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第 27 章 相似（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2023·云南昆明·九年级昆明市第三中学校考阶段练习）下面几对图形中，相似的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键；
根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果；
【详解】根据题意得：C选项为相似图形，
故选：C．
【变式】（2023·上海青浦·九年级校考期中）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个梯形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．
【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题
意；
因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意；
因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以
C不符合题意；
因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意．
故选：D．
二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠
倒。
2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、
叫后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【例2】（2023·江苏无锡·九年级统考期中）在比例尺为 的地图上，一条长为6cm的线段实际长为
m．
【答案】180
【分析】本题考查了比例线段，比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比，公式
为：比例尺=图上距离与实际距离的比，据此进行求解即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：设两地的实际距离是 cm，
根据题意可得： ，
解得： cm= m，
故答案为：180．
【变式1】（2023·浙江湖州·九年级长兴县古城中学校联考阶段练习）已知线段 ， ，则 的比例
中项线段等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查比例中项，熟练掌握“若 ，则称c是a，b的比例中项”是解题的关键；因此
此题可根据比例中项进行求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 的比例中项线段为 ；故答案为： ．
【变式2】（2023·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）若 ，且 是 、 的比例中项
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了成比例的线段，根据比例中项得 ，进而可求解，熟练掌握比例中项的定义
是解题的关键．
【详解】解： ，且 是 、 的比例中项，
，
故答案为： ．
【变式3】（2023·江苏南京·九年级期末）如果 ， ，那么 ．
【答案】44
【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，利用设k法进行计算，即可解答．熟练掌握设k法是解题
的关键．
【详解】解： ，，
， ， ，
，
，
解得： ，
， ， ，
，
故答案为：44．
三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【例3】（2023·广西桂林·九年级桂林十八中校考期中）如图， ，若 ， ，
，则 的长等于（ ）A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据
代入计算，得到答案
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：A．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 是 的边 的中点，过点 作 的平
行线交 于点 ，连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，若 ，则 长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】 ， ，
， ，
是 的边 的中点，， ，
，
，
，
．
故选：D．
【变式2】（2023·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，己知直线 ，分别交直线 于点
A，B，C和点D，E，F，若 ，则 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到 ，由此
求出 的长即可求出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例4】（2023·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， 分別是边 ， ， 上的点， ， ，且 ，那么 等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由 ，推出 ，推出 ，
由 可得 ，由此即可解决问题，解题的关键是熟练掌握三角形的判定和性质的应用．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式】（2023·湖南常德·九年级校联考期中）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，若
， ， ，则 的长为 ．【答案】15
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据 得 ，再根据相似三角形对应
边成比例即可求解．根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原
三角形相似”证明 是解题的关键．
【详解】解： ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
，
故答案为：15．
五、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【例5】（2023·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）如图，下列条件不能判定 的是（
）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：由条件 ，结合 ，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明
，故A不符合题意；
由条件 ，结合 ，可以由两组角对应相等的两三角形相似证明 ，故B不符
合题意；
由条件 ，结合 ，可以由两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似证明
，故C不符合题意；
由条件 ，结合 ，不可以证明 ，故D符合题意；
故选D．
【变式1】（2024·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，则下
列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用 中， ， ， ，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
角形相似可对各选项进行判定即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
在A、C、D选项中的三角形都没有 ，
而在B选项中，三角形的钝角为 ，它的两边分别为1和 ，
因为 ，
所以B选项中的三角形与 相似．
故选：B．
【变式2】（2023·四川宜宾·九年级校考期中）如图所示，网格中相似的两个三角形是．（填序号）
（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的边长是解题的关键．
先求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解．
【详解】解：图形①的三边为： ；
图形②的三边为： ；
图形③的三边为： ；
图形④的三边为： ，
∵ ，
∴①与③相似，故网格中相似的两个三角形是①③．
故选：B．
【变式3】如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形
相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的
两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
先根据 求出 ，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
A、添加 ，可用两角法判定 ，故本选项不符合题意；
B、添加 ，可用两角法判定 ，故本选项不符合题意；
C、添加 ，可用两边及其夹角法判定 ，故本选项不符合题意；
D、添加 ，不能判定 ，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式4】（2023·上海青浦·九年级校考期中）如图，在正方形 中， 为 中点， ，连
接 ，那么下列结论中： 与 相似； 与 相似； 与
相似： 与 相似； ；其中错误的有（ ）个．A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似
三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为 ，则 ，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 为直角三角形， ，故 正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ 和 不相似，故 错误；
④正确；
∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个，
故选：B．
六、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例6】（2023·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如果两个相似三角形的周长之比为 ，那么这两个三角形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周
长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可
求解．
【详解】解： 两个相似三角形的周长之比为 ，
两个相似三角形的相似比是 ，
这两个三角形的面积之比为 ．
故选：C．
【变式】如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么它们对应高线的比是（ ）
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．8∶27
【答案】A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2∶3，
∴它们对应高线的比为2∶3，
故选：A．
七、利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必
须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【例7】（2023·广西南宁·九年级南宁二中校考期中）为了测量树木的高度，小壮把老师教学用的直角三角
板直立于地面进行测量．如图，点A，B，Q在同一水平线上， 和 均为直角， 与 相交
于点D．测得 ，则树高 m．
【答案】6【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可知： ，从而可以得到，然后代入数据计
算，即可得到 的长．
【详解】解：由题意可得， ，
，
，
，
即 ，
解得 ，
∴树高 ，
故答案为：6．
【变式】（2024·江苏南京·九年级南京民办实验学校校考阶段练习）如图，某学生身高 ，在灯光
下，他从灯杆底部点 处，沿直线前进到达点 处，在 处他的影长为 ，经测量此时恰有 ，
则灯杆 高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出 ，由平行线得出 ，得
出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】解：根据题意得： ， ，
，
，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
八、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位
似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
【例8】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中
不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连
线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式】（2023·河南洛阳·九年级统考期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线
所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于
相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对
应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和
性质对各个选项进行判断即可．
【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；
位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③
正确，符合题意；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．
位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．
故选：A．
九、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小
于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
十、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横
坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵
坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图
形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。
【例9】（2023·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图， 三个顶点坐标分别为
， ， ．
(1)请画出 关于 轴对称的 ；
(2)以原点 为位似中心，将 放大为原来的2倍，得到 ，请在第三象限内画出 ，并
求出 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析，
【分析】本题考查了在坐标系中作轴对称图形和位似图形．
（1）根据网格结构找出点 、 、 关于 轴的对称点 、 、 的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，
使 ，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】（1）解： 如图所示；
（2）解： 如图所示，
∵ 放大为原来的2倍得到
∴ ，且相似比为 ，
∴ ．
．
【变式】（2023·广东深圳·九年级校联考期中）如图，在正方形网格中，点 、B、C都在格点上，利用格
点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)在图（1）中，以C为位似中心，位似比为 ，在格点上将放大得到 ；请画出 ；
(2)在图（2）中，线段 上作点M，利用格点作图使得 ；
(3)在图（3）中，利用格点在 边上作一个点D，使得 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）按同向位似图形的作法作图即可；
（2）利用网格线，根据平行线分线段成比例定理作图即可；
（3）已知的两个三角形有一个公共角，所以在网格中，取格点E，F，连接 ，得到 ，
，则 与 的交点即为所求的点D．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示，点M即为所求；
∵
∴ ．
（3）解：如图所示，点D即为所求；
由网格可得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．【点睛】本题考查用无刻度的直尺作图，三角形的相似，位似，平行线分线段成比例的含义，掌握相似三
角形的判定方法是解题的关键．
核心素养提升
1. 转化思想
1．（2023·山东青岛·九年级胶州市初级实验中学校考阶段练习）在平行四边形 中，对角线
交于点 ， ， ， ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；
同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.
连接 ，过点 作 ，设运动时间为 ，解答下列问题：
(1)当 为何值时， 是等腰三角形？
(2)设五边形 面积为 ，试确定 与 的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由；
【答案】(1)当 的值为 或 或 秒时， 是等腰三角形
(2)
(3)存在 为2秒时，使【分析】1）证明出 为直角三角形，分三种情况：当 时；当 ；当
时；利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，分别进行求解即可；
（2）证明 得出 ，进而得出 ，最后根据
进行计算即可；
（3）由（2）的结论可得出 的方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，对角线 交于点 ， ，
，
在 中， ，
为直角三角形，且 ，
为等腰三角形，
当 时，
点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，
；
当 ，如图，作 于 ，
，
则 ， ，
， ，
，
，即 ，
，
，
点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，
；当 时，作 于 ，
，
则 ， ，
， ，
，
，即 ，
，
点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，
；
综上所述，当 的值为 或 或 秒时， 是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得： ，
四边形 是平行四边形，对角线 交于点 ， ， ，
， ， ，
，
，
点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为
，
， ，
如图，作 于 ，
，则 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即 ；
（3）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
存在 为2秒时，使 ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理、
图形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想，
是解此题的关键．
2. 数形结合思想
2．（2023·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图1，在矩形
中， ，点E为射线 上的一个动点，过点E作 ，连接 ，使 ，
连接 ．
(1)求证：① ；
② ；
(2)如图2，若 ， ，连接 ．
①若 ，求 ；
②当E点在射线 上运动时，则 的最小值为______．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)① ；②
【分析】（1）①证明 ，即可证明 ；
②根据相似三角形的性质得出 ，再证 ，即可证明 ；
（2）①过F作 于H，根据勾股定理求出 ， ，由 ，推出 ，
，设 ，则 ，证明 ，可得 ，即 ，得出
， ，然后利用等角对等边得出 ，再构建方程求解即可；
②延长 到 ，使 ，连接 ， ，过 作 于H，由 ，推出， ，推出 ， ，
A、 关于C对称，推出 ，则当 、F、D三点共线时， 的
值最小，最小值为 ，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：①∵四边形 是矩形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①如图，过F作 于H，
在 中， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②延长 到 ，使 ，连接 ， ，过 作 于H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴A、 关于C对称，
∴ ，
当 、F、D三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等，明确题意，
添加合适的辅助线，运用转化的思想思考问题是解题的关键．
3.方程思想
3．（2023·甘肃张掖·九年级校考期中）如右图，在 中， ，点 从 点开始沿 边向点 以
1厘米/秒的速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以2厘米/秒的速度移动．
(1)如果 分别从 两点同时出发，经过几秒钟， 与 相似？
(2)如果 两分别从 两点同时出发，并且 到 又继续在 边上前进， 到 后又继续在 边上
前进，经过几秒钟， 的面积等于 厘米 ？
【答案】(1)经过 秒或 秒时， 与 相似；
(2)经过 秒或 秒时， 的面积等于 厘米 ．
【分析】此题考查了三角形的面积，相似三角形的判定与性质．
（1）首先设经过t秒， 与 相似，则 ， ， ，分两种情况，若 和 ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（2）设经x秒，分 、 或 时，三种情况讨论，根据三角形的面积公式，列出一元
二次方程，解方程即可得出x的值．
【详解】（1）解：由题意得： ， ， ，
设经过t秒， 与 相似，则 ， ， ，
①若 ，则 ，
即 ，
∴ ，
②若 ，则 ，
即 ，
∴解得： ，
∴经过 秒或 秒时， 与 相似；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设时间为x秒，
当 时，点P移动到 上，点Q移动到 上，
此时， ， ，由题意得 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去）；
当 时，点P移动到 上，点Q移动到 上，过Q作 ，垂足为E，
此时， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，即： ，
由题意得 ，
整理得 ，
解得： （舍去）或 （舍去）；
当 时，点P移动到 上，且有 ，点Q移动到 上，且 ，
过Q作 ，垂足为D，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，即： ，
由题意得 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去）；
综上所述，经过 秒或 秒时， 的面积等于 厘米 ．
4. 建模思想
4．如图，点O为矩形ABCD对角线交点， ， ，点E、F、G分别从D，C，B三点同时
出发，沿矩形的边DC、CB、BA匀速运动，点E的运动速度为 ，点F的运动速度为 ，点G的
运动速度为 ，当点F到达点 点F与点B重合 时，三个点随之停止运动 在运动过程中， 关
于直线EF的对称图形是 设点E、F、G运动的时间为 单位：
当 ______s时，四边形 为正方形；
若以点E、C、F为顶点的三角形与以点F、B、G为顶点的三角形相似，求t的值；
是否存在实数t，使得点 与点O重合？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1） （2）当 或 时，以点E、C、F为顶点的三角形与以点F，B，G为
顶点的三角形相似（3）不存在实数t，使得点 与点O重合
【分析】 利用正方形的性质，得到 ，列一元一次方程求解即可；
与 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
本问为存在型问题 假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
【详解】 若四边形 为正方形，则 ， ， ，
即： ，
解得 ，
故答案为 ；
分两种情况，讨论如下：
若 ∽ ，
则有 ，即 ，
解得： ；
若 ∽ ，
则有 ，即 ，
解得： 不合题意，舍去 或 ．
当 或 时，以点E、C、F为顶点的三角形与以点F，B，G为顶点的三角形相似．
假设存在实数t，使得点 与点O重合．如图1，过点O作 于点M，则在 中， ， ，
，
由勾股定理得： ，
即：
解得： ；
过点O作 于点N，则在 中， ， ，
，
由勾股定理得： ，
即：
解得： ．
，
不存在实数t，使得点 与点O重合．
【点睛】本题为相似三角形的综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解
方程等知识点 题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答 第 问中，需要分类讨论，避免漏解；第
问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
中考热点聚焦
热点1.相似三角形的判定与性质综合应用
1．（2023·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）综合与实践：综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形 中， ，点 在对角线 上，过 点分别作 和 的垂线，垂足
为 ， ，则四边形 为矩形．请问线段 与 的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形 绕点 逆时针旋转，记旋转角为 ，当 时，连接 ， ，在旋
转的过程中， 与 的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形 的边 时，点 为直线 上异于 ， 的一点，以 为边作正方形 ，
点H为正方形 的中心，连接 ，若 ， ，直接写出 的长．
【答案】问题发现： ；拓展探究：仍然成立，见解析；解决问题： 或
【分析】问题发现：先证 ，推出 ，利用等比的性质可得 ；
拓展探究：由旋转的性质可得 ，进而证明 ，利用相似三角形对应边成比例
即可求解；
解决问题：分“点 在线段 上”和“点 在线段 延长线上”两种情况，证明 ，利
用相似三角形的性质求解即可．
【详解】问题发现
解： 矩形 中， ，
，， ，
，
又 ，
，
，
，
，即 ，
,
故答案为： ；
拓展探究
解：仍然成立．理由如下：
图1中， ， ，
∴ ，
∴ ，
图2中，由旋转可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；解决问题
解：①如图3，当点 在线段 上时，连接 、 ，
∵四边形 ，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②如图4，当点 在线段 延长线上时，连接 、 ，
∵四边形 ，四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ；
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问
题．
热点2.平行线分线段成比例定理及推论
2．（2023·江苏·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交
于点 和点 两点，且与 轴交于点 ．连接 ， ， 为抛物线在第二象限内一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，连接 ， ，抛物线上是否存在点 ，使得 ．若存在，请求出点 坐标；
若不存在，请说明理由；(3)如图 ，连接 ， ，过点 作 交 于点 ，连接 ．若 ，求点 坐标．
【答案】(1) ；
(2)不存在，理由见解析；
(3) ．
【分析】( )用待定系数法求出函数解析式即可；
( )由 得 ，则 ，用待定系 数法求出直线 的解析式，
过点 作 轴于 ，交 于 ，设 ，则 ，利用面积法即可得出结论；
( )连接 ，可得 ，则 ，过 作 轴于 ，根 据平行线分线断成比例求出
，可得 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，设直线 的解析式
为 ，由点 求出 的值，联立 即可 得点 坐标；
本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质，三角形的面积、平行线分线断成比例定理等知
识点，数形结合熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）分别将 、 、 代入 中得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；（2）不存在点 ，使得 ，
理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点 作 轴于 ，交 于 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
∵ ，∴原方程无解，
∴不存在点 ，使得 ；
（3）连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过 作 轴于 ，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 得 ，
，
解得 或 （不合题意，舍去）
∴点 坐标为 ．
热点3.相似三角形的应用
3．（2023·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，
图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到 ，
， ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．
发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由；
探究：若 ，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?【答案】发现： ，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于 时，
连衣裙才不会拖在地面上
【分析】发现：证明 ，得到 ，即可证明 ；
探究：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，利用等腰三角形的判定和性质，以及勾股
定理求出 的值，再证明 ，利用相似比求出 的值，即可获得答案．
【详解】解：发现： ，
理由如下：连接 ，如下图，
∵立杆 相交于点 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
探究：如下图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾
股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键．
热点4.位似图形
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 ， ， ．(1)求线段 的长；
(2)把A、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标，画出 ，并求 的长；
(3) 与 是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3) 与 是位似图形，位似中心 ，位似比为
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）先确定点到 ， ， 的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可；
（3）先根据题意画出 ，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解：由题意得： ， ，
故 如图所示：由题意得： ， ，
．
（3）解： 把 、 、 三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到 ， ， 的坐标
与 是位似图形，位似中心 ．
位似比为： ．
