
所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解
这个方程组，得：
所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。
解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，
得y＝a(x＋3)2－1
因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a＝
所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．
小结：讨论、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该
函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次
函数关系式。
简解：依题意，得 解得：p＝－10,q＝23
所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。
四、小结
1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?
[两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)]
2．如何确定二次函数的关系式?
五、作业：
1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二
次函数的关系式。
2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。
3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，
0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量
3x的变化范围是______。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它
的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。
6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3
米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25
米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
教后反思：
4
