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第 4 章 几何图形初步（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【核心素养提升】
1. 分类讨论思想
本章的分类讨论思想主要体现在:(1)线段计算问题中,注意点的位置，位于已知线段上或延长线上;
(2)角度计算时注意两个角有无公共部分,即有一组边为公共边时,两个角的另外两边位于公共边的同侧或
两侧.如果题目中没有给出具体的图形,而根据题意又可能出现多种情况,就应不重不漏地分情况加以讨论.
1.将一副常规三角板按如图所示位置摆放,若O,C两点分别放置在直线AB上,求∠AOE的度数和∠COE的余
角的度数.【答案】165°,75°.
【详解】试题分析：根据题意结合图形可得：∠DOC=45°，∠DOE=30°，继而可求得∠COE和∠AOE的度数，
也可求得∠COE的余角的度数．
试题解析：由题图可得∠DOC=45°，∠DOE=30°，
则∠COE=∠DOC-∠DOE=15°，
所以∠AOE=180°-∠COE=165°，∠COE的余角的度数为90°-∠COE=90°-15°=75°.
2. 直观想象—运用数形结合的思想方法解决问题
本章的数形结合思想主要体现在:(1 在探究线段、直线的条数和性质时结合图形能更直观地得出结论;
(2)在研究角的性质和进行角的有关计算日要数形结合,便于问题的解决.
2.（2023上·四川成都·七年级统考期末）用一张边长为 的正方形纸，制成一个无盖的长方体盒子，需
在四个角上都剪去一个同样大小的正方形（如图中虚线所示），当剪去的正方形边长为 时，折成的无
盖的长方体的容积是 立方厘米；用你喜欢的方式探究，用这张正方形纸可制成的无盖的长方体盒子
的最大容积是 立方厘米．
【答案】
【分析】根据边长为 的正方形纸剪去边长为 的正方形，剩下的边长为： ，根据长方形
的体积公式，即可；设大正方形的边长为： ，小正方形的边长为： ，根据长方形的体积公式，
当每一个因数和一定的情况下，因数相等时，乘积最大，即可．
【详解】由题意得，长方体的长为： ，宽为： ，高为： ，
∴长方形的容积： ，
设大正方形的边长为： ，小正方形的边长为： ，
∴长方形的容积： ，
∵当 一定时，原式 ，该式子中，和为：一定，
∴当 时，容积最大，
∴当 时，容积最大，
∴ ，
∴长方形的容积： ，
故答案1为： ；
故答案2为： ．
【点睛】本题考查长方形和正方形的知识，解题的关键是掌握长方形容积最大时的值，掌握长方形的容积
公式．
3. 数学建模
1.利用“两点之间，线段最短”解立体图形表面的最短路线问题
2.构造方程模型解决问题
3．（2022上·河北沧州·七年级统考期末）下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（
）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】A
【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．
【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，是利用两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．
故选A．
【点睛】此题考查了两点确定一条直线及线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质
的区别是解题的关键．
4．（2023上·江苏·七年级校考周测）一项工作，如果由甲单独做，需 小时完成；如果由乙单独做．需要5小时完成．如果让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需多长时间完成？
【答案】让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需 小时完成
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据工作效率 工作总量 工作时间列出方程求解是
解题的关键．
【详解】解：设让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需x小时完成，
由题意得， ，
解得 ，
答：让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需 小时完成．
4. 数学运算—运用整体思想求角度或线段的长
本章的整体思想主要体现在求几条线段或几个角的和时,单条线段或单个角不易求出,往往把要求解的
几条线段或几个角当作一个整体;运用整体思想,这样能使问题的解决简单化.
6．（2012·四川绵阳·中考真题）如图，AB CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若
∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF= 度．
【答案】35
【分析】首先过点E作EM AB，由AB CD，可得EM AB CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得∠AEC的度数，又由对顶角相等，求得∠BED的度数，由EF是∠BED的平分线，即可求得答案．
【详解】解：过点E作EM AB，∵AB CD，
∴EM AB CD，
∵∠1=30°，∠2=40°，
∴∠3=∠1=30°，∠4=∠2=40°，
∴∠BED=∠AEC=∠3+∠4=70°，
∵EF是∠BED的平分线，
∴∠BEF= ∠BED= ×70°=35°．
【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形
结合思想的应用．
【中考热点聚焦】
热点1.角的平分线
1．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ， ， 分别平
分 与 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，且 ，求 的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质， 平分 ， 平分 ，得出， ，由
，进而求出∠MON的度数；（2）根据角平分线的定义，可得出 ，根据 ，从而得出∠MOB
的度数．
【详解】（1）∵ 平分 ， 平分 ， ， ，
∴ ， ，
∴
；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查了角的计算和角平分线的定义，得出 ， ，是解决问
题的关键．
2．如图，在 中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= ．
【答案】40°
【详解】解：∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°，
∴∠DBC=∠ABD= ∠ABC= ×80°=40°．
热点2.余角和补角
3．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC
的大小为【答案】135°/135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得 ，求解即可．
【详解】 ，
，
故答案为：135°．
【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是
解题的关键．
热点3.立体图形的展开图
4．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上
标的数字为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一
特点可得到答案．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以： 是相对面， 是相对面，
所以： 是相对面．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5.如图是一个多面体的表面展开图，如果面 在前面，从左面看是面 （字母面在外面），那么从上面看
是面 （填字母）
【答案】E
【分析】由面F在前面，从左面看是面B知底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面是D，上
面是E．
【详解】解：由题意知，底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面是D，上面是E；
故答案为E．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意立方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【成果评定法】
一、单选题
1．（2020上·江苏南通·七年级统考期末）如图正方体纸盒，展开后可以得到（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠后白色圆与蓝色圆所在的面的位置进行判断即可．
【详解】解：A．两个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
B．白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
C．白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
D．白色圆与两个蓝色圆所在的面折叠后是相邻的面，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体的展开图各个面的相对位置是解题的关键．
2．（2020·内蒙古兴安盟·统考一模）如图，是一个正方体的展开图，则展开前与C面相对的面是 （ ）
A．A B．B
C．D D．F
【答案】D
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：相对的面的中间要相隔一个面，易得A、D相对；F、C相对，E、B相对．
故选：D．
【点睛】本题考查学生的空间想象能力，关键为：相对的面的中间要相隔一个面．
3．（2015上·江苏盐城·七年级阶段练习）下列图形中，是棱锥展开图的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据图形结合所学的几何体的形状得出即可．
【详解】解：A、是三棱柱的展开图，故此选项错误；
B、是一个平面图形，故此选项错误；
C、是棱锥的展开图，故此选项正确；
D、是圆柱的展开图，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图的应用，主要考查学生的空间想象能力和观察图形的能力．
4．（2019上·陕西西安·七年级统考期中）如图所示的纸板上9个无阴影的正方形，从中选择1个，使其与
图中5个有阴影的正方形一起可以折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
【答案】C
【分析】结合正方体的表面展开图即可进行选择．
【详解】根据正方体的表面展开图，选 四个位置，共4种．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是牢记正方体展开图的11种特征．
5．（2016上·江苏无锡·七年级阶段练习）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.【详解】四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，
故选：A.
【点睛】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.
6．（2020上·广西钦州·七年级统考期末）用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找出长方体的对面，进而可得答案．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知， 的对面是 ， 的对面是 ， 的对面是 ， 面阴影的短边与 面阴影的一边重合．
故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，属于常见题型，注意从相对面入手是解题的关键．
7．（2017上·七年级课时练习）如图，若 是锐角，则 的余角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据题意得出 ＝90°，进而利用互余的性质得出答案．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝180°，
∴ ＝90°，
∴∠1的余角为：90°−∠1＝ −∠1＝ （∠2−∠1）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了余角和补角，得出 ＝90°是解题关键．
8．（2023上·全国·七年级课堂例题）下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用长方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：选项B，C，D都能折叠成无盖的长方体盒子，
选项A中，上下两底的长与侧面的边长不符，所以不能折叠成无盖的长方体盒子．
故选：A．
【点睛】解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
9．（2018·安徽黄山·七年级统考期末）如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为
相反数，那么 的值是
A．1 B．4 C．7 D．9
【答案】A
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再求出
x、y、z的值，然后代入代数式计算即可得解．
【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴x与-8是相对面，y与-2是相对面，z与3是相对面，∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴x=8，y=2，z=-3，
∴x-2y+z=8-2×2-3=1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解
答问题．
10．（2019上·山西运城·七年级校联考期末）如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则
“扫”的对面是（ ）
A．黑 B．除 C．恶 D．☆
【答案】B
【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
【详解】解：将其折成正方体后，则“扫”的对面是除．
故选B．
【点睛】本题考查了正方体的相对面的问题．能够根据正方体及其表面展开图的特点，找到相对的面是解
题的关键．
二、填空题
11．（2019上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图所示，将图沿虚线折起来得到一个正
方体，那么“1”的对面是 ，“2”的对面是 （填编号）．
【答案】 5 4
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“5”是相对面，
“2”与“4”是相对面，
“3”与“6”是相对面．
故答案为：5，4．
【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
12．（2020上·七年级课时练习）如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面 垂直的面用图中字母
表示出来是 ．
【答案】 、 、 、
【分析】根据正方体展开图的特征，属于正方体展开图的“141”结构，将它折成正方体后，A面与D面相
对，其余的面都与A面垂直，从而可得答案．
【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
面“ ”与“ ”是相对面，它们互相平行，剩下的面都与 面垂直；
所以：围成正方体盒子，与面 垂直的面用图中字母表示出来是： 、 、 、 ；
故答案为： 、 、 、 ．
【点睛】本题是考查正方体的展开图，是培养学生的观察能力和空间想象能力．此类题可动手折叠一下，
即可解决问题，又锻炼了动手操作能力．
13．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是某些立体图形的展开图，请填这些立体图形的名称．
【答案】圆锥，三棱柱，长方体
【分析】根据图形展开图的形状，逐一判读即可．
【详解】解：这三个图分别是圆锥、三棱柱、长方体．
故答案为：圆锥，三棱柱，长方体．
【点睛】此题主要考查了几何体展开图，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
14．（2020·四川成都·统考模拟预测）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是 ．
【答案】亮
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，与“想”字所在面相对的面上的汉字是亮．
故答案为：亮．
【点睛】本题考查了正方体的展开图中相对两个面上的文字，注意正方体的平面展开图中相对的两个面一
定相隔一个小正方形．对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的
基础上直接想象．
15．（2020上·七年级课时练习）下列图形中，不能折成正方体的有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案．
【详解】解：③可以折成正方体；
①、②、④折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体．
故答案为：①、②、④．
【点睛】此题考查了展开图折叠成几何体．解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”
“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
16．（2023上·全国·七年级课堂例题）一个正方体的展开图已有一部分（如图），还有一个正方形未画出，
现有10个位置可供选择，则画在哪些位置能围成正方体，画在哪些位置不能围成正方体？仔细观察图形，
或许你还要动手做做呢！画在________________可围成正方体，画在________________不可以围成正方体．（填序号）
【答案】①⑦⑧⑨；②③④⑤⑥⑩．
【分析】根据正方体的展开图的特征进行判断即可．凡是符合“ 型”6种，“ 型”3种，“
型”1种，“ 型”1种，都能围成正方体．
【详解】解：由图可得，一个正方形放在①或⑦或⑧或⑨能围成正方体，放在②、③、④、⑤、⑥、⑩不
能围成正方体．
故答案为：①⑦⑧⑨，②③④⑤⑥⑩
【点睛】本题主要考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握
几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
17．（2019·黑龙江大庆·统考二模）如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近
似的长方体，下列关于两个几何体的结论：①表面积不变；②表面积变大；③体积不变；④体积变大．其
中结论正确的序号为 ．
【答案】②③
【分析】设圆柱的半径为r，高为h；根据圆柱的切割方法与拼组特点可知：拼成的长方体的长是圆柱底面
周长的一半，即是πr；宽是半径的长度是r，高是原来圆柱的高h，由此利用长方体的表面积公式，代入数
据即可解答．
【详解】设圆柱的半径为r，高为h；则拼成的长方体的长πr；宽是r，高是h，
①原来圆柱的表面积为：2πr2+2πrh；
拼成的长方体的表面积为：(πr×r+πr×h+h×r)×2=2πr2+2πrh+2hr
所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了．
②原来圆柱的体积为：πr2h
拼成的长方体的体积为：πr×r×h=πr2h所以拼成的长方体和圆柱的体积大小没变．
所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了，但是体积没变；
故答案为：②③
【点睛】本题考查了圆柱的表面积和体积计算公式，长方体表面积和体积计算公式，是简单的立方体切拼
问题．
18．（2020上·七年级课时练习）如图是一个正方体盒的展开图，若在其中的三个正方形 、 、 内分别
填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形中 ， ， 内的三个数
依次为 ， ， ．
【答案】 1 0 2
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：由于只有符号不同的两个数互为相反数，由正方体的展开图解题得填入正方形中 ， ，
内的三个数依次为1，0，2．
故答案为1，0，2
【点睛】本题主要考查互为相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数．解题时勿忘记正方体展开
图的各种情形．
三、解答题
19．（2020上·福建漳州·七年级统考期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正
方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形.其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪
成了图①、图②两部分.根据你所学的知识，回答下列问题：（1）阿中总共剪开了几条棱？
（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸
盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种即可）；
（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积.
【答案】（1）8条；（2）有4种粘贴方法，图形见解析；（3）这个长方形纸盒的体积为
【分析】(1)长方体共有12条棱，图①中未剪的棱有4条，由此可得出剪开的棱数；
(2)根据长方体的展开图直接复原即可，注意两个相对面中间要隔一个面；
(3)直接设长方体的高为x，则根据图中数据可得出长、宽的代数式，从而解得x的值，再求体积即可.
【详解】解：(1)12-4=8(条)
因此，阿中总共剪开了8条棱.
(2)有4种粘贴方法.
如图，四种情况：
(3)设高为 ，则宽为 ，长为
∴
解得：
∴体积为：
答：这个长方形纸盒的体积为 .
【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的展开图，主要考查学生的空间想象能力，掌握几何体展开图的
特征是解题的关键.20．（2020上·河北石家庄·七年级统考期末）已知下图为一几何体的三视图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出这个几何体的侧面展开图；
（3）若主视图的长为 ，俯视图中圆的半径为 ，求这个几何体的表面积和体积？（结果保留 ）
主视图 左视图 俯视图
【答案】（1）圆柱体；（2）见解析；（3） ， ．
【分析】（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；
（2）画出这个圆柱的侧面展开图－矩形即可；
（3）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的表面积和体积即可．
【详解】（1）该几何体是：圆柱体；
（2）该几何体的侧面展开图如图所示：
（3）圆柱的表面积 ，
圆柱的体积 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积和体积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积
和体积的计算方法．
21．（2020上·福建莆田·七年级统考期末）如图是某长方体的展开图，它的棱长如图所示，请计算原长方
体的表面积和体积．（结果用含 的式子表示）【答案】表面积为 ，体积为
【分析】这是长方体的展开图，折成长方体的长是a，宽是7，高是4，根据长方体表面积计算公式“
”、长方体体积计算公式“ ”即可解答.
【详解】解：长方体表面积= = ，
长方体体积= = .
【点睛】本题考查了长方体的展开图和表面积、体积，直接利用表面积公式、体积公式解答即可.
22．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是一个食品包装盒的展开图（图中的六边形的六条边相等）．
(1)请写出这个包装盒的立体图形的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，求这个立体图形的侧面积．
【答案】(1)六棱柱；
(2) ．
【分析】（1）观察图形可知两个正六边形为立体图形的底面，六个长方形为侧面，判断即可；
（2）侧面积即图形中六个长方形的面积，已知了长方形的长和宽，根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解： 两个正六边形为立体图形的底面，六个长方形为侧面，
这个包装盒的立体图形是正六棱柱；
（2）解： 六个长方形为侧面，
又∵长方形长为a、宽为b，
∴ 其侧面积为 ．【点睛】本题考查立体图形的展开图，解决这类问题的关键是熟悉常见的圆椎、棱锥、圆柱、棱柱等的展
开图的特点，本题中的展开图很显然是一个柱体的展开图，由于底面是正六边形，故此应该是六棱柱，同
时要明确正六棱柱的侧面是6个全等的长方形，计算侧面积，只需计算6个长方形的面积即可．
23．（2019上·山西晋中·七年级统考期中）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
盖纸盒.
操作探究：
⑴若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
⑵如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
⑶如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长
方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm，底面积为
cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为 cm3.
【答案】（1）C；（2）卫；（3）①答案见解析；②x，（20﹣2x）2，576．
【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；
（3）①根据题意，画出图形即可；
②根据正方体底面积、体积，即可解答．
【详解】（1）A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故选C．
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是
“卫”．
（3）①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）
2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
故答案为x，（20﹣2x）2，576．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体．还
考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意．
24．（2018上·福建龙岩·七年级统考期末）如图，这是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两
个面上的数互为相反数．
（1）填空： a＝ ，b＝ ；
（2）先化简，再求值：（ab＋3a2）－2b2－5ab－2（a2－2ab），
【答案】（1）1，-3；（2）a2-2b2，-17．
【分析】（１）根据相反数的概念易求出-1和3的相反数，从而可求出未知数a、b的值；
（２）将整式按照整式加减运算的法则在括号后合并同类项，最后代入a、b的值计算出结果．
【详解】（1）a= 1，b= -3
（2）∴原式
【点睛】本题考查的知识点有相反数的概念，整式的加减法法则．弄清长方体展开图的相对面是难点，整
式加减中正确去括号，防止漏乘是关键．
25．（2019·山西太原·校联考一模）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实
践活动，他们利用长为 ，宽为 长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子， 请你动手操作验证
并完成任务．(纸板厚度及接缝处忽略不计)
动手操作一：
如图1，若 ，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正方形，再沿虚线
折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
问题解决：（1）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ．
动手操作二：
如图2，若 ，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体
纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样．
拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形(用阴影表示)，折痕用虚线表示；
（3）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ；若 ，求有盖正方体纸盒的表面积．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或 或 ，600cm2
【分析】（1）正方体是特殊的长方体，长宽高三者相等，故回到图形有 .
（2）仔细思考，实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的
剪出形状即可.
（3）根据所剪的图形和正方体棱长都相等的性质，有 ，转化形式即可；将 代入前面的等式求得 和小正方体的棱长，根据正方体的表面积公式计算即可.
【详解】解：（1） (或 )..
（2）所画图形如图所示(图形不唯一，画出一个即可).例如
（3） 据题意得， ，
故 或 或
当 时， .
由（1）可知制作的正方体的底面边长 ，
有盖正方体纸盒的表面积为 .
【点睛】本题主要考查了正方体的性质与展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图中边长的数量关
系是解答关键.
26．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是一个食品包装盒的展开图．请根据图中所标的尺寸，求这个
包装盒的表面积和体积．
【答案】 ； ．
【分析】根据图示数据，有四个长方形面相同，两个正方形．由面积和体积的计算公式计算即可．【详解】解：根据图示，四个长方形的长是 ，宽是 ，两个正方形边长是 ，
包装盒的表面积 ；包装盒的体积 ．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，分清立方体的长宽高是本题的关键．
