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第 03 讲 二次根式的加法与减法
考点1：同类二次根式识别
考点2：加减运算法则应用
考点3：含字母的加减化简
考点4：加减与乘除混合运算
重点：
（1）最简二次根式化简：这是加减运算的前提，步骤为“去分母→分解因数→开方移
出”。
（2）同类二次根式合并：核心是“只变系数，根式不变”，非同类根式不能合并。
难点：
（1）同类二次根式的判断误区：易直接对比未化简的根式，需牢记“先化简，再看被开方
数”。
（2）含字母的根式加减：化简后结合绝对值判断字母符号，再合并。
（3）混合运算的顺序混乱：易忽略 “先乘除后加减”，或去括号时漏变号
知识点1：同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合
并的依据式乘法分配律，如
【题型1 同类二次根式】
【典例1】下列各式中，与❑√5是同类二次根式的是（ ）A．❑√75 B．❑√25 C．❑√0.5 D．5❑√5
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义．
同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与❑√5的根号内的数是否一
致．
【详解】解：A：❑√75=5❑√3，根号内3，与❑√5不是同类二次根式；
B：❑√25=5，无根号，与❑√5不是同类二次根式；
√1 ❑√2
C：❑√0.5=❑ = ，根号内2，与❑√5不是同类二次根式；
2 2
D：5❑√5，根号内5，与❑√5是同类二次根式；
故选：D．
【变式1】下列二次根式中，能与❑√3合并的是（ ）
A．❑√6 B．❑√9 C．❑√12 D．❑√18
【答案】C
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们
的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个
二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、❑√6不能与❑√3合并，不符合题意；
B、❑√9=3，不能与❑√3合并，不符合题意；
C、❑√12=❑√4×3=2❑√3，能与❑√3合并，符合题意；
D、❑√18=❑√9×2=3❑√2，不能与❑√3合并，不符合题意；
故选：C．
【变式2】若最简二次根式❑√5−2a与❑√27能合并，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二
次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得❑√27=3❑√3，再得出最简二次根式
❑√5−2a与3❑√3是同类二次根式，则可得5−2a=3，由此即可得．
【详解】解：❑√27=3❑√3，
∵最简二次根式❑√5−2a与❑√27能合并，
∴最简二次根式❑√5−2a与3❑√3是同类二次根式，
∴5−2a=3，解得a=1，
故选：A．
【变式3】已知最简二次根式❑√m−1与❑√8可以进行加减运算，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简❑√8=2❑√2，被开方数为2，然后
根据二次根式能进行加减运算得出m−1=2，即可得出m=3．
【详解】解：∵❑√8=❑√4×2=2❑√2，
∴其被开方数为2，
∵❑√m−1与❑√8可进行加减运算，
∴它们为同类二次根式，故❑√m−1 化简后被开方数也应为2，
又∵❑√m−1为最简二次根式，
∴m−1=2，
解得：m=3．
故选：B．
知识点2：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
【题型2 二次根式的加减运算】
【典例2】计算下列各式：
(1)❑√18−(2❑√75−❑√27)；( √2) (√1 )
(2) ❑√24−2❑ − ❑ −❑√6 ．
3 8
【答案】(1)
3❑√2−7❑√3
(2)
7❑√6 ❑√2
−
3 4
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，
对于（1），先将二次根式化成最简二次根式，再计算即可；
对于（2），先将二次根式化成最简二次根式，再去括号，然后计算即可；
【详解】（1）解：原式=3❑√2−(2×5❑√3−3❑√3)
=3❑√2−7❑√3；
❑√6 ❑√2
（2）解：原式=(2❑√6−2× )−( −❑√6)
3 4
2❑√6 ❑√2
=2❑√6− +❑√6−
3 4
7❑√6 ❑√2
= − ．
3 4
√1
【变式1】计算：❑√12−❑√48+6❑ ．
3
【答案】0
【分析】先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可．
√1
【详解】解：❑√12−❑√48+6❑
3
❑√3
=2❑√3−4❑√3+6×
3
=2❑√3−4❑√3+2❑√3
=0．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
【变式2】（2025·浙江台州·二模）计算：(π−5) 0+❑√8−|−❑√2)．
【答案】1+❑√2
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，零指数幂，熟练掌握运算性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，计算零指数幂，然后计算加减即可．
【详解】解：原式=1+2❑√2−❑√2
=1+❑√2
【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
1
(1)3❑√6− ❑√6
3
(2)❑√48+3❑√12
√1
(3)❑√27−6❑ +❑√75
3
(√1 )
(4)❑√24+❑√0.5− ❑ −❑√6
8
8
【答案】(1) ❑√6
3
(2)10❑√3
(3)6❑√3
❑√2
(4)3❑√6+
4
【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键：
（1）直接合并即可；
（2）先化简，再合并即可；
（3）先化简，再合并即可；
（4）先化简，再合并即可．
( 1) 8
【详解】（1）解：原式= 3− ❑√6= ❑√6；
3 3
（2）原式=4❑√3+6❑√3=10❑√3；
（3）原式=3❑√3−2❑√3+5❑√3=6❑√3；
❑√2 (❑√2 ) ❑√2 ❑√2 ❑√2
（4）原式=2❑√6+ − −❑√6 =2❑√6+ − +❑√6=3❑√6+ ．
2 4 2 4 4知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【题型3 二次根式的混合运算】
【典例3】计算
(1)❑√12+❑√48−❑√27；
(2)(❑√3−2) 2+❑√12÷❑√3；
√1
(3)(❑√48−❑√27)÷❑√3+❑√6×2❑ ．
3
【答案】(1)3❑√3
(2)9−4❑√3
(3)1+2❑√2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答．
（2）先结合完全平方公式展开以及运算除法，最后运算加减法，即可作答．
（3）先根据二次根式的性质化简，再运算括号内的减法，以及结合二次根式的乘法法
则计算，然后运算除法，即可作答．
【详解】（1）解：❑√12+❑√48−❑√27
=2❑√3+4❑√3−3❑√3
=6❑√3−3❑√3
=3❑√3；
（2）解：(❑√3−2) 2+❑√12÷❑√3
=3−4❑√3+4+2
=9−4❑√3；
√1
（3）解：(❑√48−❑√27)÷❑√3+❑√6×2❑
3
√ 1
=(4❑√3−3❑√3)÷❑√3+2❑6×
3=❑√3÷❑√3+2❑√2
=1+2❑√2．
【变式1】计算：
(1)❑√27−3❑√12+❑√48；
(2)(2+❑√5)(2−❑√5)−(❑√3−2) 2；
【答案】(1)❑√3；
(2)−8+4❑√3．
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及
运算顺序是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先根据完全平方公式及平方差公式计算，再合并即可．
【详解】（1）解：❑√27−3❑√12+❑√48
=3❑√3−6❑√3+4❑√3
=❑√3；
（2）解：(2+❑√5)(2−❑√5)−(❑√3−2) 2
=4−5−(3−4❑√3+4)
=4−5−3+4❑√3−4
=−8+4❑√3．
【变式2】计算：
√1
(1)2❑√12−6❑ +❑√48；
3
(2)❑√18×❑
√2
−(❑√3−1) 2 ．
3
【答案】(1)6❑√3
(2)4❑√3−4
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟知二次根式
的相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可；
（2）先计算二次根式乘法，再利用完全平方公式去括号，最后计算加减法即可．√1
【详解】（1）解：2❑√12−6❑ +❑√48
3
❑√3
=2×2❑√3−6× +4❑√3
3
=4❑√3−2❑√3+4❑√3
=6❑√3；
（2）解：❑√18×❑
√2
−(❑√3−1) 2
3
√ 2
=❑18× −(3−2❑√3+1)
3
=❑√12−3+2❑√3−1
=2❑√3−3+2❑√3−1
=4❑√3−4．
【变式3】计算：
(1)❑√3×❑√6−❑√8；
❑√3 ( √1)
(2)2❑√12× ÷3❑√2− ❑√8−3❑ ．
4 2
【答案】(1)❑√2
(2)0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的
关键．
（1）先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即可；
（2）先进行乘除运算，再进行加减运算即可；
【详解】（1）解：原式=❑√3×6−2❑√2
=❑√18−2❑√2
=3❑√2−2❑√2
=❑√2；
❑√3 ( 3❑√2)
（2）解：原式=4❑√3× ÷3❑√2− 2❑√2−
4 2
❑√2
=3÷3❑√2−
2❑√2 ❑√2
= −
2 2
=0．
【题型4 分母有理化】
5 2
【典例4】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， 一样的式子，其实我们
❑√3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
还可以将其进一步化简： = = ❑√3．
❑√3 ❑√3×❑√3 3
2 2×(❑√3−1) 2×(❑√3−1)
= = =❑√3−1．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请用分母有理化解答下列问题：
2
(1)化简： ；
❑√5+❑√3
1 1 1 1
(2)化简： + + +⋅⋅⋅+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【答案】(1)❑√5−❑√3
❑√2n+1−1
(2)
2
【分析】（1）根据分母有理数化简即可；
（2）根据分母有理数化简即可．
2(❑√5−❑√3)
【详解】（1）解：原式= =❑√5−❑√3；
(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋅⋅⋅+❑√2n+1−❑√2n−1
（2）解：原式=
2
❑√2n+1−1
= ．
2
【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．
【变式1】观察下列等式：
1
第1个等式：a = =❑√2−1；
1 1+❑√2
1
第2个等式：a = =❑√3−❑√2；
2 ❑√2+❑√31
第3个等式：a = =2−❑√3；
3 ❑√3+2
……
(1)第n个等式：a = ______．
n
(2)根据以上规律，计算a +a +a +⋯⋯+a 的值．
1 2 3 11
【答案】(1)❑√n+1−❑√n
(2)2❑√3−1
【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关
知识是解题的关键．
（1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可；
（2）根据（1）中的规律把原式变形为❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√12−❑√11，
即可求解．
1
【详解】（1）解：第n个等式：a = =❑√n+1−❑√n；
n ❑√n+❑√n+1
故答案为：❑√n+1−❑√n
（2）解：a +a +a +⋯⋯+a
1 2 3 11
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√12−❑√11
=❑√12−1
=2❑√3−1
【变式2】阅读下列运算过程，并完成各小题：
1 ❑√3 ❑√3 2 2❑√5 2❑√5
= = ； = = ．数学上把这种将分母中的根号去掉的
❑√3 ❑√3×❑√3 3 ❑√5 ❑√5×❑√5 5
过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此
时也可以进行分母有理化，如：
1 ❑√2−❑√1 ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√1+❑√2 (❑√2+❑√1)×(❑√2−❑√1) 2−1
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2；
❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)×(❑√3−❑√2) 3−2
模仿上例完成下列各小题：
1
(1) = ____________；
❑√21
(2) = ____________；
❑√n+1+❑√n
1 1 1 1
(3)请根据你得到的规律计算： + + +…+ ．
❑√1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√80+❑√81
❑√2
【答案】(1)
2
(2)❑√n+1−❑√n
(3)8
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是
解本题的关键．
（1）分子分母都乘以❑√2，即可得到答案；
（2）分子，分母都乘以(❑√n+1−❑√n)，即可得到答案；
（3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可．
1 ❑√2 ❑√2
【详解】（1）解： = = ；
❑√2 ❑√2×❑√2 2
1 ❑√n+1−❑√n
（2）解： =
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)
❑√n+1−❑√n
=
n+1−n
=❑√n+1−❑√n．
1 1 1 1
（3）解： + + +…+
❑√1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√80+❑√81
❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√81−❑√80
= + +…+
(❑√1+❑√2)(❑√2−1) (❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2) (❑√80+❑√81)(❑√81−❑√80)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+⋯+❑√81−❑√80
=❑√81−1
=9−1
=8．
【变式3】阅读材料：在二次根式中，当分母为无理数的二次根式时，我们通过运算，把
该分母化为有理数的过程，称其为分母有理化或有理化分母．
1 1×❑√2 ❑√2
例：① = = ；
❑√2 ❑√2×❑√2 21 1×(❑√3+❑√2) ❑√3+❑√2 ❑√3+❑√2
②
= = = =❑√3+❑√2；
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)×(❑√3+❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2 3−2
1
(1)分母有理化： ；
❑√7−❑√5
1
(2)观察上面运算过程，对下列式子进行分母有理化： ；
❑√a+❑√b
1
(3)请尝试对下列式子进行分母有理化： ．
3❑√2−2❑√3
❑√7+❑√5
【答案】(1)
2
❑√a−❑√b
(2)
a−b
3❑√2+2❑√3
(3)
6
【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的法
则．
（1）利用平方差公式进行分母有理化即可；
（2）利用平方差公式进行分母有理化即可；
（3）利用平方差公式进行分母有理化即可．
1 ❑√7+❑√5 ❑√7+❑√5
【详解】（1）解： = = ；
❑√7−❑√5 (❑√7−❑√5)×(❑√7+❑√5) 2
1 ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b
（2）解： = = ；
❑√a+❑√b (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) a−b
1 3❑√2+2❑√3 3❑√2+2❑√3 3❑√2+2❑√3
（3）解： = = = ．
3❑√2−2❑√3 (3❑√2−2❑√3)×(3❑√2+2❑√3) 18−12 6
【题型5 已知字母的值，化简求值】
【典例5】先化简，再求值：(x+2)(x−2)+3(1−x),其中x=❑√2．
【答案】x2−3x−1；1 −3❑√2
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：原式=x2−4+3−3x
=x2−3x−1当x=❑√2时，原式=(❑√2) 2 −3❑√2−1
=2−3❑√2−1，
=1−3❑√2．
【点睛】此题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
( 2a−1) 1−a2
【变式1】先化简，再求值： a− ÷ ，其中a=❑√3−1．
a a2+a
【答案】1－a；2−❑√3．
【分析】先将分式化简，再把a的值代入求解即可
( 2a−1) 1−a2 a2−2a+1 (1−a)(1+a)
【详解】解： a− ÷ = ÷
a a2+a a a(a+1)
(a−1) 2 1−a
= ÷
a a
(1−a) 2 a
= ⋅
a 1−a
＝1－a
当a=❑√3−1时，原式=1−(❑√3−1)=2−❑√3
【点睛】本题考查了分式的化简，实数的运算，利用因式分解化简是解题的关键．
【变式2】已知x=2+❑√3，y=2−❑√3，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+ y2
(2)x2−y2．
【答案】(1)16
(2)8❑√3．
【分析】（1）根据完全平方公式写成(x+ y) 2，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵x=2+❑√3，y=2−❑√3，
∴x2+2xy+ y2=(x+ y) 2=(2+❑√3+2−❑√3）2=42=16 ；
（2）解：∵x=2+❑√3，y=2−❑√3，
∴x2−y2=(x+ y)(x−y)=（2+❑√3+2−❑√3）(2+❑√3−2+❑√3)=4×2❑√3=8❑√3．
【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关
键．
【变式3】先化简，再求值：a+❑√1−2a+a2，其中a=1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)_____________的解答过程是错误的；
(2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________；
(3)先化简，再求值： m+2❑√m2−6m+9，其中m=−2021．
【答案】(1)小亮
(2)❑√a2=−a(a<0)（或❑√a2=|a)）
(3)2027
【分析】（1）根据二次根式的性质❑√a2=|a)，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质❑√a2=|a)的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入
计算即可．
【详解】（1）根据二次根式的性质❑√a2=|a)，判断出小亮的计算是错误的，
故答案为：小亮；
（2）二次根式的性质为：❑√a2=−a(a<0)（或❑√a2=|a)），
故答案为：❑√a2=−a(a<0)（或❑√a2=|a)）；
（3）解：原式=m+2❑√(m−3) 2，∵m=−2021，
∴m−3<0，
∴原式=m+2❑√(m−3) 2
=m+2(3−m)
=6−m
=6−(−2021)
=2027．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，要熟练掌握二次根式的性质：❑√a2=|a)．
【题型6 已知条件式，化简求值
【典例6】已知x+ y=2❑√5,x−y=4．求】下列各式的值：
(1)x2+2xy+ y2；
(2)x2−y2．
【答案】(1)20
(2)8❑√5
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运
算法则是解此题的关键．
（1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可；
（2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可．
【详解】（1）∵x+ y=2❑√5,x−y=4
∴x2+2xy+ y2
=(x+ y) 2
=(2❑√5) 2
=20；
（2）∵x+ y=2❑√5,x−y=4
∴x2−y2
=(x+ y)(x−y)
=2❑√5×4
=8❑√5．【变式1】已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求代数式x2+xy+ y2的值．
【答案】15
【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，平方差公式，熟练
掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键．
先计算出x+ y=4，xy=1，再将所求代数式化为(x+ y) 2−xy，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵x=2−❑√3，y=2+❑√3，
∴x+ y=2−❑√3+2+❑√3=4，xy=(2−❑√3)×(2+❑√3)=4−3=1
∴x2+xy+ y2
=(x+ y) 2−xy
=42−1
=15．
【变式2】已知 x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+ y2
y x
(2) −
x y
【答案】(1)12
(2)−2❑√3
【分析】本题考查了完全平方公式以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）先整理x2+2xy+ y2=(x+ y) 2，再把x=❑√3+1，y=❑√3−1代入计算，即可作答．
y x (y+x)(y−x)
（2）先通分 − 得出 ，再把x=❑√3+1，y=❑√3−1代入计算，即可
x y xy
作答．
【详解】（1）解：∵x=❑√3+1，y=❑√3−1
∴x2+2xy+ y2=(x+ y) 2=(❑√3+1+❑√3−1) 2=12
（2）解：∵x=❑√3+1，y=❑√3−1
y x
∴ −
x yy2−x2
=
xy
(y+x)(y−x)
=
xy
(❑√3−1+❑√3+1)(❑√3−1−❑√3−1)
=
(❑√3+1)(❑√3−1)
2❑√3×(−2)
=
3−1
=−2❑√3．
【变式3】已知a=❑√11+4，b=❑√11−4，求下列代数式的值.
(1)a2−b2；
(2)a2+b2+ab.
【答案】(1)16❑√11
(2)49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成(a+b)(a−b)，再根据二次根式的运算法则计算即
可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成(a+b) 2−ab，再根据二次根式的运算法则计算
即可求解．
【详解】（1）解：∵a=❑√11+4，b=❑√11−4，
∴a+b=❑√11+4+❑√11−4=2❑√11，a+b=❑√11+4−❑√11+4=8，
则a2−b2=(a+b)(a−b)=2❑√11×8=16❑√11．
（2）解：∵a=❑√11+4，b=❑√11−4，
∴a+b=❑√11+4+❑√11−4=2❑√11，ab=(❑√11+4)(❑√11−4)=−5，
则a2+b2+ab=(a+b) 2−ab=(2❑√11) 2+5=49．
【题型7 比较二次根式的大小】
【典例7】比较大小： 3❑√2 2❑√3．（选填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查比较二次根式的大小．通过平方将无理数比较转化为有理数比较，根据平方后的结果判断原数大小即可．
【详解】解：∵(3❑√2) 2=18，(2❑√3) 2=12，又18>12，
∴3❑√2>2❑√3．
故答案为：>．
【变式1】比较大小：5❑√3 3❑√5（填“<”“ =”“>”）
【答案】>
【分析】本题考查了二次根式的大小比较．
通过比较两个数的平方值来判断大小即可．
【详解】解：(5❑√3) 2 =25×3 =75，(3❑√5) 2 =9×5 =45，
由于75>45，
所以5❑√3>3❑√5．
故答案为：>．
【变式2】比较大小❑√14−❑√13 ❑√13−❑√12．
【答案】<
【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；
②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方
法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
1
【详解】解：左边求倒数为 =❑√14+❑√13，
❑√14−❑√13
1
右边求倒数为 =❑√13+❑√12，
❑√13−❑√12
∵ ❑√14+❑√13>❑√13+❑√12，
∴ ❑√14−❑√13<❑√13−❑√12．
故答案为：<
【变式3】若a=❑√2+❑√3，b=1+❑√6，c=❑√5，则关于a，b，c的大小，以下说法正确
的是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a
【答案】B
【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出a2、b2、c2，进而即可判断求
解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键．【详解】解：∵a2=(❑√2+❑√3) 2=5+2❑√6，b2=(1+❑√6) 2=7+2❑√6，c2=(❑√5) 2=5，
∴b2>a2>c2，
∴b>a>c，
故选：B．
【题型8 二次根式的应用】
【典例8】如图，长方形空地ABCD的长BC为❑√18m，宽AB为❑√8m，现准备在空地中划
出长FG为(❑√3+1)m，宽EF为(❑√3−1)m的小长方形EFGH（图中阴影部分）作为花
卉实验田．
(1)求长方形空地ABCD的周长（结果化为最简）；
(2)求长方形花卉实验田EFGH的面积（结果化为最简）．
【答案】(1)(10❑√2+4❑√3)m
(2)2m2
【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式：
（1）根据矩形的周长=（长+宽）×2计算即可；
（2）先求出通道的面积，再算钱数即可．
【详解】（1）解：长方形空地ABCD的周长
=2(❑√18 +❑√8 )+2(❑√3+1)+2(❑√3−1)=(10❑√2+4❑√3)m
（2）解：长方形花卉实验田EFGH的面积=(❑√3+1)(❑√3−1)=2m2
【变式1】如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为18dm2和
32dm2的正方形木板．(1)求原矩形木板的面积；
(2)求剩余木料的周长．
【答案】(1)56dm2
(2)8❑√2dm
【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为
7❑√2dm，宽为4❑√2dm，进而根据矩形的面积得到答案；
（2）求出剩余木料的长为3❑√2dm，宽为❑√2dm，进而可得出答案．
【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为❑√18=3❑√2dm，❑√32=4❑√2dm，
∴原矩形木板的长为3❑√2+4❑√2=7❑√2dm，宽为4❑√2dm，
∴原矩形木板的面积为7❑√2×4❑√2=56dm2；
（2）解：剩余木料的长为3❑√2dm，宽为4❑√2−3❑√2=❑√2dm，
∴剩余木料的周长为2(3❑√2+❑√2)=8❑√2dm．
【变式2】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是
古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三
a+b+c
边长分别为a、b、c，记p= ，则三角形的面积为s=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，
2
因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下
△ABC的面积为 ．
【答案】2❑√5
【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出p=5，再根据公式代值计算即可．
3+3+4
【详解】解：由题意得，p= =5，
2
∴S =❑√5×(5−4)×(5−3)×(5−3)
△ABC
=❑√5×1×2×2
=2❑√5，
故答案为：2❑√5．
【变式3】如图，将一个长为(20+2❑√2)cm，宽为(20−2❑√2)cm的长方形纸片的四个角
都剪去一个边长为❑√2cm的正方形，求纸片剩余部分的面积．
【答案】384cm2
【分析】本题考查了二次根式的应用，长方形的面积、正方形的面积，根据题意，首
先算出长方形的面积，然后再算出剪去的四个小正方形的面积，再相减即可得出剩余
部分的面积．
【详解】解：长方形的面积：(20+2❑√2)×(20−2❑√2)=400−8=392，
减去的四个小正方形的面积和：4×(❑√2) 2=8，
所以剩余部分的面积为：392−8=384cm2．
【题型9 复合二次根式的化简】
【典例9】观察下列等式：
❑√3+2❑√2=❑√(❑√1+❑√2) 2=1+❑√2；
❑√5+2❑√6=❑√(❑√2+❑√3) 2=❑√2+❑√3；
❑√7+2❑√12=❑√(❑√3+❑√4) 2=❑√3+2；
根据以上的等式回答问题：
(1)填空：❑√13+2❑√42=_______；(2)化简❑√10−4❑√6，并写出化简过程．
【答案】(1)❑√6+❑√7
(2)❑√6−2
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，
（1）将原式化为❑√(❑√6+❑√7) 2，再开方即可；
（2）将原式化为❑√(❑√6−2) 2．
【详解】（1）解：
❑√13+2❑√42=❑√(❑√6) 2+2❑√6×❑√7+(❑√7) 2=❑√(❑√6+❑√7) 2=❑√6+❑√7，
故答案为：❑√6+❑√7；
（2）解：原式=❑√6−4×❑√6+4
=❑√(❑√6) 2 −2×2×❑√6+22
=❑√(❑√6−2) 2
=❑√6−2．
【变式1】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形
式，如：3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
3+2❑√2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=(1+❑√2) 2 ，则❑√3+2❑√2=1+❑√2
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若❑√16−8❑√3=a❑√3−b则a= ，b= ．
【答案】 2 2
【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把16−8❑√3
变形为(2❑√3−2) 2 ，即可得到❑√16−8❑√3=2❑√3−2，问题得解．
【详解】解：∵16−8❑√3=22−2×2×2❑√3+(2❑√3) 2=(2❑√3−2) 2 ，
∴❑√16−8❑√3=2❑√3−2，
∴a=2,b=2．故答案为：2,2
【变式2】先阅读下列的解答过程，然后再解答．
形如❑√m±2❑√n的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如
❑√3+2❑√2=❑√ (❑√2) 2+2❑√2+1=❑√ (❑√2+1) 2=❑√2+1；
(1)填空❑√10+4❑√6=____________；
(2)化简❑√29−8❑√13，并写出化简过程．
【答案】(1)2+❑√6
(2)❑√13−4
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相
关运算的法则．
（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）仿照阅读材料解答即可．
【详解】（1）解：❑√10+4❑√6
=❑√22+2×2×❑√6+(❑√6) 2
=❑√(2+❑√6) 2
=2+❑√6；
故答案为：2+❑√6；
（2）❑√29−8❑√13
=❑√42−2×4❑√13+(❑√13) 2
=❑√(4−❑√13) 2
=4−❑√13．
【变式3】观察、思考、作解答：
(❑√2−1) 2=(❑√2) 2 −2×❑√2×1+12=2−2❑√2+1=3−2❑√2，
反过来，3−2❑√2=2−2❑√2+1=(❑√2−1) 2 ．
∴3−2❑√2=(❑√2−1) 2 ，❑√3−2❑√2=❑√2−1．(1)仿照上述过程，化简：❑√5−2❑√6；
(2)若❑√m+2❑√n=❑√a+❑√b，直接写出m,n与a,b之间的关系．
【答案】(1)❑√3−❑√2
(2)m=a+b，n=ab
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）模仿题干过程，得5−2❑√6=(❑√3−❑√2) 2，故❑√5−2❑√6=❑√3−❑√2，即可作答．
（2）因为❑√m+2❑√n=❑√a+❑√b，则m+2❑√n=(❑√a+❑√b) 2=a+b+2❑√ab，即可作答．
【详解】（1）解：依题意5−2❑√6=3−2❑√6+2=(❑√3−❑√2) 2
∴❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2．
（2）解：∵❑√m+2❑√n=❑√a+❑√b，
∴m+2❑√n=(❑√a+❑√b) 2=a+2❑√ab+b=a+b+2❑√ab，
即m=a+b，n=ab．
1．下列二次根式中能与❑√2合并的是（ ）
√2
A．❑√8 B．❑√4 C．❑√10 D．❑
5
【答案】A
【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化
简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式．
先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可．
【详解】解：A、❑√8=2❑√2，被开方数是2，与❑√2是同类二次根式，能合并，符合题
意；
B、❑√4=2与❑√2不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、❑√10已是最简，被开方数为10，与❑√2不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
√2 ❑√10
D、❑ = ，被开方数为10，与❑√2不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
5 5故选：A．
2．计算：(❑√2+1)(❑√2−1)=（ ）
A．1 B．2 C．−1 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算即可求解．
【详解】解： (❑√2+1)(❑√2−1)=(❑√2) 2 −12=2−1=1，
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．❑√3+❑√2=❑√5 B．3❑√2−2❑√2=❑√2
C．❑√3−❑√2=1 D．❑√3+❑√3=❑√6
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的加减运算．根据二次根式的加减运算法则逐一进行判
断即可．
【详解】解：A．❑√2与❑√3不能合并，原选项计算错误，不符合题意
B．3❑√2−2❑√2=❑√2，原选项计算正确，符合题意
C．❑√3与−❑√2不能合并，原选项计算错误，不符合题意
D．❑√3+❑√3=2❑√3，原选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
4．如图，矩形ABCD中，相邻两个正方形EFGH和MNCD的面积分别为2和4，则图中
阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4−2❑√2 C．2❑√2−2 D．2❑√2
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，
利用数形结合的思想解答．
先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可．【详解】解：由图可得，正方形EFGH和MNCD的边长分别为❑√2，2，
∴AE+BF=2−❑√2，
∴S =AM(AE+BF)=❑√2(2−❑√2)=2❑√2−2，
阴影
故选：C．
5．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据
加密方式，若以下运算为数据加密方式：a⊕b=❑√a2+b2−(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)，那
么4⊕3的值为（ ）
A．1 B．4 C．−2 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关
键．
根据新定义的运算法则计算即可．
【详解】解：由题意得，
4⊕3=❑√42+32−(❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)
=❑√16+9−(4−3)
=❑√25−1
=5−1
=4．
故选：B．
6．学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，
老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完
成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现
错误的是 （ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可．
√ 1 1 √1
【详解】解：由❑√12÷3+❑ ÷3=❑√4+ ❑ 可得，小丽出现错误；
18 3 6
√1 ❑√6
由❑√4+❑ =2+ 可得，小红出现错误；
6 6
故选：D．
7．计算：❑√27−❑√3= ．
【答案】2❑√3
【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将❑√27化简为3❑√3，然后与❑√3进行合并
同类二次根式即可．
【详解】解：❑√27−❑√3=3❑√3−❑√3=2❑√3．
故答案为：2❑√3
8．比大小：2❑√5 3❑√2（填写“＞”、“=”、或“＜”）．
【答案】>
【分析】本题考查二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，可以通过平方后
比较数值，再比较大小得出结论．
【详解】解：(2❑√5) 2=4×5=20，(3❑√2) 2=9×2=18，20>18，
∴2❑√5>3❑√2，
故答案为：>．
1
9．分母有理化： = ．
❑√5+2
【答案】❑√5−2/−2+❑√5
【分析】本题考查分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，熟记分母有
理化的方法步骤是解决问题的关键．
通过分母有理化，将分子和分母同时乘以❑√5−2，利用平方差公式化简即可得到答案．
1 1×(❑√5−2) ❑√5−2 ❑√5−2 ❑√5−2
【详解】解： = = = = =❑√5−2，
❑√5+2 (❑√5+2)(❑√5−2) (❑√5) 2 −22 5−4 1
故答案为：❑√5−2．
10．已知最简二次根式❑√a+3与❑√18是同类二次根式，则a的值为 ．
【答案】−1【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将❑√18化简为最简
二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，
解方程即可得到答案．
【详解】解：❑√18=❑√9×2=3❑√2，
∵最简二次根式❑√a+3与❑√18是同类二次根式，
∴a+3=2，
∴a=−1，
故答案为：−1．
11．计算：
❑√12
(1)❑√2×❑√6−
❑√3
(2)(❑√3+2)(❑√3−2)+❑√(−2) 2．
【答案】(1)2❑√3−2
(2)1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可；
（2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：原式=❑√12−❑√4
=2❑√3−2．
（2）解：原式=(❑√3) 2 −22+❑√4
=3−4+2
=1．
12．已知x=4+❑√5，y=4−❑√5．求：
(1)x+ y的值；
(2)求x2−2xy+ y2的值．
【答案】(1)8
(2)20
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此
题的关键．
（1）将x、y的值代入所求代数式计算即可得解；（2）先计算出x−y，再利用完全平方公式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵x=4+❑√5，y=4−❑√5，
∴x+ y=4+❑√5+4−❑√5=8；
（2）解：∵x=4+❑√5，y=4−❑√5，
∴x−y=4+❑√5−(4−❑√5)=2❑√5，
∴x2−2xy+ y2=(x−y) 2=(2❑√5) 2=20．
13．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为(❑√35+2)米．现在要在正方形绿
地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为(❑√7+1)米、宽为
(❑√7−1)米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积．
【答案】通道的总面积为(4❑√35+15)m2．
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去4个花
坛面积，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：由题意得，通道的总面积为：
(❑√35+2) 2 −4×(❑√7+1)(❑√7−1)
=35+4+4❑√35−4×(7−1)
=39+4❑√35−24
=4❑√35+15(m2)
故通道的总面积为(4❑√35+15)m2．
