文档内容
专题 02 二次根式新定义问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、 最值问题.......................................................................................................................1
题型二、 新定义问题...................................................................................................................3
题型三、 规律探究.......................................................................................................................7
题型四、 二次根式的应用.........................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、最值问题
1．当二次根式 的值最小时， .
2．已知 的值大于 ，小于 ，则正整数n的最大值与
最小值的差等于 ．
3．当 的值为 时， 的值最小，这个最小值为 ．
4．已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
5．当式子 取最小值时， ．
6．当 的值为 时，代数式 有最小值 ，则 ．
7．阅读理解：
材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当 ， 时，有
，∴ ，当且仅当 时取等号．根据这一结论，我们可以推出：
当 时， ，即：当 时， 的最小值是2（当且仅当 时取得最小值2）．
根据上述结论和范例，请你解决以下问题：
如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为9和16，则四边形
面积的最小值是 ．8．通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习 二次根式 和 乘法公式 ，可以发现：
当 ， 时， ， ，当且仅当 时取等号．请利用上
述结论解决以下问题：
（1）当 时， 的最小值为 ；
（2）如图，四边形 的对角线 相交于点O， ， 的面积分别为4和9，求四边形
面积的最小值为 ．
9．已知a是正实数，则 的最小值等于 ．
10．已知 为整数， ，则 的最小值是 ．
11．已知 有最小值，这个最小值是 ．
12．对于任意正实数 、 ，
，
，只有当 时，等号成立．
由此我们得到结论：任意正实数 、 ，有 ．
依此结论我们有
（1） 的最小值 ；
（2） 的最小值 ．
13．若 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为 .
14．阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分
母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处
理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：， ，因为 ，所以 ．再例如：求
的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而 ，当 时，分母
有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知， ；
(2)比较 和 的大小；
(3)式子 的最大值是________．
15．阅读材料，回答下列问题：
（一）已知a，b为非负实数， ， ，
当且仅当“ ”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．
（二）分数和分式有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把
分子比分母小的数叫真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为
假分式．对于任何一个假分式都可以化为整式与真分式的和的形式，如
；
(1)在① ，② ，③ ，④ 这些分式中，属于假分式的是_____（填序号）：
(2)已知 ，求代数式 的值；
(3)当 为何值时， 有最小值？求出该最小值．
题型二、新定义问题
16．对于正整数 ，定义 ，例如： ．则
的值为()
A． B． C． D．
17．对于任意的正数m、n定义运算 ： 计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．18．对于任意两个不相等的正实数 、 ，定义运算“ ”： ，如 ，那么
等于（ ）
A． B． C． D．
19．对于任意不相等的两个实数 ，定义运算※如下：当 时， ，当 时，
，例如 ，按上述规定，计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
20．对于任意的正数 ，定义运算为： ，计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
21．我们定义：若 ，则称 与 是关于1的平衡数．比如 ；则 与3是关于1的平出数．
根据定义，树下列说法错误的是（ ）
A．2025与 是关于1的平衡数
B． 与 是关于1的平衡数
C．若 ，则 与 不是关于1的平衡数
D．若 ，则 与 是关于1的平衡数
22．对代数式M定义新运算： ．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行
新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，
得 以下结论正确的有（ ）
①若 ，则 ；
②在实数范围内存在x，使得 进行“新运算操作”的结果为8；
③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
23．已知实数a、b，定义“△”运算如下： ，计算 的值为
（ ）
A． B． C． D．
24．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有 ，则 的值是（ ）
A． B．0 C．10 D．25．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： ．则
的值为（ ）
A． B． C． D．
26．定义运算： ．例如 ．若 ，则a的值是 ．
27．定义运算“☆”的运算法则为 ，则 ．
28．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算： ，例：
，按照这种运算方法，则 ．
29．对于实数 ， ，定义运算“ ”如下： ，若 ， ，则 ．
30．定义运算“@”的运算法则为： ，则 ．
31．对于任意的正数 、 定义运算 ， ，计算 的结果为
．
32．对于任意满足 的两个非零实数a，b，定义一种新运算“#”，满足： ，例如
，那么 ．
33．若定义一种新运算： ，则 的值为 ．
34．用“ ”定义新运算，对于任意实数 ，都有 ，例如： ，那么
．
35．对于任意正实数 ， ，定义一种新的运算： ，例： ．按照这
种运算方法，则 ．
36．阅读材料与综合实践：
通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
如： ， ．
解决问题：
(1)将下列式子分母有理化：
， ， ；(2)比较大小： （直接填“ 或 或 ”）；
(3)定义：两个二次根式 满足 ，且 是有理数，则称 与 是关于 的“友好二次根式”．若
与 是关于 的“友好二次根式”，求 的值．
37．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数 ，（其中 为满足不等式的最
大整数， 为满足不等式的最小整数），则称无理数 的“行知区间”为 ，如 ，所以 的
行知区间为 ．
(1)无理数 的“行知区间”是_____，
(2)若 ，求 的“行知区间”．
38．定义：任意两个数 、 ，按规则 扩充得到一个新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 、 的“如意数” ；
(2)已知 ，且 、 的“如意数” ，求 的值．
39．定义：任意两个数，按规则 扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”．
(1)若 ， ，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)如果 ， ，证明“如意数”c是非负数．
40．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）
二次根式．
问题解决：
(1)若a与 是关于6的共轭二次根式，则 __；
(2)若 与 是关于26的共轭二次根式，求m的值
41．定义新运算：对于任意实数 ，都有 ，例如 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
42．定义：若二次根式 可以表式成 的形式（其中 ， ， ， 都是整数），则称
为完整根式， 是 的完整平方根．例如：因为 ，所以 是
一个完整根式， 是 的完整平方根．
(1)判断： 是否是完整根式 的完整平方根，并说明理由；
(2)若完整根式 的完整平方根是 ，请用含 ， 的代数式分别表示 ， ；(3)若 是完整根式，证明： 一定是完全平方数．
43．定义两种新运算，规定： ， ，其中a，b为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
44．我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是
“完美数”．理由：因为 ．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （ 、 是整数）的形式_____；
（2）已知 （ 、 是整数， 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个 值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知 ，求 的值；
（4）已知实数 、 满足 ，求 的最值．
【实际应用】（5）已知 的三边长 、 、 满足 ，求
的周长．
45．定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于8的共轭二次根式，则 ．
(2)若 与 是关于4的共轭二次根式，求m的值．
46．在数学中，我们经常遇到形如 的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为
更简单的形式．例如： ，这种方法称
为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化．
问题：
(1)将下列根式进行分母有理化，并化简：
(2)定义一种新运算“ ”：当 时， ；当 时，
已知： ，
①求 的值；
②若 ，求 的值．47．定义：若 ， 是有理数，则称 与 是关于c的“美好数”例如：
，则称 与 是关于 的“美好数”．
(1) 关于 的“美好数”是______；
(2)化简： ；
(3)若 是 关于 的“美好数”，请直接写出 的值．
题型三、规律探究
48．按一定规律排列的实数： ，2， ， ， ，…，第200个数是（ ）
A．10 B． C．20 D．
49．按一定规律排列的一组二次根式： ， ， ， ，…，则第6个二次根式为（ ）
A． B． C． D．
50．观察下列各式： ， ， ，…请你找出其中规律，则第2021个等
式为（ ）
A． B．
C． D．
51．观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（ ）
； ； ；
⋯
A． B．
C． D．
52．按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，…，第n个单项式为（ ）
A． B． C． D．
53．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， 是等边三角形的顶点，将 向右滚
动，第一次滚动后得到 ， ， ， ，第二次滚动后得到 ， ，按此规律滚动下去， 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
54．以下是一组按规律排列的多项式： ， ， ， ， ，……，第 个多项
式是（ ）
A． B． C． D．
55．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行 1
第二行 2
第三行 3
第四行 4
……
根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（ ）
A． B． C． D．
56．观察下列按一定规律排列的二次根式： ， ， ， ，…根据你发现的规律猜想第n（n是
正整数）个二次根式是（ ）
A． B． C． D．
57．按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ，…，第 个代数式是（ ）
A． B． C． D．
58．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依
次为： ， ， ， ， ……，则第n 个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
59．按一定规律排列的整式：1， ， ，32，…，则第 个整式为（ ）
A． B． C． D．
60．观察并分析下列数据，寻找规律： ， ， ， ， ， ， ， ，那么第 个数据应是（ ）
A． B． C． D．
61．一组数按如下规律排列：
a
照此规律，回答下列问题：
（1） ．
（2）如果 记作有序数对 ， 记作有序数对 ，则 记作有序数对 ．
62．观察下列各式：① ；② ；③ ；……请你将发现的规律用含
自然数n（ ）的等式表示出来 ．
63．规律探究：设 ， ， ，
…，则 的值为 ．
64．斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第
为正整数 个数 可表示为 表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数
为 ，第2个数为 ．
65．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根
式的运算规律：
① ；② ；③ ；……
如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为 ．
66．观察下列各式：
，
，
，
．．．请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
67．规律探究 设 ， ，
则 的值为 ．
68．已知： ， ， ， ，若 符合上面
的规律，则 的值为 ．
69．细心观察下列等式：
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
(1)按上面规律填空： ______=______=______；
(2)利用以上规律计算： …
70．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ：
(1)计算： _____； _____；
(2)若 ，则正整数 _____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
71．【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直
到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象： ，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，
我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ， 等．
【猜想】（1） ______；
【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否
正确．
【创新应用】（3）按此规律，若 （a，b为正整数），求 的值．
72．下列是二次根式进行分母有理化的计算过程：
；
；
．
(1)请根据题目，化简 ；
(2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： ．
73．我们知道 ，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，
原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
(1)化简： ________， _________；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值： ．
74．阅读材料：
数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙．
常用的思路有：
1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变
得更容易计算；
2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之
间的相互关系，从而找到解决问题的方法．
请运用以上思路进行思考并解答以下各题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)计算： ；
(3)设实数 ， 满足 ，求 的值．
75．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
(1)第 个等式： ______．
(2)根据以上规律，计算 的值．
76．阅读下列运算过程，并完成各小题：
； ．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．
如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：
；
；
模仿上例完成下列各小题：
(1) ____________；
(2) ____________；(3)请根据你得到的规律计算： ．
77．观察下列各式：
；
；
；
．
请你根据上面四个等式提供的信息，猜想：
(1) _____ _____；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （ 为正整数）表示的等式：_____；
(3)利用上述规律计算： ．
78．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一
个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是 ，宽是 ，那么圆的半径应是
（ ）
A． B． C． D．
题型四、二次根式的应用
79．如图（单位： ），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为 ，最
大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．80．如图，正方形 ，顶点 在数轴上表示的数为1，若点 在数轴上（点 在点 的右侧），且
，则点 所表示的数为 ，则正方形 的面积为（ ）
A． B．7 C． D．10
81．长方形的一边的长是 ，面积为 ，则这个长方形的周长为 .
82．我国古代的《洛书》记载了世界最早的幻方--九宫格．如图，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数
相乘得到相同的结果，则 的值为 ．
2
1
3
83．已知三角形三边长分别为 、 、 ，则化简代数式 的结果是 ．
84．阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角
形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么三角形的面积 （海伦公
式）．若 中， ， ， ，请利用上述公式求出 的面积 ．
85．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若
两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为 ，宽为 ，则圆形扇面的周长为
．
86．将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2），（1）图2中正方形的边长为 ；
（2）图2中正方形边长的整数部分是 ．
87．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使
横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ．
88．长方形的两边的长分别为 ， ，则该长方形的面积为 ．
89．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦
九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积为
．若 ， ， ，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ．
90．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过 秒
（ 千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是
千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？
1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数 ， ，
∵
∴
∴ （当且仅当 时， ）
【获得结论】在 （ ， 均为正实数）中，若 为定值 ，则 ，当且仅当 时，
有最小值 ．如：若 ，则
∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小值2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若 ，则 的最小值是_____；
(2)已知 ， 是一个大于0的常数，若 的最小值为1，求 的值；
(3)如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ， ， ，求
的最大值．
2．如图，在 中， ， ， ， ，P，Q是 边上的两个动点．
其中点P从点B出发，沿 方向运动，点Q从点C出发，沿 方向运动，两点同时开始运
动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当点Q在边 上运动时，点P的速度为每秒 ，点Q的速度为每秒 ．
填空： ________ ， ________ （用含t的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，当 是等腰三角形时，求t的值；
(3)连接 ， ，当线段 ， 将 分成三个全等三角形时，请直接写出点P的速度与点Q的速度
的比值．
