文档内容
第一次月考易错题复习
范围：第7-8章
一．平方根（共2小题）
1．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（ ）
A．4 B．16 C．3 D．9
【答案】D
【解答】解：∵正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，
∴（2a﹣5）+（﹣a+1）＝0，
解得a＝4，
∴2a﹣5＝3，
∴这个正数为32＝9，
故选：D．
2．❑√16的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
【答案】C
【解答】解：❑√16=4，4的平方根是±2．
故选：C．
二．算术平方根（共1小题）
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
3．观察下列各式：❑1+ =2❑ ，❑2+ =3❑ ，❑3+ =4❑ ，…请你找出其中规律，
3 3 4 4 5 5
√ 1 √ 1
并将第n（n≥1）个等式写出来 ❑n+ =(n+1)❑ ．
n+2 n+2
【答案】见试题解答内容
√ 1 √ 1 √1
【解答】解：❑1+ =（1+1）❑ =2❑ ，
3 1+2 3
√ 1 √ 1 √1
❑2+ =（2+1）❑ =3❑ ，
4 2+2 4
√ 1 √ 1 √1
❑3+ =（3+1）❑ =4❑ ，
5 3+2 5…
√ 1 √ 1
❑n+ =(n+1)❑ ，
n+2 n+2
√ 1 √ 1
故答案为：❑n+ =(n+1)❑ ．
n+2 n+2
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
4．若a，b为实数，且|a+1|+❑√b−1=0，则（ab）2019的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】C
【解答】解：根据题意，得a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴（ab）2019＝（﹣1×1）2019＝﹣1，
故选：C．
四．无理数（共1小题）
5．下列各数中是无理数（ ）
A．1.010010001 B．﹣3
10
C．❑√2 D．
3
【答案】C
【解答】解：A．1.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．﹣3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．❑√2是无理数，故本选项符合题意；
10
D． 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
3
故选：C．
五．实数与数轴（共1小题）
6．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为﹣1和0，若正方形
ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点C所对应的数为1；翻
转2次后，点D所对应的数为2：翻转3次后，点A所对应的数为3：翻转4次后，点B
所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（ ）A．A B．B C．C D．D
【答案】A
【解答】解：∵每4次翻转为一个循环组依次循环，
∴2019÷4＝504…3，
∴翻转2019次后点A在数轴上，点A对应的数是2019﹣3＝2016，数轴上数2019所对
应的点是点A．
故选：A．
六．估算无理数的大小（共5小题）
7．估计❑√7的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【解答】解：∵❑√4=2，❑√9=3，
而❑√4＜❑√7＜❑√9，
∴2＜❑√7＜3，
∴估计❑√7的值在2和3之间．
故选：B．
8．若记 [x]表示任意实数的整数部分，例如： [3.5] ＝3，[❑√5]=2，…，则
[❑√1]−[❑√2]+[❑√3]−[❑√4]+⋅⋅⋅+[❑√2021]−[❑√2022]（其中“+”“﹣”依次相
间）的值为 ﹣ 2 2 ．
【答案】﹣22．
【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，
∴[2020]＝44，[2021]＝44，[2022]＝44，[2023]＝44，[2024]＝44，
∴+[2021]﹣[2022]+[2023]﹣[2024]
＝+44﹣44+44﹣44
＝0，
∴原式＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣4+...+44﹣44
＝1﹣2+3﹣4+...﹣44
＝﹣1﹣1﹣...﹣1
＝﹣22，
故答案为：﹣22．
9．观察例题：∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，∴❑√7的整数部分为2，小数部分为(❑√7−2)．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果❑√2的小数部分为a，❑√3的小
数部分为b，求❑√2a+❑√3b−5的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵❑√1＜❑√2＜❑√4，即1＜❑√2＜2，
∴❑√2的整数部分为1，小数部分为(❑√2−1)；
同理可求：❑√3的整数部分为1，小数部分为(❑√3−1)；
∴a=❑√2−1，b=❑√3−1，
∴❑√2a+❑√3b−5，
=❑√2(❑√2−1)+❑√3(❑√3−1)−5，
=2−❑√2+3−❑√3−5，
=−❑√2−❑√3．
10．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全
部地写出来，于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，
差就是小数部分．
又例如：
∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为（❑√7−2）．
请解答：（1）❑√17的整数部分是 4 ，小数部分是 ❑√17− 4 ．
（2）如果❑√5的小数部分为a，❑√13的整数部分为b，求a+b−❑√5的值；
（3）已知：10+❑√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【答案】（1）4，❑√17−4；
（2）1；
（3）﹣12+❑√3．
【解答】解：（1）∵4＜❑√17＜5，
∴❑√17的整数部分是4，小数部分是 ❑√17−4，
故答案为：4，❑√17−4；
（2）∵2＜❑√5＜3，
∴a=❑√5−2，∵3＜❑√13＜4，
∴b＝3，
∴a+b−❑√5=❑√5−2+3−❑√5=1；
（3）∵1＜3＜4，
∴1＜❑√3＜2，
∴11＜10+❑√3＜12，
∵10+❑√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝10+❑√3−11=❑√3−1，
∴x﹣y＝11﹣（❑√3−1）＝12−❑√3，
∴x﹣y的相反数是﹣12+❑√3．
11．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√13的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是❑√13的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
七．实数的运算（共3小题）
12．在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数x（|x|＜20）的运算程序如图所示，
若输出的y值为❑√2时，则输入的实数x可取的负整数值是 ﹣ 2 或﹣ 1 4 ．
【答案】﹣2或﹣14．
【解答】解：若1次运算输出的值是❑√2时，
∴|x﹣2|＝2，∴x﹣2＝±2，
解得：x＝4或x＝0；
若2次运算输出的值是❑√2时，
∴|x﹣2|＝4，
∴x﹣2＝±4，
解答：x＝6或x＝﹣2；
若3次运算输出的值是❑√2时，
∴|x﹣2|＝16，
∴x﹣2＝±16，
解答：x＝18或x＝﹣14；
∵|x|＜20，且x取负整数，
∴x＝﹣2或﹣14，
故答案为：﹣2或﹣14．
13．计算：(−1) 2023−❑√16+|3−❑√3|−√3−8．
【答案】−❑√3．
【解答】解：(−1) 2023−❑√16+|3−❑√3|−√3−8
＝﹣1﹣4+3−❑√3−（﹣2）
＝﹣1﹣4+3−❑√3+2
=−❑√3．
14．计算：|−3|−❑√16+√3 8+(−2) 2．
【答案】5．
【解答】解：|−3|−❑√16+√38+(−2) 2
＝3﹣4+2+4
＝5．
八．点到直线的距离（共1小题）
15．如图，点A，B，C在直线m上，PB⊥m，能表示点P到直线m的距离的是线段 PB
的长度．【答案】PB．
【解答】解：∵PB⊥m于点B，
∴点P到直线m的距离是线段PB的长度，
故答案为：PB．
九．平行线的判定（共2小题）
16．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形 ABC
是三角板），其依据是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
17．【动手操作】如图1，小明把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角
板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针转动，当OD边与OA边的反向
延长线重合时，转动停止，转动时间为t秒．【解决问题】
（1）在转动过程中，∠AOC与∠BOD之间的数量关系为 ∠ AOC + ∠ BOC ＝ 180 ° ．
（2）当∠BOD＝2∠AOC时，求t的值；
（3）当t为何值时，能使图2中的OD∥AB，请说明理由．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC＝180°；
（2）t的值为4；
（3）当t为4或16秒时，能使图2中的OD∥AB，理由见解析．
【解答】解：（1）当0＜t≤12时，此时∠AOC＝15°t，∠BOD＝180°﹣15°t，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
当12＜t≤18时，此时∠AOC＝360°﹣15°t，∠BOD＝15°t﹣180°，
∴∠AOC+∠BOC＝（360°﹣15°t）+（15°t﹣180°）＝180°，
∴∠AOC与∠BOD之间的数量关系为∠AOC+∠BOC＝180°，
故答案为：∠AOC+∠BOC＝180°；
（2）当0＜t≤12时，
∵∠BOD＝2∠AOC，
∴180°﹣15°t＝2×15°t，
解得：t＝4，
当12＜t≤18时，不存在∠BOD＝2∠AOC，
即当∠BOD＝2∠AOC时，t的值为4；
（3）当t为4或16秒时，能使图2中的OD∥AB，理由如下：
由三角板可知，∠B＝60°，
如图，当0＜t≤12时，OD向OB位置旋转，此时∠BOD＝180°﹣15°t，∵OD∥AB，
∴∠B+∠BOD＝180°，
∴60°+180°﹣15°t＝180°，
解得：t＝4；
如图，当12＜t≤18时，OD过OB向OA边的反向延长线旋转，此时∠BOD＝15°t﹣
180°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠B＝60°，
∴15°t﹣180°＝60°，
解得：t＝16，
综上可知，当t为4或16秒时，能使图2中的OD∥AB．
一十．平行线的性质（共14小题）
18．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相
交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，则∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C【解答】解：∵光线平行于主光轴，
∴∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠PFO＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠PFO＝55°．
故选：C．
19．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于
点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：
①∠D＝40°；
②2∠D+∠EHC＝90°；
③FD平分∠HFB；
④FH平分∠GFD．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确，∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选：A．
20．如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥CB，将四边形ABCD沿EF折叠，C，D
两点分别与C′，D′对应，若∠1＝2∠2，则下列哪个选项是正确的（ ）
A．∠AED′＝30° B．∠BFC′＝30° C．∠D′EF＝3∠2 D．∠AEF＝108°
【答案】D
【解答】解：∵AD∥CB，
∠CFE+∠DEF＝180°，∠DEF＝∠1＝2∠2，
由折叠的性质得到，∠D′EF＝∠DEF＝2∠2，∠EFC＝∠EFC′，
故选项C不正确；
∴5∠2＝180°，
∴∠2＝36°，即∠AED′＝36°，
故选项A不正确；
∴∠DEF＝72°，∠1＝2∠2＝72°，
∴∠AEF＝3∠2＝108°，故选项D正确；
∴∠EFC＝∠EFC′＝180°﹣∠DEF＝108°，
∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠1＝36°，
故选项B不正确，故选：D．
21．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示
意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当
∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为（ ）
A．126° B．136° C．144° D．154°
【答案】C
【解答】解：过点C作CF∥DE，
∴∠DCF＝180°﹣∠EDC＝54°，
∵BC⊥AB，
∴∠B＝90°，
∵ED∥AB，
∴CF∥AB，
∴∠BCF＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠DCF+∠BCF＝144°，
故选：C．
22．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是
共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），
EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数
为（ ）A．43° B．53° C．67° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE＝∠DEC＝67°，
∵∠CEF＝137°，
∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝70°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝70°，
故选：D．
23．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B
＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【解答】解：∵BC∥DE，∠B＝50°，
∴∠ADE＝50°，
又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，
∴∠ADE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
24．如图一是长方形纸带，∠DEF等于 ，将纸带沿EF折叠成折叠成图2，再沿BF折叠
成图3，则图中的∠CFE的度数是（ α ）A．2 B．90°+2 C．180°﹣2 D．180°﹣3
【答案α】D α α α
【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝ ，
∴∠BFE＝∠DEF＝ ， α
∴∠EFC＝180°﹣ ，α
∴∠BFC＝180°﹣α2 ，
∴∠CFE＝180°﹣3α，
故选：D． α
25．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，
∠ D ＝ 70° ， 则 ∠ ACD ＝ （ ）
A．10° B．20° C．30° D．60°
【答案】B
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，CF∥AB
∴CF∥DE，
∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，
又∠BAC＝130°，∠D＝70°，∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，
∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．
故选：B．
26．生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体
脊柱的形势而言，当靠背角度∠DEF＝115°时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时
最舒适．已知DE与地面平行，支撑杆BD与地面夹角∠ABD＝50°，则制作时用螺丝固
定时支撑杆BD和AF需构成夹角∠ACB为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵∠DEF＝115°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEF＝65°，
∵DE∥AB，
∴∠CAB＝∠DEC＝65°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABD﹣∠CAB＝65°．
故选：B．
27．【发现问题】
如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴 MN的光线AB和CD经过
凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．【提出问题】
小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究．
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 ∠ AMP ＝∠ P + ∠ CNP ；如
图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 145 °（不需要写解答
过程）
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④，射线 ME，NF 分别平分∠BMP 和∠CNP，ME 交直线 CD 于点 E，NF 与
∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数．
【答案】探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由见解析；
探究二：∠AMP＝∠P+∠CNP，145，90°．
【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下：
如图①，
∵AB∥MN∥CD，
∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，
∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，
∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．探究二：如图②，
∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠MKP＝∠CNP，
∵∠AMP＝∠P+∠MKP，
∴∠AMP＝∠P+∠CNP．
如图③，延长EA交BC于L，
∵AE∥CD，
∴∠ALC＝∠C＝60°，
∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，
∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°．
故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145．
∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，
1
∴∠PME= ∠PMB，∠CNF＝∠PNF，
2
如图④，
由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，
∵∠P＝2∠F，
∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF，
∵∠CNF＝∠PNF，
∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF，
1
∴∠PMF＝∠AMF= ∠AMP，
21
∴∠PMF+∠PME= （∠AMP+∠PMB），
2
1 1
∴∠FME= ∠AMB= ×180°＝90°．
2 2
28．如图，直线 AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝ （0°＜ ＜
90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、Mα分别在直α线
AB、CD上，且在点C、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD＝ ∠ P （或 90 ° ） ；
（2）若∠MNG 的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF 时，求 的度数；
②小安将三角板PMN沿直线ABα左右移动，保持PM∥EF，点N、M分别在直线AB和
直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含 的式子表示）．
α
1
【答案】（1）∠P（或90°）；（2）① ＝60°；②，∠MON的度数为30°+ 或60°
2
α α
1
− ．
2
α
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：∠P（或90°）；
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴PO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNA，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴ ＝∠NOM＝60°；
②α点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
α∴∠NMD＝60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+ ，
∵NO平分∠ANM， α
1 1
∴∠ANO= ∠ANM＝30°+ ，
2 2
α
∵AB∥CD，
1
∴∠MON＝∠ANO＝30°+ ；
2
α
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝ ，
∴∠PMD＝ ， α
∴∠NMD＝α60°+ ，
∵AB∥CD， α
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
1 1
∴∠BNO= [180°﹣（60°+ ）]＝60°− ，
2 2
α α
1
∴∠MON＝60°− ，
2
α
1 1
综上所述，∠MON的度数为30°+ 或60°− ．
2 2
α α
29．综合与探究
问题情境
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学
活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重
合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表
180°−∠A
示∠CBD为 ∠ CBD = ．
2
操作探究
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关
系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，
∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC
1
+ ∠A的结果．
2
180°−∠A
【答案】（1）过程见解析．（2）∠CBD= ．（3）过程见解析．（4）
2
90°．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1 1
∴∠CBP= ∠ABP，∠DBP= ∠PBN，
2 2
1 1 1
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP= ∠ABP+ ∠PBN= ∠ABN＝60°，
2 2 2
∴∠CBD＝∠A．
（2）∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1 1
∴∠CBP= ∠ABP，∠DBP= ∠PBN，
2 21 1 1
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP= ∠ABP+ ∠PBN= ∠ABN，
2 2 2
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A，
180°−∠A
∴∠CBD= ．
2
（3）∠APB＝2∠ADB 理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB．
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
1
∴2∠ABC= ∠ABN，
2
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
1 1 1
∴2∠ABC+ ∠A= （∠A+∠ABN）= ×180°＝90°．
2 2 2
30．已知射线AB∥CD，连接AC．
（1）如图1，若AE、CE分别平分∠BAC、∠DCA，AE、CE交于点E，求∠E的度数，
并说明理由．
1
（2）如图 2，在（1）的条件下，延长 CE 到F、若点 G满足∠GEF= ∠AEF，
3
1
∠GCF= ∠ACF，试探求∠G与∠EAC的数量关系，并说明理由．
31
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AC到M，若∠ECH= ∠ECM，CH交GE延
3
长线于点H．求∠G与∠H的度数之和．
【答案】（1）90°，理由见解答；
（2）∠EAC＝3∠G，见解答；
（3）120°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵AE，CE分别平分∠CAB和∠ACD，
1 1
∴∠CAE= ∠CAB，∠ACE= ∠ACD，
2 2
1
∴∠E=180−(∠CAE+∠ACE)=180− ×180=90°；
2
（2）在△GEC中，∠GEF＝∠G+∠GCE，
1 1 1
∴∠G=∠GEF−∠GCE= ∠AEF− ∠ACF= ∠CAE，
3 3 3
∴∠EAC＝3∠G；
1
（3）由（2）可得：∠GCE= ∠ACE，
3
1
∵∠ECH= ∠ECM，
3
1 1
∴∠GCE+∠ECH= (∠ACE+∠ECM)= ×180°=60°，
3 3
在△GCE中，∠G+∠H＝180°﹣（∠GCE+∠ECH）＝180°﹣60°＝120°．
31．如图，已知直线 AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点 P作
PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分
∠ECF．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求∠PCG的度数；（2）若点P，F，G都在点E的右侧，∠EGC﹣∠ECG＝30°，求∠CPQ的度数；
（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC：∠EFC＝4：3？若存在，
求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）40°；
（2）65°；
（3）56°或20°．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠CEB+∠ECQ＝180°，
∵∠CEB＝100°，
∴∠ECQ＝80°，
∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，
1 1 1
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG= ∠QCF+ ∠FCE= ∠ECQ＝40°；
2 2 2
（2）∵AB∥CD，
∴∠QCG＝∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，
∴∠EGC+∠ECG＝80°，
又∵∠EGC﹣∠ECG＝30°，
∴∠EGC＝55°，∠ECG＝25°，
1
∴∠ECG＝∠GCF＝25°，∠PCF＝∠PCQ= ×（80°﹣50°）＝15°，
2
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ＝∠ECP＝∠ECQ﹣∠PCQ＝80°﹣15°＝65°；
（3）存在．理由如下：
设∠EGC＝4x°，∠EFC＝3x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠QCG＝∠EGC＝4x°，∠QCF＝∠EFC＝3x°，则∠GCF＝∠QCG﹣∠QCF＝4x°﹣3x°＝x°，
1 1
∴∠PCF＝∠PCQ= ∠FCQ= ∠EFC＝1.5x°，
2 2
则∠ECG＝∠GCF＝∠PCF＝∠PCD＝x°，
∵∠ECD＝80°，
∴5x＝80°，解得x＝16，
∴∠CPQ＝∠ECP＝x°+x°+1.5x°＝3.5x°＝56°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC＝4x°，∠EFC＝3x°，
∴∠GCH＝∠EGC＝4x°，∠FCH＝∠EFC＝3x°，
∴∠ECG＝∠GCF＝∠GCH﹣∠FCH＝x°，
∵∠CGF＝180°﹣4x°，∠GCQ＝80°+x°，
∴180﹣4x＝80+x，
解得x＝20，
∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝20°×2+80°＝120°，
1
∴∠PCQ= ∠FCQ＝60°，
2
∴∠CPQ＝∠ECP＝80°﹣60°＝20°．
故∠CPQ的度数为56°或20°．
一十一．平行线的判定与性质（共2小题）
32．【阅读思考】如图①，已知AB∥ED，探究∠B、∠E、∠BCE之间关系，小明添加了
一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE．
证明过程如下：
如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B＝∠1．
∵AB∥ED，AB∥CF，
∴DE∥CF，∴∠E＝∠2，
∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE．
（1）【理解应用】如图②，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（2）【拓展探索】如图③，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝50°，BE平
分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间，
点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC，若∠ABC＝n°，则∠BED度数为多少？
（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠B+∠BCD+∠D＝360°；
1
（2）205°− n．
2
【解答】解：（1）如图②，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠B+∠BCF＝180°，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°；
（2）如图③，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝50°，1 1 1
∴∠ABE= ∠ABC= n，∠CDE= ∠ADC=25°，
2 2 2
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
1
∴∠BEF=180°−∠ABE=180°− n，∠CDE＝∠DEF＝25°，
2
1 1
∴∠BED=∠BEF+∠≝=180°− n+25°=205°− n．
2 2
1
故答案为：205°− n．
2
33．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PO之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN．
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA．
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝40°，∠D＝150°，求∠APD的度数，请说明理由．
（2）如图 3，设∠PAB＝ 、∠CDP＝ ，猜想 、 、∠P 之间的数量关系为
∠ + ∠ ﹣∠ P ＝ 180 ° ． α β α β
【α联系拓β 展】：
（3）如图 4，直线 AB∥CD，P为平面内一点，连接 PA、PD．AP⊥PD，DN 平分
1
∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，直接写出∠N的度数，则∠N
2
的度数为 45 ° ．【答案】（1）80°；
（2） + ﹣∠P＝180°；
（3）α45°β．
【解答】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A＝40°，∠DPE+∠D＝180°，
∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝40°+30°＝70°；
（2）如图3，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE＝∠CDP＝ ，∠APE+∠PAB＝180°，
∴∠APE＝180°﹣ ，β
∠DPE＝∠DPA+∠αAPE＝∠DPA+180°﹣ ，
∴ ＝∠DPA+180°﹣ ， α
∴β+ ﹣∠P＝180°，α
故α答案β 为：∠ +∠ ﹣∠P＝180°；
（3）如图4，αPD交βAN于点O，∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
1
∵∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，
2
1
∴∠PAN+ ∠PAB＝90°，
2
∵∠POA+∠PAN＝90°，
1
∴∠POA= ∠PAB，
2
∵∠POA＝∠NOD，
1
∴∠NOD= ∠PAB，
2
∵DN平分∠PDC，
1
∴∠ODN= ∠PDC，
2
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
1
＝180°− （∠PAB+∠PDC），
2
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
1
∴∠AND＝180°− （∠PAB+∠PDC）
2
1
＝180°− （180°+∠APD）
2
1
＝180°− （180°+90°）
2
＝45°．
故答案为：45°．
一十二．生活中的平移现象（共2小题）34．如图，在一块长为8m，宽为5m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线
向右平移1m就是它的右边线，这块草地的绿地面积为 3 5 m2．
【答案】35．
【解答】解：因为小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，
所以将小路左半部分的草地向右平移1m，与小路的右半部分对接，
可以得到一个长为（8﹣1）m，宽为5m的长方形，
因此这块草地的绿地面积是（8﹣1）×5＝35m2，
故答案为：35．
35．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为
50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
（1）如图1，阴影部分为1米宽的小路（FF ＝EE ＝1），长方形除去阴影部分后剩余
1 1
部分为草地，则草地的面积为 147 0 平方米 ；
（2）如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
（3）如图3，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，
所走的路线（图中虚线）长为 10 8 米 ．
【答案】（1）1470平方米；
（2）1421平方米；
（3）108米．
【解答】解：（1）将小路左边部分向右平移，直到FE与F E 重合，则平移后的四边
1 1
形是一个矩形，
则草地的面积为：50×30﹣1×30＝1470（平方米）；
故答案为：1470平方米；
（2）小路往AB、AD边平移，直到小路与草地的边重合，则草地的面积为：（50﹣1）×（30﹣1）＝1421（平方米）；
（3）将小路往AB、AD、DC边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：30﹣1+50+30﹣1＝108（米）．
故答案为：108米．
一十三．平移的性质（共1小题）
36．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，将直角三角形ABC沿BC方向平移
2个单位长度得到直角三角形EFG，EF与AC交于点H，且AH＝2，则图中阴影部分的
面积为 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵Rt△ABC沿BC的方向平移BF距离得△EFG，
∴EG＝AC＝5，S△EFG ＝S△ABC ，
∴S△EFG ﹣S△CFH ＝S△ABC ﹣S△CFH ，
∴S梯形CGEH ＝S梯形ABFH ，
∵CH＝AC﹣AH＝5﹣2＝3，CG＝BF＝2，EG＝5，
1 1
∴S = (CH+EG)⋅CG= (3+5)×2=8．
梯 形CG2EH 2
∴S梯形ABFH ＝8，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
