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第6 章 实数（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面对“ ”的描述错误的是（ ）
A． 是圆周率 B．圆的周长与直径的比值 C．是一个无理数D．
2．若 ， ，则 的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．2或4
3．如果一个比m小2的数的平方等于 ，那么m等于（ ）
A． B． C． D． 或
4．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．有这样一道题目：“已知 ，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的
是（ ）
甲：x的值是1；
乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值
A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2
C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值
6．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即
，在数轴（如题图2）上最接近 的点是（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（ ）A． 的值是 B． 没有立方根
C． 是有理数 D．实数分为正实数、负实数
8．若 精确到个位数所得结果为1，则正整数a可能是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
9．已知 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值为（ ）
A． B． C． D．5
10．设 表示最接近x的整数（ ， 为整数），则 （ ）
A．132 B．146 C．164 D．176
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较
小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为 ，它介于整数 和 之间，则 的值是 ．
12．用大小完全相同的 块正方形地砖，铺一间面积为 的会议室的地面，每块地砖的边长是
m．
13．数学解密：若第一个式子是 ， 第二个式子是 ， 第三个式子是
，…，观察以上规律并猜想第五个式子是 ．
14．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，
最终输出的数值是 ，则 ．
15．若 ，其中a，b均为整数，则 ．
16．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则 的值为 ．
17．观察下列等式：
①3－ =（ －1）2，
②5－ =（ － ）2，
③7－ =（ － ）2，
…
请你根据以上规律，写出第5个等式 ．
18．如图． 方格的每一方格的边长为 个单位．依次连接各边的中点 ．则数轴上点
对应的数是 ，线段 长是 ．以顶点C为圆心． 长为半径画圆交数轴于点
，则数轴上点 对应的无理数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）求下列各式中的 ：
（1） ； （2） ．
20．（8分）计算．
（1） （2）21．（10分）已知： 和 是 的两个不同的平方根， 是 的整数部分．
（1）求 ， ， 的值．
（2）求 的平方根．
22．（10分）根据下表回答下列问题：
17 18
（1） 的算术平方根是 ， 的平方根是 ；
（2） ；（保留一位小数）
（3） ， ；
（4）若 介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个；
（5）若 这个数的整数部分为m，求 的值．
23．（10分）探究发散：（1）完成下列填空
① ______，② ______，③ ______，
④ ______，⑤ ______，⑥ ______；
（2）计算结果，回答： 一定等于 吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：
_____________________
（3）利用你总结的规律，计算：若 ，则 ______；
（4）有理数 在数轴上的位置如图．
化简： ．
24．（12分）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为 的小正方形拼成一个面积为 的
大正方形，所得到的面积为 的大正方形的边就是原先面积为 的小正方形的对角线长，因此，可
得小正方形的对角线长为 ；
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数
为______，______；（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请同学们仿照
上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由．
（3）请你在数轴上画出 （保留作图痕迹）．
参考答案：
1．D
【分析】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母 表示， 是一个无限不循环小数，它的近
似值是 ，据此进行分析解答即可．
解：A、圆周率用字母表示，说法正确，不符合题意；
B、圆周率是圆的周长和它直径的比值，说法正确，不符合题意；
C、圆周率是一个无限不循环小数，也就是无理数，说法正确，不符合题意；
D、 的近似值是 ，而不是等于 ，说法错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周率的含义，准确理解圆周率的含义是关键．
2．C
【分析】根据平方根的含义先求解 ， ，再分类讨论即可．解：∵ ， ，
∴ ， ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
综上： 的值是0或4．
故选C．
【点拨】本题考查的是平方根的含义，求解代数式的值，等式的基本性质的应用，清晰的分类讨论是
解本题的关键．
3．D
【分析】根据题意得出 ，解方程即可．
解：根据题意得： ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故选：D．【点拨】本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键．
4．D
【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案．
解：∵ ，
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向
右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．
5．D
【分析】根据立方根的性质进行计算即可．
解：∵ ，
∴ 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
即x有3个不同的值，故两人说法都不对；
故选：D．
【点拨】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
6．C
【分析】先估算出 的取值范围，然后再进行判断即可．
解：∵ ，
∴
∴ ，
而点 对应的数在0和1之间，
所以，最接近 的点是 ，
故选：C．【点拨】本题考查的是无理数的估算，确定 是解答本题的关键．
7．C
【分析】根据求一个数的立方根及算术平方根，有理数及实数的分类，即可一一判定．
解：A. 的值是 ，故该命题是假命题，不符合题意；
B. 的立方根是 ，故该命题是假命题，不符合题意；
C. 是有理数，故该命题是真命题，符合题意；
D.实数分为正实数、零和负实数，故该命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了判断命题的真假，求一个数的立方根及算术平方根，有理数及实数的分类，熟练
掌握和运用各基本知识是解决本题的关键．
8．B
【分析】估算出 的取值，再根据 精确到个位数所得结果为1，得出0.5≤ ＜
1.5，可得2.5≤a＜5即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 精确到个位数所得结果为1，
∴0.5≤ ＜1.5，
∴2.5≤a＜5，
∴正整数a可能是3．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出 的取值范围是解答本题的关键．9．A
【分析】利用算术平方根的估算可知 ， ，即 ， ，由此即可求得
结果．
本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
10．D
【分析】先计算出 ， ， ， ， ，即可得出 ， ， 中有2个
1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案．
解： ，即 ， ，则有2个1；
，即 ， ， ， 都是2，则有4个2；
，同理，可得出有6个3；
，同理，可得出有8个4；
，同理，可得出有10个5；
则剩余11个数全为6．
故
．故选：D．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键．
11．1
【分析】根据 的取值范围，求出 的取值区间，将区间的上下限取整数即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 介于整数n和n+1之间，
∴n=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查无理数的估算，能够求出无理数的整数部分是解决本题的关键．
12．
【分析】运用平方根的知识进行列式、求解．
解：由题意得，每块地砖的面积为 ，
，
∴每块地砖的边长是 ，
故答案为：0.6．
【点拨】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
13．
【分析】先找出前面四个式子的规律，得出第n个式子是 ，进而写出
第五个式子即可。
解：∵ ，即 ，，即 ，
，即 ，
，即 ，
∴第五个式子为 ，即 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了算术平方根，是个找规律的题目，难度中等，分析题意，找出规律是解题的关键．
14．256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值 代入
计算即可．
解：∵第4次的程序运算输出的数值是 所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为 ，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为 ，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为 ，
∴ 符合题意，
故答案为：256．
【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数
和无理数的定义是解题的关键．
15．0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即
可求解
解：∵ ，其中a，b均为整数，
又∵ ，
①当 ， 时，∴ ，
∴
②当 ， 时，
∴ 或 ，
∴ 或
③当 ， 时，
∴ 或 ，
∴ 或
故答案为：4或2或0
【点拨】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分
类讨论的数学思想．
16．0
【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到
及y、z等量关系，最后直接计算整式 的值即可．
解： 及 且x、y、z是两两不等的实数，
且 ，
，
， ，
与 、 均同号，或 ，
又 ， ，故 、 不同号，
，
，
，故答案为0．
【点拨】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二
次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方
数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键．
17．
【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二
项的被开方数，即可求出答案．
解：因为等式左边第一项依次增加2，
所以第5个等式的第一项是11，
因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，
所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，
因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，
所以这个数是30，
观察其余部分都相同，直接带下来即可，
所以第5个等式是 ．
故答案为： ．
【点拨】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要
求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力．
18． /
【分析】根据网格的特点求得 对应的数为1，求得正方形 的面积为 ，进而求得 的长度，
根据题意 ，可得 点对应的无理数．
解：依题意，每一方格的边长为 个单位．
∴ 对应的数是 ，
∵四边形 的面积等于4个小正方形的面积的一半，
∴正方形 的面积为 ，
∴ ，以顶点C为圆心． 长为半径画圆交数轴于点 ，
∴ ，
∴ 点对应的无理数是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数与数轴，求得 的长是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了立方根，平方根的计算与应用．
（1）根据平方根的意义计算即可．
（2）根据立方根的意义计算即可．
解：（1）
∴ ，
∴ ．
（2）
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数的运算．
（1）根据立方根、算术平方根的性质化简，再合并即可求解；
（2）根据立方根、算术平方根、乘方和绝对值的性质化简，再合并即可求解．
（1）解：；
（2）解：
21．（1） ， ， ；（2）
【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出 的值，把 的值代入 或 ，
得到 的一个平方根，可求出 的值；由 即 ，得到 ，求出 的值；
（2）将（1）中 的值代入 ，求其平方根即可．
（1）解：由题意得， ，
解得 ，
，
；
，即
的整数部分是3，
，
解得
故答案为： ， ，
（2）把 代入，
3的平方根是 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为
0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数
的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正
一负．
22．（1） ， ；（2） ；（3） ， ；（4） ；（5）
【分析】（1）可得 ， ，由算术平方根和平方根的定义即可求解；
（2）可得 ，由 ， ，即可求解；
（3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据
此即可求解；
（4）可得 ，从而可求 ，即可求解；
（5）由 可求 ，代值计算即可求解．
（1）解：由表格得
，
，
的算术平方根是 ，
，
的平方根为 ，
故答案： ， ．
（2）解： ，
， ，
，
故答案： ．
（3）解： 开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；
，，
，
；
故答案： ， ．
（4）解： 介于17．6与17．7之间，
，
，
可取 、 、 、 ，
整数n有 个，
故答案： ．
（5）解： ， ，
的整数部分是 ，
，
．
【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法
是解题的关键．
23．（1）3，0.5，6，0， ， ；（2）不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平
方的算术平方根为其相反数；（3） ；（4）
【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；
（2）结合（1）中计算可知 不一定等于 ，并发现其中规律．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；（4）结合数轴可知 ，且 ，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值
的性质进行求解即可．
（1）解：① ，② ，③ ，
④ ，⑤ ，⑥ ．
故答案为：3，0.5，6,0， ， ；
（2）由（1）可知， 不一定等于 ，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数
的平方的算术平方根为其相反数
故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；
（3）若 ，则 ，
所以 ．
故答案为： ；
（4）由 在数轴上的位置可知，
，且 ，
所以
．
【点拨】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质
和运算法则是解题关键．
24．（1） ， ；（2） ，理由见详解；（3）见详解
【分析】（1）结合题干可知图中半圆的半径长为 ，结合数轴即可作答；
（2）先求出大正方形的面积，再减去四个三角形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解；
（3）在点C处作数轴的垂线 ，长度为1，再将A点与B点连接，以此 为半径画圆弧与数轴交于D点，D点即为 ．
解：（1）根据边长为1的正方形的对角线长为 ，可知 ，
即A，B两点表示的数为 ， ，
故答案为： ， ；
（2）小长方形的对角线的长度为： ，理由如下：
大正方形的面积为： ，
四个三角形的面积为： ，
则中心小正方形的面积为： ，
即中心小正方形的边长为： ，
∴小长方形的对角线的长度为： ；
（3）在点C处作数轴的垂线 ，长度为1，再将A点与B点连接，以此 为半径画圆弧与数轴交
于D点，D点即为 ．
作图如下，
根据（2）可知 ，即 ，
∵A点代表 ，
∴D点即为 ．
【点拨】本题考查了在数轴上表示无理数以及简单作图的知识，理解题干中表示的方法是解答本题的
关键．
